第三章圆锥曲线的方程单元测试卷-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

2026年秋季学期高二数学单元测试卷 选择性必修第一册第三章圆锥曲线的方程 考生注意： 1.满分150分，考试时间120分钟. 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上，选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的 答案标号涂黑：非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答 题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 3.本卷命题范围：选择性必修第一册第三章圆锥曲线的方程 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的. 1,若P是椭圆+上-1上一点，F,B,是该椭圆的两个焦点，且P=7,则PP=() 164 A.1 B.3 C.5 D.9 【答案】A 【醒折】由椭圆方程文+4护6变形得。+1，所以椭圆长半辅的长为4由椭圆的定义可得 |PF+P=2×4=8.又P=7,所以P=1.故选A 2双曲线。a>06>0的条新近线方程为y22x,则其肉心率为 A.3 B.3 c.5 D.5 【答案】A 【解折】双曲线等千-1a>0b0的一条有近线方程为)-22x,可行b-2X5a, a2+b2 =3.故选：A a 3.若抛物线y2=2x上的点M(2,%)到该抛物线焦点的距离为3，则抛物线的方程是()， A.y=2x B.y2=4x C.y2=-2x D.y=-4x 【答案】B 【解析】由题意知p>0,则雅线为x=号，点M2)到焦点的距离等于其到准线的距离，即号-23， p=2,则y=4x.故选B. 4若椭圆二+y=1的焦距为4反，则实数n等于() 3n A写 B.1 C.6 D.3 【答案】D 【解析】依题意，2c=4W2,所以c=2W2,因此当椭圆焦点在x轴上时，有3n-1=(2√2)2，解得n=3: 当椭圆焦点在y轴上时，有1-=(2，解得1=了不合思意，舍去故实数n等于3， 5已知左，右焦点分别为R,F的双曲线C:x- a161 =1(a>0)上一点P到左焦点E的距离为6，点O为 坐标原点，点M为PF的中点，若OM=5,则双曲线C的渐近线方程为() 4 A.y=±x B.y=±。x C.y=±4x D.y=±2x 3 【答案】D 【解析】由OM=5,根据三角形的中位线得PF=10>6,∴.点P在双曲线左支上，故PF-PF=4=2a, :a=2,得双曲线的方程为-二=1，：双曲线C的渐近线方程为y=士2x,故答案选：D 416 6.己知P是双曲线-二=1的右支上一点，MN分别是圆c+5分+广=4和(x-5》+广=1上的点，则 916 IPM-PNI的最大值为() A.6 B.8 C.9 D.7 【答案】c 【解析】设双曲线的两个焦点分别是E(-5,0)与E(⑤，0)，则这两点正好是两圆的圆心，当且仅当点P与M,E 三点共线(M为PF的延长线与圆(x+5)+y2=4的交点)及P与N,E三点共线(N为线段PE与圆 (x-5)2+y2=1的交点)时，所求的值最大，此时1PM1-|PN1=(（P+2)-(0PE引-1)=|P-P引+3=6+3=9， 故选C 7我们把短边与长边之比为51的矩形称为黄金分割矩形，黄金分割矩形看起来比较和谐”，日常生 活中的矩形用品（如书本、课桌、衣柜等）和建筑物中的一些矩形结构（如窗户、房间等），都常设计成黄 金分割的样式，若一面积为2√5-2的黄金分割矩形一条短边的两个顶点在抛物线C:y2=2px(p>0) 的准线上，另一条短边的中点为抛物线C的焦点F,则该黄金分割矩形与抛物线C的一个交点到F的 距离为() A.√5 B.V5-1 c3-5 D.1-V5 8 8 【答案】D xy=2(N5-1 【解析】设矩形长边为x,短边为y,由题意得 yV5-1 解得x=2,y=V5-1, x 2 由题可知p=x=2,则抛物线方程为y2=4x,焦点F为(1,0)，根据对称性，不 妨设矩形的一条边y-51与抛物线交于A点，代入y广-任得x3-5 2 ，则 点A到抛物线焦点F的距离为3-V5+￡_11-V5 828 8.已知椭圆C: 京+方=1(a>b>0)与抛物线E:y=2px(p>0)有相同的焦点F,椭圆C与抛物线E x2 y2 在第一象限交于点P,PF⊥x轴，则椭圆C的离心率等于() B.√2-1 C.1-2 D.2-1 2 2 【答案】B 【解析】由题意，抛物线E的焦点为Fc,0,则号=c→p=2c抛物线方程为产=4a因为P吓1x轴且点P 在第一象限，所以点P的横坐标为c将x=c代入抛物线方程得y2=4c2,故yp=2c.又点P(c,2c)在椭圆C上， 且椭圆过焦点的通径半长为二，因此5=2c由2=a2-c2代入得a2-c2=2ac两边同除以a并设离心率 e=二e(0,,得1-e2=2e→e+2e-1=0.解得e=2-1(负根-1-2己舍去). 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.设抛物线y2=2px(p>O)的焦点为F.点M在y轴上，若线段FM的中点B在抛物线上，且点B到抛物 线准线的距离为3 ,则点M的坐标为( 4 A.(0,-1) B.(0,-2) C.(0,2) D.(0,1) 【答案】BC y 【解析】设M(O,y),易知F 30 则引 如图所示 则8号号9，p=5龙物线方程为-2.且 y=士2.故选BC 10如图：已知双曲线C等长-a>06>0的左、右焦点分别为F-,Fc0,P为双值线C上 在第一象限内的一点，直线PF与y轴相交于点Q,△PQF,为正三角形，则() A双曲线C的渐近线方程为y=±V -x 2 B.双曲线C的离心率为V3 C若点M(6,-⑥在双曲线C上，则双曲线C的方程为号上 361 D.若点M(√6，-√6)在双曲线C上，则点Q的坐标为(0，V3) 【答案】BCD 【解析】A项，B项，△PQE为正三角形→P2=PF,由双曲线定义，P℉-PF,=2a,所以QE=2a, 因为点Q在y轴上，所以QF=QE=2a,即△P2F的边长为2a,所以PQ=2a,故2为PE的中点， 又0为F3中点，所以00-P明-a,在△00R中，00+0F-Q,即d+c2=4d,所以离心 率e后5，将近线斜率为-名店-。2-g1-15,近线方程为y山，板A 项错误，B项正确： C顶点6-6在双面线C上，则9=，结合名，解得a=5,=6,即双自线C a 的方程为上-1，故C项正确： 36 D项，由前面的求解过程知Q(0,),若点M(6,-V6)在双曲线C上，则a=√3，即Q0,V5),故D项 正确： 4+石=10<b<2)的左、右焦点分别为，R,过点E的直线1交椭圆于A,B两点若 11.己知椭圆x+ AP+BF的最大值为5，则() A.椭圆的短轴长为23 B.当AF+BF最大时，AF=BF C离心率为3 D.AB的最小值为3 【答案】ABD 【解析】由题意知a=2,所以BF+AF+AB=4a=8.因为AP+BF的最大值为5，所以AB的最 小值为3，故D正确当且仅当AB⊥x轴时，AB取得最小值，此时AE=BF引，故B正确由B的分析， 3 不妨令A-c, ,将点A的坐标代入椭圆方程，得S+9 6-1又6-6=4-，所以4-B9 446=1, 解得b=√5，所以椭圆的短轴长为2√5，故A正确，易得c=1,所以e=C-,故C错误选ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 云-6>0)的离心率为5，则该双由线的渐近线方程为 12.已知双曲线￥-y 2 【答案】y= 2 【折】限超忘，发线号-若>0的清心率为怎，所以台5，所以6=5，由。=心- 1,所以双曲线方程为一y1,因此该双曲线的渐近线为】 2 13.已知O为坐标原点，抛物线C:y2=8x上一点A到焦点F的距离为6，若P为抛物线C的准线上的动 点，则PO+PA的最小值为 【答案】4wW6 【解析】抛物线C:y2=8x的准线方程为x=-2,点A到焦点F的距离为6，则A(4,±4v√2)，原点O关于准 线的对称点B(-4,0),则PO+PA=PB+PA≥AB=4V6,当且仅当点P在AB与准线的交点处时取得等号， 所以PO+PA的最小值为4W6 圆C{+F1a>h>0,C的上顶点为4，两个焦点为H,R,离心率为R眶 的直线与C交于D,E两点，IDE=6,则△ADE的周长是 【答案】13 【解】如图，连接1，D,队，因为C的离心率为分所以后分所以a=立，所以=日--女，因为 A=AE=a=2c=F引，所以△AEE为等边三角形，又DB⊥AE,所以直线 DE为线段AE的垂直平分线，所以|AD=D,|AE=EE引，且∠ERE=30°，所 以直线0e的方程为y=9c:-0,代入能周c的力程若+安 DV.F:0 13x2+8cx-32c2=0.设D(5,）,则E(5,),则，1+x3= 8c 135= 32c2 13 ,所 以+-可-答 倍6：解得 8,所以a=2c1 ,所以△ADE的周长为AD+|AE|+|DE=|DE引+|E+|DE=4a=13 4 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 53分)已知R,R分别是双曲线B{a>0.6>0)的左、石焦点，P是双曲线上一点，飞到 项点的距离等于它到渐近线距离的2倍. (I)求双曲线的渐近线方程： (Ⅱ)当∠EPE=60°时，△PFE的面积为485，求此双曲线的方程. 解：(1)由题易得，双曲线的渐近线方程为x士=0，则点乃到渐近线的距离为1c±0=b(其中c是双曲线的半 Vb2+a 焦距)，所以由题意知c+a=2b,因为d+B=c2,所以b=a,故所求双曲线的渐近线方程是4x士3y=0 (2)因为∠RPE=60°，所以由余弦定理得P+PF-2PPF引cos60°=FE,即PP+PEP-PPE=4c2 ①，由双曲线的定义得，‖P耳|-|PF作2a,平方得，Pr+P-2PP引=4a②， @-②得，PRPR女-44，根据三角形的面积公式得SPPR血60文4==48B 所以=48，由4)中b=a得=2b=27,故所求双曲线方程是二1 16 2748 16（15分)已知精园：等+芳-a>6>0的-个顶点为4)，焦距为5 (I)求椭圆E的方程； (Ⅱ)过点P(-2,1)作斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B,C,直线AB,AC分别与x轴交于点M, N.当W=2时，求k的值 b=1 a=2 解：()依题意可知2c-25,·符b=1,故椭圆E的方程为片+少=1 a=b+c c=5 y-1=k(x+2) 迪题可知直线8C的方程为y-1=+2),设B(,),C(5,乃小，联立直线BC和椭圆E的方程，得+少三 整理得(4K+1)x2+16k2+8k)x+16R+16k=0,+5= 16k2+8k, 16k2+16k 4h2+1,5= 4h2+1，由4>0得k<0, 易知直线A8的斜率K=上二，直线AB的方程为y=当 x+1,令y=0,可得点M的横坐标w1 一，同理可 得点N的横坐标xw=,N- X Γ1-y2 1-1 1-为-k(x+2)-k(x3+2) 5-1.5(+2)-(s+212+x-43 5+2+2厂k5+2(5+七)+4kx+2(6+x2)+4 16k2+8k) -4x16k2+16 64(2k2+k)-4×16(k2+k)1+4k2 1+4k2 1+4k2 （1+4k2)2 =2,得k=-4 16k2+16k +2 -16k2-8 16k2+16k,-32k2-16k,4+16k2 +4 1+4k2 1+4k2 1+4k2 1+4k2 1+4k2 故k的值为-4. 17.(15分)己知抛物线C:y2=2px(p>)上的点P(x,1)到其焦点F的距离为 4 (I)求抛物线C的方程： (Ⅱ)点E(,4)在抛物线C上，过点D(0,2)的直线1与抛物线C交于A(x,),B(x,y)>0>0)两 点，点H与点A关于x轴对称，直线AH分别与直线OE,OB交于点M,N(O为坐标原点)，求 证：|AM曰MNI 解：(1D由点P(x)在抛物线上可得，P=2Px,解得)由抛物线的定义可得 5叶飞+号)号-子整理得2p-5p+2=0,解得p=2或p（舍去) 22p24 故抛物线C的方程为y2=4x (2)由E(t,4在抛物线C上可得4=4t,解得t=4,所以E(4,4),直线OE的方程为y=x. 易知H(x,-片)，x,x,均不为0.由题意知直线1的斜率存在且大于0，设直线1的方程为y=x+2(k>0), 联立得y=x+2 之，消去y得+(-x+4-0则△=4-0-16=16-32>0，得0<k< 1 4-4k 所以x+x= 2”x号由直线OE的方程为y=x,得M(x,) 易知直线OB的方程为，故N 数形结合可知，要证|AMFN,即证2yw=片+w 即证业+乃=2x,即证巧+xy=2xx,即(2k-2)x+2(:+为)=0， x4+8-8=0,此等式显然成立，所以AMMW 则(2k-2)×F+ k2 1817分)己知精圆C号芳=>69的离心半为44分别为格圆c的左，右顶点，系、R分别为 椭圆C的左、右焦点，4引=6. (I)求椭圆C的方程； (Ⅱ)设与x轴不垂直的直线1交椭圆C于P、2两点(P、2在x轴的两侧)，记直线AP,AP,A,Q,A2的斜 率 分别为k,k,k,k4 (i)求kk的值： (团)若+志-k+店，问直线2是否过定点，若过定点，求出定点：若不过定点，说明理出 解：（①）由于椭圆c号+片-1(a>b>0)的离心率为分，故8，又4=a+c=6,所以 a=4c=26=d-c=12,所以椭圆c的方程为是+兰-1. 1612 (2)()设1与x轴交点为D,由于直线1交椭圆C于P、2两点(P、2在x轴的两侧)故直线l的的斜率不 x=ty +n 为0，直线1的方程为x=+,联立三+二-1则(3x+4r+6+3-8=0,则△=12r-r+16>0, 1612 设P(5,),(5,,则+为=6 32a=48,又A-4,0),4(4,0) 3t2+4 做转多月 31 3 (i)由(i)得k=x4=4· 因为6女6+.则底店+导垫+)又直线交与轴不重直可得上+名0， 所以站=于 ·博-易所以，4之品o-8w4e--到-0， 于是9r2+20)5+9z(m-4y+y)+90m-④=0，(9r+2049rm-4)3+490M-0=0 整理得m2-3m-4-0,解得m=-1或m=4,因为卫2在x轴的两侧，所以=3m48<0,4<m<4, 3t2+4 又m=-1时，直线1：x=y-1与椭圆C有两个不同交点，因此m=-1,直线l恒过点D(-1,0). 19.（17分)已知圆E:(x-a2+y2=4(a>0)和抛物线C:y2=2px(p>0),F为C的焦点，点P(x,)是抛物 线C上的动点，当x。=y。≠0时，PF=5,过动点P作圆E的两条切线，切点分别为M、W (I)求抛物线C的标准方程； (Ⅱ)当a=4时，求cos∠MPN的最小值. (Ⅲ)设直线PM、PN分别交C于另两点A、B,是否存在实数a,使得当点P在C上运动时，直线AB 总与圆E相切？若存在，请求出α的值；若不存在，请说明理由. 解：(1)由抛物线C:y2=2xp>0)的焦点坐标为F(号，0)，因为点P(,)是抛物线C上的动点，当=%≠0 yo=2pxo 6=2p% 时，PF=5,可得 2 {+号-5解得P=2,所以抛物线C的标准方程为y广=4x +-5即 2 (2)当a=4时，圆E的方程为(x-4)2+y2=4,可得圆E的圆心为E(4,0),半径为r=2,因为点P(x,)是 抛物线C上的动点，可得y=2Px。,过点P作圆E的切线，切点为M,N,则∠MPN=2∠MPE,其中∠MPE 为切线与P的夹角，在角△BP中，可得n∠PE微-所以osZN=1-2sm∠PE=-8 EP2, 又由EP=(。-42+=(。-42+4x=x-4x。+16,当0=2时，EP=22-4×2+16=12, 所以as∠MPN前最小值为I一吕-； (3)假设存在实数a满足题设中的条件，当点P与坐标原点重合时，设切线PM,PW的斜率分别为 y=c,y=-(k≠0)，则圆心E(a,O)到直线PM的距离为 =2，可得发=子产g将y=y=c代入抛 V1+k2 物线C:=,可得会急是急，则直线48的方程为：=是，由直线B与圆E相切，可得是-2， 4 k2-a =2 联立方程组 解得a=3(负值舍去)；下面证明：当a=3时，对于抛物线C上任意一点P,直 0-4 线AB与圆E相切，设点P(,,4( B达，)，则直线PA的方程为0少-%4-)=G-)x 4 4 44 即4x-(y+)y+yy=0,同理可得，直线PB的方程为4x-(2+)y+yy2=0,所以直线AB的方程为 4x-(y2+y)y+y2y=0,因为直线PA与圆E相切，则 12+%y。=2,即-4X+16X+80-46=0, 16+(0y,+y)2 同理可得，直线PB与圆E相切，可得(y-4)y2+16y2+80-4y后=0，则，2为方程 06-4y+16,+80-4=0的两个不等的实数根，则y+5=-16。 24片y气$04X，点E到直线AB的距离 为 2+y1206-4)+80-46-806+-2,所以直线AB与圆E相切， V16+☑+y2)2V16-4)2+16y)2 40y+4) 综上可得，存在a=3,使得当点P在曲线C上运动时，直线AB与圆E相切， E2026年秋季学期高二数学单元测试卷 答题 卡 扫描关注错题 班级 姓名 学校 考场号 注意事项 准考证号 1.答题前请将姓名、班级、考场、座号和准考证号 填写清楚。 0 0 0 0 0 1 2.客观题答题，必须使用2B铅笔填涂，修改时用橡皮 [1 [1] 2 [2 2] 21 [2 擦干净。 3] 3 [3 3.主观题必须使用黑色签字笔书写。 41 41 4] [4 [4 4.必须在题号对应的答题区域内作答，超出答题区 5 [5] 5] [5 [5] 域书写无效。 [6 6 61 5.保持答卷清洁完整 7 7 7 7 81 [8 [8 81 8 [8 [9] [9] [9] [9] [9] 9] [9] [9] 正确填涂■ 错误填涂碰兰 力XIO刀 考生禁填 (由蓝考老师填涂 缺考☐ 违规☐ 、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1 IAI IBI [CI ID] 5 IAI IBI ICI ID] 2 IAI IB]ICI ID] 6【A]IB][CI [D] 3 [A]IBI ICI IDI 7 [A]IBI ICI ID] 4 IA]IBI ICI ID] 8 [A]IBI ICI ID] 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分： 9 [A]IBI ICI IDI 10 IA]IBI ICI ID] 11 [A]IB]ICI [D] 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12 13 14 请勿在此区域作答或 者做任何标记 请在各题目的作答区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 第1页共6页 请在各题目的作答区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 四、解答题：本题共5小题，共77分.请写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤 15.(13分) 请在各题目的作答区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 第2页共6页 请在各题目的作答区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 16.(15分) 请在各题目的作答区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 第3页共6页 ■ 请保持答题卡干净整洁，不要污损 请在各题目的作答区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 17.(15分) 请在各题目的作答区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 第4页共6页 请在各题目的作答区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 18.(17分) 请在各题目的作答区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 第5页共6页 请在各题目的作答区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 19.(17分) 请在各题目的作答区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 第6页共6页 2026年秋季学期高二数学单元测试卷 选择性必修第一册第三章 圆锥曲线的方程 考生注意： 1．满分150分，考试时间120分钟． 2．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 3．本卷命题范围：选择性必修第一册第三章 圆锥曲线的方程． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.若P是椭圆上一点，，是该椭圆的两个焦点，且，则( ) A.1 B.3 C.5 D.9 【答案】A 【解析】由椭圆方程变形得，所以椭圆长半轴的长为4.由椭圆的定义可得.又，所以.故选A. 2.双曲线的一条渐近线方程为，则其离心率为( ) A.3 B. C. D.5 【答案】A 【解析】双曲线的一条有近线方程为，可得， .故选：A. 3.若抛物线上的点到该抛物线焦点的距离为3，则抛物线的方程是( ). A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由题意知，则准线为，点到焦点的距离等于其到准线的距离，即，，则.故选B. 4.若椭圆的焦距为，则实数n等于( ) A. B.1 C.6 D.3 【答案】D 【解析】依题意，，所以，因此当椭圆焦点在x轴上时，有，解得；当椭圆焦点在y轴上时，有，解得，不合题意，舍去.故实数n等于3. 5.已知左，右焦点分别为，的双曲线上一点P到左焦点的距离为6，点O为坐标原点，点M为的中点，若，则双曲线C的渐近线方程为( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由，根据三角形的中位线得，点P在双曲线左支上，故，，得双曲线的方程为，双曲线C的渐近线方程为，故答案选：D. 6.已知P是双曲线的右支上一点，M,N分别是圆和上的点，则的最大值为( ) A.6 B.8 C.9 D.7 【答案】C 【解析】设双曲线的两个焦点分别是与,则这两点正好是两圆的圆心，当且仅当点P与M,三点共线（M为的延长线与圆的交点）及P与N,三点共线（N为线段与圆的交点）时，所求的值最大，此时，故选C. 7.我们把短边与长边之比为的矩形称为黄金分割矩形，黄金分割矩形看起来比较“和谐”，日常生活中的矩形用品(如书本、课桌、衣柜等)和建筑物中的一些矩形结构(如窗户、房间等)，都常设计成黄金分割的样式，若一面积为的黄金分割矩形一条短边的两个顶点在抛物线的准线上，另一条短边的中点为抛物线C的焦点F，则该黄金分割矩形与抛物线C的一个交点到F的距离为( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】设矩形长边为x， 短边为y， 由题意得， 解得，， 由题可知 ， 则抛物线方程为， 焦点 F为， 根据对称性， 不妨设矩形的一条边 与抛物线交 于A 点， 代入 得， 则点A 到抛物线焦点F的距离为 8.已知椭圆：（）与抛物线：（）有相同的焦点，椭圆与抛物线 在第一象限交于点，轴，则椭圆的离心率等于（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意，抛物线的焦点为，则.抛物线方程为.因为轴且点在第一象限，所以点的横坐标为.将代入抛物线方程得，故.又点在椭圆上，且椭圆过焦点的通径半长为，因此.由代入得.两边同除以并设离心率，得.解得（负根已舍去）. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.设抛物线的焦点为F.点M在y轴上，若线段FM的中点B在抛物线上，且点B到抛物线准线的距离为，则点M的坐标为( ) A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】设，易知，则，如图所示. 则，.抛物线方程为，且，又B在抛物线上，，因此，解得.故选BC. 10.如图，已知双曲线的左、右焦点分别为，，P为双曲线C上在第一象限内的一点，直线与y轴相交于点Q，为正三角形，则( ) A.双曲线C的渐近线方程为 B.双曲线C的离心率为 C.若点在双曲线C上，则双曲线C的方程为 D.若点在双曲线C上，则点Q的坐标为 【答案】BCD 【解析】A项，B项，为正三角形，由双曲线定义，，所以，因为点Q在y轴上，所以，即的边长为2a，所以，故Q为的中点，又O为中点，所以，在中，，即，所以离心率，渐近线斜率为，渐近线方程为，故A项错误，B项正确； C项，点在双曲线C上，则，结合，解得，，即双曲线C的方程为，故C项正确； D项，由前面的求解过程知，若点在双曲线C上，则，即，故D项正确. 11.已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线l交椭圆于A，B两点.若的最大值为5，则( ) A.椭圆的短轴长为 B.当最大时， C.离心率为 D.的最小值为3 【答案】ABD 【解析】由题意知，所以.因为的最大值为5，所以的最小值为3，故D正确.当且仅当轴时，取得最小值，此时，故B正确.由B的分析，不妨令，将点A的坐标代入椭圆方程，得.又，所以，解得，所以椭圆的短轴长为，故A正确.易得，所以，故C错误.选ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12.已知双曲线的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为_________. 【答案】 【解析】根据题意，双曲线的离心率为，所以，所以，由，得，所以双曲线方程为，因此该双曲线的渐近线为. 13.已知O为坐标原点，抛物线上一点A到焦点F的距离为6，若P为抛物线C的准线上的动点，则的最小值为__________. 【答案】 【解析】抛物线的准线方程为，点A到焦点F的距离为6，则，原点O关于准线的对称点，则，当且仅当点P在AB与准线的交点处时取得等号，所以的最小值为. 14.已知椭圆，C的上顶点为A，两个焦点为，，离心率为.过且垂直于 的直线与C交于D，E两点，，则的周长是__________. 【答案】13 【解析】如图，连接，，，因为C的离心率为，所以，所以，所以.因为，所以为等边三角形，又，所以直线DE为线段的垂直平分线，所以，，且，所以直线DE的方程为，代入椭圆C的方程，得.设，则，则，，所以，解得，所以，所以的周长为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15.（13分）已知，分别是双曲线的左、右焦点，P是双曲线上一点，到左 顶点的距离等于它到渐近线距离的2倍. （Ⅰ）求双曲线的渐近线方程； （Ⅱ）当时，的面积为，求此双曲线的方程. 解：（1）由题易得，双曲线的渐近线方程为，则点到渐近线的距离为（其中c是双曲线的半焦距），所以由题意知，因为，所以，故所求双曲线的渐近线方程是. （2）因为，所以由余弦定理得，即①，由双曲线的定义得，，平方得，②， ①-②得，，根据三角形的面积公式得， 所以，由（1）中得，故所求双曲线方程是. 16.（15分）已知椭圆的一个顶点为，焦距为. （Ⅰ）求椭圆E的方程； （Ⅱ）过点作斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与x轴交于点M，N.当时，求k的值. 解：（Ⅰ）依题意可知，得，故椭圆E的方程为. （Ⅱ）由题可知直线BC的方程为，设，，联立直线BC和椭圆E的方程，得， 整理得，，，由得， 易知直线AB的斜率，直线AB的方程为，令，可得点M的横坐标，同理可得点N的横坐标. ，得. 故k的值为-4. 17.（15分）已知抛物线上的点到其焦点F的距离为. （Ⅰ）求抛物线C的方程； （Ⅱ）点在抛物线C上，过点的直线l与抛物线C交于，两点，点H与点A关于x轴对称，直线AH分别与直线OE，OB交于点M，N（O为坐标原点），求证：. 解：（1）由点在抛物线上可得，，解得.由抛物线的定义可得，整理得，解得或（舍去）. 故抛物线C的方程为. （2）由在抛物线C上可得，解得，所以，直线OE的方程为. 易知，，均不为0.由题意知直线l的斜率存在且大于0，设直线l的方程为， 联立得，消去y得.则，得， 所以，.由直线OE的方程为，得. 易知直线OB的方程为，故.数形结合可知，要证，即证， 即证，即证，即， 则，此等式显然成立，所以. 18.（17分）已知椭圆的离心率为分别为椭圆的左､右顶点，､分别为椭圆的左､右焦点，. (Ⅰ)求椭圆的方程； (Ⅱ)设与轴不垂直的直线交椭圆于两点（在轴的两侧），记直线，的斜率 分别为. （i）求的值； （ii）若，问直线是否过定点，若过定点，求出定点；若不过定点，说明理由. 解：（1）由于椭圆的离心率为，故，又，所以，所以椭圆的方程为. （2）（i）设与轴交点为，由于直线交椭圆C于两点（在轴的两侧）故直线的的斜率不为0，直线的方程为，联立，则，则 设，则，又 故， （ii）由（i）得. 因为，则.又直线交与轴不垂直可得，所以，即所以， 于是 整理得，解得或，因为在轴的两侧，所以， 又时，直线与椭圆有两个不同交点，因此，直线恒过点. 19.（17分）已知圆和抛物线，F为C的焦点，点是抛物线上的动点，当时，，过动点P作圆E的两条切线，切点分别为M、N． (Ⅰ)求抛物线的标准方程； (Ⅱ)当时，求的最小值． (Ⅲ)设直线PM、PN分别交C于另两点A、B，是否存在实数，使得当点P在C上运动时，直线AB总与圆E相切？若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由． 解：（1）由抛物线的焦点坐标为，因为点是抛物线C上的动点，当时，，可得，即，解得，所以抛物线的标准方程为. （2）当时，圆的方程为，可得圆的圆心为，半径为，因为点是抛物线上的动点，可得，过点作圆的切线，切点为，则，其中为切线与的夹角，在直角中，可得，所以， 又由，当时，， 所以的最小值为. （3）假设存在实数满足题设中的条件，当点与坐标原点重合时，设切线的斜率分别为，则圆心到直线的距离为，可得，将代入抛物线，可得，则直线的方程为，由直线与圆相切，可得， 联立方程组，解得（负值舍去）；下面证明：当时，对于抛物线上任意一点，直线与圆相切，设点，则直线的方程为， 即，同理可得，直线的方程为，所以直线的方程为，因为直线与圆相切，则，即， 同理可得，直线与圆相切，可得，则为方程的两个不等的实数根，则，点到直线的距离为，所以直线与圆相切， 综上可得，存在，使得当点在曲线上运动时，直线与圆相切. 学科网（北京）股份有限公司 $2026年秋季学期高二数学单元测试卷 选择性必修第一册第三章圆锥曲线的方程 考生注意： 1.满分150分，考试时间120分钟. 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答 案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区 域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 3.本卷命题范围：选择性必修第一册第三章圆锥曲线的方程 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的. 1,若P是椭圆+上=1上一点，F,E是该椭圆的两个焦点，且P=7,则PF() 164 A.1 B.3 C.5 D.9 2双曲线。】 a 6=1(a>0,b>0)的-条渐近线方程为y=2V2x,则其离心率为() A.3 B.3 c.5 D.5 3.若抛物线y2=2x上的点M(2,%)到该抛物线焦点的距离为3，则抛物线的方程是( ) A.y=2x B.y2=4x C.y2=-2x D.y2=-4x 4,若椭圆+y=1的焦距为4V2,则实数n等于( 3n 1 B.1 C.6 D.3 5.已知左，右焦点分别为B,五的双曲线C:S二=1a>0)上一点P到左焦点B的距离为6，点O为坐 a216 标原点，点M为PF的中点，若OM=5,则双曲线C的渐近线方程为( ,4 A.y=±x B.y=士-x C.y=±4x D.y=±2x 3 6.已知P是双曲线兰-1的右支上一点，MN分别是圆c++y=4和K-+y-1上的点，则 916 IPM-|PNI的最大值为( A.6 B.8 C.9 D.7 7.我们把短边与长边之比为5的矩形称为黄金分制矩形，黄金分割矩形看起来比较“和谐”，日常生活中 2 的矩形用品（如书本、课桌、衣柜等）和建筑物中的一些矩形结构（如窗户、房间等），都常设计成黄金分割 第1页（共4页） 的样式，若一面积为2√5-2的黄金分割矩形一条短边的两个顶点在抛物线C:y2=2x(p>0)的准线上， 另一条短边的中点为抛物线C的焦点F,则该黄金分割矩形与抛物线C的一个交点到F的距离为( A.5 B.5-1 c3-5 D.1-V5 8 8卫知椭圆C:号+片=1(a>h>0)与抛物线E:y=2px(p>0)有相同的焦点F,椭圆C与抛物线E在 第一象限交于点P,P℉⊥x轴，则椭圆C的离心率等于() A号 B.√2-1 C.1-2 D.2-1 2 2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.设抛物线y2=2Px(p>O)的焦点为F.点M在y轴上，若线段FM的中点B在抛物线上，且点B到抛物线 准线的距离为3V ,则点M的坐标为( ) A.(0,-1) B.(0,-2) C.(0,2) D.(0,1) 10如图，已知双曲线C等若-a>0>0的左、右焦点分别为Re,0,RC0,P为双线c上在 第一象限内的一点，直线PF与y轴相交于点Q,△PQF为正三角形，则( ) A双曲线C的渐近线方程为y=士2 B.双曲线C的离心率为√3 C若点6,6在双重线c上，则双重线C的方释为兮若」 D.若点M(√6，-√6)在双曲线C上，则点Q的坐标为(0，√3) 1已知椭圆写+茶-10<6<②)的左、右焦点分别为，内，过点K的直线1交箱园于A,B两点若 AF+BF的最大值为5，则( A.椭圆的短轴长为2√5 B.当AF+BF,最大时，AF=|BF C离心率为⑤ D.AB的最小值为3 第2页（共4页） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分， 12已知双山线号若=16>0)的高心本为5。则该双自线的清近线方程为 13.已知O为坐标原点，抛物线C:y=8x上一点A到焦点F的距离为6，若P为抛物线C的准线上的动点， 则PO+PA的最小值为 4,已知椭圆c:×+茶a>b>0,C的上顶点为A,两个焦点为A,乃，离心率为过R且垂直于A 直线与C交于D,E两点，IDE=6,则△ADE的周长是 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 5,(13分)已知R,R分别是双曲线E:X片1a>≥0b>0的左、右焦点，P是双曲线上一点，K到左 顶点的距离等于它到渐近线距离的2倍. (I)求双曲线的渐近线方程： (Ⅱ)当∠EPE=60°时，△PFE的面积为483，求此双曲线的方程. 16(15分）已知椭园8若云-a>60的一个顶点为400，焦距为25 (I)求椭圆E的方程； (Ⅱ)过点P(-2,1)作斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B,C,直线AB,AC分别与x轴交于点M, N当MW=2时，求k的值 7.(15分)已知抛物线Cy=2pp>D上的点P(,)到其焦点F的距离为 (I)求抛物线C的方程： (Ⅱ)点E(t,4)在抛物线C上，过点D(0,2)的直线1与抛物线C交于A(x,y),B(x2,y)>0,y2>0)两点， 点H与点A关于x轴对称，直线AH分别与直线OE,OB交于点M,W(O为坐标原点)，求证：|AM=N. 第3页（共4页) 18（17分)已知椭园C:苦+卡=(a>60的离心率为；44分别为椭圆c的左.右顶点，天、只分别为椭园 C的左、右焦点，4=6. (I)求椭圆C的方程； (Ⅱ)设与x轴不垂直的直线I交椭圆C于P、2两点(P、Q在x轴的两侧)，记直线AP,A,P,A2,AQ的斜率分 别为k,k,k,k4 (i)求kk的值： ()若片+k,-k+店)，问直线2是否过定点，若过定点，求出定点：若不过定点，说明理由 19.（17分)已知圆E:(x-a+y2=4(a>0)和抛物线C:y2=2px(p>0),F为C的焦点，点P(x,%)是抛物线C 上的动点，当x=≠0时，PF=5,过动点P作圆E的两条切线，切点分别为M、N. (I)求抛物线C的标准方程： (I)当a=4时，求cos∠MPN的最小值. (Ⅲ)设直线PM、PN分别交C于另两点A、B,是否存在实数a,使得当点P在C上运动时，直线AB总 与圆卫相切？若存在，请求出α的值；若不存在，请说明理由. 第4页（共4页) 2026年秋季学期高二数学单元测试卷 选择性必修第一册第三章 圆锥曲线的方程 考生注意： 1．满分150分，考试时间120分钟． 2．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 3．本卷命题范围：选择性必修第一册第三章 圆锥曲线的方程． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.若P是椭圆上一点，，是该椭圆的两个焦点，且，则( ) A.1 B.3 C.5 D.9 2.双曲线的一条渐近线方程为，则其离心率为( ) A.3 B. C. D.5 3.若抛物线上的点到该抛物线焦点的距离为3，则抛物线的方程是( ). A. B. C. D. 4.若椭圆的焦距为，则实数n等于( ) A. B.1 C.6 D.3 5.已知左，右焦点分别为，的双曲线上一点P到左焦点的距离为6，点O为坐标原点，点M为的中点，若，则双曲线C的渐近线方程为( ) A. B. C. D. 6.已知P是双曲线的右支上一点，M,N分别是圆和上的点，则的最大值为( ) A.6 B.8 C.9 D.7 7.我们把短边与长边之比为的矩形称为黄金分割矩形，黄金分割矩形看起来比较“和谐”，日常生活中的矩形用品(如书本、课桌、衣柜等)和建筑物中的一些矩形结构(如窗户、房间等)，都常设计成黄金分割的样式，若一面积为的黄金分割矩形一条短边的两个顶点在抛物线的准线上，另一条短边的中点为抛物线C的焦点F，则该黄金分割矩形与抛物线C的一个交点到F的距离为( ) A. B. C. D. 8.已知椭圆：（）与抛物线：（）有相同的焦点，椭圆与抛物线 在第一象限交于点，轴，则椭圆的离心率等于（      ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.设抛物线的焦点为F.点M在y轴上，若线段FM的中点B在抛物线上，且点B到抛物线准线的距离为，则点M的坐标为( ) A. B. C. D. 10.如图，已知双曲线的左、右焦点分别为，，P为双曲线C上在第一象限内的一点，直线与y轴相交于点Q，为正三角形，则( ) A.双曲线C的渐近线方程为 B.双曲线C的离心率为 C.若点在双曲线C上，则双曲线C的方程为 D.若点在双曲线C上，则点Q的坐标为 11.已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线l交椭圆于A，B两点.若的最大值为5，则( ) A.椭圆的短轴长为 B.当最大时， C.离心率为 D.的最小值为3 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12.已知双曲线的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为_________. 13.已知O为坐标原点，抛物线上一点A到焦点F的距离为6，若P为抛物线C的准线上的动点，则的最小值为__________. 14.已知椭圆，C的上顶点为A，两个焦点为，，离心率为.过且垂直于 的直线与C交于D，E两点，，则的周长是__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15.（13分）已知，分别是双曲线的左、右焦点，P是双曲线上一点，到左 顶点的距离等于它到渐近线距离的2倍. （Ⅰ）求双曲线的渐近线方程； （Ⅱ）当时，的面积为，求此双曲线的方程. 16.（15分）已知椭圆的一个顶点为，焦距为. （Ⅰ）求椭圆E的方程； （Ⅱ）过点作斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与x轴交于点M，N.当时，求k的值. 17.（15分）已知抛物线上的点到其焦点F的距离为. （Ⅰ）求抛物线C的方程； （Ⅱ）点在抛物线C上，过点的直线l与抛物线C交于，两点，点H与点A关于x轴对称，直线AH分别与直线OE，OB交于点M，N（O为坐标原点），求证：. 18.（17分）已知椭圆的离心率为分别为椭圆的左､右顶点，､分别为椭圆的左､右焦点，. (Ⅰ)求椭圆的方程； (Ⅱ)设与轴不垂直的直线交椭圆于两点（在轴的两侧），记直线，的斜率分别为. （i）求的值； （ii）若，问直线是否过定点，若过定点，求出定点；若不过定点，说明理由. 19.（17分）已知圆和抛物线，F为C的焦点，点是抛物线上的动点，当时，，过动点P作圆E的两条切线，切点分别为M、N． (Ⅰ)求抛物线的标准方程； (Ⅱ)当时，求的最小值． (Ⅲ)设直线PM、PN分别交C于另两点A、B，是否存在实数，使得当点P在C上运动时，直线AB总与圆E相切？若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由． 第 1 页 （共 4 页） 学科网（北京）股份有限公司 $2026年秋季学期高二数学单元测试卷 选择性必修第一册第三章圆锥曲线的方程 考生注意： 1.满分150分，考试时间120分钟. 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上，选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的 答案标号涂黑：非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答 题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 3.本卷命题范围：选择性必修第一册第三章圆锥曲线的方程 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的. 1,若P是椭圆+上-1上一点，F,B,是该椭圆的两个焦点，且P=7,则PF=() 164 A.1 B.3 C.5 D.9 2双曲线 ) a 。=1(a>0,6>0)的一条渐近线方程为y=22x,则其离心率为灯( A.3 B.3 c.5 D.5 3.若抛物线y2=2x上的点M(2,为)到该抛物线焦点的距离为3，则抛物线的方程是(). A.y=2x B.y2=4x C.y2=-2x D.y2=-4x 4,若椭圆+y=1的焦距为4V2,则实数n等于( 3n B.1 c.6 D.3 5.已知左，右焦点分别为，F的双曲线c:二=1>0)上一点P到左焦点天的距离为6，点0O为 a216 坐标原点，点M为PE的中点，若OM=5,则双曲线C的渐近线方程为() 4 A.y=土x B.y=士x C.y=±4x D.y=±2x 3 P是双曲线号1的右支上一点，N分别是圆c++y=4和x-驴+V上的 PM-PWI的最大值为( ) A.6 B.8 C.9 D.7 7我们把短边与长边之比为51的矩形称为黄金分割矩形，黄金分制矩形看起来比较“和谐，日常生 2 活中的矩形用品（如书本、课桌、衣柜等）和建筑物中的一些矩形结构（如窗户、房间等），都常设计成黄 第1页（共4页） 金分割的样式，若一面积为2√5-2的黄金分割矩形一条短边的两个顶点在抛物 线C:y2=2px(p>0)的准线上，另一条短边的中点为抛物线C的焦点F,则该黄 金分割矩形与抛物线C的一个交点到F的距离为() A.√5 B.V5-1 c.35 D.11-V5 8 8 8已知椭圆C:子+号1(a>6>0)与地物线E:广=2m(>0)有相同的焦点P,菊圆C与抛物线E 在第一象限交于点P,PF⊥x轴，则椭圆C的离心率等于() A.9 B.V2-1 C.1-2 D.2-1 2 2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.设抛物线y2=2px(p>O)的焦点为F.点M在y轴上，若线段M的中点B在抛物线上，且点B到抛物 线准线的距离为3V2 则点M的坐标为( A.(0,-1) B.(0,-2) C.(0,2) D.(0,1) D图，已双曲线C名Q>0b>0的左、石焦点分别为(-G0G0,P为双曲线 在第一象限内的一点，直线PE与y轴相交于点Q,△PQF,为正三角形，则( A双曲线C的海近线方程为y=±2， 2 B.双曲线C的离心率为√3 C.若点M(6,-V6)在双曲线C上，则双曲线C的方程为士-上 36 D.若点M(√6，-√6)在双曲线C上，则点Q的坐标为(0，√5) 1已如椭园子会-0<6<)的公、右焦点分别为名，年过点名的直线父精园于4，台两点若 4F+BF的最大值为5，则( A.椭圆的短轴长为2√3 B.当AP+BF最大时，AF=BF 第2页（共4页） C离心率为 3 D.AB的最小值为3 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 2已知双曲线6>的离心率为5 5,则该双曲线的渐近线方程为 13.已知O为坐标原点，抛物线C:y2=8x上一点A到焦点F的距离为6，若P为抛物线C的准线上的动 点，则Po+PA的最小值为 14已知椭圆C若茶=1a>6>0,C的上顶点为4，两个焦点为，系，岗心率为}过压且華直于4识 y 的直线与C交于D,E两点，|DE=6,则△ADE的周长是 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15,(13分)已知，卫分别是双曲线B花a>0.6>0的左、石焦点，P是双面线上一点，g到左 顶点的距离等于它到渐近线距离的2倍. (I)求双曲线的渐近线方程： (Ⅱ)当∠EPE=60°时，△PFE的面积为483，求此双曲线的方程 16（15分)已知椭圆：器若-1a>b>0的一个顶点为0，焦距为25 (I)求椭圆E的方程； (Ⅱ)过点P(-2,1)作斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B,C,直线AB,AC分别与x轴交于点M, N.当MW=2时，求k的值 15分)已知抛物线C:y=2pxp>)上的P(玉，山到其焦点F的距离为 (I)求抛物线C的方程： (Ⅱ)点Et,4)在抛物线C上，过点D(0,2)的直线1与抛物线C交于A(x,),B(x,y)y>0,y>0)两 点，点H与点A关于x轴对称，直线AH分别与直线OE,OB交于点M,N(O为坐标原点)，求 证：|AM=MW. 第3页（共4页） 18(17分)已知椭圆C号+茶=〔a>b>0的高心率为44分别为椭圆c的左，右顶点，、尽分别为 椭圆C的左、右焦点，4=6. (I)求椭圆C的方程； (Ⅱ)设与x轴不垂直的直线1交椭圆C于P、2两点(P、2在x轴的两侧)，记直线AP,AP,A,O,AQ的斜 率分别为k,k,k,k4 (i)求k飞的值： ()若名+k=化+)，问直线阳是否过定点，若过定点，求出定点：若不过定点，说明理由 19.(17分)已知圆E:(x-a)+y2=4(a>0)和抛物线C:y2=2px(p>0),F为C的焦点，点P()是抛物 线C上的动点，当x=≠0时，PF=5,过动点P作圆E的两条切线，切点分别为M、N. (I)求抛物线C的标准方程： (Ⅱ)当a=4时，求cos∠MPN的最小值. (Ⅲ)设直线PM、PN分别交C于另两点A、B,是否存在实数a,使得当点P在C上运动时，直线AB 总与圆E相切？若存在，请求出α的值；若不存在，请说明理由. 第4页（共4页）