第09课时 二次函数与幂函数 讲义-2027届高三数学一轮复习

第09课时 二次函数与幂函数（学生使用） 1.通过具体实例,结合,,,,的图象,理解它们的变化规律,了解幂函数. 2.理解并掌握二次函数的图象与性质（单调性、对称性、最值、顶点等）. 必备知识·逐点梳理 一、二次函数 1.二次函数解析式的三种形式 （1）一般式：________________. （2）顶点式：，顶点坐标为________________. （3）零点式：，，为的________. 2.二次函数的图象和性质 函数 图象（抛物线） 定义域 值域 ， ， 对称轴 顶点 坐标 ， 奇偶性 当时，是________函数；当时，是非奇非偶函数 单调性 在 ，上单调递________； 在，上单调递________ 在 ，上单调递________； 在，上单调递________ 二、幂函数 1.幂函数的定义 一般地，函数________________叫作幂函数，其中是自变量， 是常数. 幂函数解析式的特征： （1）自变量 在幂的底数位置，幂指数 是常数. （2） 的系数为1. （3）只有1项. 2.常见的五种幂函数的图象 3.幂函数的性质 （1）幂函数在上都有定义. （2）当时，幂函数的图象都过点________________和________________，且在上单调递增. （3）当时，幂函数的图象都过点________________，且在上单调递减. （4）当 为奇数时， 为________；当 为偶数时， 为________. （1）幂函数的图象一定会出现在第一象限，一定不会出现在第四象限. （2）若幂函数 在 上单调递增，则;若幂函数 在 上单调递减，则. 关键考点·核心突破 考点一 幂函数的图象与性质 例1 （1） 已知幂函数的图象关于轴对称,且在上单调递减,则的值为（ ）. A. B. 1 C. 2 D. 1或2 （2） 已知幂函数,,且,互质的图象如图所示,则（ ）. A. ,均为奇数,且 B. 为偶数,为奇数,且 C. 为奇数,为偶数,且 D. 为奇数,为偶数,且 （3） 若,,,则,,的大小关系是（ ）. A. B. C. D. 1.确定幂函数图象的方法:首先确定定义域,然后用三条直线把第一象限分为六个区域,即直线,直线,直线划分的区域.根据,,,的取值确定位置后,其余象限部分由奇偶性决定. 2.比较幂值大小的方法:在比较幂值的大小时,必须结合幂值的特点,选择适当的函数,借助其单调性进行比较. 3.在上，幂函数的指数越大，函数图象越靠近轴（简记为“指大图低”）；在上，幂函数的指数越大，函数图象越远离轴. 随堂训练 1．已知幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递增，则的值为（ ）. A. 0 B. 2 C. 3 D. 2或3 2．已知幂函数的图象过点,设,,,则（ ）. A. B. C. D. 高考导航·深挖教材 对勾函数与飘带函数 深挖教材在高中数学人教版教材必修第一册第86页“综合运用”、第101页“拓广探索”中有这样两个问题： （1）讨论函数在区间上的单调性; （2）讨论函数的单调性. 总结：对于函数，当时，常把称为“对勾函数”；当时，常把称为“飘带函数”. 典例 （1） （多选题）若函数,则（ ）. A. 函数为奇函数 B. 当时,在上单调递增 C. 若方程有实根,则 D. 设定义域为的函数的图象关于点中心对称,若,且与的图象共有2 024个交点,记为,则 （2） 已知,均是定义在,上的函数,则函数的值域为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ;函数的值域为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 考点二 二次函数的解析式 例2 （一题多法）已知二次函数满足,,且的最大值是8,则的解析式为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 随堂训练 已知二次函数满足,且的图象与轴交点的纵坐标为1,被轴截得的线段长为,则的解析式为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ,_ _ _ _ . 考点三 二次函数的图象与性质 考向1 二次函数的图象 例3 （多选题）已知二次函数的图象如图所示，则（ ）. A. B. C. D. 考向2 二次函数的单调性与最值 例4 已知函数，. （1）若在区间上是单调函数，求实数的取值范围； （2）当时，函数的最小值是关于的函数，求的表达式. 考向3 与二次函数有关的恒成立问题 例5 （一题练透）已知函数,,其中为实数. （1）对任意,都有,求的取值范围； （2）存在,使成立,求的取值范围； （3）对任意,,都有,求的取值范围. 随堂训练 1．在同一直角坐标系中，二次函数与幂函数图象的关系可能为（ ）. A. B. C. D. 2．（多选题）已知定义在上的函数与函数在上具有相同的单调性,则的取值可以是（ ）. A. 1 B. C. 2 D. 3 3．已知函数,不等式的解集为.若对任意,恒成立,则实数的取值范围是（ ）. A. B. C. D. 4．已知函数. （1）若,求函数在区间上的值域; （2）若函数在区间上有最小值3,求的值. 第页/共页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第09课时 二次函数与幂函数（教师使用） 1.通过具体实例,结合,,,,的图象,理解它们的变化规律,了解幂函数. 2.理解并掌握二次函数的图象与性质（单调性、对称性、最值、顶点等）. 必备知识·逐点梳理 一、二次函数 1.二次函数解析式的三种形式 （1）一般式：  . （2）顶点式：，顶点坐标为  . （3）零点式：，，为的零点. 2.二次函数的图象和性质 函数 图象（抛物线） 定义域 值域 ， ， 对称轴 顶点 坐标 ， 奇偶性 当时，是偶函数；当时，是非奇非偶函数 单调性 在 ，上单调递减； 在，上单调递增 在 ，上单调递增； 在，上单调递减 二、幂函数 1.幂函数的定义 一般地，函数  叫作幂函数，其中是自变量， 是常数. 幂函数解析式的特征： （1）自变量 在幂的底数位置，幂指数 是常数. （2） 的系数为1. （3）只有1项. 2.常见的五种幂函数的图象 3.幂函数的性质 （1）幂函数在上都有定义. （2）当时，幂函数的图象都过点  和  ，且在上单调递增. （3）当时，幂函数的图象都过点  ，且在上单调递减. （4）当 为奇数时， 为奇函数；当 为偶数时， 为偶函数. （1）幂函数的图象一定会出现在第一象限，一定不会出现在第四象限. （2）若幂函数 在 上单调递增，则;若幂函数 在 上单调递减，则. 关键考点·核心突破 考点一 幂函数的图象与性质 例1 （1） 已知幂函数的图象关于轴对称,且在上单调递减,则的值为（ ）. A. B. 1 C. 2 D. 1或2 （2） 已知幂函数,,且,互质的图象如图所示,则（ ）. A. ,均为奇数,且 B. 为偶数,为奇数,且 C. 为奇数,为偶数,且 D. 为奇数,为偶数,且 （3） 若,,,则,,的大小关系是（ ）. A. B. C. D. 【答案】（1） B （2） D （3） D 【解析】 （1） 因为 为幂函数,所以,解得 或,经检验，只有 符合题意.故选. （2） 由幂函数的图象关于 轴对称,可知该函数为偶函数,所以 为偶数,则 为奇数.因为幂函数 的图象在第一象限内向上凸起,且在 上单调递增,所以.故选. （3） 因为 在 上单调递增, 所以. 因为 是减函数,所以,所以.故选. 感悟提升 1.确定幂函数图象的方法:首先确定定义域,然后用三条直线把第一象限分为六个区域,即直线,直线,直线划分的区域.根据,,,的取值确定位置后,其余象限部分由奇偶性决定. 2.比较幂值大小的方法:在比较幂值的大小时,必须结合幂值的特点,选择适当的函数,借助其单调性进行比较. 3.在上，幂函数的指数越大，函数图象越靠近轴（简记为“指大图低”）；在上，幂函数的指数越大，函数图象越远离轴. 随堂训练 1．已知幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递增，则的值为（ ）. A. 0 B. 2 C. 3 D. 2或3 【答案】D 【解析】当 时，，由幂函数的性质得，在 上单调递减； 当 时，,在 上不具有单调性；当 时，，由幂函数的性质得，该函数的图象关于 轴对称，在 上单调递增； 当 时，，由幂函数的性质得，该函数的图象关于 轴对称，在 上单调递增.故选. 2．已知幂函数的图象过点,设,,,则（ ）. A. B. C. D. 【答案】B 【解析】因为函数 为幂函数,所以. 又函数 的图象过点, 所以,解得, 故函数的解析式为,且 为增函数. 因为,所以.故选. 高考导航·深挖教材 对勾函数与飘带函数 深挖教材在高中数学人教版教材必修第一册第86页“综合运用”、第101页“拓广探索”中有这样两个问题： （1）讨论函数在区间上的单调性; （2）讨论函数的单调性. 总结：对于函数，当时，常把称为“对勾函数”；当时，常把称为“飘带函数”. 典例 （1） （多选题）若函数,则（ ）. A. 函数为奇函数 B. 当时,在上单调递增 C. 若方程有实根,则 D. 设定义域为的函数的图象关于点中心对称,若,且与的图象共有2 024个交点,记为,则 （2） 已知,均是定义在,上的函数,则函数的值域为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ;函数的值域为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】（1） ACD （2） ,；, 【解析】 （1） 对于,因为,又 是奇函数,所以函数 是奇函数,故 正确; 对于,因为,,所以,当 时,在 上不是单调递增,故 错误; 对于,令,显然,所以,因为,所以,故 正确; 对于,由 可知,当 时,的图象关于点 中心对称,且 的图象关于点 中心对称,所以这2 024个交点关于点 对称,故,故 正确.故选. （2） 易知函数 在,上为“对勾函数”的一部分,解方程，得（负根舍去）,所以 在,上单调递减,在,上单调递增,所以. 又,, 所以， 所以函数 在,上的值域为,. 易知函数 在,上为“飘带函数”的一部分,且 在,上单调递增,所以,， 所以函数 在,上的值域为,. 考点二 二次函数的解析式 例2 （一题多法）已知二次函数满足,,且的最大值是8,则的解析式为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】（法一:利用一般式）设. 由题意得 解得 所以所求二次函数的解析式为. （法二:利用顶点式）设. 因为,所以抛物线的对称轴为直线,所以. 又函数的最大值为8,所以， 所以. 因为,所以,解得, 所以. （法三：利用零点式）由 的两根分别为,,可设, 即. 又函数 的最大值为8,所以, 解得 或（舍去）， 所以所求二次函数的解析式为. 感悟提升 求二次函数的解析式,一般用待定系数法,其关键是根据已知条件选择恰当的二次函数解析式的形式,一般选择规律如下： 随堂训练 已知二次函数满足,且的图象与轴交点的纵坐标为1,被轴截得的线段长为,则的解析式为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ,_ _ _ _ . 【答案】； 7 【解析】设. 由,得,所以. ① 设 的图象与 轴交点的横坐标为,, 由,得. ② 由已知得. ③ 由①②③解得,,,所以, 所以. 考点三 二次函数的图象与性质 考向1 二次函数的图象 例3 （多选题）已知二次函数的图象如图所示，则（ ）. A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】由题意得，对称轴为直线，则，故 正确； 当 时，，则，故 正确； 当 时，，则，故 正确； 当 时，，故 错误.故选. 感悟提升 识别二次函数图象应学会“三看” 考向2 二次函数的单调性与最值 例4 已知函数，. （1）若在区间上是单调函数，求实数的取值范围； （2）当时，函数的最小值是关于的函数，求的表达式. 【解析】（1）函数 图象的对称轴为直线. 因为 在区间 上是单调函数，所以 或，解得 或， 所以实数 的取值范围是. （2）当，即 时，在区间 上单调递增，所以； 当，即 时， 在区间，上单调递减，在，上单调递增， 所以； 当，即 时，在区间 上单调递减，所以. 综上， 感悟提升 二次函数的单调性与最值问题的解题策略 （1）二次函数的单调性问题主要根据二次函数图象的对称轴进行分类讨论并求解. （2）二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动.不论哪种类型，解题的关键都是分析对称轴与区间的位置关系，当含有参数时，要根据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论. 考向3 与二次函数有关的恒成立问题 例5 （一题练透）已知函数,,其中为实数. （1）对任意,都有,求的取值范围； （2）存在,使成立,求的取值范围； （3）对任意,,都有,求的取值范围. 【解析】（1）设,问题转化为 时,恒成立,故. 由二次函数的性质可知. 由,得,即 的取值范围为. （2）由题意,存在,使 成立,即 在 上有解,故. 由二次函数的性质可知. 由,得,即 的取值范围为. （3）对任意,,都有, 所以,. 由二次函数的性质可得,，故, 得,即 的取值范围为. 感悟提升 由不等式恒（能）成立求参数取值范围的思路及关键 （1）一般有两个解题思路：一是分离参数;二是构造新函数. （2）这两种思路都是将问题归结为求函数的最值,至于用哪种方法,关键是看参数是否已分离.这两个思路的依据是：恒成立,恒成立；能成立,能成立. 随堂训练 1．在同一直角坐标系中，二次函数与幂函数图象的关系可能为（ ）. A. B. C. D. 【答案】A 【解析】对于，二次函数 的图象开口向上，则，其对称轴，则，即幂函数 为减函数，符合题意； 对于，二次函数 的图象开口向下，则，其对称轴，则，即幂函数 为减函数，不符合题意； 对于，二次函数 的图象开口向上，则，其对称轴，则，即幂函数 为增函数，且其增加得越来越快，不符合题意； 对于，二次函数 的图象开口向下，则，其对称轴，两零点之和，则，即幂函数 为增函数，且其增加得越来越慢，不符合题意.故选. 2．（多选题）已知定义在上的函数与函数在上具有相同的单调性,则的取值可以是（ ）. A. 1 B. C. 2 D. 3 【答案】CD 【解析】易知 在 上是减函数.依题设,函数 在 上单调递减,且函数 图象的对称轴为直线，所以,则.故 的取值可以是2,3.故选. 3．已知函数,不等式的解集为.若对任意,恒成立,则实数的取值范围是（ ）. A. B. C. D. 【答案】B 【解析】因为 的解集为,所以 的两个根分别为,3, 所以 解得 令,则. 由 可得. 又 在 上恒成立,所以.故选. 4．已知函数. （1）若,求函数在区间上的值域; （2）若函数在区间上有最小值3,求的值. 【解析】（1）若,则,其图象的对称轴为直线, 函数 在区间 上单调递减,在 上单调递增, 所以,, 所以 的值域为. （2）,其图象的对称轴为直线. ①当,即 时,函数 在 上单调递增, , 由,得. ,. ②当,即 时,. 由,得,舍去. ③当,即 时,函数 在 上单调递减, . 由,得. ,. 综上所述,或. 第页/共页 学科网（北京）股份有限公司 $