第08讲 幂函数与二次函数讲义-2027届高三数学一轮复习

第08讲 幂函数与二次函数 内 容 导 航 知识点1 幂函数 知识点2 二次函数及其性质 知识点3 二次函数解析式 知识点4 二次函数的图象和性质 知识点5 二次函数的单调性与最值 题型1 由幂函数的解析式求解参数 题型2 求幂函数的定义域 题型3 求幂函数的值域 题型4 幂函数图象特征与幂指数的关系 题型5 幂函数及幂函数型复合函数图象过定点 题型6 求幂函数及幂函数型复合函数的单调性 题型7 由幂函数的单调性求解参数 题型8 求幂函数及幂函数型复合函数的最值 题型9 由幂函数的最值求解参数 题型10 求解幂函数的奇偶性 题型11 幂函数的奇偶性与函数图象的对称性 知 识 点 通 关 知识点1 幂函数 1.定义：一般地，函数的称为幂函数，其中是自变量，为常数 2.幂函数的图象 3. 幂函数的性质 （1）幂函数在（0，＋∞）上都有定义； （2）当α＞0时，幂函数的图象都过点　（1，1）　和　（0，0）　，且在（0，＋∞）上单调递增； （3）当α＜0时，幂函数的图象都过点　（1，1）　，且在（0，＋∞）上单调递减； （4）当α为奇数时，y＝xα为　奇函数　；当α为偶数时，y＝xα为　偶函数　. 必记结论 ①幂函数的单调性 ②幂函数的奇偶性 知识点2 二次函数及其性质 （1）二次函数 ①一般式：()，对称轴是 顶点是； ②顶点式：()，对称轴是顶点是； ③交点式：()，其中（），（）是抛物线与x轴的交点 （2）二次函数的性质 ①函数的图象关于直线对称。 ②时，在对称轴 （）左侧，值随值的增大而减少； 在对称轴（）右侧；的值随值的增大而增大。当时，取得最小值 ③时，在对称轴 （）左侧，值随值的增大而增大； 在对称轴（）右侧；的值随值的增大而减少。当时，取得最大值 必记结论 二次函数在闭区间上的最值 设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)，闭区间为[m，n]. 当－≤m时，最小值为f(m)，最大值为f(n). （2）当m＜－≤时，最小值为f，最大值为f(n). (3)当＜－≤n时，最小值为f，最大值为f(m). (4)当－＞n时，最小值为f(n)，最大值为f(m). 知识点3 二次函数解析式 方法技巧 求二次函数解析式的三个策略 （1）已知三个点的坐标，宜选用一般式. （2）已知顶点坐标、对称轴、最大(小)值等，宜选用顶点式. （3）已知图象与x轴的两交点的坐标，宜选用零点式. 知识点4 二次函数的图象和性质 方法技巧 二次函数图象的辨析 知识点5 二次函数的单调性与最值 方法技巧 二次函数的最值类型及求解策略 （1）类型：①对称轴、区间都是固定的；②对称轴动、区间固定；③对称轴定、区间动． （2）求解策略：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成. 考 点 演 练 题型1 由幂函数的解析式求解参数 【典例1】已知函数f（x）＝（3m﹣2）xm为幂函数，若函数g（x）＝ex﹣1+f（x）﹣7，则g（x）的零点所在区间为（　　） A．（1，2） B．（2，3） C．（3，4） D．（4，5） 【变式1】已知幂函数f（x）＝（m2﹣3m﹣3）xm﹣6的图象不过原点，且关于y轴对称，则（　　） A．m＝4 B．m＝﹣1 C．m＝4或m＝﹣1 D．﹣1＜m＜4 题型2 求幂函数的定义域 【典例1】请写出一个幂函数f（x）满足以下条件：①定义域为[0，+∞）；②f（x）为增函数．则f（x）＝　 　 ． 【变式1】已知幂函数的定义域为R，且在[0，+∞）上单调递增． （1）求m的值； （2）∀x∈[1，2]，不等式af（x）﹣3x+2＞0恒成立，求实数a的取值范围． 题型3 求幂函数的值域 【典例1】下列函数中，定义域和值域不相同的是（　　） A．y＝﹣x B． C． D． 【变式1】已知a∈{﹣1，1，2，3}，则使函数y＝xa的值域为R，且为奇函数的a的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．3 D．2 题型4 幂函数图象特征与幂指数的关系 【典例1】如图所示是函数（m，n均为正整数且m，n互质）的图象，则（　　） A．m，n是奇数且 B．m是偶数，n是奇数，且 C．m是偶数，n是奇数，且 D．m，n是奇数，且 【变式1】现有4个幂函数的部分图象如图所示，则下列选项可能成立的是（　　） A．p＝3，m＝2，，n＝﹣3 B．p＝4，m＝3，，n＝﹣2 C．p＝2，m＝3，，n＝﹣3 D．，，q＝﹣2， 题型5 幂函数及幂函数型复合函数图象过定点 【典例1】已知幂函数g（x）＝（2a﹣1）xa+1的图象过函数f（x）＝mx﹣b（m＞0，且m≠1）的图象所经过的定点，则b的值等于（　　） A．± B．± C．2 D．±2 【变式1】已知函数的图象恒过定点A，幂函数g（x）的图象过点A，则（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 题型6 求幂函数及幂函数型复合函数的单调性 【典例1】已知幂函数f（x）＝xα，则下列结论正确的是（　　） A．函数y＝f（x）的图象都经过点（0，0），（1，1） B．函数y＝f（x）的图象不经过第四象限 C．若α＞0，则函数f（x）在（0，+∞）上单调递增 D．若α＝2，则对任意实数x1，x2，有 【变式1】下列说法正确的是（　　） A．若函数f（x）的定义域为[0，1]，则函数f（4x）的定义域为[0，4] B．函数的值域为 C．若alog94＝1，则 D．若幂函数，且在x∈（0，+∞）上是增函数，则实数m＝1 题型7 由幂函数的单调性求解参数 【典例1】已知幂函数f（x）＝（m2+m﹣1）xm+1在（0，+∞）上单调递增，若实数a，b满足a2+2ab＝m，则2a2+b2的最小值为（　　） A． B．1 C． D． 【变式1】已知幂函数f（x）＝（2a2﹣1）xa在（0，+∞）上单调递减，则f（2）＝（　　） A．﹣1 B．1 C． D．2 题型8 求幂函数及幂函数型复合函数的最值 【典例1】设幂函数f（x）＝（m2﹣3m﹣3）xm﹣2在（0，+∞）单调递增． （1）求f（x）的解析式； （2）设不等式f（x）≤4x+5的解集为函数g（x）＝2f（x）+a[f（x+1）﹣f（x）]的定义域，记g（x）的最小值为h（a），求h（a）的解析式． 【变式1】已知幂函数f（x）＝x﹣m2+m+2（m∈Z）在（0，+∞）上单调递增． （1）求函数f（x）的解析式； （2）设g（x）＝f（x）﹣ax+1，a为实常数，求g（x）在区间[﹣1，1]上的最小值． 题型9 由幂函数的最值求解参数 【典例1】已知函数f（x）＝（m﹣2）xm是幂函数，若f（k2+3）+f（9﹣8k）≤0，则实数k的最大值是 　　 ． 【变式1】已知函数是幂函数且在（0，+∞）上为减函数，函数在区间[0，1]上的最大值为2，试求实数m，a的值． 题型10 求解幂函数的奇偶性 【典例1】已知函数f（x）＝xα（α∈R），则（　　） A．当α＝2时，f（2）＞f（﹣3） B．当α＝﹣1时，f（x）的定义域为R C．当α＝3时，f（x）为增函数 D．当时，f（x2）为偶函数 【变式1】若幂函数是奇函数，则n＝ 　　 ． 题型11 幂函数的奇偶性与函数图象的对称性 【典例1】幂函数的图象关于y轴对称，且在（0，+∞）上是减函数，则m的值是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1】幂函数f（x）＝（m2+5m﹣5）•xm（m∈R）为偶函数，则m＝（　　） A．1 B．﹣3 C．﹣6 D．2 过 关 验 收 1．已知幂函数f（x）＝（m2﹣m﹣5）x2﹣m，且f（1）＞f（3），若f（2a）＞f（a2﹣3），则实数a的取值范围是（　　） A． B．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞） C． D． 2．已知函数f（x）＝（m2﹣m﹣1）x﹣5m﹣1是幂函数且图象与y轴无交点，则m的值为　　 ． 3．已知函数是幂函数，且为偶函数，则实数m＝　 　 ． 4．已知幂函数f（x）＝（m2﹣3m+1）xm﹣1的定义域为R，则m＝（　　） A．0 B．2 C．3 D．1 5．已知幂函数f（x）的图象过点，则函数y＝f（4x﹣3）的定义域是（　　） A．（﹣∞，+∞） B． C． D． 6．下列函数中，在（0，+∞）上的值域是（0，+∞）的是（　　） A． B．y＝x2﹣2x+1 C． D．y＝x3 7．已知幂函数f（x）＝（m﹣1）2•x2m﹣1在（0，+∞）上单调递增． （1）求f（x）的值域； （2）若∀x＞0，，求a的取值范围． 8．已知幂函数y1＝xa，y2＝xb，y3＝xc，y4＝xd在第一象限的图象如图所示，则（　　） A．a＞b＞c＞d B．b＞c＞d＞a C．d＞b＞c＞a D．c＞b＞d＞a 9．如图中，①②③④中不属于函数y＝3x，y＝2x，中一个的是（　　） A．① B．② C．③ D．④ 10．已知幂函数y＝f（x），恒过点，则（　　） A．y＝f（x）的定义域是（0，+∞） B．y＝f（x）是偶函数 C．y＝f（x）在定义域上单调递增 D．y＝f（x）无最小值 11．已知幂函数f（x）＝xα的图象过点（4，2），则α＝　　 　． 12．幂函数f（x）＝（m2﹣2m﹣2）xm在（0，+∞）上单调递增，则g（x）＝ax﹣m+1（a＞1）的图象过定点 　　　 　　 ． 13．给出下列结论： ①函数f（x）＝|x+1|+|x﹣1|为偶函数； ②y＝x2+1，x∈[﹣1，2]，y的值域是[2，5]； ③已知幂函数y＝f（x）的图像经过点（2，4），则的值为2； ④函数f（x）＝ax+1﹣2（a＞0，a≠1）的图象过定点（﹣1，﹣1）； 其中正确的序号是 　 　 ． 14．α∈R，函数f（x）＝（x﹣1）α+3的图像恒过定点P，则点P的坐标为 　　　 　　 ． 15．幂函数f（x）＝xα的图象过点（2，4），那么函数f（x）的单调递增区间是（　　） A．（﹣2，+∞） B．[﹣1，+∞） C．[0，+∞） D．（﹣∞，﹣2） 16．设幂函数f（x）＝xα，则“α＜0”是“f（x）在定义域内单调递减”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 17．已知幂函数f（x）的图象经过点，则f（x）（　　） A．为偶函数且在区间（0，+∞）上单调递增 B．为偶函数且在区间（0，+∞）上单调递减 C．为奇函数且在区间（0，+∞）上单调递增 D．为奇函数且在区间（0，+∞）上单调递减 18．已知幂函数f（x）＝（m2﹣m+1）x﹣2m+1在（0，+∞）上单调递减，则实数m的值为（　　） A．0或1 B．﹣1或1 C．1 D．0 19．“k＝﹣3”是“f（x）＝（k+2）2xk是幂函数且在（0，+∞）上单调递减”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 20．已知函数y＝3x图象上不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2）到直线的距离相等，则（　　） A．x1x2＜0 B．x1+x2＜﹣2 C． D． 21．幂函数f（x）＝（m2﹣m﹣1）x2m+1在区间（0，+∞）上单调递增，则m＝　　 　 ． 22．已知幂函数（m∈Z），在区间（0，+∞）上是单调减函数．若f（sinα+cosα）＝5，α∈（0，π），则f（sinα﹣cosα）＝　　 　 ． 23．已知幂函数f（x）＝xα的图象过点，则函数g（x）＝（x﹣3）f（x）在区间上的最小值是（　　） A．﹣1 B．﹣2 C．﹣4 D．﹣8 24．若幂函数y＝f（x）的图像经过点（18，），则函数f（x﹣6）+[f（x）]2的最小值为（　　） A． B． C．6 D． 25．已知幂函数f（x）＝xα（α为常数）过点（4，2），则f（a﹣3）+f（5﹣a）的最大值为 　　 　 ． 26．已知幂函数f（x）的图象过点（2，4）． （1）求函数f（x）的解析式； （2）设函数g（x）＝2f（x）﹣8x+a﹣1，若g（x）＞0对任意x∈[﹣1，1]恒成立，求实数a的取值范围． 27．已知幂函数f（x）＝（m﹣1）2x2m﹣1在（0，+∞）上单调递增． （1）求m的值； （2）若∀x＞0，，求a的取值范围． 28．若函数f（x）是偶函数，且值域为（0，+∞），则f（x）可以是（　　） A． B． C．f（x）＝x2 D． 29．若幂函数f（x）＝（t2﹣5t+7）xt+1是奇函数，则t＝　　 　　 ． 30．已知幂函数的图象关于y轴对称，且在（0，+∞）上是减函数． （1）求m和k的值； （2）求满足的a的取值范围． 31．已知幂函数（m∈Z）的图像关于y轴对称，且f（2）＜f（3）． （1）求m的值及函数f（x）的解析式； （2）若f（a+2）＜f（1﹣2a），求实数a的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第08讲 幂函数与二次函数 内 容 导 航 知识点1 幂函数 知识点2 二次函数及其性质 知识点3 二次函数解析式 知识点4 二次函数的图象和性质 知识点5 二次函数的单调性与最值 题型1 由幂函数的解析式求解参数 题型2 求幂函数的定义域 题型3 求幂函数的值域 题型4 幂函数图象特征与幂指数的关系 题型5 幂函数及幂函数型复合函数图象过定点 题型6 求幂函数及幂函数型复合函数的单调性 题型7 由幂函数的单调性求解参数 题型8 求幂函数及幂函数型复合函数的最值 题型9 由幂函数的最值求解参数 题型10 求解幂函数的奇偶性 题型11 幂函数的奇偶性与函数图象的对称性 知 识 点 通 关 知识点1 幂函数 1.定义：一般地，函数的称为幂函数，其中是自变量，为常数 2.幂函数的图象 3. 幂函数的性质 （1）幂函数在（0，＋∞）上都有定义； （2）当α＞0时，幂函数的图象都过点　（1，1）　和　（0，0）　，且在（0，＋∞）上单调递增； （3）当α＜0时，幂函数的图象都过点　（1，1）　，且在（0，＋∞）上单调递减； （4）当α为奇数时，y＝xα为　奇函数　；当α为偶数时，y＝xα为　偶函数　. 必记结论 ①幂函数的单调性 ②幂函数的奇偶性 知识点2 二次函数及其性质 （1）二次函数 ①一般式：()，对称轴是 顶点是； ②顶点式：()，对称轴是顶点是； ③交点式：()，其中（），（）是抛物线与x轴的交点 （2）二次函数的性质 ①函数的图象关于直线对称。 ②时，在对称轴 （）左侧，值随值的增大而减少； 在对称轴（）右侧；的值随值的增大而增大。当时，取得最小值 ③时，在对称轴 （）左侧，值随值的增大而增大； 在对称轴（）右侧；的值随值的增大而减少。当时，取得最大值 必记结论 二次函数在闭区间上的最值 设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)，闭区间为[m，n]. 当－≤m时，最小值为f(m)，最大值为f(n). （2）当m＜－≤时，最小值为f，最大值为f(n). (3)当＜－≤n时，最小值为f，最大值为f(m). (4)当－＞n时，最小值为f(n)，最大值为f(m). 知识点3 二次函数解析式 方法技巧 求二次函数解析式的三个策略 （1）已知三个点的坐标，宜选用一般式. （2）已知顶点坐标、对称轴、最大(小)值等，宜选用顶点式. （3）已知图象与x轴的两交点的坐标，宜选用零点式. 知识点4 二次函数的图象和性质 方法技巧 二次函数图象的辨析 知识点5 二次函数的单调性与最值 方法技巧 二次函数的最值类型及求解策略 （1）类型：①对称轴、区间都是固定的；②对称轴动、区间固定；③对称轴定、区间动． （2）求解策略：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成. 考 点 演 练 题型1 由幂函数的解析式求解参数 【典例1】已知函数f（x）＝（3m﹣2）xm为幂函数，若函数g（x）＝ex﹣1+f（x）﹣7，则g（x）的零点所在区间为（　　） A．（1，2） B．（2，3） C．（3，4） D．（4，5） 【答案】B 【解答】解：因为函数f（x）＝（3m﹣2）xm为幂函数， 所以3m﹣2＝1，即m＝1，f（x）＝x， 若函数g（x）＝ex﹣1+f（x）﹣7＝ex﹣1+x﹣7在R上单调递增， 因为g（2）＝e﹣5＜0，g（3）＝e2﹣4＞0， 则g（x）的零点所在区间为（2，3）． 故选：B． 【变式1】已知幂函数f（x）＝（m2﹣3m﹣3）xm﹣6的图象不过原点，且关于y轴对称，则（　　） A．m＝4 B．m＝﹣1 C．m＝4或m＝﹣1 D．﹣1＜m＜4 【答案】A 【解答】解：由幂函数的定义可知，m2﹣3m﹣3＝1， 解得m＝4或m＝﹣1， 当m＝4时，，图象不过原点，且是偶函数，图象关于y轴对称，满足题意， 当m＝﹣1时，，是奇函数，其图象关于原点中心对称，不满足题意， 综上所述，m＝4． 故选：A． 题型2 求幂函数的定义域 【典例1】请写出一个幂函数f（x）满足以下条件：①定义域为[0，+∞）；②f（x）为增函数．则f（x）＝　 　 ． 【答案】f（x）（答案不唯一）． 【解答】解：根据幂函数的性质，f（x）， 故答案为：f（x）（答案不唯一）． 【变式1】已知幂函数的定义域为R，且在[0，+∞）上单调递增． （1）求m的值； （2）∀x∈[1，2]，不等式af（x）﹣3x+2＞0恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】（1）﹣3．（2）a． 【解答】解：（1）∵幂函数的定义域为R，且在[0，+∞）上单调递增， ∴m2+2m﹣2＝1，且m2﹣7＞0， 求得m＝﹣3，f（x）＝x2． （2）∵∀x∈[1，2]，不等式af（x）﹣3x+2＞0恒成立，即a 恒成立，即a＞﹣23（） 恒成立． 令t∈[，1]，则a＞h（t）＝﹣2t2+3t＝﹣2， 故当t时，h（t）取得最大值为，∴a． 题型3 求幂函数的值域 【典例1】下列函数中，定义域和值域不相同的是（　　） A．y＝﹣x B． C． D． 【答案】D 【解答】解：对于A：函数y＝﹣x+2的定义域为R，值域也为R，不符合题意； 对于B：函数的定义域和值域都为[0，+∞），不符合题意； 对于C：的定义域和值域都为{x|x≠0}，不符合题意； 对于D：的定义域为R， 当x≤0时，y＝x﹣2≤﹣2；当x＞0时，y＝x+2＞2； 所以值域为（﹣∞，﹣2]∪（2，+∞），定义域和值域不相同，符合题意； 故选：D． 【变式1】已知a∈{﹣1，1，2，3}，则使函数y＝xa的值域为R，且为奇函数的a的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．3 D．2 【答案】AC 【解答】解：因为y＝xa的值域为R，所以a＝1，2，3， 又因为y＝xa为奇函数，所以a＝1，3． 故选：AC． 题型4 幂函数图象特征与幂指数的关系 【典例1】如图所示是函数（m，n均为正整数且m，n互质）的图象，则（　　） A．m，n是奇数且 B．m是偶数，n是奇数，且 C．m是偶数，n是奇数，且 D．m，n是奇数，且 【答案】B 【解答】解：由幂函数性质可知：与y＝x恒过点（1，1），即在第一象限的交点为（1，1）， 当0＜x＜1时，，则， 又图象关于y轴对称， ∴为偶函数， ∴， 又m，n互质， ∴m为偶数，n为奇数． 故选：B． 【变式1】现有4个幂函数的部分图象如图所示，则下列选项可能成立的是（　　） A．p＝3，m＝2，，n＝﹣3 B．p＝4，m＝3，，n＝﹣2 C．p＝2，m＝3，，n＝﹣3 D．，，q＝﹣2， 【答案】AB 【解答】解：对于幂函数y＝xα，若函数在（0，+∞）上单调递增，则α＞0，若函数在（0，+∞）上单调递减，则α＜0，所以n＜0，D选项错误； 当x＞1时，若y＝xα的图象在y＝x的上方，则α＞1，若y＝xα的图象在y＝x的下方，则α＜1， 所以p＞1，m＞1，0＜q＜1，C选项错误； 因为当x＞1时，指数越大，图象越高，所以p＞m， 综上，p＞m＞1＞q＞0＞n，AB选项正确． 故选：AB． 题型5 幂函数及幂函数型复合函数图象过定点 【典例1】已知幂函数g（x）＝（2a﹣1）xa+1的图象过函数f（x）＝mx﹣b（m＞0，且m≠1）的图象所经过的定点，则b的值等于（　　） A．± B．± C．2 D．±2 【答案】B 【解答】解：函数g（x）＝（2a﹣1）xa+1是幂函数， ∴2a﹣1＝1，解得a＝1， ∴g（x）＝x2； 令x﹣b＝0，解得x＝b， ∴函数f（x）＝mx﹣b的图象经过定点（b，）， ∴b2，解得b＝±． 故选：B． 【变式1】已知函数的图象恒过定点A，幂函数g（x）的图象过点A，则（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解答】解：对于函数函数， 令x﹣2＝0可得x＝2，此时f（2）， 因为幂函数g（x）＝xa的图象过，得， 则α＝﹣2，故g（x）＝x﹣2，g（）＝（）﹣2＝4． 故选：D． 题型6 求幂函数及幂函数型复合函数的单调性 【典例1】已知幂函数f（x）＝xα，则下列结论正确的是（　　） A．函数y＝f（x）的图象都经过点（0，0），（1，1） B．函数y＝f（x）的图象不经过第四象限 C．若α＞0，则函数f（x）在（0，+∞）上单调递增 D．若α＝2，则对任意实数x1，x2，有 【答案】BCD 【解答】解：对于A，当α＝﹣1时，f（x），不经过原点，选项A错误； 对于B，当x＞0时，xα＞0，幂函数f（x）的图象不经过第四象限，选项B正确； 对于C，若α＞0，则函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，选项C正确； 对于D，α＝2时f（x）＝x2，则f（）， ， 所以f（）， 当且仅当x1＝x2时，等号成立， 所以，选项D正确． 故选：BCD． 【变式1】下列说法正确的是（　　） A．若函数f（x）的定义域为[0，1]，则函数f（4x）的定义域为[0，4] B．函数的值域为 C．若alog94＝1，则 D．若幂函数，且在x∈（0，+∞）上是增函数，则实数m＝1 【答案】BC 【解答】解：对于选项A，因为函数f（x）的定义域为[0，1]，由0≤4x≤1，得到， 得到函数f（4x）的定义域为，所以选项A错误， 对于选项B，因为，令t＝x2+3≥3，所以， 得到，所以函数的值域为，故选项B正确， 对于选项C，因为alog94＝1，得到，所以，得到3＝2a，即，所以选项C正确， 对于选项D，因为为幂函数，且在x∈（0，+∞）上是增函数， 所以，解得m＝2，故选项D错误． 故选：BC． 题型7 由幂函数的单调性求解参数 【典例1】已知幂函数f（x）＝（m2+m﹣1）xm+1在（0，+∞）上单调递增，若实数a，b满足a2+2ab＝m，则2a2+b2的最小值为（　　） A． B．1 C． D． 【答案】B 【解答】解：因为f（x）＝（m2+m﹣1）xm+1是幂函数，且在（0，+∞）上单调递增， 所以，解得m＝1， 所以a2+2ab＝1，则， 所以， 当且仅当，即时等号成立． 故选：B． 【变式1】已知幂函数f（x）＝（2a2﹣1）xa在（0，+∞）上单调递减，则f（2）＝（　　） A．﹣1 B．1 C． D．2 【答案】C 【解答】解：∵f（x）＝（2a2﹣1）xa是幂函数，∴2a2﹣1＝1，解得a＝±1． 又幂函数f（x）在（0，+∞）上单调递减，∴a＜0，∴a＝﹣1， ∴f（x）＝x﹣1，∴f（2）． 故选：C． 题型8 求幂函数及幂函数型复合函数的最值 【典例1】设幂函数f（x）＝（m2﹣3m﹣3）xm﹣2在（0，+∞）单调递增． （1）求f（x）的解析式； （2）设不等式f（x）≤4x+5的解集为函数g（x）＝2f（x）+a[f（x+1）﹣f（x）]的定义域，记g（x）的最小值为h（a），求h（a）的解析式． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵f（x）＝（m2﹣3m﹣3）xm﹣2是幂函数且在（0，+∞）单调递增， ∴，解得m＝4，∴f（x）＝x2． （2）f（x）≤4x+5即x2﹣4x﹣5≤0，解得﹣1≤x≤5， ∴g（x）的定义域为[﹣1，5]， g（x）＝2f（x）+a[f（x+1）﹣f（x）]＝2x2+a[（x+1）2﹣x2]＝2x2+2ax+a， 对称轴为x， 当，即a≥2时，g（x）min＝g（﹣1）＝2﹣2a+a＝2﹣a； 当，即﹣10＜a＜2时，； 当，即a≤﹣10时，． 所以，． 【变式1】已知幂函数f（x）＝x﹣m2+m+2（m∈Z）在（0，+∞）上单调递增． （1）求函数f（x）的解析式； （2）设g（x）＝f（x）﹣ax+1，a为实常数，求g（x）在区间[﹣1，1]上的最小值． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）因为幂函数f（x）＝x﹣m2+m+2在（0，+∞）上单调递增， 所以﹣m2+m+2＞0，故﹣1＜m＜2． 又因为m∈Z，故m＝0，或m＝1，所以f（x）＝x2． （2）由（1）知g（x）＝x2﹣ax+1， ①若1，即a≤﹣2时，g（x）在[﹣1，1]上单调递增， 所以g（x）min＝g（﹣1）＝a+2． ②若﹣11，即﹣2＜a≤2时， g（x）在[﹣1，]上单调递减，[，1]上单调递增， 所以g（x）min＝g（）＝1． ③若1，即a＞2时，g（x）在[﹣1，1]上单调递减， 所以g（x）min＝g（1）＝2﹣a． 综上：a≤﹣2时，g（x）在区间[﹣1，1]上的最小值为a+2； ﹣2＜a≤2时，g（x）在区间[﹣1，1]上的最小值为1； a＞2时，g（x）在区间[﹣1，1]上的最小值为2﹣a． 题型9 由幂函数的最值求解参数 【典例1】已知函数f（x）＝（m﹣2）xm是幂函数，若f（k2+3）+f（9﹣8k）≤0，则实数k的最大值是 　　 ． 【答案】6． 【解答】解：∵函数f（x）＝（m﹣2）xm是幂函数， ∴m﹣2＝1，m＝3，f（x）＝x3，故函数f（x）为奇函数，且在R上单调递增． 若f（k2+3）+f（9﹣8k）≤0，则f（k2+3）≤f（8k﹣9），∴k2+3≤8k﹣9，求得2≤k≤6， 实数k的最大值为6， 故答案为：6． 【变式1】已知函数是幂函数且在（0，+∞）上为减函数，函数在区间[0，1]上的最大值为2，试求实数m，a的值． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：因为函数是幂函数且在上为减函数，所以有 解得m＝﹣1． ∴5’ ①当，[0，1]是f（x）的单调递减区间， ∴ ∴a＝﹣6＜0， ∴a＝﹣6﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣7’ ②当，， 解得a＝﹣2（舍）或a＝3（舍）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣9’ ③，[0，1]为f（x）的单调递增区间， ∴，解得11’ 综合①②③可知12’ 题型10 求解幂函数的奇偶性 【典例1】已知函数f（x）＝xα（α∈R），则（　　） A．当α＝2时，f（2）＞f（﹣3） B．当α＝﹣1时，f（x）的定义域为R C．当α＝3时，f（x）为增函数 D．当时，f（x2）为偶函数 【答案】CD 【解答】解：对于A：f（x）＝x2，则f（2）＝4，f（﹣3）＝9，故A错误； 对于B：的定义域为{x|x≠0}，故B错误； 对于C：f（x）＝x3为增函数，故C正确； 对于D：的定义域为[0，+∞）， y＝x2∈[0，+∞），所以f（x2）的定义域为R， 令g（x）＝f（x2），则g（﹣x）＝f（（﹣x）2）＝f（x2）＝g（x）， 所以f（x2）为偶函数，故D正确． 故选：CD． 【变式1】若幂函数是奇函数，则n＝ 　　 ． 【答案】1． 【解答】解：根据幂函数的定义知，令n2+n﹣1＝1，解得n＝﹣2或n＝1， 当n＝﹣2时，n2﹣2n＝（﹣2）2﹣2×（﹣2）＝8，f（x）＝x8，是定义域R上的偶函数，不合题意； 当n＝1时，n2﹣2n＝12﹣2×1＝﹣1，f（x）＝x﹣1，定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），关于原点对称， 且f（﹣x）＝（﹣x）﹣1＝﹣x﹣1＝﹣f（x），是奇函数，满足题意； 综上，n＝1． 故答案为：1． 题型11 幂函数的奇偶性与函数图象的对称性 【典例1】幂函数的图象关于y轴对称，且在（0，+∞）上是减函数，则m的值是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【解答】解：幂函数在（0，+∞）上是减函数， 则m2﹣2m﹣3＜0，解得﹣1＜m＜3， m∈Z， 则m＝0，1，2， 当m＝0或2时，m2﹣2m﹣3均为奇数，不符合题意，舍去， 当m＝1时，在m2﹣2m﹣3为偶数，符合题意． 故选：A． 【变式1】幂函数f（x）＝（m2+5m﹣5）•xm（m∈R）为偶函数，则m＝（　　） A．1 B．﹣3 C．﹣6 D．2 【答案】C 【解答】解：幂函数f（x）＝（m2+5m﹣5）•xm（m∈R）为偶函数， 由题意可知，m2+5m﹣5＝1，得m＝﹣6或1， 若m＝﹣6，则f（x）＝x﹣6，是偶函数，符合题意， 若m＝1，则f（x）＝x，是奇函数，不符合题意， 故m＝﹣6． 故选：C． 过 关 验 收 1．已知幂函数f（x）＝（m2﹣m﹣5）x2﹣m，且f（1）＞f（3），若f（2a）＞f（a2﹣3），则实数a的取值范围是（　　） A． B．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞） C． D． 【答案】D 【解答】解：由f（x）＝（m2﹣m﹣5）x2﹣m为幂函数可知：m2﹣m﹣5＝1， 解得m＝﹣2或3， 又f（1）＞f（3），故m＝3， 或或， 即． 故选：D． 2．已知函数f（x）＝（m2﹣m﹣1）x﹣5m﹣1是幂函数且图象与y轴无交点，则m的值为　　 ． 【答案】2 【解答】解：∵函数f（x）＝（m2﹣m﹣1）x﹣5m﹣1是幂函数且图象与y轴无交点， ∴， 解得m＝2． 故答案为：2． 3．已知函数是幂函数，且为偶函数，则实数m＝　 　 ． 【答案】2． 【解答】解：因为函数是幂函数， 所以m2﹣m﹣1＝1，所以m＝2或m＝﹣1， m＝2时，f（x）＝x﹣2，是偶函数， m＝﹣1时，f（x）＝x，是奇函数，不符合题意， 所以m＝2． 故答案为：2． 4．已知幂函数f（x）＝（m2﹣3m+1）xm﹣1的定义域为R，则m＝（　　） A．0 B．2 C．3 D．1 【答案】C 【解答】解：函数f（x）为幂函数，则m2﹣3m+1＝1，解得m＝3或m＝0， 当m＝0时，f（x）＝x﹣1的定义域不为R，不符合题意， 当m＝3时，f（x）＝x2的定义域为R，符合题意， 综上，m＝3． 故选：C． 5．已知幂函数f（x）的图象过点，则函数y＝f（4x﹣3）的定义域是（　　） A．（﹣∞，+∞） B． C． D． 【答案】D 【解答】解：∵f（x）是幂函数， ∴设f（x）＝xm，把点代入解析式， 得8m，解得m，故f（x）， 则函数y＝f（4x﹣3），可得4x﹣3＞0，解得x． 故选：D． 6．下列函数中，在（0，+∞）上的值域是（0，+∞）的是（　　） A． B．y＝x2﹣2x+1 C． D．y＝x3 【答案】ACD 【解答】解：A．y，当x∈（0，+∞）时，y∈（0，+∞），故正确； B．y＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，当x∈（0，+∞）时，y∈[0，+∞），故错误； C．y，反比例函数，当x∈（0，+∞）时，y∈（0，+∞），故正确； D．y＝x3，单调递增的幂函数，当x∈（0，+∞）时，y∈（0，+∞），故正确； 故选：ACD． 7．已知幂函数f（x）＝（m﹣1）2•x2m﹣1在（0，+∞）上单调递增． （1）求f（x）的值域； （2）若∀x＞0，，求a的取值范围． 【答案】（1）R； （2）[2，+∞）． 【解答】解：（1）因为幂函数f（x）＝（m﹣1）2•x2m﹣1在（0，+∞）上单调递增， 所以解得m＝2， 所以f（x）＝x3． 故f（x）的值域为R． （2）由题可得∀x＞0，，则a≥4x﹣2x2， 当时，y＝4x﹣2x2有最大值2， 则a≥2，即a的取值范围为[2，+∞）． 8．已知幂函数y1＝xa，y2＝xb，y3＝xc，y4＝xd在第一象限的图象如图所示，则（　　） A．a＞b＞c＞d B．b＞c＞d＞a C．d＞b＞c＞a D．c＞b＞d＞a 【答案】B 【解答】解：根据幂函数y1＝xa，y2＝xb，y3＝xc，y4＝xd在第一象限的图象知， b＞c＞1＞d＞0＞a， 即b＞c＞d＞a． 故选：B． 9．如图中，①②③④中不属于函数y＝3x，y＝2x，中一个的是（　　） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【解答】解：由指数函数的性质可知： ①是的部分图象；③是y＝2x的部分图象；④是y＝3x的部分图象； 所以只有②不是指数函数的图象． 故选：B． 10．已知幂函数y＝f（x），恒过点，则（　　） A．y＝f（x）的定义域是（0，+∞） B．y＝f（x）是偶函数 C．y＝f（x）在定义域上单调递增 D．y＝f（x）无最小值 【答案】BD 【解答】解：设f（x）＝xα，恒过点，解得α＝﹣2， 即；定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞）；值域为（0，+∞），故无最小值；f（﹣x）＝f（x），故为偶函数； ，在（﹣∞，0）上单调递增，在（0，+∞）上单调递减， 故选：BD． 11．已知幂函数f（x）＝xα的图象过点（4，2），则α＝　　 　． 【答案】 【解答】解：∵4α＝2， 解得， 故答案为： 12．幂函数f（x）＝（m2﹣2m﹣2）xm在（0，+∞）上单调递增，则g（x）＝ax﹣m+1（a＞1）的图象过定点 　　　 　　 ． 【答案】（3，2）． 【解答】解：∵幂函数f（x）＝（m2﹣2m﹣2）xm在（0，+∞）上单调递增， ∴m2﹣2m﹣2＝1且m＞0，∴m＝3， ∴g（x）＝ax﹣3+1（a＞1）， 令x﹣3＝0，则x＝3，g（3）＝ax﹣3+1＝2， ∴g（x）＝ax﹣m+1的图象过定点（3，2）， 故答案为：（3，2）． 13．给出下列结论： ①函数f（x）＝|x+1|+|x﹣1|为偶函数； ②y＝x2+1，x∈[﹣1，2]，y的值域是[2，5]； ③已知幂函数y＝f（x）的图像经过点（2，4），则的值为2； ④函数f（x）＝ax+1﹣2（a＞0，a≠1）的图象过定点（﹣1，﹣1）； 其中正确的序号是 　 　 ． 【答案】①③④． 【解答】解：①，∵f（﹣x）＝|﹣x+1|+|﹣x﹣1|＝|x﹣1|+|x+1|＝f（x），∴函数f（x）＝|x+1|+|x﹣1|为偶函数，∴①正确， ②，∵y＝x2+1，x∈[﹣1，2]，∴当x＝0时，则ymin＝1，当x＝2时，则ymax＝5，∴函数的值域为[1，5]，∴②错误， ③，设y＝f（x）＝xα，∵幂函数y＝f（x）的图像经过点（2，4）， ∴2α＝4，∴α＝2，∴y＝f（x）＝x2，∴f（）＝2，∴③正确， ④，令x+1＝0，则x＝﹣1，y＝1﹣2＝﹣1， ∴函数f（x）＝ax+1﹣2（a＞0，a≠1）的图象过定点（﹣1，﹣1），∴④正确， 故答案为：①③④． 14．α∈R，函数f（x）＝（x﹣1）α+3的图像恒过定点P，则点P的坐标为 　　　 　　 ． 【答案】（2，4）． 【解答】解：令x﹣1＝1，则x＝2， 所以f（2）＝1α+3＝1+3＝4， 所以函数f（x）＝（x﹣1）α+3的图像恒过定点P（2，4）． 故答案为：（2，4）． 15．幂函数f（x）＝xα的图象过点（2，4），那么函数f（x）的单调递增区间是（　　） A．（﹣2，+∞） B．[﹣1，+∞） C．[0，+∞） D．（﹣∞，﹣2） 【答案】C 【解答】解：幂函数f（x）＝xα的图象过点（2，4）， 所以4＝2α，即 α＝2，所以幂函数为f（x）＝x2 它的单调递增区间是：[0，+∞） 故选：C． 16．设幂函数f（x）＝xα，则“α＜0”是“f（x）在定义域内单调递减”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】B 【解答】解：若幂函数f（x）＝xα在定义域内单调递减，则α＜0； 当α＝﹣1＜0时，f（x）＝x﹣1，在定义域（﹣∞，0）∪（0，+∞）上不是单调递减函数； 所以是必要不充分条件． 故选：B． 17．已知幂函数f（x）的图象经过点，则f（x）（　　） A．为偶函数且在区间（0，+∞）上单调递增 B．为偶函数且在区间（0，+∞）上单调递减 C．为奇函数且在区间（0，+∞）上单调递增 D．为奇函数且在区间（0，+∞）上单调递减 【答案】B 【解答】解：设幂函数为f（x）＝xα， 幂函数f（x）的图象经过点， 则，解得α＝﹣2， 故f（x）＝x﹣2， 所以f（x）为偶函数且在区间（0，+∞）上单调递减． 故选：B． 18．已知幂函数f（x）＝（m2﹣m+1）x﹣2m+1在（0，+∞）上单调递减，则实数m的值为（　　） A．0或1 B．﹣1或1 C．1 D．0 【答案】C 【解答】解：因为幂函数f（x）＝（m2﹣m+1）x﹣2m+1在（0，+∞）上单调递减， 所以m2﹣m+1＝1且﹣2m+1＜0， 解得m＝1或m＝0（舍）． 故选：C． 19．“k＝﹣3”是“f（x）＝（k+2）2xk是幂函数且在（0，+∞）上单调递减”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解答】解：∵k＝﹣3，∴f（x）＝（﹣3+2）2x﹣3＝x﹣3， ∴f（x）是幂函数且在（0，+∞）上单调递减，故充分性成立； ∵f（x）＝（k+2）2xk是幂函数，∴（k+2）2＝1， ∴k+2＝±1，∴k＝±1﹣2，∴k＝﹣1或k＝﹣3， 当k＝﹣1时，f（x）＝x﹣1在（0，+∞）上单调递减，符合题意； 当k＝﹣3时，f（x）＝x﹣3在（0，+∞）上单调递减，符合题意； 综上可知，f（x）＝（k+2）2xk是幂函数且在（0，+∞）上单调递减， 则k＝﹣1或k＝﹣3，故必要性不成立． 故选：A． 20．已知函数y＝3x图象上不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2）到直线的距离相等，则（　　） A．x1x2＜0 B．x1+x2＜﹣2 C． D． 【答案】B 【解答】解：不妨设x1＜x2， ∵两点A（x1，y1），B（x2，y2）到直线的距离相等， ∵x1到的距离不超过，而点（0，1）到的距离为， ∴x2＜0，故x1x2＞0，故A错误； A，B到直线的距离相等，则， ∴，则，得到，即x1+x2＜﹣2，故B正确； y1＞0，y2＞0且y1≠y2，又，即， 则，C错误； ∵x1+x2＜﹣2，故，∴，故，D错误． 故选：B． 21．幂函数f（x）＝（m2﹣m﹣1）x2m+1在区间（0，+∞）上单调递增，则m＝　　 　 ． 【答案】2． 【解答】解：因为幂函数f（x）＝（m2﹣m﹣1）x2m+1在区间（0，+∞）上单调递增， 所以，解得，即m＝2． 故答案为：2． 22．已知幂函数（m∈Z），在区间（0，+∞）上是单调减函数．若f（sinα+cosα）＝5，α∈（0，π），则f（sinα﹣cosα）＝　　 　 ． 【答案】． 【解答】解：幂函数（m∈Z），在区间（0，+∞）上是单调减函数， 由题意可得m2﹣2m＜0，解得0＜m＜2，又m∈Z，所以m＝1，所以， ，所以， 所以， 所以，即， 因为α∈（0，π），，所以， 所以sinα＞0，cosα＜0，sinα﹣cosα＞0， 所以， 所以． 故答案为：． 23．已知幂函数f（x）＝xα的图象过点，则函数g（x）＝（x﹣3）f（x）在区间上的最小值是（　　） A．﹣1 B．﹣2 C．﹣4 D．﹣8 【答案】D 【解答】解：因为幂函数f（x）＝xα的图像过点， 所以，得α＝﹣1， 所以， 则显然在区间上单调递增， 所以所求最小值为． 故选：D． 24．若幂函数y＝f（x）的图像经过点（18，），则函数f（x﹣6）+[f（x）]2的最小值为（　　） A． B． C．6 D． 【答案】C 【解答】解：设函数f（x）＝xα， 由题意可知，解得a， ∴f（x）， f（x﹣6）+[f（x）]2，x≥6， 令t，则x＝t2+6，且t≥0， ∴f（x﹣6）+[f（x）]2， ∴函数y＝t2+t+6在[0，+∞）上单调递增， ∴当t＝0，即x＝6时，函数取得最小值6． 故选：C． 25．已知幂函数f（x）＝xα（α为常数）过点（4，2），则f（a﹣3）+f（5﹣a）的最大值为 　　 　 ． 【答案】2． 【解答】解：∵幂函数f（x）＝xα（α为常数）过点（4，2）， ∴4α＝2，∴α，f（x）， 则f（a﹣3）+f（5﹣a），∴， ∴f（a﹣3）+f（5﹣a），3≤a≤5， ∵（）2＝a﹣3+5﹣a+222， ∴当a＝4时，（）2取最大值4， ∴2， ∴f（a﹣3）+f（5﹣a）的最大值为2． 故答案为：2． 26．已知幂函数f（x）的图象过点（2，4）． （1）求函数f（x）的解析式； （2）设函数g（x）＝2f（x）﹣8x+a﹣1，若g（x）＞0对任意x∈[﹣1，1]恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】（1）f（x）＝x2．（2）（7，+∞）． 【解答】解：（1）幂函数f（x）＝xa的图象过点（2，4）， ∴f（2）＝2α＝4，∴α＝2， ∴f（x）＝x2． （2）函数g（x）＝2f（x）﹣8x+a﹣1＝2（x﹣2）2+a﹣9， ∴g（x）＝2f（x）﹣8x+a﹣1，它的对称轴为x＝2，∴g（x）在[﹣1，1]上为减函数， ∴x∈[﹣1，1]时，，∴a＞7， ∴a的取值范围为（7，+∞）． 27．已知幂函数f（x）＝（m﹣1）2x2m﹣1在（0，+∞）上单调递增． （1）求m的值； （2）若∀x＞0，，求a的取值范围． 【答案】（1）2；（2）[2，+∞）． 【解答】解：（1）∵幂函数f（x）＝（m﹣1）2x2m﹣1在（0，+∞）上单调递增， ∴，解得m＝2． （2）由（1）知，f（x）＝x3， ∀x＞0，， 即，∴a≥4x﹣2x2恒成立， 当时，4x﹣2x2有最大值2，∴a≥2， ∴a的取值范围为[2，+∞）． 28．若函数f（x）是偶函数，且值域为（0，+∞），则f（x）可以是（　　） A． B． C．f（x）＝x2 D． 【答案】B 【解答】解：f（x），可得x≥0，不具有奇偶性，A错； f（x），可得x≠0，且f（﹣x）＝f（x），是偶函数，且y＞0，故B正确； f（x）＝x2，y≥0，C错； f（x），x＞0，不具有奇偶性，D错． 故选：B． 29．若幂函数f（x）＝（t2﹣5t+7）xt+1是奇函数，则t＝　　 　　 ． 【答案】2． 【解答】解：幂函数f（x）＝（t2﹣5t+7）xt+1是奇函数 可知t2﹣5t+7＝1，即t2﹣5t+6＝0，解得t＝2或t＝3． 当t＝2时，f（x）＝x3，其定义域为R，f（﹣x）＝（﹣x）3＝﹣x3＝﹣f（x），此时f（x）为奇函数； 当t＝3时，f（x）＝x4，其定义域为R，f（﹣x）＝（﹣x）4＝x4＝f（x），此时f（x）为偶函数； 综上，t＝2． 故答案为：2． 30．已知幂函数的图象关于y轴对称，且在（0，+∞）上是减函数． （1）求m和k的值； （2）求满足的a的取值范围． 【答案】（1）k＝3或k＝﹣1，m＝1； （2）{a|或a＜﹣1}． 【解答】解：（1）由题意得k2﹣2k﹣2＝1，m2﹣2m﹣3＜0且m2﹣2m﹣3为偶数，m∈N*， 解得k＝3或k＝﹣1，m＝1； （2）因为， 所以a+1≠0，3﹣2a≠0， 当，即a＜﹣1时，不等式显然成立， 当时，a不存在， 当，即﹣1＜a时，有a+1＞3﹣2a， 解得a， 此时， 综上，a的取值范围为 故a的取值范围为{a|或a＜﹣1}． 31．已知幂函数（m∈Z）的图像关于y轴对称，且f（2）＜f（3）． （1）求m的值及函数f（x）的解析式； （2）若f（a+2）＜f（1﹣2a），求实数a的取值范围． 【答案】（1）m＝2，f（x）＝x4． （2）（﹣∞，）∪（3，+∞）． 【解答】解：（1）幂函数的图像关于y轴对称，且f（2）＜f（3）； 所以f（x）在区间（0，+∞）为增函数， 所以4m﹣m2＞0，即m2﹣4m＜0，解得0＜m＜4； 又因为m∈Z，f（x）是偶函数， 所以4m﹣m2为偶数，所以m＝2； 函数f（x）的解析式为：f（x）＝x4． （2）不等式f（a+2）＜f（1﹣2a），函数f（x）是偶函数，在区间（0，+∞）为增函数， 所以|a+2|＜|1﹣2a|， 化简得3a2﹣8a﹣3＞0， 解得a或a＞3， 所以实数a的取值范围是（﹣∞，）∪（3，+∞）． 学科网（北京）股份有限公司 $