第06课时 函数的概念及其表示讲义-2027届高三数学一轮复习

第06课时 函数的概念及其表示（学生使用） 1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域. 2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如解析法、列表法、图象法）表示函数，理解函数图象的作用. 3.了解简单的分段函数，并能简单应用. 必备知识·逐点梳理 一、函数的有关概念 函数 一般地，设,是非空的________，如果对于集合中的________________，按照某种确定的对应关系，在集合中都有________确定的数和它对应，那么就称为从集合到集合的一个函数 三要素 对应关系 , 定义域 ________的取值范围 值域 与的值对应的值的集合 同一个函数 如果两个函数的________域相同，且________完全一致，那么这两个函数是同一个函数 微思考． （1） 函数的概念的描述中，集合一定是函数的值域吗？ （2） 定义域与值域都相同的两个函数一定是同一个函数吗？值域与对应关系都相同的两个函数一定相等吗？ 二、表示函数的常用方法 解析法 一般情况下，必须注明函数的定义域 列表法 选取的自变量要有代表性，能反映定义域的特征 图象法 注意定义域对图象的影响；垂直于横轴的直线与函数图象最多有一个公共点 微思考． （1） （RA必修一P68思考改编）所有的函数都能用解析法表示吗?列表法与图象法呢？ （2） 直线是常数与函数的图象有多少个交点？ 三、分段函数 定义 若函数在其定义域的不同子集上，因________而分别用几个不同的式子来表示，则称这种函数为分段函数 相关 概念 分段函数的定义域是各段函数定义域的________，其值域等于各段函数值域的________，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数 关键考点·核心突破 考点一 函数的概念 例1 （1） （苏教必修一P115练习T4改编）下列四个图象中，是函数图象的是（ ）. A. B. C. D. （2） （RA必修一 P72习题3.1T2改编，多选题）下列各组函数是同一函数的是（ ）. A. , B. , C. , D. , 1.函数的定义要求非空数集中的任何一个元素在非空数集中有且只有一个元素与之对应,即可以“多对一”,不能“一对多”,而中有可能存在与中元素不对应的元素. 2.构成函数的三要素中,若定义域和对应关系都相同,则值域一定相同. 随堂训练 1．设集合,,下列四个图象中,能表示从集合到集合的函数关系的是（ ）. A. ①②③④ B. ①②③ C. ②③ D. ② 2．以下给出的同组函数是否表示同一个函数?为什么? ;;. ;; 1 2 3 考点二 函数的定义域 例2 （1） 的定义域为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . （2） （一题练透）求下列函数的定义域. ① 已知函数的定义域是，则函数的定义域为_ _ _ _ _ _ _ _ . ② 已知函数的定义域是，则函数的定义域为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . （3） 已知函数的定义域为，则实数的取值范围为_ _ _ _ _ _ _ _ . 1.由函数解析式求定义域 只需根据函数解析式列出自变量满足的不等式（组）,得出不等式（组）的解集即可. 2.求抽象函数的定义域的策略 （1）若已知函数的定义域为,则复合函数的定义域由不等式求出; （2）若已知函数的定义域为,则的定义域为在上的值域. 随堂训练 1．函数的定义域是. A. B. C. D. 2．已知函数的定义域为,则实数的取值范围为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 3． （1） 若函数的定义域是,则函数的定义域为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . （2） 若函数的定义域为,则函数的定义域为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 考点三 函数的解析式 例3 （1） （一题多法）已知为二次函数，且满足,则_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . （2） 已知函数满足,则函数的解析式为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 随堂训练 （一题练透）利用相应的方法求下列函数的解析式： （1）（换元法）已知，求函数的解析式； （2）（配凑法）已知,求函数的解析式； （3）（待定系数法）已知是一次函数,且,求函数的解析式； （4）（构造方程组法）已知满足，求函数的解析式. 考点四 分段函数 考向1 分段函数求值 例4 （1） （苏教必修一P115习题5.2T7改编）已知函数那么的值为_ _ _ _ . （2） 已知则_ _ _ _ . 考向2 分段函数与方程、不等式问题 例5 （1） （北师大必修一P59习题2.2B组T3改编）已知函数且，则实数的值为_ _ _ _ _ _ . （2） （经典高考真题）设函数若，则实数的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 随堂训练 1．（一题练透，多选题）已知函数则（ ）. A. B. 若，则或 C. 的解集为 D. 若，，则 2．已知函数，则_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ，_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 3．（经典高考真题）已知函数则_ _ _ _ _ _ _ _ ;若当时，，则的最大值是_ _ _ _ _ _ . 高考导航·深耕定义 几类特殊的分段函数 典例 （1） ［狄利克雷函数］（多选题）德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，是解析数论的创始人之一，以其命名的函数称为狄利克雷函数，则关于，下列说法正确的是（ ）. A. 的值域为 B. 的定义域为 C. ， D. 存在，是无理数， （2） ［黎曼函数］（多选题）黎曼函数是近代分析学中重要的研究对象，在微积分中有着广泛的应用.已知黎曼函数则（ ）. A. 存在无数个,使 B. 的最大值与最小值之和为 C. D. （3） ［最值函数］定义，设函数，，记函数，，且函数在区间内的值域为，则的最大值为_ _ _ _ . （4） ［符号函数］已知符号函数，若，则实数的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ . 第页/共页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第06课时 函数的概念及其表示（教师使用） 1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域. 2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如解析法、列表法、图象法）表示函数，理解函数图象的作用. 3.了解简单的分段函数，并能简单应用. 必备知识·逐点梳理 一、函数的有关概念 函数 一般地，设,是非空的实数集，如果对于集合中的任意一个数  ，按照某种确定的对应关系，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合到集合的一个函数 三要素 对应关系 , 定义域  的取值范围 值域 与的值对应的值的集合 同一个函数 如果两个函数的定义域相同，且对应关系完全一致，那么这两个函数是同一个函数 微思考． （1） 函数的概念的描述中，集合一定是函数的值域吗？ （2） 定义域与值域都相同的两个函数一定是同一个函数吗？值域与对应关系都相同的两个函数一定相等吗？ 【答案】（1） 在函数定义中,集合 不一定是函数的值域,它包含了函数的值域,即值域是集合 的子集. （2） 定义域与值域都相同的两个函数不一定是同一个函数，如函数 和函数，二者的定义域均为，值域也均为，但两个函数不同.值域与对应关系都相同的两个函数不一定相等.如函数,和函数,，两函数的对应关系相同，值域也相同，但定义域不同，所以不是相等函数. 求函数的定义域时常用的结论： （1）分式型 要满足； （2）根式型 要满足； （3）要满足； （4）对数型,且 要满足； （5）正切型 要满足 ,. 二、表示函数的常用方法 解析法 一般情况下，必须注明函数的定义域 列表法 选取的自变量要有代表性，能反映定义域的特征 图象法 注意定义域对图象的影响；垂直于横轴的直线与函数图象最多有一个公共点 微思考． （1） （RA必修一P68思考改编）所有的函数都能用解析法表示吗?列表法与图象法呢？ （2） 直线是常数与函数的图象有多少个交点？ 【答案】（1） 并不是所有的函数都能用解析法表示，如某地一年中每天的最高气温是日期的函数，该函数就不能用解析法表示；同样，并不是所有的函数都能用图象法表示，如狄利克雷函数 不能用图象法表示；列表法在理论上适用于所有函数，但对于自变量有无限个取值的函数，列表法只能表示函数的一个概况或片段. （2） 直线 是常数 与函数 的图象的交点个数不确定. 若设 的值域为，则当 时，至少有1个交点；当 时，有0个交点. 三、分段函数 定义 若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，则称这种函数为分段函数 相关 概念 分段函数的定义域是各段函数定义域的并集，其值域等于各段函数值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数 关键考点·核心突破 考点一 函数的概念 例1 （1） （苏教必修一P115练习T4改编）下列四个图象中，是函数图象的是（ ）. A. B. C. D. （2） （RA必修一 P72习题3.1T2改编，多选题）下列各组函数是同一函数的是（ ）. A. , B. , C. , D. , 【答案】（1） D （2） BD 【解析】 （1） 由函数的概念知，一个 对应一个，所以 是函数图象，不是函数图象.故选. （2） 两函数是同一个函数,则定义域相同，对应关系完全一致,只有,满足.故选. 感悟提升 1.函数的定义要求非空数集中的任何一个元素在非空数集中有且只有一个元素与之对应,即可以“多对一”,不能“一对多”,而中有可能存在与中元素不对应的元素. 2.构成函数的三要素中,若定义域和对应关系都相同,则值域一定相同. 随堂训练 1．设集合,,下列四个图象中,能表示从集合到集合的函数关系的是（ ）. A. ①②③④ B. ①②③ C. ②③ D. ② 【答案】C 【解析】对于①,定义域为,不符合题意;对于④,集合 中有的元素在集合 中对应两个值,不符合函数定义;②③符合题意.故选. 2．以下给出的同组函数是否表示同一个函数?为什么? ;;. ;; 1 2 3 【解析】 不是.与 的定义域为,的定义域为. ②不是.的定义域为,的定义域为,的定义域为. ③是同一个函数.与 的对应关系完全一致且定义域相同,它们是同一个函数的不同表示方法. 考点二 函数的定义域 例2 （1） 的定义域为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . （2） （一题练透）求下列函数的定义域. ① 已知函数的定义域是，则函数的定义域为_ _ _ _ _ _ _ _ . ② 已知函数的定义域是，则函数的定义域为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . （3） 已知函数的定义域为，则实数的取值范围为_ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】（1） （2） ① ② （3） 【解析】 （1） 由 得 所以 且,故所求函数的定义域为. （2） ① 因为 的定义域是，所以，解得， 则函数 的定义域为. ② 因为 的定义域是，所以，则函数 的定义域为，所以，解得， 则函数 的定义域为. （3） 因为函数 的定义域为，所以 对任意 恒成立，因此，解得. 感悟提升 1.由函数解析式求定义域 只需根据函数解析式列出自变量满足的不等式（组）,得出不等式（组）的解集即可. 2.求抽象函数的定义域的策略 （1）若已知函数的定义域为,则复合函数的定义域由不等式求出; （2）若已知函数的定义域为,则的定义域为在上的值域. 随堂训练 1．函数的定义域是. A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由题意,得 解得 或.因此函数的定义域为.故选. 2．已知函数的定义域为,则实数的取值范围为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】由条件知,在 上恒成立,当 时,,解得,不满足条件,故 解得，所以实数 的取值范围为. 3． （1） 若函数的定义域是,则函数的定义域为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . （2） 若函数的定义域为,则函数的定义域为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】（1） （2） 【解析】 （1） 要使函数 有意义,则,解得,故函数 的定义域为，所以函数 有意义的条件是 解得 或，故函数 的定义域为. （2） 由函数 的定义域为,得函数 的定义域为,则 有意义的条件是 解得 或，所以函数 的定义域为. 考点三 函数的解析式 例3 （1） （一题多法）已知为二次函数，且满足,则_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . （2） 已知函数满足,则函数的解析式为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】（1） （2） 【解析】 （1） （法一：换元法）令,则, 所以, 所以. （法二：配凑法）因为, 所以. （法三:待定系数法）因为 是二次函数,所以设, 则. 因为， 所以 解得 所以. （2） 已知, ① 将 换成,得, ② 由①②消去,得,所以函数 的解析式为. 感悟提升 求函数解析式的四种方法 随堂训练 （一题练透）利用相应的方法求下列函数的解析式： （1）（换元法）已知，求函数的解析式； （2）（配凑法）已知,求函数的解析式； （3）（待定系数法）已知是一次函数,且,求函数的解析式； （4）（构造方程组法）已知满足，求函数的解析式. 【解析】（1）设，，则. 因为， 所以，, 即. （2）因为, 所以,即. （3）设,则, 即 对任意 恒成立, 所以 解得 或 所以 的解析式为 或. （4）因为, 所以, 由，得, 所以. 考点四 分段函数 考向1 分段函数求值 例4 （1） （苏教必修一P115习题5.2T7改编）已知函数那么的值为_ _ _ _ . （2） 已知则_ _ _ _ . 【答案】（1） 0 （2） 1 【解析】 （1） 因为 所以， 所以. （2） 因为 所以. 感悟提升 “分段函数分段看”,遇到分段函数要时刻盯住自变量的范围,并根据自变量的范围选择合适的解析式. （1）求函数值：当出现的形式时,应从内到外依次求值. （2）求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义域区间的各段上,然后求出相应自变量的值,切记要进行检验. 考向2 分段函数与方程、不等式问题 例5 （1） （北师大必修一P59习题2.2B组T3改编）已知函数且，则实数的值为_ _ _ _ _ _ . （2） （经典高考真题）设函数若，则实数的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】（1） （2） 【解析】 （1） 因为 所以. 又，所以.因为 在 上恒成立，所以，故，则. （2） 当 时，， 解得（舍去）； 当 时，，得，解得 或（舍去）. 综上，实数 的取值范围是. 感悟提升 解与分段函数有关的方程、不等式 当自变量的取值不确定时,分类讨论求解. 注意：求解与分段函数有关的方程（不等式）的问题时,按不同范围求解后合并结果. 随堂训练 1．（一题练透，多选题）已知函数则（ ）. A. B. 若，则或 C. 的解集为 D. 若，，则 【答案】BCD 【解析】对于，因为，所以，所以 错误.对于，当 时，由，得，解得;当 时，由，得，解得 或（舍去）.综上，或，所以 正确.对于，当 时，由，得，解得;当 时，由，得，解得.综上，的解集为，所以 正确.对于，当 时，;当 时，.故 的值域为.因为，，所以，所以 正确.故选. 2．已知函数，则_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ，_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】； 【解析】当 时，，;当 时，，. 所以 由，得.由，得.所以 3．（经典高考真题）已知函数则_ _ _ _ _ _ _ _ ;若当时，，则的最大值是_ _ _ _ _ _ . 【答案】； 【解析】由题意知，则.作出函数 的图象，如图所示，结合图象，令，解得，令，解得（负值舍去），所以. 高考导航·深耕定义 几类特殊的分段函数 典例 （1） ［狄利克雷函数］（多选题）德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，是解析数论的创始人之一，以其命名的函数称为狄利克雷函数，则关于，下列说法正确的是（ ）. A. 的值域为 B. 的定义域为 C. ， D. 存在，是无理数， （2） ［黎曼函数］（多选题）黎曼函数是近代分析学中重要的研究对象，在微积分中有着广泛的应用.已知黎曼函数则（ ）. A. 存在无数个,使 B. 的最大值与最小值之和为 C. D. （3） ［最值函数］定义，设函数，，记函数，，且函数在区间内的值域为，则的最大值为_ _ _ _ . （4） ［符号函数］已知符号函数，若，则实数的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】（1） BCD （2） ABD （3） 2 （4） 【解析】 （1） 因为函数 所以 的定义域为，值域为，，故 错误，正确；因为，，，所以，故 正确；例如，取，，则，故 正确.故选. （2） 设 为 上的有理数，表示为，则.令，即，得. 因此，所以存在无数个，使得，正确. 易知 的定义域为，则值域为，，，，，所以 的最大值为，最小值为0，故最大值与最小值之和为，正确. 取，，则，， 此时，错误. 设集合，且，互质，，1或 上的无理数｝. ①若，，令，，则， 当 与 互质时，； 当 与 不互质时，. 故. ②若，中至少有一个属于，则，而， 故. 综上可知，正确.故选. （3） 令，即，解得.令，即，解得 或，所以， 的图象如图所示. 又，，要使函数 在区间 内的值域为，则当 时，；当 时，.故当，时，取得最大值，最大值为2. （4） 由 得 所以 的图象如图所示. 若，由分段函数可知， 当 时，，即，解得； 当 时，恒成立； 当 时，恒成立. 综上可得. 若，则有，即 恒成立； 若，则有 恒成立； 若，则有，解得. 综上所述，实数 的取值范围是. 深耕定义本题考查新函数的定义，学生需要深刻理解新函数定义中的关键点，才能顺利得到正确答案.狄利克雷函数的关键点是区分有理数和无理数，黎曼函数的关键点是理解“互质”的概念，最值函数的关键点是明确最值的核心含义，而符号函数的关键点是理解其非数值计算的特性，以上新函数都体现了高考对基础概念深入考查的特点和趋势. 第页/共页 学科网（北京）股份有限公司 $