第10课时 指数与指数函数讲义-2027届高三数学一轮复习

第10课时 指数与指数函数（学生使用） 1.了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质. 2.了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念. 3.会画出具体指数函数的图象，理解指数函数的单调性与图象上的特殊点. 必备知识·逐点梳理 一、指数与指数运算 1.根式的性质 （1）________________（使有意义）. （2）当是奇数时，；当是偶数时，________________ 2.分数指数幂的意义 （1），，，且； （2），，，且； （3）0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂________. 3.有理数指数幂的运算性质：________________，________________，________________. 微思考．等式以及一定成立吗？ 二、指数函数的图象与性质 图象 性质 定义域：________ 值域：________ 过定点________ 当时，________； 当时，________ 当时，________； 当时，________ 在上是________函数 在上是________函数 （1）画指数函数，且)的图象，应抓住三个关键点：，，，). （2）讨论指数函数的性质时，要注意分底数 和 两种情况. （3）如图，这是指数函数①，②，③，④的图象，底数，，，与1之间的大小关系为.由此我们可得到以下规律：在第一象限内，指数函数，且)的图象越高，底数越大. 关键考点·核心突破 考点一 指数幂的运算5年2考 例1 （1） （北师大必修一P82A组T3改编）计算：_ _ _ _ . （2） （苏教必修一P86T5改编）化简：_ _ _ _ _ _ . （3） 已知，，则_ _ _ _ _ _ . （4） （湘教必修一P105T10改编）若，则_ _ _ _ . 随堂训练 （多选题）下列计算正确的是（ ）. A. B. C. D. 已知，则 考点二 指数函数的图象及应用 例2 （1） 函数的图象大致为（ ）. A. B. C. D. （2） （多选题）已知实数，满足等式，则下列关系式可能成立的是（ ）. A. B. C. D. （3） 已知函数，若其在上单调递减，则实数的取值范围为_ _ _ _ _ _ _ _ ；若其图象与直线有两个公共点，则实数的取值范围为_ _ _ _ _ _ _ _ . 随堂训练 1．（多选题）已知非零实数，满足，则（ ）. A. B. 若，则 C. D. 若，则 2．若存在正数，使成立，则的取值范围是（ ）. A. B. C. D. 3．若函数有两个零点，则实数的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 考点三 指数函数的性质及应用5年2考 考向1 比较指数幂大小 例3 （RA必修一P119T6改编）已知，，，则（ ）. A. B. C. D. 考向2 解简单的指数方程或不等式 例4 （1） （经典高考真题）已知是偶函数，则（ ）. A. B. C. 1 D. 2 （2） （北师大必修一P95C组T1改编）已知的值域为，则的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 考向3 指数函数性质的综合应用 例5 已知函数，且. （1）判断函数的奇偶性； （2）若，试判断函数的单调性，并求使不等式在上恒成立的的取值范围； （3）若，，且在上的最小值为，求的值. 题型 求解策略 比较幂值的大小 （1）能化成同底数幂的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小； （2）不能化成同底数幂的，一般引入“1”“0”“”等中间量来比较大小 解简单指数不等式 先利用幂的运算性质化为同底数幂，再利用单调性转化为一般不等式求解 探究指数型函数的性质 与研究一般函数的定义域、单调性（区间）、奇偶性、最值（值域）等性质的方法一致 随堂训练 1．（经典高考真题）设，，，则，，的大小关系为（ ）. A. B. C. D. 2．（经典高考真题）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ）. A. B. C. D. 3．已知是定义在上的奇函数，当时，. （1）求函数的解析式； （2）若，使得不等式成立，求实数的取值范围. 第页/共页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第10课时 指数与指数函数（教师使用） 1.了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质. 2.了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念. 3.会画出具体指数函数的图象，理解指数函数的单调性与图象上的特殊点. 必备知识·逐点梳理 一、指数与指数运算 1.根式的性质 （1）  （使有意义）. （2）当是奇数时，；当是偶数时，   2.分数指数幂的意义 （1），，，且； （2），，，且； （3）0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义. 3.有理数指数幂的运算性质：  ，  ，  . 微思考．等式以及一定成立吗？ 【答案】等式 一定成立，例如；等式 不一定成立，例如，. （1）化简 时，一定要注意区分 是奇数还是偶数. （2）灵活应用化简指数幂常用的技巧 ①； ②，； ③； ④； ⑤. 二、指数函数的图象与性质 图象 性质 定义域：   值域：   过定点   当时，  ； 当时，   当时，  ； 当时，   在上是减函数 在上是增函数 （1）画指数函数，且)的图象，应抓住三个关键点：，，，). （2）讨论指数函数的性质时，要注意分底数 和 两种情况. （3）如图，这是指数函数①，②，③，④的图象，底数，，，与1之间的大小关系为.由此我们可得到以下规律：在第一象限内，指数函数，且)的图象越高，底数越大. 关键考点·核心突破 考点一 指数幂的运算5年2考 例1 （1） （北师大必修一P82A组T3改编）计算：_ _ _ _ . （2） （苏教必修一P86T5改编）化简：_ _ _ _ _ _ . （3） 已知，，则_ _ _ _ _ _ . （4） （湘教必修一P105T10改编）若，则_ _ _ _ . 【答案】（1） 79 （2） （3） （4） 47 【解析】 （1） 原式. （2） 原式. （3） 由题意可得，. （4） 将 两边平方，得，再平方得. 感悟提升 指数幂的运算 （1）运算顺序：有括号的先算括号内的，无括号的先进行指数的乘方、开方，再乘除后加减，底数是负数的先确定符号. （2）运算基本原则：①化负指数为正指数；②化根式为分数指数幂；③化小数为分数，化带分数为假分数. 随堂训练 （多选题）下列计算正确的是（ ）. A. B. C. D. 已知，则 【答案】BC 【解析】对于A，，所以A错误； 对于B，，所以B正确； 对于C，，所以C正确； 对于D，因为， 所以，所以D错误. 故选BC. 考点二 指数函数的图象及应用 例2 （1） 函数的图象大致为（ ）. A. B. C. D. （2） （多选题）已知实数，满足等式，则下列关系式可能成立的是（ ）. A. B. C. D. （3） 已知函数，若其在上单调递减，则实数的取值范围为_ _ _ _ _ _ _ _ ；若其图象与直线有两个公共点，则实数的取值范围为_ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】（1） B （2） ABD （3） ； 【解析】 （1） 作出函数 的图象（图略），将 的图象向左平移1个单位长度得到 的图象. 故选B. （2） 如图，观察易知，或 或.故选ABD. （3） 函数 的图象是由函数 的图象向下平移1个单位长度后，再把位于 轴下方的图象沿 轴翻折到 轴上方得到的，函数图象如图所示. 由图象知，函数在 上单调递减，所以实数 的取值范围为. 若函数 的图象与直线 有两个公共点，则 的取值范围为. 感悟提升 有关指数函数图象问题的解题思路 （1）已知函数解析式判断其图象，一般取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足过特殊点则排除. （2）对于有关指数型函数的图象问题，一般从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到所求图象.特别地，当底数与1的大小关系不确定时应注意分类讨论. （3）有关指数方程、不等式的问题，往往是利用相应的指数型函数图象，数形结合求解. （4）对于由指数函数图象判断底数大小的问题，可以利用直线与图象的交点位置关系进行判断. 随堂训练 1．（多选题）已知非零实数，满足，则（ ）. A. B. 若，则 C. D. 若，则 【答案】BCD 【解析】如图，由指数函数 和 的图象可知，或者， 所以A错误，，C正确； 选项中，由，得， 则，所以D正确.故选BCD. 2．若存在正数，使成立，则的取值范围是（ ）. A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由题设知，存在，使 成立. 令，，如图，当 时，， 而，所以当 时，存在，使得 成立.故选B. 3．若函数有两个零点，则实数的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】在同一平面直角坐标系中画出 与 的图象，如图所示. 当 时，两函数图象有两个交点，从而函数 有两个零点. 故 的取值范围是. 考点三 指数函数的性质及应用5年2考 考向1 比较指数幂大小 例3 （RA必修一P119T6改编）已知，，，则（ ）. A. B. C. D. 【答案】C 【解析】因为函数 在 上是增函数，函数 在 上是减函数，且，所以，即.故选C. 考向2 解简单的指数方程或不等式 例4 （1） （经典高考真题）已知是偶函数，则（ ）. A. B. C. 1 D. 2 （2） （北师大必修一P95C组T1改编）已知的值域为，则的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】（1） D （2） 【解析】 （1） 的定义域为，因为 是偶函数，所以，即，即，所以，解得.故选D. （2） 因为 的值域为，所以，且，所以 或，即 或，所以 的取值范围是. 考向3 指数函数性质的综合应用 例5 已知函数，且. （1）判断函数的奇偶性； （2）若，试判断函数的单调性，并求使不等式在上恒成立的的取值范围； （3）若，，且在上的最小值为，求的值. 【解析】（1）函数 的定义域为，， 所以函数 是奇函数. （2）由，得，又，则，显然函数，在 上均单调递增， 因此函数 是 上的增函数. 不等式，即， 则，即. 因为，， 所以，当且仅当 时取等号，因此， 所以 的取值范围是. （3）由，得，解得（负值舍去）， 所以， 所以. 令，由（2）知，函数 是 上的增函数，所以当 时，，令. 若，则函数 在，）上单调递增， 当 时，，解得，与 矛盾； 若，则当 时，，解得（负值舍去）. 综上，. 感悟提升 有关指数型函数性质的常考题型及求解策略 题型 求解策略 比较幂值的大小 （1）能化成同底数幂的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小； （2）不能化成同底数幂的，一般引入“1”“0”“”等中间量来比较大小 解简单指数不等式 先利用幂的运算性质化为同底数幂，再利用单调性转化为一般不等式求解 探究指数型函数的性质 与研究一般函数的定义域、单调性（区间）、奇偶性、最值（值域）等性质的方法一致 随堂训练 1．（经典高考真题）设，，，则，，的大小关系为（ ）. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由 在 上单调递增，得. 由 在 上单调递增，得，所以.故选D. 2．（经典高考真题）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ）. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】函数 在 上单调递增，而函数 在区间 上单调递减， 则函数 在区间 上单调递减，因此，解得， 所以 的取值范围是.故选D. 3．已知是定义在上的奇函数，当时，. （1）求函数的解析式； （2）若，使得不等式成立，求实数的取值范围. 【解析】（1）因为 是定义在 上的奇函数，且当 时，，所以，解得， 所以当 时，. 当 时，，则，即 在 上的解析式为. 所以 的解析式为 （2）因为当 时，， 所以 在 上有解， 整理得. 令，显然 与 均在 上单调递减， 所以函数 在 上单调递减，则，所以. 故实数 的取值范围为. 第页/共页 学科网（北京）股份有限公司 $