第11讲 指数与指数函数讲义-2027届高三数学一轮复习

第11讲　指数与指数函数 【知识梳理】 一、根式与分数指数幂 1． 次方根：若 （，），则 叫 的 次方根。 为奇数时， 的 次方根只有一个，记作 ； 为偶数时， 有两个方根 ， 时为 ， 时无意义。 2．根式的化简：（ 为奇数）；（ 为偶数）。不要漏掉绝对值。 3．分数指数幂：（，，）；。规定 的正分数指数幂为 ， 的负分数指数幂无意义。 二、指数幂的运算性质 常用技巧：；；。看到 与 一起出现，令 （ 或 ）是标准换元。 三、指数函数的图象与性质 1．定义：（ 且 ）。定义域为 ，值域为 ，图象恒过定点 。 2．性质： 时在 上单调递增； 时单调递减。 与 的图象关于 轴对称。 3．图象恒过定点：形如 的函数，令 得定点 ，这是“指数型函数过定点”问题的通用解法。 4．比较大小的方法：同底不同指数用单调性；不同底同指数用图象位置或换底；底与指数都不同时搭中间量（常取 、），或构造函数用单调性。 5．复合型： 的值域，先求 的值域，再套指数函数的单调性；注意 与 的单调方向相反，含参时必须讨论。 图 1　指数函数 与 的图象 【题型归纳与方法点拨】 题型一　指数运算与化简求值 【方法点拨】统一化为分数指数幂，先化负指数为正、根式为幂，再提公因式； 型整体换元，注意新元的范围。 【例1】（2026·甘肃武威·模拟预测）已知函数，若，则（    ） A． B． C． D． 【例2】（2025·陕西西安·模拟预测）（多选）存在实数，使下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练1】（2026·四川泸州·模拟预测）若正数满足，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【变式训练2】（2026·河南开封·模拟预测）已知实数，满足，则的最小值为（   ） A．2 B．4 C．8 D．16 【变式训练3】（25-26高三上·重庆南岸·阶段检测）（多选）已知实数，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【题型强化练1】（2026·江苏·模拟预测）若函数（且）是偶函数，则（   ） A． B． C． D． 【题型强化练2】（2026·江苏淮安·一模）已知，，且，则的最小值是（    ）. A．4 B．6 C．8 D．10 【题型强化练3】（2026·广西南宁·一模）设，则＝（   ） A．10 B． C．25 D．5 【题型强化练4】（2025·甘肃金昌·二模）已知函数且，则（    ）. A．. B．. C．2. D．4. 【题型强化练5】（26-27高一上·全国·课后作业）（多选）已知，则的值可能为（    ） A．－2 B．－1 C．1 D．2 题型二　指数函数的定义域与值域 【方法点拨】 的定义域即 的定义域；值域先求 的值域，再套 的单调性；含参时按 与 讨论。 【例1】（26-27高三上·陕西商洛·阶段检测）若幂函数的图象经过点，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【例2】（25-26高一上·江西·阶段检测）（多选）已知定义在上的奇函数和偶函数满足， ，则（ ） A．是奇函数 B．是增函数 C．的值域为 D． 【变式训练1】（24-25高一上·河南·阶段检测）函数的定义域为 （    ） A． B． C． D． 【变式训练2】（2026·湖南邵阳·模拟预测）定义一种运算，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【变式训练3】（25-26高一上·浙江温州·期中）（多选）关于函数，下列说法正确的是（   ） A．的定义域是 B．是偶函数 C．的值域为 D．在单调递减 【题型强化练1】（2026·河南许昌·模拟预测）集合，，（   ） A． B． C． D． 【题型强化练2】（2025·广东广州·模拟预测）已知函数，若存在最小值，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【题型强化练3】（2025·云南昆明·模拟预测）函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【题型强化练4】（2026·安徽六安·模拟预测）若是定义在上的偶函数，当时，，则函数在上的值域为（   ） A． B． C． D． 【题型强化练5】（25-26高一上·浙江·期中）（多选）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数．例如：．已知函数，则下列叙述中正确的是（   ） A．是偶函数 B．是奇函数 C．在上是增函数 D．的值域是 题型三　指数函数比较大小 【方法点拨】“同底比指数，同指数比底数，异底异指数搭中间量”；常用中间量为 与 ；必要时构造函数用单调性或图象。 【例1】（26-27高三上·北京西城·阶段检测）设a，b，，且，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【例2】（2026·江苏南通·一模）（多选）已知正数满足，则的大小关系可能是（    ） A． B． C． D． 【变式训练1】（26-27高一上·湖南·期中）若，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式训练2】（26-27高三上·福建厦门·阶段检测）使得“”成立的充分不必要条件可以是（     ） A． B． C． D． 【变式训练3】（2025·贵州·模拟预测）（多选）设正数x，y，z满足，则下列结论可能成立的是（   ） A． B． C． D． 【题型强化练1】（26-27高一上·全国·课堂例题）已知，则（    ） A． B． C． D． 【题型强化练2】（26-27高一上·全国·课后作业）设为正数，且，则（   ） A． B． C． D． 【题型强化练3】（26-27高一上·全国·课堂例题）已知，则有（    ） A． B． C． D． 【题型强化练4】（25-26高一下·陕西汉中·期末）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【题型强化练5】（2026·贵州黔西南·二模）（多选）已知实数，满足，则（   ） A． B． C． D． 题型四　指数函数的单调性及求参 【方法点拨】复合函数“同增异减”；已知单调性反求底数范围时，注意 与 两类；由单调性列不等式组时注意端点能否取等。 【例1】（2026·甘肃张掖·二模）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【例2】（2026·河北沧州·一模）（多选）已知函数的定义域为，若对任意，存在唯一的，使得，则称是区间上的“可倒函数”，则下列说法正确的是（    ） A．函数是“可倒函数” B．若函数在定义域上为“可倒函数”，则的取值范围为 C．若在上是“可倒函数”，则 D．若存在正数，使得函数在定义域上是“可倒函数”，则的取值范围为 【变式训练1】（2026·湖南衡阳·二模）若函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式训练2】（2026·河北·模拟预测）已知条件的解集为，条件是减函数，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式训练3】（25-26高一上·山西长治·期末）（多选）函数在上单调递减，则a的取值可以是（   ） A． B． C． D． 【题型强化练1】（25-26高三上·江西·阶段检测）已知函数在上单调递增，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【题型强化练2】（24-25高二下·黑龙江大庆·期末）已知函数，对任意的，且，都有，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【题型强化练3】（2025·重庆·三模）已知函数在上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型强化练4】（2025·陕西西安·模拟预测）若函数在上单调，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型强化练5】（25-26高一上·河北承德·期末）（多选）取整函数又称“高斯函数”，表示不超过的最大整数（例如）．已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．在区间与上均为减函数 B．的值域是 C．方程的所有实根为0，1 D．当关于的方程有2个实根时，实数的取值范围是 题型五　指数函数的图像及应用 【方法点拨】抓住定点 与底数对图象“陡缓”的影响；图象平移 、翻折 、 要能在脑中复现；交点个数问题转化为图象交点。 【例1】（25-26高一上·河北邯郸·阶段检测）已知函数，且的图象如图所示.则函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【例2】（25-26高一上·江苏连云港·期末）（多选）设，为实数，，.已知函数的图象如图所示，则（   ）    A． B． C． D． 【变式训练1】（25-26高一上·江苏南京·期末）已知函数（，且）的图象如图所示，则（   ） A． B． C． D． 【变式训练2】（25-26高一上·陕西咸阳·阶段检测）已知函数的图象过原点，且无限接近直线但又不与该直线相交.则的值为（   ） A． B． C．2 D．4 【变式训练3】（25-26高一上·陕西汉中·期中）（多选）在如图所示的图象中，二次函数与函数在同一平面直角坐标系内的图象不可能是（   ） A． B． C． D． 【题型强化练1】（25-26高一上·贵州贵阳·阶段检测）已知函数的图象过原点，且无限接近直线但又不与该直线相交，则的值是（    ） A． B．27 C． D．9 【题型强化练2】（25-26高一上·江西赣州·阶段检测）若直线与函数（，且）的图象有两个公共点，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型强化练3】（25-26高一上·重庆·期中）如图是指数函数的部分图象，已知取这四个值，则曲线相对应的依次为（　　） A． B． C． D． 【题型强化练4】（25-26高一上·宁夏银川·期中）已知函数的图象过原点，且无限接近于直线，但不与该直线相交，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【题型强化练5】（25-26高一上·黑龙江大庆·期中）（多选）已知函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 题型六　指数函数的最值及求参问题 【方法点拨】需要时可换元。 【例1】（2026·云南昆明·二模）已知函数，则的最大值与最小值之差为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【例2】（25-26高一上·甘肃张掖·期末）（多选）已知函数，则下列说法正确的有（    ） A．当时，函数的单调递增区间是； B．当时，函数的值域是； C．函数的图象关于直线对称； D．若恒成立，则. 【变式训练1】（2026·陕西榆林·模拟预测）已知函数的最小值为，则实数的值是（   ） A． B． C． D．4 【变式训练2】（25-26高二下·浙江·阶段检测）已知定义在上的函数满足，则函数的最大值为（   ） A． B． C．2 D． 【变式训练3】（25-26高一上·江西南昌·阶段检测）（多选）已知函数若对任意的，存在，使得成立，则实数a的取值可以为（ ） A． B．0 C．3 D．7 【题型强化练1】（2026高一·全国·专题练习）已知函数（且）的图象经过点.则函数的最大值是（    ）. A．1 B．2 C．3 D．4 【题型强化练2】（26-27高三上·北京延庆·开学考试）函数（   ） A．有最大值，也有最小值 B．没有最大值，有最小值 C．有最大值，没有最小值 D．没有最大值，也没有最小值 【题型强化练3】（26-27高三上·湖北襄阳·阶段检测）已知函数的值域为，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【题型强化练4】（25-26高一上·重庆·期末）已知对所有满足的正实数，都存在实数使不等式成立，则实数的最大值为（    ） A． B． C． D． 【题型强化练5】（25-26高一上·浙江宁波·期中）（多选）已知函数，则以下结论正确的是（   ） A．图象有对称轴 B．是偶函数 C．有最大值3 D．有最小值2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第11讲　指数与指数函数 【知识梳理】 一、根式与分数指数幂 1． 次方根：若 （，），则 叫 的 次方根。 为奇数时， 的 次方根只有一个，记作 ； 为偶数时， 有两个方根 ， 时为 ， 时无意义。 2．根式的化简：（ 为奇数）；（ 为偶数）。不要漏掉绝对值。 3．分数指数幂：（，，）；。规定 的正分数指数幂为 ， 的负分数指数幂无意义。 二、指数幂的运算性质 常用技巧：；；。看到 与 一起出现，令 （ 或 ）是标准换元。 三、指数函数的图象与性质 1．定义：（ 且 ）。定义域为 ，值域为 ，图象恒过定点 。 2．性质： 时在 上单调递增； 时单调递减。 与 的图象关于 轴对称。 3．图象恒过定点：形如 的函数，令 得定点 ，这是“指数型函数过定点”问题的通用解法。 4．比较大小的方法：同底不同指数用单调性；不同底同指数用图象位置或换底；底与指数都不同时搭中间量（常取 、），或构造函数用单调性。 5．复合型： 的值域，先求 的值域，再套指数函数的单调性；注意 与 的单调方向相反，含参时必须讨论。 图 1　指数函数 与 的图象 【题型归纳与方法点拨】 题型一　指数运算与化简求值 【方法点拨】统一化为分数指数幂，先化负指数为正、根式为幂，再提公因式； 型整体换元，注意新元的范围。 【例1】（2026·甘肃武威·模拟预测）已知函数，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】已知，则， 所以，所以. 因为，所以. 【例2】（2025·陕西西安·模拟预测）（多选）存在实数，使下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】对于A，配方可得，结合平方数非负即可判断，对于B，取，即可判断，对于C，由基本不等式可得，当时取等号，结合即可判断C，对于D，当时，，时，结合基本不等式和放缩法可证明，由此判断D. 【详解】对于A，因为，又， 所以，不满足题意； 对于B，时，满足题意； 对于C，，当时取等号，，满足题意； 对于D，当时，，不满足题意， 当，左边，不满足题意， 故选：BC. 【变式训练1】（2026·四川泸州·模拟预测）若正数满足，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件，利用指数的运算得到，再利用基本不等式，即可求解. 【详解】因为，所以，又是正数， 则， 当且仅当，即时取等号，所以的最小值为. 【变式训练2】（2026·河南开封·模拟预测）已知实数，满足，则的最小值为（   ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】B 【分析】借助基本不等式计算即可得. 【详解】， 当且仅当，即、时，等号成立， 即的最小值为. 【变式训练3】（25-26高三上·重庆南岸·阶段检测）（多选）已知实数，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ACD 【分析】利用不等式的性质判断AB选项，利用基本不等式判断CD选项. 【详解】对于A，当时，有，A选项正确； 对于B，当时，有，B选项错误； 对于C，若，则， 当且仅当时等号成立，C选项正确； 对于D，， ， 则， 当且仅当时等号成立，D选项正确. 故选：ACD. 【题型强化练1】（2026·江苏·模拟预测）若函数（且）是偶函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由偶函数可知，即， 化简得，即，即. 【题型强化练2】（2026·江苏淮安·一模）已知，，且，则的最小值是（    ）. A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【详解】因为，，所以， 当且仅当，即时等号成立. 【题型强化练3】（2026·广西南宁·一模）设，则＝（   ） A．10 B． C．25 D．5 【答案】D 【分析】根据题意得，再结合同底数幂的乘法的运算法则进行求解. 【详解】由题意知，， 所以， 故选：D. 【题型强化练4】（2025·甘肃金昌·二模）已知函数且，则（    ）. A．. B．. C．2. D．4. 【答案】D 【分析】代入中求出的值，在利用分段函数代入求出即可. 【详解】由题可知， 解得，则. 故选：D. 【题型强化练5】（26-27高一上·全国·课后作业）（多选）已知，则的值可能为（    ） A．－2 B．－1 C．1 D．2 【答案】AD 【详解】∵，∴ ，∴. 题型二　指数函数的定义域与值域 【方法点拨】 的定义域即 的定义域；值域先求 的值域，再套 的单调性；含参时按 与 讨论。 【例1】（26-27高三上·陕西商洛·阶段检测）若幂函数的图象经过点，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意求出幂函数，再令，即可求出答案. 【详解】设幂函数为，代入点，得，解得，所以， 所以的定义域为，则 ， 即，解得：， 所以函数的定义域为. 【例2】（25-26高一上·江西·阶段检测）（多选）已知定义在上的奇函数和偶函数满足， ，则（ ） A．是奇函数 B．是增函数 C．的值域为 D． 【答案】ACD 【分析】根据题意，得到，联立方程组，求得，结合选项，逐项计算，进行判断，即可求解. 【详解】对于A，由，因为为奇函数，为偶函数， 可得，联立方程组，解得， 所以，可得， 所以函数为奇函数，所以A正确； 对于B，因为为偶函数，所以函数不可能为单调增函数，所以B错误； 对于C，由函数， 因为，所以，所以C正确； 对于D，由，可得，， 则 ， 且 ， 所以， 所以D正确. 故选：ACD. 【变式训练1】（24-25高一上·河南·阶段检测）函数的定义域为 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据被开方式大于等于0求解定义域，并结合指数函数单调性解不等式. 【详解】根据题意，函数， 则函数，即， 所以. 故选：C 【变式训练2】（2026·湖南邵阳·模拟预测）定义一种运算，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当时，，， 因为在上是单调递增函数，所以，即； 当时，，， 因为在上是单调递减函数，所以，即； 综上可知，的值域为.故选项C正确. 【变式训练3】（25-26高一上·浙江温州·期中）（多选）关于函数，下列说法正确的是（   ） A．的定义域是 B．是偶函数 C．的值域为 D．在单调递减 【答案】AC 【分析】根据函数的定义域、值域、奇偶性以及单调性的相关知识逐一进行分析即可. 【详解】要使函数有意义，则，解得，的定义域是，正确. 函数的定义域不关于原点对称，函数既不是奇函数也不是偶函数，错误. 令，，则，， 令，，则在定义域上单调递增， 当时，；当时，， 的值域为，正确. 令，，在单调递增，在单调递减， 令，，则在定义域上单调递增， 根据复合函数的单调性的原则，可得在单调递增，在单调递减，错误. 故选：. 【题型强化练1】（2026·河南许昌·模拟预测）集合，，（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用指数函数值域和解一元二次不等式，结合交集运算即可. 【详解】由题意得：，， 所以. 【题型强化练2】（2025·广东广州·模拟预测）已知函数，若存在最小值，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数函数和二次函数值域的求法可求得在每一段上的值域，根据有最小值可构造不等式求得结果. 【详解】当时，， 当时，， 所以如果存在最小值， 则，解得：， 所以实数的取值范围是， 故选：C. 【题型强化练3】（2025·云南昆明·模拟预测）函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用函数在、上的值域，取并集即可得出函数的值域. 【详解】当时，，因为函数在上单调递增， 所以，此时； 当时，因为函数在上为减函数，在上为增函数， 故，即在上的值域为. 综上所述，函数的值域为. 故选：A. 【题型强化练4】（2026·安徽六安·模拟预测）若是定义在上的偶函数，当时，，则函数在上的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，结合指数函数单调性求出在上的值域，再利用偶函数的性质求出指定区间上的值域. 【详解】当时，，，函数在上单调递减， 当时，，又函数是上的偶函数， 则当时，，所以函数在上的值域为. 故选：A 【题型强化练5】（25-26高一上·浙江·期中）（多选）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数．例如：．已知函数，则下列叙述中正确的是（   ） A．是偶函数 B．是奇函数 C．在上是增函数 D．的值域是 【答案】BCD 【分析】利用偶函数的定义举例判断A；利用奇函数的定义推理判断B；利用指数型复合函数单调性判断C；求出的值域，进而求出的值域判断D. 【详解】依题意，函数的定义域为， A，，，，函数不是偶函数，A错； B，，则函数是奇函数，B对； C，函数在上单调递增，则函数在R上是增函数，C对； D，由，得，则，的值域为，D对. 故选：BCD 题型三　指数函数比较大小 【方法点拨】“同底比指数，同指数比底数，异底异指数搭中间量”；常用中间量为 与 ；必要时构造函数用单调性或图象。 【例1】（26-27高三上·北京西城·阶段检测）设a，b，，且，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据不等式的性质及幂函数与指数函数的单调性逐一判断即可. 【详解】对于A，，当时，，故A错误； 对于B，因为函数在上单调递减，而，所以，故B错误； 对于C，因为函数在上单调递减，而，所以，故C正确； 对于D，因为函数在上单调递减，而，所以，故D错误. 【例2】（2026·江苏南通·一模）（多选）已知正数满足，则的大小关系可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】设，将用表示后分情况讨论比较大小. 【详解】设，则， 当时，指数函数单调递增，因为，所以， 即； 当时，指数函数单调递减，因为，所以， 即； 故选：BD. 【变式训练1】（26-27高一上·湖南·期中）若，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据不等式的基本性质结合指数函数的单调性即可判断 【详解】由，得， ． ． 【变式训练2】（26-27高三上·福建厦门·阶段检测）使得“”成立的充分不必要条件可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A选项，取，满足，但不满足，此时不能得出，所以A选项不符合题意； 对于B选项，取，满足，但不满足，此时不能得出，所以B选项不符合题意； 对于C选项，要求，可推出；但时，若， 则无意义，推不出，故是的充分不必要条件， 所以C选项符合题意； 对于D选项，取，满足，但不满足， 此时不能得出，所以D选项不符合题意． 【变式训练3】（2025·贵州·模拟预测）（多选）设正数x，y，z满足，则下列结论可能成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】因为均为正数，所以可通过比较它们两两之间的商与1的大小来判断这它们的大小关系. 【详解】由，得，，，所以，． 当，即时，因为，所以，，所以，所以选项A正确． 当，即时，，所以选项C正确． 当，即时，因为，所以，，所以，所以选项D正确． 故选：ACD. 【题型强化练1】（26-27高一上·全国·课堂例题）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，在上单调递减， 所以， 同理，函数在上单调递增，所以. 综上，可得． 【题型强化练2】（26-27高一上·全国·课后作业）设为正数，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将化成，通过比较得到，再利用指数函数的单调性即可判断. 【详解】 由可得：， ， ， 为正数 ， 又因为是单调增函数 所以 ， 所以. 【题型强化练3】（26-27高一上·全国·课堂例题）已知，则有（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用函数的单调性判定. 【详解】由题，，函数在上是减函数，所以. 【题型强化练4】（25-26高一下·陕西汉中·期末）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数和幂函数单调性可比较出大小 【详解】由于在R上单调递减，故，即， 由于在上单调递增，故，即， 综上， 【题型强化练5】（2026·贵州黔西南·二模）（多选）已知实数，满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】首先根据条件判断，再根据不等式的性质和函数的单调性比较大小. 【详解】由条件可知，，则，故A正确； ，故B正确； ，，所以，故C错误； 设，为增函数减函数=增函数，所以为增函数， 因为，所以，即，即，故D正确. 题型四　指数函数的单调性及求参 【方法点拨】复合函数“同增异减”；已知单调性反求底数范围时，注意 与 两类；由单调性列不等式组时注意端点能否取等。 【例1】（2026·甘肃张掖·二模）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用复合函数的单调性求解即可. 【详解】因为为上的增函数， 所以由复合函数的单调性知在上单调递减， 当时，在上单调递减，满足题意； 当时，在上单调递减，则， 解得. 综上，. 【例2】（2026·河北沧州·一模）（多选）已知函数的定义域为，若对任意，存在唯一的，使得，则称是区间上的“可倒函数”，则下列说法正确的是（    ） A．函数是“可倒函数” B．若函数在定义域上为“可倒函数”，则的取值范围为 C．若在上是“可倒函数”，则 D．若存在正数，使得函数在定义域上是“可倒函数”，则的取值范围为 【答案】BC 【分析】设函数的值域分别为，由题意可知，若是区间上的“可倒函数”，即，所以对于A选项，取，求解即可；对于B选项，由以及函数的单调性求解，再利用基本不等式求解即可；对于C选项，利用单调递减以及求解即可；对于D选项，结合新概念确定函数的单调性，再推出矛盾即可. 【详解】设函数的值域分别为，由题意可知，若是区间上的“可倒函数”，即. 对于A，的定义域为， 令，则，由，即， 得，即，即， 判别式，方程无解， 所以不是“可倒函数”，A错误； 对于B，函数在定义域上为“可倒函数”，由严格递增， 所以对于任意的，的取值范围为，因为“可倒函数”，所以，所以， 所以的取值范围为，所以， 故，即，故，解得， 通过基本不等式，解得，即， 当且仅当时，等号成立，又因为，所以，且， 所以的取值范围为，故B正确； 对于C，当时，单调递减，此时其值域为， 由“可倒函数”定义可知，其值域不包含0，则， 从而在时的值域为， 由题意，所以要满足题意，还需满足，解得，C正确； 对于D，由题意，函数在定义域上连续， 若该函数不单调，则存在，使得， 对于,存在不等实数，使得,不满足可倒函数的定义； 所以单调，又，若单调递减，则当时，， 则对于任意的,不合题意； 同理若单调递增，则当时，， 则对于任意的,不合题意； 所以满足题意的k不存在，D错误． 故选：BC． 【变式训练1】（2026·湖南衡阳·二模）若函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为函数在上为增函数， 且在上为减函数，在上为增函数， 而在上单调递增，所以． 【变式训练2】（2026·河北·模拟预测）已知条件的解集为，条件是减函数，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】分别求出命题中的的取值范围，再根据集合间的关系结合充分必要条件定义即可得到答案； 【详解】对命题：， 对命题q：， 因为真包含于， 所以是的必要不充分条件. 【变式训练3】（25-26高一上·山西长治·期末）（多选）函数在上单调递减，则a的取值可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】由题意可知，，所以， 所以，对比选项可知ABD满足题意，C不符合题意. 【题型强化练1】（25-26高三上·江西·阶段检测）已知函数在上单调递增，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用指数型复合函数单调性、二次函数单调性列式求解. 【详解】由函数在上单调递增，得，解得， 所以的取值范围是. 故选：D 【题型强化练2】（24-25高二下·黑龙江大庆·期末）已知函数，对任意的，且，都有，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先根据条件判断函数在上为增函数，在保证每一段函数单调递增的情况下，注意分界点处的值的大小关系，列不等式组求解即可． 【详解】根据题意，函数对任意的，且，都有， 所以在上为增函数， 又， 所以有， 即，解得， 故选：D． 【题型强化练3】（2025·重庆·三模）已知函数在上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用指数函数、二次函数单调性及分段函数单调性列式求解. 【详解】依题意，函数在上单调递减，则，解得， 又函数在上单调递减，则， 所以的取值范围是. 故选：B 【题型强化练4】（2025·陕西西安·模拟预测）若函数在上单调，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数函数、二次函数以及复合函数的单调性求解即可. 【详解】因为函数在上为增函数，在上为减函数，在上为增函数， 且函数在上单调， 根据复合函数的单调性，可得，即， 所以的取值范围是. 故选：A. 【题型强化练5】（25-26高一上·河北承德·期末）（多选）取整函数又称“高斯函数”，表示不超过的最大整数（例如）．已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．在区间与上均为减函数 B．的值域是 C．方程的所有实根为0，1 D．当关于的方程有2个实根时，实数的取值范围是 【答案】ABD 【分析】根据题意，当时，；当时，，结合选项，利用指数函数的图像与性质，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A，当时，可得，则， 由指数函数的性质，可得在上为单调递减函数； 当时，可得，则， 由指数函数的性质，可得在上也为单调递减函数， 所以函数在和上均为减函数，所以A正确； 对于B，当时，，可得， 当时，，可得， 当时，，， 综上可得，的值域为，所以B正确； 对于C，当时，令，解得， 当时，，解得， 当时，， 所以方程的所有实数根为，所以C错误； 对于D，由方程，即，则，可得， 令， 当时，，，此时； 当时，，，此时； 当时，，，此时； 要使得方程有2个实根时，即和的图像有两个公共点， 作出函数的图像，如图所示， 结合图像，可得实数的取值范围是，所以D正确. 故选：ABD. 题型五　指数函数的图像及应用 【方法点拨】抓住定点 与底数对图象“陡缓”的影响；图象平移 、翻折 、 要能在脑中复现；交点个数问题转化为图象交点。 【例1】（25-26高一上·河北邯郸·阶段检测）已知函数，且的图象如图所示.则函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由指数函数的单调性以及判断的范围，即可得解. 【详解】由的图象可知， 由知， 所以函数的两个零点分别在和上，且开口向上. 故选：C. 【例2】（25-26高一上·江苏连云港·期末）（多选）设，为实数，，.已知函数的图象如图所示，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据单调性、当时，判断. 【详解】因为函数为递减函数，所以，故B正确；A错误； 当时，，得，故D正确，C错误. 故选：BD 【变式训练1】（25-26高一上·江苏南京·期末）已知函数（，且）的图象如图所示，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据图象平移结合题中函数图象分析判断即可. 【详解】因为函数的图象是由指数函数向下平移而得到， 由图可知，解得． 故选：D. 【变式训练2】（25-26高一上·陕西咸阳·阶段检测）已知函数的图象过原点，且无限接近直线但又不与该直线相交.则的值为（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】D 【分析】根据已知得，且函数为偶函数，再由指数函数图象性质可求出的值即可. 【详解】由函数过原点可知，即可得，即； 又函数定义域为，且满足，可知函数为偶函数， 当时，趋近于0，所以函数趋近于, 因此可得，所以； 即. 故选：D 【变式训练3】（25-26高一上·陕西汉中·期中）（多选）在如图所示的图象中，二次函数与函数在同一平面直角坐标系内的图象不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据题意结合二次函数与指数函数的图象性质逐项分析即可． 【详解】A：由图可得二次函数的对称轴为且，结合图可得，即得， 由图知为减函数，则有，符合，故A不合题意； B：由图可得且，此时、异号，则与函数为减函数相矛盾，故B符合题意； C：由图可得且，即得，由图知为减函数，则，符合，故C不合题意； D：由图可得且，此时、异号，则与函数为减函数相矛盾，故D符合题意； 故选：BD. 【题型强化练1】（25-26高一上·贵州贵阳·阶段检测）已知函数的图象过原点，且无限接近直线但又不与该直线相交，则的值是（    ） A． B．27 C． D．9 【答案】A 【分析】由函数的图象无限接近直线但又不与该直线相交，可得出，再将原点坐标代入该函数的解析式可求出的值，由此可计算出的值. 【详解】由函数的图象无限接近直线但又不与该直线相交，可得出， 又函数的图象过原点，则，可得， 因此. 故选：A 【题型强化练2】（25-26高一上·江西赣州·阶段检测）若直线与函数（，且）的图象有两个公共点，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分和，两种情况讨论，画出函数的图象，结合图象，得出关于不等式，即可求解. 【详解】由题意知，直线与函数的图象有两个公共点， 当时，的图象如图（1）所示，可得，解得； 当时，的图象如图（2）所示，可得，解得， 因为，此时不存在实数， 综上可得，实数a的取值范围为． 故选：C.      【题型强化练3】（25-26高一上·重庆·期中）如图是指数函数的部分图象，已知取这四个值，则曲线相对应的依次为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，结合图象即可得到. 【详解】当时，越大，越大．的值小于的值小于的值小于的值. 故选：D. 【题型强化练4】（25-26高一上·宁夏银川·期中）已知函数的图象过原点，且无限接近于直线，但不与该直线相交，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】依题意可得，再分和两种情况讨论，结合指数函数的值域，求出的值，从而得到. 【详解】因为函数的图象过原点，所以，即， 因为， 当时，则， 此时不可能同时满足过原点且无限接近于直线，但不与该直线相交，故舍去； 当时，则， 因为函数图象无限接近于直线，但不与该直线相交，所以， 则，所以，满足题意； 综上可得， 故选：C. 【题型强化练5】（25-26高一上·黑龙江大庆·期中）（多选）已知函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】由指数函数图象可确定大小关系，进而利用的单调性得到，即可得解. 【详解】由指数函数图象可知：， A错误， D正确； 因为在定义域上单调递增，且，所以，B错误，C正确. 故选：CD. 题型六　指数函数的最值及求参问题 【方法点拨】需要时可换元。 【例1】（2026·云南昆明·二模）已知函数，则的最大值与最小值之差为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】根据分段函数结合指数函数单调性计算得出最值即可求解. 【详解】函数， 因为单调递增，所以； 因为单调递减，所以； 所以当时，；当时，； 则的最大值与最小值之差为. 【例2】（25-26高一上·甘肃张掖·期末）（多选）已知函数，则下列说法正确的有（    ） A．当时，函数的单调递增区间是； B．当时，函数的值域是； C．函数的图象关于直线对称； D．若恒成立，则. 【答案】ACD 【分析】根据复合函数的单调性的判定方法，可判定A正确；根据二次函数和指数函数的性质，可得判定B错误；根据题意，求得，可判定C正确，转化为恒成立，结合指数函数的性质，列出不等式，可判定D正确. 【详解】对于A，当时，设， 可得在上单调递减，在上单调递增， 因为在上单调递减，所以函数的单调递增区间为，所以A正确； 对于B，当时，由A项，可得，所以， 又由在上单调递减，可得， 又因为，所以函数的值域是，所以B错误； 对于C，因为，即， 所以函数的图象关于直线对称，所以C正确； 对于D，若恒成立，即恒成立， 因为函数在上单调递减，所以，即恒成立， 则满足，解得，所以D正确． 故选：ACD． 【变式训练1】（2026·陕西榆林·模拟预测）已知函数的最小值为，则实数的值是（   ） A． B． C． D．4 【答案】B 【分析】换元后将原函数化为关于新变量的二次函数，其图象开口向上，最小值在顶点处取得，为使顶点位于定义域内，需对称轴大于零，此时顶点函数值等于已知最小值，解方程求得参数值，并舍去使对称轴非正的值. 【详解】设，则，函数等价于函数． 令，则该函数的图象开口向上，对称轴为直线． 当，即时，在上单调递增，此时无最值，不满足题意； 当，即时，在上单调递减，在上单调递增， 或（舍去）． 所以实数的值是. 【变式训练2】（25-26高二下·浙江·阶段检测）已知定义在上的函数满足，则函数的最大值为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】由题可得，结合基本不等式求解即可.． 【详解】由，得， 联立方程，解得， 因为，所以，当且仅当时取等号， 则，当且仅当，即取等号． 【变式训练3】（25-26高一上·江西南昌·阶段检测）（多选）已知函数若对任意的，存在，使得成立，则实数a的取值可以为（ ） A． B．0 C．3 D．7 【答案】AB 【分析】由题意可得，进而根据二次函数的性质和指数函数的单调性求解即可. 【详解】由题意，对任意的，存在，使得成立， 则， 因为函数，且 所以， 而函数在上单调递减，且， 所以， 则，即，结合选项，则实数a的取值可以为，0. 故选：AB 【题型强化练1】（2026高一·全国·专题练习）已知函数（且）的图象经过点.则函数的最大值是（    ）. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】由已知得，解得，则在R上是减函数， 因为，所以，所以，即函数的最大值为3. 【题型强化练2】（26-27高三上·北京延庆·开学考试）函数（   ） A．有最大值，也有最小值 B．没有最大值，有最小值 C．有最大值，没有最小值 D．没有最大值，也没有最小值 【答案】C 【分析】设，将转化为关于的二次函数，即可判断有无最值. 【详解】设，则， 当时函数单调递增，当时函数单调递减，故有最大值，无最小值. 【题型强化练3】（26-27高三上·湖北襄阳·阶段检测）已知函数的值域为，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用指数函数的单调性分析得，当时，的值域，从而得到当时，的值域要包含，结合二次函数的性质得到关于的不等式组，解之即可得解. 【详解】因为函数的值域为， 而当时，易知在上单调递增， 所以，即在上的值域为， 所以当时，在上的值域要包含， 所以的图象开口向下，又对称轴为， 则，解得， 所以实数的取值范围为. 【题型强化练4】（25-26高一上·重庆·期末）已知对所有满足的正实数，都存在实数使不等式成立，则实数的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用基本不等式可得，，结合恒成立问题可得，换元令，可得，根据存在性问题结合二次函数最值分析求解. 【详解】因为正实数满足， 则 ，即，当且仅当时，等号成立， 且，则， 即，可得， 令，则，即， 又因为，当且仅当时，等号成立， 可得，实数的最大值为. 故选：B. 【题型强化练5】（25-26高一上·浙江宁波·期中）（多选）已知函数，则以下结论正确的是（   ） A．图象有对称轴 B．是偶函数 C．有最大值3 D．有最小值2 【答案】AC 【分析】首先求出函数的定义域，由判断A，由判断B，再求出函数的值域，即可判断C、D. 【详解】函数的定义域为， 对于A ：因为，， 所以，则关于对称，故A正确； 对于B：因为，所以不是偶函数，故B错误； 对于C、D：因为，所以，所以，即， 所以有最大值，无最小值，当且仅当时取得最大值，故C正确，D错误. 故选：AC 学科网（北京）股份有限公司 $