5.4三角函数的图象与性质教材深挖讲义-2027届高三数学一轮复习

人教A版·必修第一册　第5章 5.4　三角函数的图象与性质 教材结论与考点深挖 一、条目逐条展开 条目一　正弦、余弦、正切函数的图象与性质表 （1）教材出处 必修第一册 第五章 5.4.1 正弦函数、余弦函数的图象；5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质；5.4.3 正切函数的性质与图象。正文中的性质表、例题与课后习题，含“探究”栏目对正弦曲线、余弦曲线形状的讨论，以及正切函数图象的渐近线。 （2）教材结论/公式/性质 结论类型：正文定理公式。 三个基本函数的图象如图 1 所示，基本性质如下表（表中 均表示整数）。 图 1　正弦、余弦、正切函数的图象 性质 定义域 取一切实数 取一切实数 值域 全体实数 最小正周期 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 · 单调性（正弦）： 在 上单调递增，在 上单调递减。 · 单调性（余弦）： 在 上单调递增，在 上单调递减。 · 单调性（正切）： 在 上单调递增，无单调递减区间。 · 对称性： 的对称轴为 ，对称中心为 ； 的对称轴为 ，对称中心为 ； 无对称轴，对称中心为 。 · 零点与最值： 的零点为 ，在 处取最大值 ，在 处取最小值 ； 的零点为 ，在 处取最大值 ，在 处取最小值 ； 的零点为 ，无最大值、无最小值。 （3）推导证明 周期性。 由 、 知 是周期。若正数 也是 的周期，取 得 ，故 （ 为正整数）；再取 得 ，故 ，最小正周期为 。对 同理。由 知 是 的周期；若正数 是周期，取 得 ，故 ，最小正周期为 。 奇偶性。 由 、、，得正弦函数、正切函数为奇函数，余弦函数为偶函数。 单调性与值域。 在单位圆上，当角 从 增加到 时，终边与单位圆交点的纵坐标由 单调增加到 ，故 在 上单调递增；再由周期性，得它在 上单调递增。余弦的单调区间由 平移得到。正切在 内随角增大而增大，且可取到一切实数值，故值域为全体实数。 对称性。 由 知 的图象关于直线 对称，再由周期得关于 对称；由 知它关于点 中心对称。余弦的相应结论由 与 得到。正切由 知对称中心为 ；但正切曲线没有对称轴。 （4）适用条件与易错提醒 · 表中 必须写明为整数；漏写 就只得到主值区间，会漏掉全部周期解。 · 正弦的单调递增区间是 （ 为整数），不能把这些区间并成一个大区间；正弦函数在整个定义域上不是单调函数。 · 余弦的单调区间与正弦相差一个 的平移：余弦在 上递增，在 上递减，不要与正弦的区间混用。 · 正切的单调区间是开区间 ，且正切在整个定义域上不是增函数；写成“正切在定义域上单调递增”是错的。 · 正切的定义域要排除 ；这些点处图象有渐近线，函数无值。 · 对称轴与对称中心不要混：正弦的轴是 、中心是 ；余弦的轴是 、中心是 ；正切只有中心 ，没有对称轴。 · 正切的值域是全体实数，没有最大值、最小值；正弦、余弦的值域都是 。 · 求 的性质时，若 ，先用诱导公式把 化为正数，再作整体代换；否则单调区间的方向会反。 （5）考点定位与命题角度 选填基础题，常考“求定义域、值域、最小正周期”“求单调区间”“求对称轴、对称中心”“比较同名函数值的大小”“由图象判断性质”。常与诱导公式、三角恒等变换、函数图象平移结合；解答题中多作第一问。难度基础到中档。对应 2024 新课标Ⅱ卷·9（比较正弦型函数的零点、最值、周期、对称轴）、2024 新课标Ⅰ卷·7（两曲线交点个数）、2025 全国Ⅰ卷·4（正切型函数的对称中心）、2023 新课标Ⅰ卷·15（余弦型函数零点个数求参数范围）。 （6）方法归纳 · 第一步　定型：把函数化成 、 或 ，并确保 。 · 第二步　查表：以 为整体，对照基本函数的性质表，写出 应满足的范围或方程。 · 第三步　解出 ：解不等式或方程时，每一项都要带着 （ 为整数），并注意定义域限制。 · 第四步　回验：单调区间写成区间，对称中心写成坐标，值域要结合 的符号与 的取值。 （7）典型例题 例题 1（教材原题） 求下列函数的周期： （1）； （2）； （3）。 解析 （1），。 （2），。 （3），。 例题 2（教材原题改编） 求函数 的最小正周期、值域、单调递减区间与对称轴方程。 解析 最小正周期 ，值域为 。 由余弦在 上单调递减，令 解得 ，故单调递减区间为 （ 为整数）。 由 得 ，故对称轴方程为 。 当 时取最大值 ，当 时取最小值 。 （8）变式训练 变式 1-1（高考真题改编） （改编自 2024 新课标Ⅱ卷·9）对于函数 与 ，判断下列结论是否正确： （1） 与 有相同的零点； （2） 与 有相同的最大值； （3） 与 有相同的最小正周期； （4） 与 的图象有相同的对称轴。 变式 1-2（优质模拟改编） 求函数 的定义域、最小正周期、单调递增区间与对称中心坐标。 条目二　五点法作图的取点规则 （1）教材出处 必修第一册 第五章 5.4.1 正弦函数、余弦函数的图象 正文“探究”与例 1；5.4.3 正切函数的性质与图象 中正切曲线的画法；课后习题中的作图题。 （2）教材结论/公式/性质 结论类型：正文定理公式。 · 正弦曲线 ， 的五个关键点：、、、、。 · 余弦曲线 ， 的五个关键点：、、、、。 · 一般正弦型 （，）：令 依次取 ，由 算出横坐标，对应的纵坐标依次为 。 · 一般余弦型 ：同样令 取上述五值，纵坐标依次为 。 · 正切曲线不能用五点法，用“三点两线”：在一个周期 内取 、、 三点，再画两条渐近线 与 。 （3）推导证明 五个点的横坐标把一个周期四等分： 的相邻间隔为 ，对应 的间隔为 。这五个点包括三个零点与两个最值点；在相邻两点之间，函数的单调性不变、图象的凹凸性不变，所以用光滑曲线连接这五点，就能确定一个周期内图象的基本形状。 正弦与余弦的五个点只相差一个相位：由 ，余弦的五点纵坐标序列为 ，与正弦的 不同。正切在相邻两条渐近线之间单调且值域为全体实数，取三点足以确定一支的形状，两条渐近线确定这支的边界。 （4）适用条件与易错提醒 · 五个点必须取在同一个周期内，并按 从小到大的顺序排列；起点是 的解，不一定是 。 · 先列 行、再列 行、最后列 行； 的相邻间隔是 ，不是 。 · 余弦的五点纵坐标序列是 ，不要照抄正弦的 。 · 若 ，五点纵坐标整体变号，图象先下后上；不要仍按 的形状描点。 · 描点后必须用光滑曲线连接，不能用折线；两端按周期性向左右延伸。 · 正切不能用五点法（它没有最值点），必须用“三点两线”；两条相邻渐近线之间才是同一支。 · 作图时先定坐标轴与渐近线，再描点、连线；横纵坐标的单位长度要一致，否则图象形状会失真。 （5）考点定位与命题角度 五点法本身多出现在解答题的第一步（作简图），选填中常以“由图求解析式”“两图象交点个数”“平移后图象”等形式考查。对应 2023 新课标Ⅱ卷·16（由图象与直线 的交点求解析式）、2024 新课标Ⅰ卷·7（两曲线交点个数）。难度基础到中档。 （6）方法归纳 · 第一步　定周期与起点：由 解出五点中的第一点，并求出周期 。 · 第二步　列表：令 ，分别算出 与对应的 。 · 第三步　描点连线：把五个点描在坐标系中，用光滑曲线连接，再按周期向两侧延伸。 · 第四步　标注检查：标出最高点、最低点、零点与渐近线，检查振幅、周期与图象的走向。 （7）典型例题 例题 1（教材原题） 画出下列函数的简图： （1），； （2），。 解析 （1） 的五个点为 、、、、。把 的图象向上平移 个单位，即得所求简图。 （2） 的五个点为 、、、、。把 的图象关于 轴翻折，即得所求简图。 例题 2（教材原题改编） 用五点法作出函数 在一个周期内的简图，并写出它的最小正周期、单调递增区间、对称轴方程与对称中心坐标。 解析 令 ，列表如下： 描点并用光滑曲线连接，得图 2。 图 2　用五点法作 的简图 最小正周期 。 由 ，得 ，故单调递增区间为 。 由 ，得对称轴方程为 。 由 ，得对称中心为 。 （8）变式训练 变式 2-1（高考真题改编） （改编自 2023 新课标Ⅱ卷·16）已知函数 （）的图象如图 3， 是直线 与曲线 的两个交点。若 ，求 、 的值，并求 。 图 3　变式 2-1 所用的图象 变式 2-2（优质模拟改编） 用五点法作出函数 在一个周期内的简图，并求它的值域、单调递减区间与对称中心坐标。 条目三　周期性、对称轴与对称中心的代数表达 （1）教材出处 必修第一册 第五章 5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质 正文中周期性、奇偶性与对称性的讨论；5.4.3 正切函数的性质与图象 正文与课后习题；章末复习参考题中“由对称性求参数”的题目。 （2）教材结论/公式/性质 结论类型：正文定理公式。 设 ，， 为整数。 · ：最小正周期 ；对称轴由 确定，即 ；对称中心由 确定，中心为 。 · ：最小正周期 ；对称轴由 确定，即 ；对称中心为 。 · ：最小正周期 ；对称中心由 确定，中心为 ；正切型函数没有对称轴。 · 距离关系：相邻两条对称轴之间的距离为 ；相邻两个对称中心的距离为 ；相邻的对称轴与对称中心之间的距离为 。 正弦曲线的对称轴与对称中心如图 4 所示。 图 4　正弦曲线的对称轴与对称中心 （3）推导证明 周期。 由 知 是周期；再由正弦函数的最小正周期为 ，得 。余弦同理，正切由 得 。 对称轴。 对正弦型函数，令 ，则 故 ，图象关于直线 对称。余弦型函数的对称轴由 得到，证明同理。 对称中心。 对正弦型函数，令 ，则 故点 是图象的对称中心。余弦型函数令 ，证明同理。 正切的对称中心。 对称中心的横坐标由 解出，即 。由 知 是对称中心。正切曲线没有对称轴。 距离关系。 相邻两条对称轴对应的相位相差 ，故横坐标相差 ；相邻两个对称中心同理；对称轴对应的相位为 ，对称中心对应的相位为 ，两者相邻时相位相差 ，故横坐标相差 。 （4）适用条件与易错提醒 · 使用公式前必须保证 ；若 ，先用 、 把 化为正数，周期用 。 · 纵向平移 只改变对称中心的纵坐标，不改变对称轴；正弦型函数的对称中心是 ，不是 。 · 正弦的对称轴是 、中心是 ；余弦的对称轴是 、中心是 ；两者不要互换。 · 正切只有对称中心 对应的点，没有对称轴；且 为奇数时，对称中心在渐近线上，并不在图象上。 · “相邻”二字不能丢：若给出的两条对称轴之间还夹着别的对称轴，距离是 （ 为正整数），不能直接当成 。 · 一条对称轴与一个对称中心不可能重合；若已知一条对称轴 与一个对称中心 ，则 （ 为非负整数），反求 时要先判断它们是否相邻。 · 零点与对称中心不是一回事：当 时，正弦型函数的零点不是对称中心；只有当 时，零点才与对称中心的横坐标重合。 （5）考点定位与命题角度 选填高频，常见设问：由对称轴或对称中心求 、；由相邻对称轴（中心）的距离求周期；由零点个数或单调区间求 的范围；判断两个函数是否有相同的对称轴。对应 2022 新高考Ⅰ卷·6（对称中心与周期范围求参数）、2023 新课标Ⅰ卷·15（零点个数求 范围）、2025 全国Ⅰ卷·4（正切型函数对称中心）。难度中档。 （6）方法归纳 · 第一步　化标准形：把函数化成 或 ，并确保 ；正切型化成 。 · 第二步　写周期：正弦型、余弦型用 ，正切型用 。 · 第三步　列方程：对称轴令 （正弦）或 （余弦）；对称中心令 （正弦）或 （余弦）；正切中心令 。 · 第四步　定参数：用题目给出的范围限制选取 ，或用相邻对称轴、对称中心的距离 、 反求 ，最后回代检验。 （7）典型例题 例题 1（教材原题） 求函数 的最小正周期、对称轴方程、对称中心坐标与单调递增区间。 解析 最小正周期 。 由 ，得 ，故对称轴方程为 。 由 ，得 ，故对称中心为 。 由 ，得 ，故单调递增区间为 。 例题 2（教材原题改编） 已知函数 （）的图象关于直线 对称，且在区间 上单调递增，求 的值。 解析 由对称轴条件， 解得 （ 为整数）。 当 时，。正弦在 上单调递增，且左端点 落在 内，所以必须有 即 。 结合 与 ，只能取 ，故 。 （8）变式训练 变式 3-1（高考真题改编） （改编自 2022 新高考Ⅰ卷·6）记函数 （）的最小正周期为 。若 ，且 的图象关于点 中心对称，求 与 的值。 变式 3-2（优质模拟改编） 已知函数 （）的图象关于直线 对称，求 的值，并求 在区间 上的值域。 二、答案与解析 变式 1-1 答案与解析 答案：（1）错误；（2）正确；（3）正确；（4）错误。 解析： 的零点满足 ，即 ； 的零点满足 ，即 。两组零点不同，（1）错误。 两个函数的最大值都是 ，（2）正确。两个函数的最小正周期都是 ，（3）正确。 的对称轴满足 ，即 ； 的对称轴满足 ，即 。两条对称轴不同，（4）错误。 变式 1-2 答案与解析 答案：定义域为 ；最小正周期 ；单调递增区间为 ；对称中心为 （ 为整数）。 解析：由 ，得 。 最小正周期 。 由 ，得 ，故单调递增区间如答案所示。 由 ，得 ，故对称中心为 。 变式 2-1 答案与解析 答案：，取 （一般地 ， 为整数），。 解析：设 ，，则 ，且 。由图， 在上升段、 在下降段，对应的相位分别为 与 ，故 代入 ，得 。 由图，，故 ，即 。又 ，即 ，取 得 （其余解为 ）。 于是 变式 2-2 答案与解析 答案：五个关键点为 、、、、；值域为 ；单调递减区间为 ；对称中心为 （ 为整数）。 解析：令 ，由 得 ，对应的 ，即得五个关键点。 值域为 。 由 ，得 ，故单调递减区间如答案所示。 由 ，得 ，故对称中心为 。 变式 3-1 答案与解析 答案：，。 解析：由 及 ，得 。因为 ，所以 。 图象关于点 中心对称，故 ，且 于是 ，即 （ 为整数）。 由 ，得 ，故 ，。 检验：，符合题意。 变式 3-2 答案与解析 答案：； 在 上的值域为 。 解析：图象关于直线 对称，故 即 （ 为整数）。由 ，只能取 ，故 。 此时 。当 时， 余弦在 上递增、在 上递减，且 ，，，故 的最大值为 ，最小值为 ，值域为 。 人教A版·必修第一册　第5章 5.4 三角函数的图象与性质　第 1 页　共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $