导数的切线:在点处与过点处学案-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

导数的切线：在点处与过点处 人教 A 版选择性必修第二册 · 一元函数的导数及其应用 拿到切线题，先问三件事：切点在哪？斜率从哪来？这条线要不要过某个指定的点？ 三问的答案决定写法。切点坐标给了，算出 与 ，代点斜式，两行收工；只给了「过某点」，那个点多半不是切点，得把切点设成 ，再让切线经过它；两条曲线共用一条切线，两个切点都要设，还要保证落在同一条直线上。失分集中的地方从来不在求导，而在第一步——把「经过的点」当成了「切点」。 一、切点没算，斜率白算 1. 求函数 的图象在点 处的切线方程。作业本上有这样一份解答： 所以切线方程是 。 请指出这份解答缺了哪一步，并写出正确的切线方程。 解析 求导没错，斜率 也对，问题在最后一行： 是一条过原点的直线，而切点是 。把 代进 ，得到 ，不是 。这条直线连切点都没经过，谈不上相切。 漏掉的是切点的纵坐标。点斜式 里有四个量，、 都拿到了， 还得单独算一次： 于是 同样的斜率，截距从 变成 。在图上就是整条直线往上平移了三个单位，肉眼一看就知道前一版不对。 自查有两个办法，都不花钱。第一个，把切点横坐标代回切线： 得 ，与 一致。第二个更狠一点，看曲线与切线的差： 这个差在 处为零，离开 之后才攒起来，而且攒得慢： 偏出 ，差只有 ；偏出 ，差才到 。贴一下才分开，这正是相切的意思。 换成错解 ，同样的差是 ， 处它等于 ，不是零，一眼就露。还有一种错法更隐蔽：把斜率算成 ，写出 。这条线正好经过 ，代切点查不出毛病；可曲线在 附近一路往下， 稍偏一点就差出半个单位上下，只有挪一步才抓得住。 要点 「在点处」的切线，切点纵坐标必须单独算一次。求导只给斜率，不给点的位置。写完把 代回去验一遍，几十秒的事。 二、点就在曲线上，也还有第二条 2. 求过点 且与曲线 相切的直线方程。 解析 这个点恰好落在曲线上：。多数人看到这一步就放心了，直接把它当切点，用 算出 ，写下 ，交卷。 确实是一条，但只是两条里的一条。 点可能不是切点，那就老老实实设切点 ，斜率 ，切线写成 它要过 ，代进去： 右边展开是 ，移项整理： 三次方程，先试 ：，是根。用 除下去，得 所以 是二重根，另有一个 。两个不同的切点，两条切线。 ：切点 ，，切线 。 ：切点 ，，切线 两条都验： 时前者给 ，后者给 ，都过 。 为什么会是重根？因为 本身在曲线上，那条「在点处」的切线自动满足条件，它在方程里以重根形式出现。重根只贡献一条直线，所以数条数不能按根的个数数，要按不同切点的个数数。 要点 题面说「过点」，就设切点。哪怕这个点在曲线上，也要先设后解——解出来的根会告诉你一共有几条。只写一条的，通常丢一半分。 三、三条切线对应三个切点 3. 曲线 上一点 ，过 能作三条切线时，求 的取值范围。 解析 设切点 ，斜率 ，切线方程 这条线过 ，代进去： 右边是 ，把含 的项留在左边，整理成关于 的三次方程： 一个切点对应一个 ，也对应一条切线，所以切线条数等于这个方程不同实根的个数。这一步是整道题的关口，很多人到这儿就停住，不知道怎么数根。 把参数挪到等号另一边： 左边记作 。， 的两根是 与 ，函数值 时 ， 升到 ； 时 ，降到 ； 时 ，一路增上去。图象是个「先升、后降、再升」的形状，峰顶 ，谷底 。 方程 的解，就是水平线 与这条曲线的交点。按 落的位置分五种： · ：水平线在谷底下方，只与右边那支相交，一个根，一条切线； · ：水平线在谷底处与曲线相切，又穿过右边那支，两个不同的根，两条切线； · ：水平线穿过谷底到峰顶这一段，左、中、右各交一次，三个根，三条切线； · ：水平线在峰顶相切，两个不同的根，两条切线； · ：只与左边那支相交，一个根，一条切线。 三条切线要 ，即 取个具体的值看看。 时方程是 ，因式分解 三根为 、、，约 、、。三个切点分别落在曲线的下坡、谷底右侧和上坡处，三条切线都从 出发。 端点要单独看。 时 正是极小值， 成了二重根，二重根只给一条切线，另一条来自右边那支，总数是两条而不是三条。 同理。所以答案两端都取不到，写成闭区间，等于把「三条」写成了「两条」。 要点 切线条数等于三次方程不同实根数。把参数移到一边，问题变成「水平线与三次曲线有几个交点」，极大值、极小值就是分界。端点处出现重根，条数会掉，区间必须开。 四、斜率给了，反着用 4. 曲线 在 处的切线斜率为 ，求 的值与切线方程。 解析 ，在 处取 。题目给 ，所以 。 切点纵坐标 ，切点是 ，斜率 ，切线 要点 斜率条件只能定一个参数，定完还得把切线写出来。只答 的，后一半分没了。 五、切线过原点，不等于在原点处相切 5. 曲线 在 处的切线经过坐标原点，求 。 解析 先把两个说法分开：「在 处的切线」说明切点横坐标是 ；「经过原点」只说明这条线过 。原点不是切点，拿它当切点算， 根本不存在。 ，，。 切线：。 过原点，代 ：，得 ，。 回验：，，，切线 ，过 ，斜率与导数一致。 要点 「过某点」是给切线加一个约束，不是给切点。「在 处」这句话才管切点的位置。两句分开读，别并成一句。 六、一条切线，两个条件 6. 若曲线 （，）在点 处的切线为 ，求 与 的值。 解析 ，，。 切线：，即 。 要与 完全重合，斜率与纵截距都得对上： 所以 ，。 只比对斜率是最常见的漏法：写出 得 ， 就悬着。切线是一条直线，一条直线由斜率加一个点确定，两个条件缺一不可。 要点 两条直线是同一条，等价于斜率相等且截距相等。看到「切线为 」这种把式子给全的条件，就去凑这两个等号。 七、公切线要设两个切点 7. 曲线 （）与 有一条斜率为 的公切线，求 的值与公切线方程。 解析 公切线同时是两条曲线的切线，两个切点一般不在同一处。各设一个： 上取 ， 上取 。 先从好算的那条下手。 的导数是 ，斜率 给出 公切线： 再看 。导数 ，在 处等于 ： 切点是 。它必须落在刚才那条线上： 移项得 ，所以 验算不必代小数。，切点是 ；把它代入 的右边，得 ，与纵坐标是同一个式子。两边一致，说明 没算错，也说明切点确实在线上。 要点 公切线的关键词是「同一条直线，两个不同切点」。两个切点分别用各自曲线的导数定斜率，再用「切点在直线上」把两边接起来。把一个点当成两条曲线的公共切点，是这类题最常见的错。 八、截距是坐标，不是距离 8. 曲线 在 （）处的切线在两坐标轴上的截距之和记为 ，求 的最大值。 解析 切点 ，斜率 ，切线 轴截距就是 时的函数值，等于 。它是负数， 时恒负，不能加绝对值。 轴截距令 ：，得 。 求导：。令它为零，，在 里只有 。 时 ， 时 ，所以这里是最大值点： 要是把截距当距离取绝对值，函数变成 ，它随 一直增大，根本没有最大值。从「有没有最大值」就能反推截距该不该取绝对值。 要点 截距是直线与坐标轴交点的坐标，可正可负。题目问「截距之和」，就用带符号的值相加；问「截距的绝对值之和」才是另一回事。 九、拿切线去证不等式 9. 证明对任意 都有 ，并由此比较 与 、 与 的大小。 解析 要证 ，等价于证 。设 时 ， 递增； 时 ， 递减。所以 是最大值点，最大值 于是 ，即 ，等号只在 处取到。 这条不等式的几何意思是：曲线 除了切点 ，整条都在直线 的下方。切线是贴得最紧的那条直线，拿它做放缩，方向不会反。 代 ：。等号要 ，而 ，所以是严格小于。 第二问换个方向。 在 处的切线是 ，同样的道理：设 ，， 处取到最小值 ，所以 代 得 。 两问其实是一件事的两面： 两边取对数就是 ，与第一问同一个结论。 要点 用切线证不等式，先找出「在哪一点切、切完是哪条线」，再证曲线整体落在切线的一侧。取等条件就是切点，答「 处取等」比只写不等号完整。 十、拿到切线题，先分四类 题面给什么 切点怎么定 关键一步 对应 在点处 已给 算 与 第 1 题 过点 设 代 得三次方程 第 2、3 题 斜率为 解 定完参数写切线 第 4 题 切线式全给 由相切定 斜率、截距都要凑 第 5、6、7 题 四类的共同点只有一句：切点落在曲线上，切线经过切点。写成式子就是 与 ，九个题没有一道绕开这两行。 第 2 题值得多说两句。点 在曲线上，直觉上「过它」和「在它处」是一回事，其实不是——过它的切线有两条，一条以它为切点，另一条从别处切过来，只是路过。这类题分值通常不高，漏解的人却很多，原因就是没设切点，直接把已知点当成了切点。 第 8 题栽在绝对值上的也不少。截距为负，在图上就是切线与 轴交在原点下方， 时一直在下方。加绝对值等于把图形翻折上去，函数性质全变，最值自然跟着变。 导数这一章里，切线是最先能用、也最容易被轻视的一块。它不难，但每一步都有现成的检验手段：切点代回切线、切线代回切点、 挪一小步看贴合程度、三次方程数一遍不同实根。四个检验随手做一个，上面这些错法都留不下来。 解三次方程也有省事的次序：先拿 、 试根，试出来就用多项式除法降成二次；试不出来（第 3 题那个带 的方程就是），说明不能硬解，得改成看水平线与曲线的交点。什么时候该解、什么时候该看图，这条界线就是这类题会不会做的分水岭。 — — 学科网（北京）股份有限公司 $导数的切线：在点处与过点处 人教A版选择性必修第二册·一元函数的导数及其应用 考查范围：在点处求切线、过点处求切线、切线条数与参数范围、由斜率或切线方程反求参数、 两曲线的公切线、截距之和、用切线证明不等式。 共9题建议8o分钟独立完成 卷面说明：第1题先指出那份解答缺了哪一步，再写正确的切线：第3题的图只提供位置参考， 结论必须由方程推出；第8题先写出S(t)的表达式，再求最值；第9题两问都要写出取等条 件。各题均要求写出过程。 班级： 姓名： 得分： 一、切点没算，斜率白算 1.求函数f(x=x-3x2+2的图象在点(1，f(1)处的切线方程。作业本上有这样一份解答： f(x)=3x2-6x,f(1)=3-6=-3 所以切线方程是y=-3x。 请指出这份解答缺了哪一步，并写出正确的切线方程。 二、点就在曲线上，也还有第二条 2.求过点(1，-2)且与曲线y=x-3x相切的直线方程。 -1- 三、三条切线对应三个切，点 3.曲线y=x-2上一点P(1,b),过P能作三条切线时，求b的取值范围。 1.0 y=x3-2 P(1,-1.5) 0.5 0.0 -0.5 -1.0 -1.5 -2.0 -2.5 A B X -3.0 -1.0 -0.50.0 0.51.0 1.5 四、斜率给了，反着用 4.曲线y=x+ax在x=1处的切线斜率为4，求a的值与切线方程。 五、切线过原，点，不等于在原点处相切 5.曲线y=alnx+x+2在x=1处的切线经过坐标原点，求a。 2- 六、一条切线，两个条件 6.若曲线y=a-b(a>0,a≠1)在点(0，f(0)处的切线为y=x,求a与b的值。 七、公切线要设两个切点 7.曲线y=ax(a>0)与y=lnx有一条斜率为2的公切线，求a的值与公切线方程。 八、截距是坐标，不是距离 8.曲线y=x3在x=t(t>0)处的切线在两坐标轴上的截距之和记为S(t),求S(t)的最大值。 九、拿切线去证不等式 9.证明对任意x>0都有lnx≤x-1,并由此比较ln1.01与0.01、eo1与1.01的大小。 完成后回头看一眼 交卷前用半分钟过四件事：每条切线写完，把切点横坐标代回去，看等号成不成立；凡是题面说 「过点」的，检查自己有没有把那个点直接当成切点：第3题写的是开区间还是闭区间，端点 上条数会不会少一条；第8题的截距有没有加绝对值。这四处各对应一类错法，一处一处过， 比从头重算省时间。 时间可以这样分：第1、4、6题各五分钟，都是套公式的活：第2、3题各十五分钟，设切点、 解三次方程、数不同实根，慢一点没关系；第7、8题各十分钟，公切线要把两个切点分别写清 -3- 楚；第9题十二分钟，构造函数、求最值那一步写完整。哪一题卡过十分钟，先做后面的，回 头再补。 -4-