第三章 圆锥曲线的方程 章末提升试题-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

第3章 圆锥曲线的方程 章末提升试题 2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册 一、单选题 1．已知椭圆，点，则点与椭圆的位置关系是（    ） A．点在椭圆上 B．点在椭圆内 C．点在椭圆外 D．无法判断 2．设为坐标原点，点在抛物线上，若点到的准线的距离为3，则（    ） A． B． C． D． 3．已知双曲线的一条渐近线的斜率为，则双曲线的离心率为（ ） A．2 B． C． D．3 4．经过椭圆的左焦点作倾斜角为45°的直线l，直线l与椭圆相交于A，B两点，则（   ） A． B． C． D． 5．已知中，，的面积为，为中点，则点的轨迹为（    ）的一部分. A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 6．已知抛物线C：（）的焦点为F，直线与抛物线C交于点A，B，，x轴上一点P满足，则p的值为（    ） A． B．1 C． D．2 7．若双曲线不存在以点为中点的弦，则该双曲线离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．在平面直角坐标系中，定义“-伴随点”：若点与点关于直线对称，则称为的“-伴随点”．已知椭圆上存在点，使得的“-伴随点”恰好也在椭圆上，则满足条件的点的个数为（   ） A．0 B．2 C．4 D．8 二、多选题 9．关于方程，下列说法正确的有（    ） A．若，它表示焦点在轴上的双曲线 B．若，它表示焦点在轴上的双曲线 C．方程有可能表示等轴双曲线 D．若方程表示双曲线，则或 10．已知抛物线，过抛物线的焦点的直线与抛物线交于，两点，则（  ） A．抛物线的准线方程为 B．若，则 C．的取值范围为 D．设为坐标原点，的中点到准线的距离为，则 11．已知双曲线：的左、右焦点分别为，，其渐近线方程为，过的直线与双曲线的左右两支分别交于，两点（点在第一象限），则下列说法正确的是（     ） A．离心率 B．若的斜率为1时， C．为定值 D．当直线的斜率为，过线段的中点和原点的直线的斜率为时， 三、填空题 12．已知双曲线（，）的一条渐近线与直线平行，且双曲线的焦距为，则双曲线的方程为______． 13．已知抛物线的准线为l，P为抛物线C上任意一点，则点P到准线l的距离和点P到直线的距离之和的最小值为______． 14．已知，分别为椭圆的左、右焦点，点为椭圆外轴上一点，线段与交于点，，内切圆的半径为，则椭圆的离心率为______. 四、解答题 15．已知双曲线的两个焦点为，，且的渐近线方程为. (1)若点在上，且，求； (2)设的左、右顶点分别为，，过点的直线与的右支交于点（异于），且关于的对称点为，若，求直线的斜率. 16．已知双曲线（，）的实轴长为4，离心率. (1)求双曲线的方程； (2)过点的直线与双曲线相交于，两点，是否存在直线使得点是弦的中点？若存在，求的面积.若不存在，请说明理由. 17．已知椭圆：（），过的右焦点且与轴垂直的直线被截得的线段长为. (1)求的离心率； (2)设为坐标原点，给定点，为上的点，过作轴的垂线，垂足为，直线与直线的交点为.当在上运动时，点的轨迹为.求的方程. 18．已知抛物线的焦点为．过的直线交于两点，其中在轴上方，在轴下方．过分别作的切线，两切线交于点． (1)证明：点在一条定直线上，且． (2)记的外接圆为．设为第一象限内一点．若恰存在一条符合条件的直线，使相应的圆经过点，求点的轨迹． 19．（1）已知椭圆与圆，若在椭圆上存在点P，使得由点P所作的圆的两条切线互相垂直，求椭圆C1的离心率的取值范围； （2）已知动点P在椭圆上，为椭圆的焦点，若，，且恒成立，求实数的最小值. 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A B B C A D C ABD BCD 题号 11 答案 ABC 1．C 把点的横、纵坐标代入椭圆的方程左边，得， 所以点在椭圆外. 2．A 应用抛物线定义得出，进而得出抛物线方程得出点，再根据两点间距离公式计算. 由于，则， 于是，则，于是. 3．B 首先利用双曲线渐近线的方程得到，然后利用离心率公式求解离心率即可. 根据双曲线渐近线的方程满足，所以. 所以双曲线的离心率为 4．B 先求得直线的方程，再与椭圆方程联立，结合韦达定理，利用弦长公式求解. 在中，，， 所以，即， 故左焦点为，而， 故直线的方程为， 联立得， ，设，， 由韦达定理得，， 则由弦长公式得． 故选：B． 5．C 以为坐标原点，角的平分线所在直线为轴，建立平面直角坐标系，利用三角形面积公式得，设，根据条件，用表示出的坐标，进而可得与间的关系，即可求解. 如图，以为坐标原点，角的平分线所在直线为轴，建立平面直角坐标系， 记，由题知，得到， 不妨设在第一象限，因为，则， 设，则，得到，， 所以，整理得到， 所以点的轨迹为双曲线的一部分    6．A 设，联立得到，由得到，又由题可知点P在线段垂直平分线上，设线段中点为，则，进而得到点，再求出，结合两点距离公式可得，再由求出． 设， ，， ，， 即， 又，则点P在线段垂直平分线上，设线段中点为， ，， 则直线的方程为， ， 又， 所以，即， 整理得， ，解得， 代入得，解得． 7．D 先判断点在双曲线外部或在双曲线上，得，再结合过该中点的直线斜率可得另一不等式，最后求解出的范围，结合离心率等式即可求解． 不存在以点为中点的弦，必须同时满足以下两个条件： 点在双曲线外部或其上（若点在双曲线内部，则过该点的弦必然存在）， 因此，解得； 设过点的弦的斜率为， 设弦与双曲线交于点，， 则，， 由点，在双曲线上，得， 两式作差得， 所以， 直线与双曲线有两个不同交点的充要条件是， 因为不存在该中点弦，所以直线AB与双曲线至多一个交点， 则，也即， 所以，则． 8．C 设点求对称坐标，代入椭圆方程联立分析. 设点，其关于直线的对称点为，则， 的中点在对称轴上，， 解得, , 已知在椭圆上，满足(1) 又因为对称点也在椭圆上，将代入椭圆方程, =1 两边同乘，展开整理得  (2) 将方程 (2) 减去方程 (1) 乘以，消去常数项后化简，可得两个椭圆的公共点必在两条过原点的直线上, 因式分解得两条直线, 直线与椭圆的交点 代入椭圆方程：，解得, 对任意实数，右边恒正，因此始终有2 个不同的交点,这两个点在对称轴上，对称点为自身，必然满足条件, 直线与椭圆的交点 代入椭圆方程：，解得, 当时，右边恒正，因此也有2 个不同的交点, 这两个点不在对称轴上，它们互为对方的对称点，均满足 “对称后仍在椭圆上”, 当时（直线非 x 轴，非椭圆的对称轴），两条直线互不重合，与椭圆共有4 个不同的公共点，即满足条件的点有 4 个, 因此满足条件的点的个数为. 9．ABD 根据题意，结合双曲线的标准方程及双曲线的性质，逐项分析判断，即可求解. 对于A，若，可得方程，表示焦点在轴上的双曲线，所以A正确； 对于B，若，可得方程，表示焦点在轴上的双曲线，所以B正确； 对于C，若方程表示焦点在轴上的等轴双曲线，则，无解； 若方程表示焦点在轴上的等轴双曲线，则，无解， 综上可得，不存在实数使得方程表示等轴双曲线，所以C错误； 对于D，若方程表示双曲线，则满足， 解得或，所以D正确. 10．BCD 利用抛物线的定义将焦半径转化为横坐标，再用韦达定理处理抛物线的焦半径问题，以及利用三角形三边关系解决不等关系. 对于A， 抛物线得，所以准线方程，故A错误； 对于B，，所以， 故B正确； 对于C，抛物线的焦点的坐标为 ，设直线方程为. 联立方程，消去得. 由韦达定理得，. . 因为，所以. 所以的取值范围为，故C正确； 对于D，设中点为，则. 点到准线的距离. 又因为， 在中， ， 所以，故D正确. 11．ABC 对于选项A，根据双曲线的渐近线方程可求得，进而可求得，可得离心率；对于选项B，联立直线与双曲线方程，根据弦长公式即可求解；对于选项C，根据双曲线定义，即可求解；对于选项D，设，，则，，代入化简即可求解. 对于A选项，因为双曲线：的渐近线方程为， 即，所以，此时双曲线的方程为，则，， 所以，所以，所以，故A正确； 对于B选项，因为，所以， 又过的直线的斜率为1，所以直线的方程为， 因为直线与双曲线的左右两支分别交于，两点， 与双曲线联立，化简得， 设，，则，， 所以，故B正确； 对于C选项，根据双曲线定义，，， 所以，， 所以，故C正确； 对于D选项，设，，线段的中点，则，，所以，，， 又，在双曲线上，所以，， 所以，， 所以，故D错误. 综上所述，选项ABC正确. 12． 双曲线的一条渐近线与直线平行，，得. 又双曲线的焦距为，，得. 又，可得. 故双曲线的方程为. 13． 利用抛物线定义将点到准线的距离转化为到焦点的距离，所求最小值即为焦点到给定直线的距离，通过点到直线距离公式计算即可。 对于抛物线可得，因此焦点，准线的方程为。 过点作垂直于，垂足为，作垂直于直线，垂足为，如下图所示：    易知点到准线的距离等于点到焦点的距离，即为， 点到准线的距离和点到直线的距离之和为， 当三点共线时，距离之和最小， 即为点到直线的距离 ， 故所求最小值为. 14． 根据条件，结合椭圆定义以及三角形内切圆性质，即可化简得到，再利用即可求得结果. 由得，， 又共线，故， 设，， 则， 所以，又， 且， 所以， 即， 又， 所以， 又， 联立，可得， 又， 化简得，， 又， 所以，， 即椭圆的离心率为. 15．(1)； (2)直线的斜率为或． （1）由双曲线的焦点坐标、渐近线方程以及可求得，再结合双曲线的定义即可求得，此题需要注意点只会在双曲线的左支上； （2）设出直线的斜率，用点斜式写出直线的方程，将直线与双曲线联立解方程组，求出点，再根据对称性求出点，最后用两点间的距离公式结合即可解决问题． （1）因为双曲线的两个焦点为，，所以， 因为双曲线的渐近线方程为，所以， 因为，所以，所以，所以双曲线， 因为，所以点一定在双曲线的左支上， 由双曲线的定义得，因此，即； （2） 因为过点的直线与的右支交于点（异于），所以直线的斜率必存在，可记为且， 所以直线的方程为，设， 由可得， 可得且，于是且， 代入直线的方程得，所以点， 因为关于的对称点为，所以，所以点， 又因为，所以， 整理得，解得或，均满足，故或， 所以直线的斜率为或． 16．(1) (2) 存在， （1）根据实轴长以及离心率公式求出，进而得双曲线方程. （2）先根据中点坐标公式及双曲线方程求得直线的方程，联立方程，根据韦达定理以及弦长公式求出，再求出到直线的距离，进而求出的面积. （1）依题意：，则. 又因为，所以. 所以. 所以双曲线的方程为. （2）存在.如图，设. 因为为直线与双曲线的交点， 所以， 由得：. 即. 因为点是弦的中点，所以. 所以. 此时直线的方程为，即. 联立方程得，消去得：. 则， 所以存在直线，使得点是弦的中点. 则由韦达定理：. 所以. 点到直线的距离， 所以. 17．(1) (2) （1）根据椭圆的标准方程及截得线段长列方程求解即可. （2）方法一：设点，联立直线与直线方程求出交点坐标，表示出点，代入椭圆方程求解即可；方法二：由于点三点共线，结合向量共线表示出点，代入椭圆方程求解即可. （1）设椭圆的右焦点为，其中， 那么过右焦点且垂直于轴的直线为，代入椭圆得， 即，所以， 由于截线段长为，解得， 故，离心率. （2）方法一： 由（1）知椭圆方程为， 由于点满足，且，过作轴的垂线，交轴于点， 那么当时，点，点与点重合； 当时，直线方程为：，直线方程为：，即， 联立，解得， 即点. 设，则由，得， 代入椭圆方程得， 即， 两边乘以得， 整理得， 把点代入，仍然成立， 故轨迹的方程为； 方法二：由于，点在轴，故直线必有斜率； 设直线方程为，，那么点， 由于轴，则， 由于点三点共线，则，所以， 因为点在直线上，所以， 则 把代入椭圆方程：，得， 即， 整理化简，得 ， 故轨迹的方程为. 18．(1)证明：因为，设过点的直线的解析式为，，， 联立 得 由韦达定理得，， 则(=，. 设抛物线过点的切线为，过点的切线为， 联立 得，且， 因为点在抛物线上，所以， 代入得， 解得 则， 同理， 联立 得， 即点坐标为， 所以，点在定直线上. 当时， 因为过点的直线的解析式为，所以，即直线的斜率， 又， 所以， 即； 当时， 直线，， 则， 即， 综上所述. (2)点P的轨迹是以为圆心，为半径，在x轴上方的半圆. (1)先假设过点的直线的解析式，将其与抛物线联立，由韦达定理得到,两点坐标的关系，再分别设这两点的切线方程，与抛物线联立通过得到斜率，再将两切线方程联立得到点坐标，即可得出点在定直线上，通过即可得出. (2)证明，则外接圆圆心为中点，利用待定系数法求出圆的方程，再将点代入圆的方程，通过得到点的轨迹方程. （1）略. （2）因为， 所以， 所以外接圆的圆心为斜边的中点， 则的坐标为. 直径 ， 则半径， 圆的方程为： . 设在第一象限， 由题可知， 化简得： 即： 恰有一个实数意味着该二次方程有唯一解， 由于，故判别式，即， 化简得，即或， 因为点在第一象限，所以不符题意，舍去， 所以，即，得， 又因为点在第一象限，所以，， 即点的轨迹方程为， 所以点P的轨迹是以为圆心，为半径，在x轴上方的半圆. 19．（1） ； （2） . （1）由题意知，存在点P使和两个切点围成的四边形为正方形，得，进而知即可，利用椭圆参数关系求离心率范围. （2）依题意知，该椭圆的焦点，点M在以为圆心，1为半径的圆上，当PF最长时，切线长PM最大，作出图形，即可得到答案． （1）设过作圆的切线，切点为，连接， 因为，根据切线的对称性可知， 在中，则， 可得，即，， 可得，化简得，可得，即， 所以椭圆离心率的取值范围为； （2）由题意可知：，，， 设为椭圆的右焦点， 因为，可知点的轨迹是以为圆心，半径为1的圆， 又因为，则，可知为圆的切线， 且，则，可得， 所以实数的最小值为. 学科网（北京）股份有限公司 $