导数与不等式导学案-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

导数与不等式 【学习目标】 1.会利用导数作为工具证明不等式，能够利用构造函数，结合放缩法和函数的单调性、最值进行简单证明. 2.掌握一些重要不等式，如：，，等，并能够灵活应用. 3.在“分析、实验、讨论、总结”的探究过程中，感受证明不等式的方法与技巧，领悟数形结合的数学思想. 【学习重难点】 重点：利用导数证明不等式. 难点：构造函数解决不等式问题. 【典例分析】 例1、以下不等式不成立的是（ ） A．， B．， C．， D．， 例2、已知函数f(x)=x2-(a-2)x-aln x(a∈R). (1)求函数y=f(x)的单调区间; (2)当a=1时,证明:对任意的x>0,f(x)+ex>x2+x+2. 解:(1)函数f(x)的定义域是(0,+∞), f'(x)=2x-(a-2)-=, 当a≤0时,f'(x)>0对任意的x∈(0,+∞)恒成立,∴函数f(x)在区间(0,+∞)上单调递增; 当a>0时,由f'(x)>0得x>, 由f'(x)<0,得0<x<, ∴函数f(x)在区间上单调递增,在区间内单调递减. (2)证明:当a=1时,f(x)=x2+x-ln x,要证明f(x)+ex>x2+x+2, 只需证明ex-ln x-2 >0.先证明当x>0时,ex>x+1,令g(x)=ex-x-1(x>0),则g'(x)=ex-1,当x>0时,g'(x)>0,g(x)单调递增, ∴当x>0时,g(x)>g(0)=0, 即ex>x+1, ∴ex-ln x-2>x+1-ln x-2=x-ln x-1. ∴只要证明x-ln x-1≥0(x>0), 令h(x)=x-ln x-1(x>0), 则h'(x)=1-=(x>0), 易知h(x)在(0,1]内单调递减,在[1,+∞)上单调递增,∴h(x)≥h(1)=0, 即x-ln x-1≥0成立, ∴f(x)+ex>x2+x+2成立. 例3、已知函数. （1）求的最小值； （2）若，证明：. （3）证明：. (1) 【解】 由题意,得.由，得；由，得. 则在上单调递减，在上单调递增，故. (2)【证明】 要证，即要证， 即证.设，则. 由（1）可知当时，.由，得，由，得， 则，当且仅当时，等号成立.即. (3)【证明】 要证，即证， 即证.设，则， 由，得，由，得，所以g(x)在(0，e)上递增，在(e,+∞)上递减，则，当且仅当时，等号成立.设，则.由（1）可知当时，.由，得，由，得，则，当且仅当时，等号成立.因为与等号成立的条件不同， 所以，即. 【当堂训练】 1.已知，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． B 【解析】 构造，，则恒成立，则.当时，，；当时，，，所以在单调递增，在单调递减.因为，所以，，C错误； 又，所以，D错误. 因为，所以，， 所以，所以，A错误，B正确. 故选B. 【课后反思】 学科网（北京）股份有限公司 $导数与不等式 【学习目标】 1.会利用导数作为工具证明不等式，能够利用构造函数，结合放缩法和函数的单调性、最值进行 简单证明， 2.掌握一些重要不等式，如：e≥x+1,nx≤x-l,e≥ex等，并能够灵活应用. 3.感受证明不等式的方法与技巧，领悟数形结合的数学思想， 【学习重难点】 重点：利用导数证明不等式.难点：构造函数解决不等式问题. 【典例分析】 例1、以下不等式不成立的是() A.x>sinx, B.x-1≥lnx,x∈(0，+o C.ex-x-1≥0，xeR D.lnx+1-e>0,x∈(0，+o 例2、已知函数f(x)=x2-(a-2)x-alnx(a∈R). (1)求函数y=f(x)的单调区间； (2)当a=1时，证明：对任意的x>0,f(x)+e>x2+x+2. 例3、已知函数f(x)=e-x-1. (1)求f(x)的最小值； (2)若x>0,证明：f(x)≥x2+(e-3)x. (3)证明：fx>e2lnx+x2-3x. 【当堂训练】 l.已知0<x<y<π，且e'sinx=e*siny,则下列结论正确的是() A.cosx+cosy<0 B.cosx+cosy>0 C.e*>e" D.sinx>siny 【课后反思】