第10讲 二次函数与幂函数讲义-2027届高三数学一轮复习

第10讲　二次函数与幂函数 【知识梳理】 一、幂函数 1．定义：形如 （ 为常数）的函数叫幂函数。判断标准：系数为 、幂指数为常数、底数为单个自变量。 2．五个常见幂函数的图象与性质：、、、、。它们的图象都经过点 ；、、 是奇函数， 是偶函数， 是非奇非偶函数（定义域 ）。 3．一般规律：① 图象都过 ，且不过 （ 时还过 ）；② 时在 上单调递增， 时在 上单调递减；③ 在第一象限内，“直线 ”上方对应 ，下方对应 ；④ 判断奇偶性需先把 化为最简分数，再看分子分母的奇偶。 二、二次函数 1．三种解析式：一般式 （）；顶点式 ，顶点 ；零点式 。求解析式时，已知顶点或对称轴用顶点式，已知与 轴交点用零点式，已知三点坐标用一般式。 2．图象与性质：开口方向由 的符号决定；对称轴 ；顶点 ； 时与 轴有两个交点， 时相切， 时无交点。 3．二次函数在闭区间上的最值（动轴定区间、定轴动区间）：以 为例，设对称轴 ，区间 。当 时，最小值为 ，最大值为 ；当 时， 在 上递增，最小值 ；当 时， 递减，最小值 。含参时按对称轴与区间的位置关系分类讨论。 4．二次函数、二次方程、二次不等式的统一：图象与 轴交点的横坐标即方程的根，也即不等式解集的端点，三者可以互相转化，“由式画图、由图解式”是基本思想。 5．二次方程根的分布（设 ，）：两根均大于 且 且 ；两根均小于 且 且 ；一根大于 、一根小于 。 图 1　五个常见幂函数的图象 【题型归纳与方法点拨】 题型一　幂函数的定义域与值域 【方法点拨】先把指数化为最简分数，由分母的奇偶定定义域，再由分子定图象位置；值域结合单调性与定义域端点求出。 【例1】（2026·湖南邵阳·模拟预测）下列函数中，定义域为的是（    ） A． B． C． D． 【例2】（2026·江苏淮安·一模）（多选）幂函数（为常数），则（    ）. A．当时，是奇函数 B．的图象过定点 C．当时，的值域为 D．若，则 【变式训练1】（2026·福建福州·模拟预测）已知全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练2】（2025·四川绵阳·模拟预测）关于函数，下列说法错误的是（    ） A．函数的定义域为 B．函数的值域为 C．函数在上单调递减，在上单调递增 D．函数是偶函数 【变式训练3】（2026·湖南张家界·三模）（多选）下列函数中，对于任意使得有意义的，始终存在常数，使得在区间上的最大值与最小值之差为的有（    ） A． B． C． D． 【题型强化练1】（2026·安徽合肥·模拟预测）函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【题型强化练2】（2025·湖北宜昌·二模）已知，函数的值域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型强化练3】（22-23高三上·辽宁·阶段检测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【题型强化练4】（2025·河南驻马店·模拟预测）已知幂函数的图象与坐标轴无公共点，则（   ） A．－2 B．1 C．－2或1 D．－1或2 【题型强化练5】（25-26高一上·河北石家庄·期末）（多选）已知幂函数的图象过点，则（   ） A． B．的定义域是 C．在定义域上单调递减 D．无最小值 题型二　幂函数的图象识别与比较大小 【方法点拨】过 定图象；比较大小首选“同幂不同底”化同底，或“同底不同幂”用单调性；不同底不同幂时搭中间量 。 【例1】（2026·陕西西安·模拟预测）函数的零点所在区间是（    ） A． B． C． D． 【例2】（25-26高二下·湖南长沙·期末）（多选）下列判断正确的有（    ） A． B． C．若，则 D．若，则 【变式训练1】（2026·江苏南通·模拟预测）设，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练2】（2026·重庆北碚·模拟预测）设，则（   ） A． B． C． D． 【变式训练3】（25-26高三下·湖南衡阳·阶段检测）（多选）下列不等式成立的是（     ） A． B． C． D． 【题型强化练1】（2026·天津·一模）已知，，，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【题型强化练2】（2026·四川宜宾·一模）已知，且，则（） A． B． C． D． 【题型强化练3】（2026·河南南阳·模拟预测）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【题型强化练4】（25-26高一上·广东佛山·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 【题型强化练5】（2025·重庆沙坪坝·模拟预测）（多选）已知，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 题型三　幂函数的单调性及求参 【方法点拨】由单调性定指数符号，由过定点或特殊点定参数；注意幂函数是“一参一式”，条件往往很简短，先用图象定轮廓再算。 【例1】（2026·湖南长沙·一模）已知幂函数在上单调递减，则实数m的值为（    ） A．0或1 B．或1 C．1 D．0 【例2】（24-25高三上·贵州·阶段检测）（多选）已知幂函数，则（    ） A． B．的定义域为 C．为非奇非偶函数 D．不等式的解集为 【变式训练1】（2026·四川·二模）“”是“是幂函数且在上单调递减”（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式训练2】（2025·湖南娄底·模拟预测）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练3】（25-26高一下·湖南长沙·开学考试）（多选）下列说法正确的是（    ） A．函数恒过定点 B．函数与的图象关于直线对称 C．，当时，恒有 D．若幂函数在上单调递减，则 【题型强化练1】（2026·江苏泰州·模拟预测）已知函数是幂函数，对任意，，且，满足．若，且的值为负数，则下列结论中一定不成立的是（     ） A．， B．， C．， D．， 【题型强化练2】（2026·天津·模拟预测）已知，，则“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【题型强化练3】（25-26高一上·河南·阶段检测）已知幂函数在上单调递增，若实数满足，则的最小值为（    ） A． B．1 C． D． 【题型强化练4】（25-26高一上·四川巴中·阶段检测）（多选）下列命题中正确的是（ ） A．命题“”的否定为“” B．的图象恒过定点 C．已知是定义在上的偶函数，且在是减函数，则 D．幂函数在上为减函数，则的值为1 题型四　幂函数的奇偶性 【方法点拨】先把指数化为最简分数，分子奇偶定奇偶性，分母奇偶定定义域；不能只看化简前的形式。 【例1】（26-27高三上·四川绵阳·开学考试）下列四个函数是奇函数且在定义域内单调递减的函数是（） A． B． C． D． 【例2】（26-27高三上·河南·阶段检测）（多选）已知函数（为实数）的定义域为D，，且，则下列说法正确的是（    ） A．的图象不经过第四象限 B．若为偶函数，则为偶数 C．若，则 D． 【变式训练1】（2027高三·全国·专题练习）已知幂函数的图象关于轴对称，且在上是减函数，则的值为（   ） A． B．1 C．2 D．1或3 【变式训练2】（26-27高一上·全国·课后作业）如图所示，给出4个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是（    ） A．①，②，③，④ B．①，②，③，④ C．①，②，③，④ D．①，②，③，④ 【变式训练3】（2026·江西·模拟预测）（多选）关于定义域为的函数，下列说法正确的有（     ） A．存在函数，使得恒成立 B．存在函数，使得恒成立 C．存在函数，使得恒成立 D．存在函数，使得恒成立 【题型强化练1】（25-26高二下·黑龙江·期末）已知幂函数的图象经过点，则图象的大致形状为（    ） A． B． C． D． 【题型强化练2】（2026·北京·三模）已知幂函数，则下列结论正确的是（     ） A． B． C．是奇函数 D．的值域为 【题型强化练3】（2026·四川广安·模拟预测）若幂函数是奇函数，且在上单调递减，则的值可以是（     ） A． B．2 C． D．3 【题型强化练4】（25-26高一上·江苏连云港·阶段检测）已知幂函数为常数，则下列结论正确的是（     ） A．函数的图象都经过点 B．若，则 C．若，则函数为偶函数 D．若函数的图象经过点，则函数在其定义域上单调递增 【题型强化练5】（25-26高三下·重庆·阶段检测）（多选）已知幂函数的图象经过点，则（    ） A．函数为奇函数 B．函数为增函数 C．若，则 D．若，则 题型五　二次函数的性质及最值问题 【方法点拨】画草图是第一步；定轴动区间按对称轴与区间的三种位置讨论，动轴定区间按对称轴在区间左、内、右讨论；最值还可用“区间中点与对称轴的距离”比较端点值。 【例1】（25-26高一上·广东广州·阶段检测）已知函数在上具有单调性，则实数k的取值范围是（    ） A．或 B．或 C． D． 【例2】（2026·河北沧州·一模）（多选）已知函数的定义域为，若对任意，存在唯一的，使得，则称是区间上的“可倒函数”，则下列说法正确的是（    ） A．函数是“可倒函数” B．若函数在定义域上为“可倒函数”，则的取值范围为 C．若在上是“可倒函数”，则 D．若存在正数，使得函数在定义域上是“可倒函数”，则的取值范围为 【变式训练1】（26-27高二上·河南·阶段检测）已知函数的单调递减区间为，单调递增区间为，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练2】（2026·河北沧州·模拟预测）（多选）已知函数在区间上单调递增，则的可能取值是（    ） A． B． C． D． 【题型强化练1】（26-27高一上·全国·课后作业）已知函数在上具有单调性，则实数的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【题型强化练2】（2026·云南·模拟预测）已知是定义在上的奇函数，且当时，，若在上恒成立，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【题型强化练3】（2026·江西赣州·二模）已知函数在区间上的最大值为，在区间上的最大值为．若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【题型强化练4】（2026·北京昌平·二模）设，函数有最大值的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【题型强化练5】（2024·湖南·二模）（多选）若函数在上单调，则实数的值可以为（    ） A． B． C． D．3 学科网（北京）股份有限公司 $ 第10讲　二次函数与幂函数 【知识梳理】 一、幂函数 1．定义：形如 （ 为常数）的函数叫幂函数。判断标准：系数为 、幂指数为常数、底数为单个自变量。 2．五个常见幂函数的图象与性质：、、、、。它们的图象都经过点 ；、、 是奇函数， 是偶函数， 是非奇非偶函数（定义域 ）。 3．一般规律：① 图象都过 ，且不过 （ 时还过 ）；② 时在 上单调递增， 时在 上单调递减；③ 在第一象限内，“直线 ”上方对应 ，下方对应 ；④ 判断奇偶性需先把 化为最简分数，再看分子分母的奇偶。 二、二次函数 1．三种解析式：一般式 （）；顶点式 ，顶点 ；零点式 。求解析式时，已知顶点或对称轴用顶点式，已知与 轴交点用零点式，已知三点坐标用一般式。 2．图象与性质：开口方向由 的符号决定；对称轴 ；顶点 ； 时与 轴有两个交点， 时相切， 时无交点。 3．二次函数在闭区间上的最值（动轴定区间、定轴动区间）：以 为例，设对称轴 ，区间 。当 时，最小值为 ，最大值为 ；当 时， 在 上递增，最小值 ；当 时， 递减，最小值 。含参时按对称轴与区间的位置关系分类讨论。 4．二次函数、二次方程、二次不等式的统一：图象与 轴交点的横坐标即方程的根，也即不等式解集的端点，三者可以互相转化，“由式画图、由图解式”是基本思想。 5．二次方程根的分布（设 ，）：两根均大于 且 且 ；两根均小于 且 且 ；一根大于 、一根小于 。 图 1　五个常见幂函数的图象 【题型归纳与方法点拨】 题型一　幂函数的定义域与值域 【方法点拨】先把指数化为最简分数，由分母的奇偶定定义域，再由分子定图象位置；值域结合单调性与定义域端点求出。 【例1】（2026·湖南邵阳·模拟预测）下列函数中，定义域为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分母不为0即可判断A；根据偶次方根被开方数大于等于0即可判断B；根据对数函数真数大于0即可判断C；根据幂函数定义域即可判断D. 【详解】对A，，由可知其定义域为，故A错误； 对B，，由知其定义域为，故B错误； 对C，，由，解得，则其定义域为，故C错误； 对D，，显然其定义域为，故D正确. 【例2】（2026·江苏淮安·一模）（多选）幂函数（为常数），则（    ）. A．当时，是奇函数 B．的图象过定点 C．当时，的值域为 D．若，则 【答案】ABC 【分析】根据奇函数的定义、幂函数的性质、幂函数的单调性逐一判断即可. 【详解】A：当时，，此时该函数的定义域为，定义域关于原点对称， 因为，所以是奇函数，故A正确； B：因为，所以的图象过定点，故B正确； C：当时，，此时该函数的定义域为， 因为该函数是定义域内的增函数， 所以有，因此的值域为，故C正确； D：当时，幂函数在上单调递减， 因为，所以，故D错误. 【变式训练1】（2026·福建福州·模拟预测）已知全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由可知，集合为函数的值域，所以， 而，所以集合函数的定义域，所以，即， 因此，，则， 故C选项正确. 【变式训练2】（2025·四川绵阳·模拟预测）关于函数，下列说法错误的是（    ） A．函数的定义域为 B．函数的值域为 C．函数在上单调递减，在上单调递增 D．函数是偶函数 【答案】C 【分析】整理可得，结合二次函数分析定义域、值域以及单调性，即可判断ABC；再根据偶函数的定义判断D. 【详解】因为函数， 对于选项A：令，解得， 所以函数的定义域为，故A正确； 对于选项B：因为，则，可得， 所以函数的值域为，故B正确； 对于选项C：因为在上单调递减，在上单调递增， 所以函数在上单调递减，在上单调递增，故C错误； 对于选项D：因为函数的定义域为，关于原点对称， 且，可知函数为偶函数，故D正确； 故选：C. 【变式训练3】（2026·湖南张家界·三模）（多选）下列函数中，对于任意使得有意义的，始终存在常数，使得在区间上的最大值与最小值之差为的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】结合题目定义，根据各选项函数的性质分别判断即可． 【详解】要求函数在区间且上的最值之差等于, 对于选项A，函数的最值之差为， 若要其等于，则必须满足，这与任意有意义的均成立的要求矛盾，故A错误； 对于选项B，函数，令且， 当且时，由推导可得， 因为，因此必定存在正实数， 同理当时，由，推导可得，必定存在正实数， 当时显然存在，故B正确； 对于选项C，函数，令，且， 当时，由， 根据对数函数图像性质得，可知必定存在正实数， 当时由推导可得， 同理可知必定存在正实数，故C正确； 对于选项D，若，假设存在满足条件的正实数与，令， 因为，故有，由指数函数的单调性可知必有，则， 由于，必有，进而， 由和在的图像可知不等式无解，故D错误． 【题型强化练1】（2026·安徽合肥·模拟预测）函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别求出在上的值域以及在上的值域可得答案. 【详解】因在上单调递增，则时，， 又在上单调递增，则时，， 则的值域为，故A正确． 【题型强化练2】（2025·湖北宜昌·二模）已知，函数的值域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据幂函数与对数函数性质结合题意列式计算即可. 【详解】当时，函数单调递增，所以， 要使得函数的值域为， 则当时，，解得，所以实数的取值范围是 故选：D. 【题型强化练3】（22-23高三上·辽宁·阶段检测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出的值域得到，求出的定义域得到，从而得到交集. 【详解】集合，由，解得：， 故，则. 故选：B. 【题型强化练4】（2025·河南驻马店·模拟预测）已知幂函数的图象与坐标轴无公共点，则（   ） A．－2 B．1 C．－2或1 D．－1或2 【答案】A 【分析】本题可先根据幂函数的定义求出的可能值，再结合幂函数图象与坐标轴无公共点的条件确定的值. 【详解】因为为幂函数，所以， 即，解得或. 当时，，其定义域为，图象与坐标轴无公共点，符合题意； 当时，，其图象与坐标轴有公共点，不合题意. 综上，. 故选：A. 【题型强化练5】（25-26高一上·河北石家庄·期末）（多选）已知幂函数的图象过点，则（   ） A． B．的定义域是 C．在定义域上单调递减 D．无最小值 【答案】AD 【分析】根据幂函数过点可以求出解析式，然后逐项分析即可. 【详解】设幂函数，为常数，因为的图象过点， 所以，所以， 所以幂函数，故A选项正确； 由可知函数定义域为，故B选项不正确； 因为，此时， 不满足在定义域上单调递减，故C选项不正确； 由的函数定义域为，值域为， 所以无最小值，故D选项正确； 故选：AD. 题型二　幂函数的图象识别与比较大小 【方法点拨】过 定图象；比较大小首选“同幂不同底”化同底，或“同底不同幂”用单调性；不同底不同幂时搭中间量 。 【例1】（2026·陕西西安·模拟预测）函数的零点所在区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先判断函数在定义域上的单调性，再根据零点存在定理判断即可. 【详解】由题意可知函数的定义域为， 又因为与在均单调递减， 所以在均单调递减且连续， 因为，， 所以函数的唯一零点所在区间为. 【例2】（25-26高二下·湖南长沙·期末）（多选）下列判断正确的有（    ） A． B． C．若，则 D．若，则 【答案】ABD 【详解】对于A，因为在上单调递增， 由可得，故A正确； 对于B，，，， 所以，故B正确； 对于C，若，则， ，当且仅当， 即时取等，故C错误； 对于D，若， 则， 当且仅当时取等，即时取等，故D正确. 【变式训练1】（2026·江苏南通·模拟预测）设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，， 因为，且， 所以，即， ，因为，幂函数在上单调递增，， 所以，因此，即， ， 因为，，所以， 因为，所以，即， 因此. 【变式训练2】（2026·重庆北碚·模拟预测）设，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】找中间量、合理构造函数后，利用指数函数、幂函数的单调性求解 【详解】构造指数函数，底数，所以单调递减，即； ，即. 【变式训练3】（25-26高三下·湖南衡阳·阶段检测）（多选）下列不等式成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】利用指数函数与幂函数的单调性判断A；利用对数函数的单调性与换底公式判断B；利用中间值“1”和指、对数函数的单调性判断C;利用诱导公式与同角三角函数关系，及三角函数的性质判断D. 【详解】对于A，因为，故A正确； 对于B，因为，所以，即，故B错误； 对于C，因为，，所以，故C正确； 对于D，因为，故D错误. 【题型强化练1】（2026·天津·一模）已知，，，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，，， 因为函数在上单调递增， 则，则，则，则B正确. 【题型强化练2】（2026·四川宜宾·一模）已知，且，则（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，通过对数和幂函数将用表示，再比较大小. 【详解】设，因为，所以. 所以， ， . 因为，所以，，故； 而，所以，， 因为函数在时单调递减，且，所以，即. 综上，. 【题型强化练3】（2026·河南南阳·模拟预测）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题知，，再结合幂函数的性质，对数函数的性质，借助中间值比较大小即可. 【详解】，， 因为在上为增函数，, 所以，即， 因为， 所以，即 故选：D 【题型强化练4】（25-26高一上·广东佛山·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用幂函数、对数函数单调性比较大小. 【详解】依题意，，所以. 故选：C 【题型强化练5】（2025·重庆沙坪坝·模拟预测）（多选）已知，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】利用的单调性判断A；利用的单调性判断B；利用重要不等式判断C；举出反例判断D. 【详解】选项A，函数在R上单调递增，又，所以，故A正确； 选项B，在R上单调递减，又，所以，故B错误； 选项C，，故C正确； 选项D，取时，得，故D错误． 故选：AC. 题型三　幂函数的单调性及求参 【方法点拨】由单调性定指数符号，由过定点或特殊点定参数；注意幂函数是“一参一式”，条件往往很简短，先用图象定轮廓再算。 【例1】（2026·湖南长沙·一模）已知幂函数在上单调递减，则实数m的值为（    ） A．0或1 B．或1 C．1 D．0 【答案】C 【分析】根据幂函数的定义及单调性即可求解． 【详解】由于为幂函数，所以，解得或， 又函数在上单调递减， 所以，即 故当时符合条件． 【例2】（24-25高三上·贵州·阶段检测）（多选）已知幂函数，则（    ） A． B．的定义域为 C．为非奇非偶函数 D．不等式的解集为 【答案】AC 【分析】根据幂函数的定义得到方程，求出的值，即可求出函数解析式，从而判断A、B、C；判断函数的单调性，根据单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可判断D. 【详解】A：由幂函数知，，解得，故A正确； B，C：，则的定义域为，所以函数为非奇非偶函数，故B错误，C正确； D：由知函数在上单调递增， 所以由可得，解得， 即不等式的解集为，故D错误. 故选：AC 【变式训练1】（2026·四川·二模）“”是“是幂函数且在上单调递减”（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用充分条件和必要条件的定义及幂函数的定义和性质求解. 【详解】充分性分析：，， 是幂函数且在上单调递减，故充分性成立； 必要性分析：是幂函数，， ，，或， 当时，在上单调递减，符合题意； 当时，在上单调递减，符合题意； 综上可知，是幂函数且在上单调递减， 则或，故必要性不成立， 故“”是“是幂函数且在上单调递减”的充分不必要条件. 【变式训练2】（2025·湖南娄底·模拟预测）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次函数以及幂函数的单调性，结合分界点处两函数的单调性与整体保持一致列不等式求解即可. 【详解】因为在上单调递增，所以只需要 解得． 故选：D． 【变式训练3】（25-26高一下·湖南长沙·开学考试）（多选）下列说法正确的是（    ） A．函数恒过定点 B．函数与的图象关于直线对称 C．，当时，恒有 D．若幂函数在上单调递减，则 【答案】BCD 【分析】由对数函数的性质可判断A；由反函数的性质可判断B；由指数函数的增长速度远远快于一次函数，可判断C；由幂函数的性质可判断D. 【详解】对于A选项，函数恒过定点，故A错误； 对于B选项，函数与的图象关于对称， 即函数与的图象关于直线对称，故B正确； 对于C选项，因为指数函数的增长速度远远快于一次函数， 所以时，恒有，故C正确； 对于D选项，由幂函数性质可得，幂函数在单调递减，则，故D正确. 【题型强化练1】（2026·江苏泰州·模拟预测）已知函数是幂函数，对任意，，且，满足．若，且的值为负数，则下列结论中一定不成立的是（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据幂函数定义求出，根据函数解析式逐个判断即可. 【详解】因为函数是幂函数， 则， 解得或， 因为对任意，，且，满足， 所以在上单调递增， 时，，在上单调递减，故舍， 所以时，， 对于A，取时，，可能成立； 对于B，取时，，可能成立； 对于C，取时，，可能成立； 对于D，因为，则，则， 由单调性可知，故，与矛盾，一定不成立. 【题型强化练2】（2026·天津·模拟预测）已知，，则“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】又函数单调性得到充分性成立，举出反例可得必要性不成立. 【详解】由题意得，，， 而在上单调递增，故， 而在上单调递减，故，充分性成立， ，不妨设，满足要求， 但此时，不满足，必要性不成立， 故“”是“”的充分不必要条件. 【题型强化练3】（25-26高一上·河南·阶段检测）已知幂函数在上单调递增，若实数满足，则的最小值为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】先根据幂函数的定义和单调性求出，得到，代入利用基本不等式求解即可. 【详解】因为是幂函数，且在上单调递增， 所以，解得， 所以， 易知，则， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为， 故选：B 【题型强化练4】（25-26高一上·四川巴中·阶段检测）（多选）下列命题中正确的是（ ） A．命题“”的否定为“” B．的图象恒过定点 C．已知是定义在上的偶函数，且在是减函数，则 D．幂函数在上为减函数，则的值为1 【答案】BCD 【分析】根据存在量词命题的否定是全称命题，指数函数过定点、偶函数的性质、幂函数的定义进行逐项计算判断即可. 【详解】对于A：存在量词命题的否定是全称命题，将改为，然后否定结论， 所以命题“”的否定为“”，A错误； 对于B：令，则，所以恒过定点，B正确； 对于C：因为是定义在上的偶函数，所以， 而在是减函数，所以，即，C正确； 对于D：因为为幂函数，所以， 解得或. 当时，，在上为增函数，不符合题意； 当时，，在上为减函数，符合题意；D正确. 故选：BCD. 题型四　幂函数的奇偶性 【方法点拨】先把指数化为最简分数，分子奇偶定奇偶性，分母奇偶定定义域；不能只看化简前的形式。 【例1】（26-27高三上·四川绵阳·开学考试）下列四个函数是奇函数且在定义域内单调递减的函数是（） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】A.是奇函数，但该函数在定义域上不单调，排除. B.，定义域， ，是奇函数； 在上递增，故在上单调递减，符合题意； C.的定义域为，，即函数为奇函数， 又因为函数、在上均为增函数，故函数在上为增函数，排除. D.的定义域为，，故不是奇函数，排除. 【例2】（26-27高三上·河南·阶段检测）（多选）已知函数（为实数）的定义域为D，，且，则下列说法正确的是（    ） A．的图象不经过第四象限 B．若为偶函数，则为偶数 C．若，则 D． 【答案】AC 【分析】利用幂函数的图象性质可判断A；当时，为偶函数，但是不为偶数，可判断B；利用基本不等式验证，判断C；当时，，可判断D. 【详解】对于A，利用幂函数的图象性质可知，的图象不经过第四象限，故A正确； 对于B，当时，为偶函数，但是不为偶数，故B错误； 对于C，，所以，， 由基本不等式可得，因为，所以等号不成立，故C正确； 对于D，当时，则，故D错误. 【变式训练1】（2027高三·全国·专题练习）已知幂函数的图象关于轴对称，且在上是减函数，则的值为（   ） A． B．1 C．2 D．1或3 【答案】B 【详解】由于为幂函数，所以，解得或， 当时，在上是增函数，不符合题意； 当时，，定义域为，关于原点对称， 又，所以为偶函数，图象关于轴对称， 且在上是减函数，符合题意． 【变式训练2】（26-27高一上·全国·课后作业）如图所示，给出4个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是（    ） A．①，②，③，④ B．①，②，③，④ C．①，②，③，④ D．①，②，③，④ 【答案】B 【分析】由函数图像特征确定幂函数解析式特点，据此可得答案. 【详解】由选项情况设幂函数. 对于①，由图可得该函数定义域为，在上单调递增，为奇函数，在第一象限图象类似于二次函数， 从而，则满足情况； 对于②，由图可得该函数定义域为，在上单调递增，为偶函数，在第一象限图象类似于二次函数， 从而，则满足情况； 对于③，由图可得该函数定义域为，在上单调递增，为非奇非偶函数，在第一象限图象类似于， 从而，则满足情况； 对于④，由图得该函数定义域为，在上单调递减，为奇函数，在第一象限图象类似于， 从而，则满足情况. 综上可得选：B. 【变式训练3】（2026·江西·模拟预测）（多选）关于定义域为的函数，下列说法正确的有（     ） A．存在函数，使得恒成立 B．存在函数，使得恒成立 C．存在函数，使得恒成立 D．存在函数，使得恒成立 【答案】BC 【分析】根据函数奇偶性定义计算判断结合幂函数的奇偶性判断求解. 【详解】对于定义域为的函数，函数与的定义域均为， 因 ， 故为偶函数， 为奇函数， 而为奇函数，为偶函数，A,D错误，为偶函数，为奇函数，B，C正确； 【题型强化练1】（25-26高二下·黑龙江·期末）已知幂函数的图象经过点，则图象的大致形状为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设，由，得， 解得，所以， 的定义域为，是偶函数，在上单调递减， 所以图象的大致形状与选项A中的图象一致． 【题型强化练2】（2026·北京·三模）已知幂函数，则下列结论正确的是（     ） A． B． C．是奇函数 D．的值域为 【答案】D 【分析】根据分数指数幂的运算规则、函数奇偶性定义、幂函数的单调性与值域，逐一判断各选项正误 【详解】对于A选项：由分数指数幂的运算得，而，二者不相等，故A错误； 对于B选项：由是偶函数得，又幂函数在上单调递增， 且，故，即，B错误； 对于C选项：的定义域为，对任意，有， 故是偶函数，C错误； 对于D选项： 对任意，，因此，值域为，D正确 . 【题型强化练3】（2026·四川广安·模拟预测）若幂函数是奇函数，且在上单调递减，则的值可以是（     ） A． B．2 C． D．3 【答案】C 【分析】根据幂函数的图像性质，运用排除法即可求解. 【详解】因为幂函数在上单调递减，所以，故排除B、D项； 又因为幂函数是奇函数，而幂函数是偶函数，排除A项， 所以若幂函数是奇函数，且在上单调递减，则的值可以是. 【题型强化练4】（25-26高一上·江苏连云港·阶段检测）已知幂函数为常数，则下列结论正确的是（     ） A．函数的图象都经过点 B．若，则 C．若，则函数为偶函数 D．若函数的图象经过点，则函数在其定义域上单调递增 【答案】D 【分析】根据幂函数的性质依次判断各项的正误即可. 【详解】A：当时，，则无意义，错， B：当时，，错， C：当时，则且定义域为，，故函数为奇函数，错， D：由，则在定义域上单调递增，对. 故选：D 【题型强化练5】（25-26高三下·重庆·阶段检测）（多选）已知幂函数的图象经过点，则（    ） A．函数为奇函数 B．函数为增函数 C．若，则 D．若，则 【答案】BC 【详解】对于A，设幂函数（为实数）， 其图像经过点，，解得， ，其定义域为，不关于原点对称， 则函数不为奇函数，故A错误， 对于B，由幂函数性质得在上为增函数，故B正确； 对于C，D，如图，作出符合题意的图形， 则函数是上凸函数，可得对定义域内任意的， 都有成立，故C正确，D错误. 题型五　二次函数的性质及最值问题 【方法点拨】画草图是第一步；定轴动区间按对称轴与区间的三种位置讨论，动轴定区间按对称轴在区间左、内、右讨论；最值还可用“区间中点与对称轴的距离”比较端点值。 【例1】（25-26高一上·广东广州·阶段检测）已知函数在上具有单调性，则实数k的取值范围是（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【详解】因为为开口向上的二次函数，其对称轴方程为， 所以在单调递减，在单调递增； 若在上具有单调性，则或， 因此或. 【例2】（2026·河北沧州·一模）（多选）已知函数的定义域为，若对任意，存在唯一的，使得，则称是区间上的“可倒函数”，则下列说法正确的是（    ） A．函数是“可倒函数” B．若函数在定义域上为“可倒函数”，则的取值范围为 C．若在上是“可倒函数”，则 D．若存在正数，使得函数在定义域上是“可倒函数”，则的取值范围为 【答案】BC 【分析】设函数的值域分别为，由题意可知，若是区间上的“可倒函数”，即，所以对于A选项，取，求解即可；对于B选项，由以及函数的单调性求解，再利用基本不等式求解即可；对于C选项，利用单调递减以及求解即可；对于D选项，结合新概念确定函数的单调性，再推出矛盾即可. 【详解】设函数的值域分别为，由题意可知，若是区间上的“可倒函数”，即. 对于A，的定义域为， 令，则，由，即， 得，即，即， 判别式，方程无解， 所以不是“可倒函数”，A错误； 对于B，函数在定义域上为“可倒函数”，由严格递增， 所以对于任意的，的取值范围为，因为“可倒函数”，所以，所以， 所以的取值范围为，所以， 故，即，故，解得， 通过基本不等式，解得，即， 当且仅当时，等号成立，又因为，所以，且， 所以的取值范围为，故B正确； 对于C，当时，单调递减，此时其值域为， 由“可倒函数”定义可知，其值域不包含0，则， 从而在时的值域为， 由题意，所以要满足题意，还需满足，解得，C正确； 对于D，由题意，函数在定义域上连续， 若该函数不单调，则存在，使得， 对于,存在不等实数，使得,不满足可倒函数的定义； 所以单调，又，若单调递减，则当时，， 则对于任意的,不合题意； 同理若单调递增，则当时，， 则对于任意的,不合题意； 所以满足题意的k不存在，D错误． 故选：BC． 【变式训练1】（26-27高二上·河南·阶段检测）已知函数的单调递减区间为，单调递增区间为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用韦达定理求解即可. 【详解】由题知，当时，或， 所以可得，即， 所以. 【变式训练2】（2026·河北沧州·模拟预测）（多选）已知函数在区间上单调递增，则的可能取值是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】函数的单调递增区间为， 依题意，，则，解得， 因此的可能取值是，ABD是，C不是. 【题型强化练1】（26-27高一上·全国·课后作业）已知函数在上具有单调性，则实数的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为函数的对称轴为，开口向上， 所以函数在上单调递减，在上单调递增． 又因为函数在上具有单调性， 所以或，即或， 所以实数的取值范围为． 【题型强化练2】（2026·云南·模拟预测）已知是定义在上的奇函数，且当时，，若在上恒成立，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的奇偶性以及二次函数的单调性求解即可. 【详解】因为是定义在上的奇函数，所以由在上恒成立，可得在上恒成立. 若，即，则在上单调递增，则，得. 若，即，则，化简得，得. 若，即，则在上单调递减，则，得. 综上所述，a的取值范围为. 【题型强化练3】（2026·江西赣州·二模）已知函数在区间上的最大值为，在区间上的最大值为．若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对分情况①，②，③，④，⑤讨论，前四种情况都与矛盾，第五种情况可根据单调性求解. 【详解】设，易得在上递增，在上递减，且有两个零点和， 因可由保持轴上方部分并将轴下方部分沿轴翻折得到， 如上图，在上递减，在上递增， 在上递减，在上递增. ① 当时，在的最大值， 在的最大值为，矛盾； ② 当时，在的最大值， 在的最大值为，矛盾； ③ 当时，在的最大值， 在的最大值为，矛盾； ④ 当时，在的最大值，因， 在单调递增，最大值，，矛盾； ⑤ 当时，在的最大值， ，，由图可知，此时只需令 即可， 解得或，所以， 综上所述，的取值范围是. 【题型强化练4】（2026·北京昌平·二模）设，函数有最大值的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出函数有最大值的充要条件，再判断哪个选项是其充分不必要条件. 【详解】当时：，当时，单调递减，；当时，，无最大值. 当时：时，单调递增，当时，，无最大值. 当时：时，单调递减，故； 时，，开口向下，对称轴为. 若时，即时，在上的最大值为， 则，解得； 若时，即时，在上单调递增，最大值为， 则即，因为， ，不等式无解，函数此时无最大值； 综上有最大值的充要条件为. 因为， 所以有最大值的一个充分不必要条件是. 【题型强化练5】（2024·湖南·二模）（多选）若函数在上单调，则实数的值可以为（    ） A． B． C． D．3 【答案】BD 【分析】分别讨论和两种情况，结合二次函数的图像分析，即可得到答案. 【详解】①当，即时，，所以的对称轴为，则的图象如下： 结合图象可知，要使函数在上单调，则或，解得：或，即或； ②当，即或，令，则的对称轴为，则的图象如下： 结合图象可知，要使函数在上单调， 则，或，或，或 解得：，或， 综上：或； 故选：BD 学科网（北京）股份有限公司 $