第12课时 函数的图象 讲义-2027届高三数学一轮复习

第12课时 函数的图象（学生使用） 1.在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数. 2.会运用函数图象理解和研究函数的性质,解决方程解的个数与不等式解集的问题. 必备知识·逐点梳理 一、利用描点法作函数图象的方法步骤 1.确定函数的________. 2.化简函数的________. 3.讨论函数的________,即奇偶性、周期性、单调性、最值（甚至变化趋势）. 4.描点连线,画出函数的图象. 二、利用图象变换法作函数的图象 1.平移变换 微思考．将函数的图象向左平移1个单位长度能得到函数的图象吗？将函数的图象向右平移1个单位长度能得到的图象吗？ 2.伸缩变换 （1）________________. （2）________________. 3.对称变换 （1）________________. （2）________________. （3）________________. （4）,且,且. 4.翻折变换 （1）________________. （2）________________. 微判断． （1） 函数与，且的图象相同.（ ） （2） 函数与的图象关于原点对称.（ ） （3） 当时,函数与的图象相同.（ ） 关键考点·核心突破 考点一 作函数的图象 题组．作出下列函数的图象: （1）; （2）; （3）； （4）. 考点二 函数图象的识别5年5考 例1 （1） （2025·天津卷）已知函数的图象如图所示，则的解析式可能为（ ）. A. B. C. D. （2） （2024·全国甲卷）函数在区间的图象大致为（ ）. A. B. C. D. 随堂训练 1．（经典高考真题）函数的图象大致为（ ）. A. B. C. D. 2．（经典高考真题）已知函数,，则图象为如图的函数可能是（ ）. A. B. C. D. 考点三 函数图象的应用 考向1 研究函数的性质 例2 （多选题）对任意两个实数，，定义，若，，则下列关于函数，的说法正确的是（ ）. A. 函数是偶函数 B. 方程有三个解 C. 函数在区间上单调递增 D. 函数有4个单调区间 考向2 利用图象解不等式 例3 （苏教必修一P74T12改编）函数和的图象如图所示，则不等式的解集为（ ）. A. B. C. D. 1.从图象的最高点、最低点分析最值、极值. 2.从图象的对称性分析奇偶性. 3.从图象的走向趋势分析单调性、周期性. 4.当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时，常将解不等式转化为研究两函数图象的位置关系或函数图象与坐标轴的位置关系，再利用数形结合求解. 考向3 求参数的取值范围 例4 设函数的定义域为，如果存在正实数，使得对任意，都有，则称为上的“型增函数”.已知函数是定义在上的奇函数，且当时，.若为上的“20型增函数”，则实数的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 随堂训练 1．（多选题）设函数,,,其中,,表示,,中的最小者,则. A. B. 当时, C. 当时, D. 2．对于定义在上的函数,如果存在实数使,那么叫作函数的一个不动点.若函数存在两个不动点,则实数的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 高考导航·多想少算 利用数形结合思想解题 典例 （一题多法）已知函数满足，若函数与图象的交点为，， ，，则（ ）. A. 0 B. C. D. 第页/共页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第12课时 函数的图象（教师使用） 1.在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数. 2.会运用函数图象理解和研究函数的性质,解决方程解的个数与不等式解集的问题. 必备知识·逐点梳理 一、利用描点法作函数图象的方法步骤 1.确定函数的定义域. 2.化简函数的解析式. 3.讨论函数的性质,即奇偶性、周期性、单调性、最值（甚至变化趋势）. 4.描点连线,画出函数的图象. 二、利用图象变换法作函数的图象 1.平移变换 微思考．将函数的图象向左平移1个单位长度能得到函数的图象吗？将函数的图象向右平移1个单位长度能得到的图象吗？ 【答案】不能，将 的图象向左平移1个单位长度应得到函数，即 的图象；不能，将函数 的图象向右平移1个单位长度应得到函数，即 的图象. 函数左右平移仅仅是相对 而言的，即发生变化的只是 本身，利用“左加右减”进行操作.如果 的系数不是1，需要把系数提出来，再进行变换. 2.伸缩变换 （1）  . （2）  . 3.对称变换 （1）  . （2）  . （3）  . （4）,且,且. 4.翻折变换 （1）  . （2）  . 微判断． （1） 函数与，且的图象相同.（ ） （2） 函数与的图象关于原点对称.（ ） （3） 当时,函数与的图象相同.（ ） 【答案】（1） （2） （3） 关键考点·核心突破 考点一 作函数的图象 题组．作出下列函数的图象: （1）; （2）; （3）； （4）. 【解析】（1）将函数 的图象向左平移1个单位长度,得到 的图象,再将所得图象向下平移1个单位长度,得到 的图象,如图1所示. （2）首先作出函数 的图象,然后将其向右平移1个单位长度,得到 的图象,再把所得图象在 轴下方的部分翻折到 轴上方,得到函数 的图象,如图2实线部分所示. （3）且函数为偶函数,先用描点法作出 上的图象,再根据对称性作出 上的图象,就得到 的图象,如图3所示. （4）,故函数的图象可由 的图象向右平移1个单位长度,再向上平移2个单位长度得到,如图4所示. 感悟提升 函数图象的常见画法 （1）描点法作图：当函数解析式（或变形后的解析式）是熟悉的基本初等函数时,可根据这些函数的特征描出图象的关键点,进而直接作出函数的图象. （2）图象变换法：若函数图象可由某个基本初等函数的图象经过平移、伸缩、翻折、对称得到,则可利用图象变换作图. 考点二 函数图象的识别5年5考 例1 （1） （2025·天津卷）已知函数的图象如图所示，则的解析式可能为（ ）. A. B. C. D. （2） （2024·全国甲卷）函数在区间的图象大致为（ ）. A. B. C. D. 【答案】（1） D （2） B 【解析】 （1） 由题图可知函数为偶函数，而函数 和函数 均为奇函数，故排除选项，； 当 时，,，此时,， 由题图可知当 时，，故选项 不符合，选项 符合.故选. （2） . 又函数的定义域为，所以该函数为偶函数，可排除,. 又，所以可排除.故选. 感悟提升 根据函数解析式辨别图象的基本方法 随堂训练 1．（经典高考真题）函数的图象大致为（ ）. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】函数 的定义域为，且，所以函数 为奇函数，错误； 当 时，，错误； 当 时，，则 单调递增，错误.故选. 2．（经典高考真题）已知函数,，则图象为如图的函数可能是（ ）. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】对于，，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除； 对于，，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除； 对于，，则，当,时,,,所以,则 在,上单调递增，与图象不符，排除.故选. 考点三 函数图象的应用 考向1 研究函数的性质 例2 （多选题）对任意两个实数，，定义，若，，则下列关于函数，的说法正确的是（ ）. A. 函数是偶函数 B. 方程有三个解 C. 函数在区间上单调递增 D. 函数有4个单调区间 【答案】ABD 【解析】根据函数 与，画出函数，的图象，如图. 由图象可知，函数，的图象关于 轴对称，所以 项正确； 函数 的图象与 轴有三个交点，所以方程 有三个解，所以 项正确； 函数 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增，在 上单调递减，所以 项错误，项正确.故选. 考向2 利用图象解不等式 例3 （苏教必修一P74T12改编）函数和的图象如图所示，则不等式的解集为（ ）. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由题意及题图知，当 时，，此时需满足，即，故;当 时，，此时需满足，即，故.综上所述，.故选. 感悟提升 1.从图象的最高点、最低点分析最值、极值. 2.从图象的对称性分析奇偶性. 3.从图象的走向趋势分析单调性、周期性. 4.当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时，常将解不等式转化为研究两函数图象的位置关系或函数图象与坐标轴的位置关系，再利用数形结合求解. 考向3 求参数的取值范围 例4 设函数的定义域为，如果存在正实数，使得对任意，都有，则称为上的“型增函数”.已知函数是定义在上的奇函数，且当时，.若为上的“20型增函数”，则实数的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】因为函数 是定义在 上的奇函数，且当 时，， 所以 因为 为 上的“20型增函数”，所以 在 上恒成立. ①当 时，将 的图象（如图1）向左平移20个单位长度得 的图象，显然 的图象在 图象的上方，满足. ②当 时，将 的图象（如图2）向左平移20个单位长度得到 的图象， 要保证 的图象在 图象的上方，需满足，可得. 综上可知，实数 的取值范围是. 感悟提升 求解函数图象应用问题的思维流程 随堂训练 1．（多选题）设函数,,,其中,,表示,,中的最小者,则. A. B. 当时, C. 当时, D. 【答案】ABD 【解析】根据,, 作出 的图象,如图所示, 结合图象可知 为偶函数,所以 恒成立,故 正确; 当 时,,, 显然根据图象得,故 正确; 当 时, 当 时,, 而,此时,故 错误; 由图象知,当 时,,且当 时,恒成立, 可令,则,故, 所以,故 正确.故选. 2．对于定义在上的函数,如果存在实数使,那么叫作函数的一个不动点.若函数存在两个不动点,则实数的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】由题意知,函数 存在两个不动点, 当 时,令,可得,解得,即 是函数 的一个不动点. 要使得函数 有两个不动点,则当 时,函数 只有一个不动点, 即当 时,方程 有且仅有一个实数根,即 的图象 和直线 只有一个交点.在平面直角坐标系内作出函数 和 的图象,如图所示, 结合图象,可得,即实数 的取值范围为. 高考导航·多想少算 利用数形结合思想解题 典例 （一题多法）已知函数满足，若函数与图象的交点为，， ，，则（ ）. A. 0 B. C. D. 【答案】B 【解析】（法一：数形结合法）由 可知 的图象关于点 对称，又易知 的图象关于点 对称，所以两函数图象的交点成对出现，且每一对交点都关于点 对称，所以.故选. （法二：特值法）令，则，两个交点的坐标分别为，，所以.故选. 多想少算典例中先分析出函数的图象是由的图象向上平移1个单位长度得到的，且函数的图象关于点中心对称，再观察到函数的图象也关于点中心对称，进而得两函数图象的交点成对出现，且每一对交点都关于点中心对称，从而可快速得到正确选项. 巩固训练．函数的图象与函数的图象所有交点的横坐标之和等于（ ）. A. 3 B. 6 C. 4 D. 2 【答案】B 【解析】由图象变换的法则可知，的图象关于 轴对称后的图象和原来的图象一起构成 的图象，再向右平移1个单位长度得到 的图象；的周期.如图所示，两函数的图象都关于直线 对称，且有3对交点，每对交点关于直线 对称，故所有交点的横坐标之和为.故选. 第页/共页 学科网（北京）股份有限公司 $