5.2.3 简单复合函数的导数导学案-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

该高中数学导学案聚焦简单复合函数的导数，引导学生理解复合函数概念及求导法则，通过衔接基本初等函数导数知识，搭建从基础到复合的学习支架，帮助构建导数应用的知识脉络。 资料以典型例题为载体，涵盖概念辨析、分步求导及实际应用（如弹簧振子、滑雪路程问题），通过归纳求导步骤与注意点，培养学生的数学思维与应用意识，助力系统掌握知识，提升学习效率。

高中数学选择性必修二导学案 第五章 一元函数的导数及其应用 §5.2.3 简单复合函数的导数【导学】 导学目标 1.通了解复合函数的概念．【难点】 2.理解复合函数的求导法则，并能求简单的复合函数的导数．【重点】【难点】 【知识要点】 复合函数的概念 一般地，对于两个函数y＝f (u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f (u)和u＝g(x)的复合函数， 记作:y＝f (g(x)) . 复合函数的求导法则 复合函数y＝f (g(x))的导数和函数y＝f (u)，u＝g(x)的导数间的关系为 y′x＝y′u·u′x; ， 即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积 ． 【归纳复合函数求导的步骤】 归纳三角函数型 函数的求导要求 对三角函数型函数的求导，往往需要利用三角恒等变换公式，对函数式进行化简，再进行求导. 复合函数的求导法则熟悉后，中间步骤可以省略，即不必再写出函数的复合过程，直接运用公式，从外层开始由外到内逐层求导. 归 纳 1． 求复合函数的导数的注意点： ①分解的函数通常为基本初等函数； ②求导时分清是对哪个变量求导； ③计算结果尽量简洁． 2． 和与差的运算法则可以推广： [f (x1)±f (x2)±…±f (xn)]′＝f ′(x1)±f ′(x2)±…±f ′(xn)． 【典型例题】 题型一 复合函数的求导的理解 【例1-1】判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y＝sin(πx)的复合过程是y＝sin u，u＝πx． (　　) (2)f (x)＝ln(3x－1)则f ′(x)＝． (　　) (3)f (x)＝x2cos2x，则f ′(x)＝2xcos2x＋2x2sin2x． (　　) 【例1-2】求函数的导数. 题型二 简单复合函数的导数 【例2-1】（衔接教材P79L6）求下列函数的导数 （1） （2） （3）. 【例2-2】（衔接教材P81L4）求下列函数在给定点处的导数： (1)y＝e-2x＋1在处的导数； (2)y＝ln(5x+2)在x=1处的导数； (3)y＝在x=2处的导数. 【例2-3】求下列函数的导数： (1)y＝(2x＋1)5； (2)y＝； (3)y＝； 【例2-4】求下列函数的导数： (1)y＝cosx(sinx-cosx)； (2)y＝x2＋tan x. 题型三 导数的实际应用 【例3-1】（衔接教材P80L7）某个弹簧振子在振动过程中的位移(单位:mm),关于时间(单位:s)的函数满足关系式 . 求函数在t=3s时的导数，并解释它的实际意义. 【例3-2】若函数在点(1,f(1))处的切线斜率为，其中，，求ab最大值. 【例3-3】（衔接教材P82T10）设某高山滑雪运动员在一次滑雪中滑行的路程l（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系为 （1）求l关于t的导数，并解释它的实际意义； （2）当t=3s时，求运动员的滑雪速度； （3）当运动员的滑雪路程为38m时，求此时的滑雪速度. 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $