第三章 圆锥曲线的方程【提升题】单元测试-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

第三章 圆锥曲线的方程 单元测试 2026-2027学年高二数学同步备课系列【提升题】——解析版 一、选择题（共8小题） 1.（2025-2026·湖南衡阳高二上期中）椭圆上的一点到两个焦点的距离之和为（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由椭圆的定义知，椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和等于长轴长，又椭圆方程为，因， 故焦点在轴上，且， 解得长半轴长， 于是该点到两个焦点的距离之和为， 故选：D. 2.（2025-2026·湖南衡阳高二上期中）已知椭圆的右焦点为，点，为椭圆上的一动点，则的最大值为（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由椭圆方程得，， 即，， 从而， 故，左、右焦点分别为，. 由椭圆定义得， 于是， 代入目标式得， 从而问题转化为求的最大值. 对任意点， 由三角形三边关系得， 当、、三点共线时取等号， 因此的最大值为；由，得， 故的最大值为. 故选：C. 3.（2026-2027·湖南长沙高二上月考）已知双曲线的两个焦点分别为，，双曲线上一点与的距离为，则（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由双曲线得，， 故，. 已知， 由双曲线定义得， 解得. 焦距， 在中， 由余弦定理得， 故. 故选：B. 4.（2025-2026·湖南高二上期中）双曲线的左、右焦点分别为．是双曲线右支上一点，且直线的斜率为．为直角三角形且其内切圆半径为，则双曲线的方程为（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】在中，直线的斜率为， 故， 于是， 即. 又由双曲线定义得，联立可得，. 由勾股定理得， 故. 结合内切圆半径为， 由三角形等面积法得， 化简得， 即， 解得， 从而，， 因此双曲线的方程为. 故选：A. 5.（2025-2026·湖南高二上期中）已知是抛物线上的动点，点，则点到点的距离与点到直线的距离之和的最小值为（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由抛物线得焦点为，准线方程为. 设为点到准线的距离，为点到直线的距离， 于是， 即， 由抛物线的定义得， 故所求距离之和为. 结合图形可知， 当、、三点共线且在线段上时，取得最小值， 即. 由两点间距离公式得， 从而， 当点为线段与的交点时取等号. 故选：B. 6.（2025-2026·湖南常德高二上期中）已知抛物线，直线经过抛物线的焦点为，与抛物线交于，为坐标原点，则的可能值为（  ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】选项A：抛物线焦点，设直线方程为， 联立抛物线方程得：， 设，，则. ， 故. 即，选项A错误. 选项B：由向量夹角公式，. ， 同理. 所以 . 因，故可能为，选项B正确. 选项C：，不在的取值范围内. 故不可能为，选项C错误. 选项D：，同理不在取值范围内，选项D错误. 故答案为：B. 7.（2025·陕西汉中二模）如图1，这是一只古代的青花牡丹纹碗.已知该碗高，口径，底径，该碗的轴截面（不含碗底部分）是抛物线的一部分，如图2，则该抛物线的焦点到准线的距离为（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】以碗轴截面的对称轴为轴,抛物线顶点为坐标原点,建立平面直角坐标系, 设抛物线方程为. 由碗底径得底半径, 设碗底对应点为； 由口径得口径半径,碗高,得口径对应点为. 将代入抛物线方程,得 两式相减,, 即, 解得. 因为抛物线的焦点到准线的距离为, 故该距离为. 答案为B. 8.（2025-2026·湖南高二上期末）设点是抛物线的焦点，点是双曲线的左焦点，点是上第一象限内的一动点，则下列结论正确的是（） A.的最大值是 B.的最小值是 C.的最大值是 D.的最小值是 【答案】D 【解析】是抛物线的焦点. 得. 双曲线，得，. . 故，右焦点. . 双曲线第一象限渐近线斜率为. ，故直线与双曲线第一象限部分无交点. 由三角不等式得. 故不存在最大值. 故A，C错误. 由双曲线定义得. 故. 由两点之间线段最短得. 计算得. 故. 线段与双曲线第一象限存在交点，等号可取. 故的最小值为. 故B错误，D正确. 故选：D. 二、多选题（共3小题） 9.（2026-2027·湖南长沙高二上月考）已知椭圆，、分别为它的左右焦点，、分别为它的左、右顶点，点是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（） A.点到右焦点的距离的最大值为，最小值为 B.的最小值为 C.若为直角三角形，则的面积为 D.的范围为 【答案】ACD 【解析】由椭圆得，，，椭圆上动点到右焦点距离的最大值为，最小值为， 故A正确. 为椭圆上顶点时最大，此时最小， 计算得，， 故为等边三角形，得， 故B错误. 由知， 若为直角三角形，则直角只能为或，不妨设，得， 代入椭圆方程得， 计算得，同理直角在时面积也为， 故C正确. ，， 设，得，结合椭圆方程得， 代入化简得， 由得， 故， 故D正确. 故选：ACD. 10.（2025-2026·湖南长沙高二上期中）已知抛物线上两点，为拋物线的焦点，则下列说法正确的是（） A.拋物线的准线方程为 B.若直线过，且轴，则 C.若直线过，则 D.若，则的中点到轴距离的最小值为 【答案】ABD 【解析】由得， 即，抛物线焦点在轴正半轴，准线方程为，故选项A正确. 直线过焦点且轴，将代入，解得， 故，选项B正确. 设过的直线方程为， 代入整理得， 由韦达定理得，故选项C错误. 由抛物线定义得，， 故， 由三角不等式得， 当且仅当点在线段上时等号成立. 设直线的方程为，， 代入得，， 由韦达定理得，. 因为，所以， 代入化简得. 设中点的横坐标为，则，即为中点到轴的距离， 故，即中点到轴距离的最小值为，选项D正确. 故选：ABD 11.（2026-2027·湖南长沙高二上月考）在阳光的照射下，篮球在地面留下的影子如图所示，设过篮球的中心且与太阳平行光线垂直的平面为，地面所在平面为，篮球与地面的切点为，球心为，球心在地面的影子为点．已知太阳光线与地面的夹角为，如图，球的一条直径，、为、在地面的影子，点在线段上，当时，篮球的影子为一椭圆，线段为椭圆的长轴，则下列说法正确的是（） A.椭圆的长轴长为 B.该椭圆的离心率为 C.恰好为椭圆的一个焦点 D.设、为椭圆的两个焦点，为椭圆上任意一点，则内切圆半径的最大值为 【答案】BCD 【解析】由已知得球直径，太阳光线与地面夹角为，为椭圆长轴，球心到地面距离， 由平行投影得椭圆长半轴，短半轴， 计算得焦半距. 椭圆长轴长， 故A错误. 离心率， 故B正确. 为椭圆中心，，，， 由，得，点在长轴上，到椭圆中心距离等于半焦距， 故是椭圆一个焦点，C正确. 设的内切圆半径为， 由三角形面积公式得， 化简得，椭圆上点纵坐标最大值为， 代入得， 故D正确. 故选：BCD. 三、填空题（共3小题） 12.（2025-2026·湖南长沙高二上期中）已知为椭圆的两个焦点，，为上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为                   ． 【答案】 【解析】因为为椭圆上关于坐标原点对称的两点，且， 所以四边形的对角线互相平分且相等， 故该四边形为矩形. 设，， 由椭圆定义得，结合焦距及矩形对角线相等可得. 于是， 即， 化简得. 因此四边形的面积. 故答案为：. 13.（2026-2027·湖南长沙高二上月考）椭圆的左顶点为，点，均在上，且关于轴对称.若直线，的斜率之积为，则的离心率为                   . 【答案】 【解析】椭圆左顶点为， 设， 由关于轴对称得， 计算得，， 故. 由在椭圆上得， 整理得， 代入斜率乘积式化简得， 从而离心率. 故答案为：. 14.（2025-2026·湖南高二上期中）已知，为双曲线上关于原点对称的两点（异于顶点），点在双曲线上且满足直线，的斜率之积为，设直线与轴的交点为，若，则双曲线的离心率为                   ． 【答案】 【解析】设，，则. 由、均在双曲线上得，，两式相减得， 即， 从而. 又，， 故；结合， 于是. 设， 由得， 即；因为、、三点共线， 所以， 代入得，而， 故. 因此离心率. 故答案为：. 四、解答题（共5小题） 15.（2025-2026·湖南长沙高二上期中）已知椭圆的离心率为，点是椭圆的右顶点． (1) 求椭圆的方程； (2) 过点且倾角为的直线与椭圆交于、两点，求的面积． 【答案】(1) 解：因为点是椭圆的右顶点， 所以，又离心率， 于是. 结合，得， 故椭圆的方程为. (2) 解：由过点且倾角为得直线的方程为， 设，. 联立 消去得， 从而，， 于是 因为到直线的距离， 所以. 16.（2025-2026·湖南高二上期中）在平面直角坐标系中，已知点，点的轨迹为． (1) 求的方程； (2) 以为直径的圆与的一条渐近线相交于，两点，求四边形的面积． 【答案】(1) 解：因为， 由双曲线的定义可得，点的轨迹是以、为焦点且的双曲线， 即，， 于是， 故的方程为. (2) 解：由的方程得渐近线方程为， 因为以为直径的圆过原点， 所以为直角，且， 从而点到轴的距离为， 于是四边形的面积. 17.（2026-2027·湖南常德高二上月考）已知圆，圆． (1) 证明圆与有公共点； (2) 求两圆公共点的轨迹的方程； (3) 设为坐标原点，过点的直线与轨迹交于，两点，不在轴上），若，延长交轨迹于点，求四边形的面积取得最大值时直线的方程． 【答案】(1) 解：圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径. 两圆圆心距， 计算得，. 由，得， 即，满足两圆有公共点的条件，得证. (2) 解：设两圆公共点为， 由在两圆上得，， 故. 由椭圆定义，的轨迹是以为焦点的椭圆，其中，，，， 由此可得轨迹的方程为. (3) 解：设直线的方程为，，， 由椭圆中心对称性得， 由得. 将代入椭圆方程整理得， 由韦达定理得，. 计算得，结合面积关系得四边形的面积. 令，则， 代入得，函数在时单调递增， 故即时，取得最小值，取得最大值，此时直线的方程为. 18.（2025-2026·湖南高二上期中）已知椭圆，椭圆的左、右焦点分别是，，离心率为． (1) 求椭圆的标准方程； (2) 过的直线与椭圆交于，两点． （ⅰ）若，记线段的中点为，求的坐标； （ⅱ）若点在第一象限，直线交椭圆于另一点，设分别是的内切圆半径，求的最大值． 【答案】(1) 解：由得， 因为离心率， 所以， 从而， 故椭圆的标准方程为. (2) 解：（ⅰ）由(1)得，过点的直线与椭圆必有两个不同交点， 因为， 所以. 当直线斜率不存在时，令代入椭圆方程得，不妨设，，则，不合题意. 当直线斜率存在时， 设其方程为，，，联立消去得， 由韦达定理得，. 于是， 解得. 当时，，， 所以的坐标为；同理当时，的坐标为. （ⅱ）设直线的方程为，联立消去得， 由韦达定理得，， 从而. 又， 代入得， 整理得；同理设， 可得. 由内切圆半径公式得. 将、代入得. 由均值不等式得， 故， 当且仅当， 即，时取等号， 因此的最大值为. 19.（2025-2026·广东深圳高二上期末）已知抛物线经过点，为抛物线的顶点，点，在抛物线上，以，为切点的两条切线交于点. (1) 求的值及的准线方程； (2) 设直线分别与直线，轴的交于点，，不重合），且. （i）证明：存在定点，使得为定值； （ii）求的最小值. 【答案】(1) 解：将点代入抛物线方程得. 解得. 抛物线的准线方程为. (2) （i）证明：设，. 由抛物线方程得，. 设切线的方程为. 联立. 整理得. 由切线性质得. 化简得. 结合得. 解得. 代入切线方程整理得. 同理可得切线的方程为. 设交点，得. 由此可得切点弦的方程为. 直线的方程为，. 由且，不重合，得. 直线斜率为，直线斜率为. 由垂直条件得. 解得. 故在定直线上，设，. 得直线的方程为，故. 联立直线与直线. 解得. 计算得. 整理得. 故点在圆上，除去点. 取定点，得，为定值. 故存在定点，使得为定值. （ii）解：由得，为直角三角形，斜边为. 取为的中点，，得. 故存在定点，使得为定值. 计算. 得. 计算. 得. 从而. 由均值不等式得. 当且仅当，即时等号成立，此时，不重合，满足条件. 故的最小值为. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 圆锥曲线的方程 单元测试 2026-2027学年高二数学同步备课系列【提升题】——原卷版 一、选择题（共8小题） 1.（2025-2026·湖南衡阳高二上期中）椭圆上的一点到两个焦点的距离之和为（） A. B. C. D. 2.（2025-2026·湖南衡阳高二上期中）已知椭圆的右焦点为，点，为椭圆上的一动点，则的最大值为（） A. B. C. D. 3.（2026-2027·湖南长沙高二上月考）已知双曲线的两个焦点分别为，，双曲线上一点与的距离为，则（） A. B. C. D. 4.（2025-2026·湖南高二上期中）双曲线的左、右焦点分别为．是双曲线右支上一点，且直线的斜率为．为直角三角形且其内切圆半径为，则双曲线的方程为（） A. B. C. D. 5.（2025-2026·湖南高二上期中）已知是抛物线上的动点，点，则点到点的距离与点到直线的距离之和的最小值为（） A. B. C. D. 6.（2025-2026·湖南常德高二上期中）已知抛物线，直线经过抛物线的焦点为，与抛物线交于，为坐标原点，则的可能值为（  ） A. B. C. D. 7.（2025·陕西汉中二模）如图1，这是一只古代的青花牡丹纹碗.已知该碗高，口径，底径，该碗的轴截面（不含碗底部分）是抛物线的一部分，如图2，则该抛物线的焦点到准线的距离为（） A. B. C. D. 8.（2025-2026·湖南高二上期末）设点是抛物线的焦点，点是双曲线的左焦点，点是上第一象限内的一动点，则下列结论正确的是（） A.的最大值是 B.的最小值是 C.的最大值是 D.的最小值是 二、多选题（共3小题） 9.（2026-2027·湖南长沙高二上月考）已知椭圆，、分别为它的左右焦点，、分别为它的左、右顶点，点是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（） A.点到右焦点的距离的最大值为，最小值为 B.的最小值为 C.若为直角三角形，则的面积为 D.的范围为 10.（2025-2026·湖南长沙高二上期中）已知抛物线上两点，为拋物线的焦点，则下列说法正确的是（） A.拋物线的准线方程为 B.若直线过，且轴，则 C.若直线过，则 D.若，则的中点到轴距离的最小值为 11.（2026-2027·湖南长沙高二上月考）在阳光的照射下，篮球在地面留下的影子如图所示，设过篮球的中心且与太阳平行光线垂直的平面为，地面所在平面为，篮球与地面的切点为，球心为，球心在地面的影子为点．已知太阳光线与地面的夹角为，如图，球的一条直径，、为、在地面的影子，点在线段上，当时，篮球的影子为一椭圆，线段为椭圆的长轴，则下列说法正确的是（） A.椭圆的长轴长为 B.该椭圆的离心率为 C.恰好为椭圆的一个焦点 D.设、为椭圆的两个焦点，为椭圆上任意一点，则内切圆半径的最大值为 三、填空题（共3小题） 12.（2025-2026·湖南长沙高二上期中）已知为椭圆的两个焦点，，为上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为                   ． 13.（2026-2027·湖南长沙高二上月考）椭圆的左顶点为，点，均在上，且关于轴对称.若直线，的斜率之积为，则的离心率为                   . 14.（2025-2026·湖南高二上期中）已知，为双曲线上关于原点对称的两点（异于顶点），点在双曲线上且满足直线，的斜率之积为，设直线与轴的交点为，若，则双曲线的离心率为                   ． 四、解答题（共5小题） 15.（2025-2026·湖南长沙高二上期中）已知椭圆的离心率为，点是椭圆的右顶点． (1) 求椭圆的方程； (2) 过点且倾角为的直线与椭圆交于、两点，求的面积． 16.（2025-2026·湖南高二上期中）在平面直角坐标系中，已知点，点的轨迹为． (1) 求的方程； (2) 以为直径的圆与的一条渐近线相交于，两点，求四边形的面积． 17.（2026-2027·湖南常德高二上月考）已知圆，圆． (1) 证明圆与有公共点； (2) 求两圆公共点的轨迹的方程； (3) 设为坐标原点，过点的直线与轨迹交于，两点，不在轴上），若，延长交轨迹于点，求四边形的面积取得最大值时直线的方程． 18.（2025-2026·湖南高二上期中）已知椭圆，椭圆的左、右焦点分别是，，离心率为． (1) 求椭圆的标准方程； (2) 过的直线与椭圆交于，两点． （ⅰ）若，记线段的中点为，求的坐标； （ⅱ）若点在第一象限，直线交椭圆于另一点，设分别是的内切圆半径，求的最大值． 19.（2025-2026·广东深圳高二上期末）已知抛物线经过点，为抛物线的顶点，点，在抛物线上，以，为切点的两条切线交于点. (1) 求的值及的准线方程； (2) 设直线分别与直线，轴的交于点，，不重合），且. （i）证明：存在定点，使得为定值； （ii）求的最小值. 学科网（北京）股份有限公司 $