第01讲 函数的概念及其表示（讲义）-2027届高三数学一轮复习

高中数学·一轮复习讲义系列 第01讲 函数的概念及其表示（复习讲义）（解析版） 2026-2027学年高三一轮复习数学 5 大题型 · 30 题 · 10 道典例 · 8 道变式 · 12 道分层 目　录 01　考情解码·命题预警 2 02　知识梳理 2 03　题型精讲 4 题型一　函数的定义域（常考） 4 题型二　函数值与分段函数（重点） 6 题型三　求函数的解析式（重点） 7 题型四　函数的值域（重点） 10 题型五　函数的概念与函数相等（常考） 14 04　易错核对 17 05　分层练习 18 使用说明 • 本讲义共 30 题：03 题型精讲 18 题（10 道典例 + 8 道变式），05 分层练习 12 题（A、B、C 各 4 题）；03 与 05 不重复。 • 题号为全讲统一编号，03 内按题型顺序排列；同一题型内先典例后变式，题号按阅读顺序连续。 • 原卷版用于课堂演练与限时训练，解析版逐题给出答案、分析与详解；解答题先独立书写，再对照解析。 • 建议顺序：02 知识梳理 → 03 题型精讲（先典例、后变式）→ 04 易错核对 → 05 分层练习。 01　考情解码·命题预警 本讲复习定位：以函数的概念、定义域、解析式、值域为主线，以分段函数和抽象函数为综合载体。选填题要求快而准，解答题要求写全“设、列、解、验”四步；定义域与值域的端点、解析式的适用范围都要写清。 考查要求 方法与条件 常见设问 理解函数的概念，会判断函数关系与函数相等 定义域内任意 唯一 ；定义域与对应关系相同 判断对应是否构成函数；判断两个函数是否相同 会求具体函数与抽象函数的定义域 分母、偶次根式、零次幂限制；复合函数由内层值域解出 求定义域；由定义域求参数；抽象函数定义域 会求函数的解析式 待定系数、换元、配凑、方程组法 求一次、二次函数解析式；已知 求 会求简单函数的值域 配方、分离常数、判别式、换元 求值域；由值域反求定义域或参数 理解分段函数，会求值与解不等式 分段代入；已知函数值求自变量；分段讨论 求分段函数值；解分段不等式；求参数 命题预警 • 定义域先列全限制再取交集：分母、偶次根式、零次幂一个都不能漏。 • 抽象函数定义域要分清“ 的定义域”与“ 的定义域”，方向不能反。 • 解析式换元后必须写新元范围；方程组法要联立两个方程，不能只写一个。 • 值域用判别式法时，先讨论二次项系数为 的情况；换元后注意 的范围。 复习建议：先过函数三要素与定义域，再练解析式的四种求法，最后集中突破值域的配方、分离常数、判别式与换元；每道解答题保留“回代检验”和“定义域核对”两步。 02　知识梳理 按“概念与三要素—定义域—解析式—值域与分段”四块整理，公式后注明使用条件；带“•”的条目是后续题型直接调用的结论。 一、函数的概念与三要素 • 函数：设 是非空数集，若对 中任意一个数 ，按照某种确定的对应关系 ，在 中都有唯一确定的数 与之对应，则称 为从 到 的函数，记作 。 • 三要素：定义域、对应关系、值域。定义域与对应关系确定后，值域随之确定。 • 函数相等：定义域相同，且对应关系完全一致。化简后解析式相同但定义域不同的，不是同一函数。 • 函数关系的判断：定义域内任意一个 只能对应唯一一个 ；图象与直线 最多有一个交点，与直线 可以有多个交点。 • 区间的写法：、、、；无穷端点用圆括号。定义域、值域通常写成集合或区间。 【概念填空】 概念填空① 在函数 中，集合 ____ 称为函数的定义域， 称为 ____；与 值对应的 值称为 ____， 集合 ____ 称为函数的值域。 答案：；自变量；函数值； 概念填空② （1）函数的三要素：____、____、____。 （2）如果两个函数的 ____ 相同，并且 ____ 完全一致， 则这两个函数为同一个函数。 答案：定义域、对应关系、值域；定义域；对应关系 概念填空③ 一般地，设 是非空的 ____， 如果对于集合 中的 ____ 一个数 ， 按照某种确定的对应关系 ，在集合 中都有 ____ 的数 和它对应， 那么就称 为从集合 到集合 的一个函数。 答案：数集；任意；唯一确定 二、函数的定义域 • 具体函数：分式的分母不为 ；偶次根式的被开方数不小于 ；零次幂与负指数幂的底数不为 。 • 多个限制同时存在时，先分别求出 的范围，再取交集；端点是否取到由原限制决定。 • 抽象函数： 的定义域为 ，则 的定义域由 解出。 • 抽象函数： 的定义域为 ，则 的定义域是 在 上的值域。 • 含参定义域为 ：转化为不等式恒成立；二次型先讨论二次项系数是否为 ，再用判别式。 三、函数的解析式 • 待定系数法：已知函数类型，设出解析式，代点或利用恒等式列方程；二次函数要注意 。 • 换元法：令 ，反解 ，先写出 的取值范围；求出 后把 换回 。 • 配凑法：把 的右边凑成 的式子，再整体替换。 • 方程组法： 或 ，用 、 替换后联立消元。 • 求出解析式后回代原式检验；换元法得到的定义域要与原式一致。 四、函数的值域与分段函数 • 配方法：二次函数在给定区间上求值域，先看对称轴与区间的位置，再比较顶点与端点。 • 分离常数法： 化为 ，由 求值域。 • 判别式法：去分母整理成关于 的二次方程，分二次项系数为 与不为 ，用 求 的范围，并检验定义域。 • 换元法：含根式令 ，化为二次函数；注意 的取值范围。 • 分段函数：各段定义域互不相交，并集为整个定义域；求值先定段，已知函数值求自变量要检验段内条件。 03　题型精讲 按解法分 5 个题型。每个题型先给方法条件，再给 1—4 道【典例】完整展示过程，并配 1—2 道【变式】当堂训练；解析版给出答案、分析与详解。 题型一　函数的定义域（共3题）　常考 【方法条件】 • 具体函数：分母不为 ，偶次根式被开方数不小于 ，零次幂与负指数幂的底数不为 ；多个限制取交集。 • 抽象函数： 的定义域为 ，则 由 解出； 的定义域为 ，则 的定义域是 在 上的值域。 • 含参定义域为 ：转化为不等式恒成立；二次型先讨论二次项系数是否为 ，再结合判别式。 • 定义域是自变量 的集合；端点开闭由原限制决定；复合函数先求内层值域，再求外层定义域。 • 求出定义域后代回原式，确认各限制同时成立。 【典例】 01．（解答题） （25-26高三上·陕西西安·开学考试） 设为实数，函数． (1)求函数的定义域； (2)设，把函数表示为的函数，并写出定义域． 【答案】(1)； (2)，定义域为． 【分析】（1）根据函数特征得到不等式，求出定义域； （2）两边平方得，求出定义域，并得到函数解析式． 【详解】（1）由题意，得，解得，故定义域为； （2）将两边平方，得， 整理得，解得， 所以，所求，定义域为． 【变式1】 02．（单选题） （2026·江苏南通·模拟预测） 已知函数的定义域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由偶次根式被开方数非负，结合定义域为的条件，将问题转化为二次不等式恒成立问题，利用判别式求解参数范围. 【详解】要使函数的定义域为， 需满足对任意，被开方数恒成立， 二次函数的二次项系数为，图像开口向上， 其恒大于等于0的充要条件为判别式， ， 解不等式，得， 即实数的取值范围是. 【变式2】 03．（单选题） （25-26高三下·辽宁·阶段检测） 已知集合，全集，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为集合，所以，即， 或． 则. 题型二　函数值与分段函数（共3题）　重点 【方法条件】 • 求函数值：已知解析式直接代入；抽象函数用赋值法，先求 、 等特殊值。 • 由内向外：先算内层值，再判断外层所在段。 • 已知函数值求自变量：分段讨论，解出的值必须落在该段区间内，否则舍去。 • 解分段不等式：分段讨论或画图，注意端点归属；取大、取小的先化为分段函数。 • 抽象函数常见模型：、、；模型只作方向，不能代替推导。 【典例】 04．（单选题） （25-26高三上·湖北黄冈·阶段检测） 已知定义域为的函数满足，则（   ） A．102 B．101 C．100 D．99 【答案】B 【分析】令得或1，验证后得到不成立，满足要求，此时，从而得到答案. 【详解】中，令得， 解得或1， 令得，若，上式整理得， 但不一定等于0，故不成立， 若，则， 此时， ，满足，满足要求， 故. 故选：B 【变式1】 05．（单选题） （25-26高三上·北京·阶段检测） ，，若，则实数n的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据表示和中较大者，求得的解析式，再分类解不等式，即可得到结果. 【详解】当时，若，则， 当时，若，则， 所以， 若，则当时，，解得，即或； 当或时，，解得，即或， 综上所述，实数n的取值范围是. 故选：D 【变式2】 06．（填空题） （25-26高三上·北京海淀·期中） 设函数若存在点在函数的图象上，则的一个取值为______，的最小值为______． 【答案】 【分析】利用分段函数性质结合题意求解第一空，结合一元二次方程性质求解第二空即可. 【详解】当时，将点代入， 得到，解得，则的一个取值为， 当时，满足，则， 由题意得此方程在上有解，得到，解得， 则的最小值为. 故答案为：1；0 题型三　求函数的解析式（共5题）　重点 【方法条件】 • 待定系数法：一次函数设 ，二次函数设 （），代条件列方程。 • 换元法：令 ，反解 ，先写 的取值范围；求出 后换回 。 • 配凑法：把 的右边凑成 的式子，再整体替换。 • 方程组法： 或 ，用 、 替换后联立消元。 • 求出解析式后回代原式检验，定义域要与原式一致。 【典例1】 07．（解答题） （25-26高三·全国·一轮复习） 已知函数满足，求的解析式. 【答案】 【分析】用代替得，利用方程组法即可求得答案. 【详解】由，用代替得， ，消去得， 所以的解析式为. 【典例2】 08．（解答题） （24-25高三·全国·一轮复习） 求下列函数的解析式： （1）已知，求的解析式； （2）已知，求的解析式； （3）已知是一次函数且，求的解析式； （4）已知满足，求的解析式． 【答案】（1）； （2）； （3）； （4）. 【分析】（1）设，由换元法可得出答案. （2）由，由配凑法可得答案. （3）可设，利用待定系数法可得答案. （4）将用替换,由方程消元法可得答案. 【详解】（1）（换元法）设，则． 所以，所以． 即． （2）（配凑法）因为， 又当时，（当且仅当时取“”）， 当时，（当且仅当时取“”）， 所以． （3）（待定系数法）因为是一次函数，可设， 所以. 即，所以 解得 所以的解析式是． （4）（方程组法）因为，① 所以将用替换，得，② 由①②解得． 【典例3】 09．（解答题） （24-25高三上·黑龙江佳木斯·开学考试） 求下列函数解析式 (1)函数满足， 求函数的解析式; (2)函数满足，求函数的解析式. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）令，用换元法进行求解； （2）用替换的，得到，与原式组成方程组，解方程组即可得到的解析式. 【详解】（1）令，则(R)，又， 所以， 所以函数的解析式为. （2）∵， ∴用替换上式中的，得到， 解方程组，得. 【典例4】 10．（解答题） （24-25高三上·山东菏泽·阶段检测） 如果为二次函数，，并且当时，取得最小值，求的解析式. 【答案】 【分析】根据题意，设，列出方程，求得的值，即可求解. 【详解】因为为二次函数，并且当时，取得最小值， 所以可设， 又因为，所以，解得， 所以． 【变式1】 11．（解答题） （24-25高三上·海南·开学考试） （1）已知，求函数的解析式； （2）已知是二次函数，且满足，，求函数的解析式； （3）已知，求的解析式. 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）利用换元法求解即可，注意定义域的变化； （2）利用待定系数法求解即可； （3）利用方程组法求解即可. 【详解】（1）设，则，，即， 所以，所以． （2）因为是二次函数，所以设.由，得． 由，得， 整理得， 所以，所以，所以． （3）用替换中的x，得， 由，解得. 题型四　函数的值域（共4题）　重点 【方法条件】 • 配方法：二次函数在给定区间上，先看对称轴与区间的位置，再比较顶点与端点。 • 分离常数法： 化为 ，由 求值域。 • 判别式法：去分母整理成关于 的二次方程，分二次项系数为 与不为 ，用 求 的范围，并检验定义域。 • 换元法：含根式令 ，化为二次函数，注意 的范围。 • 值域写成集合或区间；端点能否取到要单独说明。 【典例1】 12．（解答题） （25-26高三·全国·一轮复习） 求下列函数的值域： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将函数化为，利用基本不等式即可求解； （2）将函数化为，先求出的范围即可求出函数的值域. 【详解】（1）因为，所以，所以，当且仅当时取等号，所以函数的值域为. （2）由，得， 由，得， 所以， 所以函数的值域为. 【典例2】 13．（解答题） （25-26高三上·安徽·阶段检测） 已知函数的图象过点和点. (1)求实数的值； (2)写出函数的定义域，并求函数的值域. 【答案】(1)； (2)定义域为，值域为. 【分析】（1）根据题意，得到且，即且，联立方程组，即可求解； （2）由（1）知，函数，所以的定义域为，法一：化简函数为，令，转化为关于的方程有正实数根，求得函数的值域；法二：当时，化简，结合基本不等式和，进而求得函数的值域. 【详解】（1）由函数的图象过点和点， 可得且，即且 即，解得. （2）由（1）知，函数，所以的定义域为， 法一：由函数式，整理得， 令，当时，可得， 当时，，关于的方程有实数根， 可得，且，解得， 所以的值域为. 法二：由，可得； 当时，， 因为，当且仅当时，等号成立， 所以，即， 所以的值域为. 【典例3】 14．（解答题） （23-24高三上·天津河西·期中） 已知函数. (1)当时，求的值域； (2)若的定义域为，求实数的值； (3)若的定义域为，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)2 (3). 【分析】（1）配方求解值域； （2）得到-2和1是方程的两个根，由韦达定理求解； （3）考虑，和时，结合开口方向和根的判别式得到不等式，求出实数的取值范围. 【详解】（1）当时，， 所以的值域为. （2）因为的定义域为， 所以-2和1是方程的两个根， 故，解得，检验符合，故,. （3）当时，，定义域为，符合题意； 当时，，定义域不为，不符合题意； 当时，由题意，在上恒成立， 令，解得， 综上所述，实数的取值范围. 【变式1】 15．（解答题） （25-26高三上·山西太原·阶段检测） 已知函数的图象过点和点． (1)求实数的值； (2)写出的定义域，并求的值域． 【答案】(1) (2)的定义域为；值域为. 【分析】（1）根据题意列出方程组求解即可； （2）根据法则求出定义域，利用基本不等式求值域. 【详解】（1）由，得，，， 上两式联立，解得，. （2）由（1）知，故，得， 所以的定义域为； ，时，， 因为，当且仅当时取等号， 所以，即， 所以的值域为. 题型五　函数的概念与函数相等（共3题）　常考 【方法条件】 • 函数定义：定义域内任意一个 只有唯一一个 与之对应；图象与直线 最多一个交点。 • 三要素：定义域、对应关系、值域；定义域与对应关系相同，两个函数才相同。 • 判断函数相等：先看定义域，再看对应关系；化简后相同但定义域不同，不是同一函数。 • 函数关系判断：一个 对应多个 不是函数；一个 对应多个 仍可以是函数。 【典例】 16．（单选题） （25-26高三上·海南省直辖县级单位·阶段检测） 下列各组函数是同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．， 【答案】D 【分析】函数相等的充要条件是对应法则、定义域相同，由此逐一判断各个选项即可得解. 【详解】对于选项A：由函数可得，解得， 可知函数的定义域为； 由函数可得，解得， 可知函数的定义域为； 两个函数的定义域不同，因此不是同一个函数，故A错误． 对于选项B：函数的定义域为，函数的定义域为， 两个函数的定义域不同，因此不是同一个函数，故B错误． 对于选项C：函数的定义域为， 函数的定义域为， 两个函数的定义域不同，因此不是同一个函数，故C错误． 对于选项D：函数、的定义域均为， 且，可知定义域与对应法则均相同，因此是同一个函数，故D正确． 故选：D. 【变式1】 17．（判断题） （25-26高三·全国·一轮复习） 直线与函数的图象的交点最多有两个．( ) 【答案】错误 【分析】根据函数的定义分析判断即可. 【详解】根据函数定义，在定义域内任意x只能对应唯一的函数值y， 所以直线与函数的图象最多有一个交点，也可能没有交点， 故答案为：错误. 【变式2】 18．（判断题） （25-26高三·全国·一轮复习） 直线与函数的图象可以有多个交点．( ) 【答案】正确 【分析】根据函数的概念即可判断. 【详解】根据函数的概念，直线与函数的图象可以有多个交点，故正确. 故答案为：正确. 04　易错核对 以下 8 条来自本讲题目的常见失分点，每条给出典型表现、纠正方法和对应题号；做题时先对照，再回看原题。 序号 易错点 典型表现与纠正 对应题 易错一 求定义域漏限制或未取交集 只看到根式，漏掉分母不为 ；或把各限制分别写成几个区间，没有取交集；含参定义域为 时漏讨论二次项系数为 。纠正：先列全限制，再在数轴上取交集；含参时先讨论二次项系数，再结合判别式。 第01、02、03、14、28、29题 易错二 抽象函数定义域方向搞反 把 的定义域当成 的范围，或把 的定义域直接套给 。纠正： 的定义域是 的范围； 中令 落入该范围。 第24、25、29题 易错三 换元后漏写新元范围 令 后只反解 ，没有写 的取值范围，导致解析式定义域扩大。纠正：先由 的范围求 的范围，再写 并换回 。 第01、08、09、11题 易错四 方程组法未联立或漏项 只写 一个方程，没有用 替换后联立；或相减时符号出错。纠正：替换后得到两个方程，消去另一个未知函数，再回代检验。 第07、08、09、11题 易错五 分段函数求值未按段代入 没有先判断自变量所在区间，直接套用某一段；或 先算外层。纠正：由内向外，先定段再代入，结果要符合该段范围。 第05、06题 易错六 抽象函数赋值不当或臆造模型 只令 就下结论，或直接假设 、 代替推导。纠正：按条件赋值，逐步推出特殊值与关系；模型只作检验。 第04、22、30题 易错七 值域漏讨论或换元漏范围 判别式法忘记二次项系数为 的情况；换元后漏掉 ；分离常数后漏掉 。纠正：逐种情况讨论，最后用原式检验端点。 第12—15题 易错八 判断函数相等只看化简结果 把 与 当成同一函数，忽略定义域不同。纠正：先比定义域，再比对应关系；定义域不同直接判定不是同一函数。 第16题 05　分层练习 另选 12 道选填题，按 A 基础、B 提升、C 综合三层编排；与 03 的变式不重复，解析版给出答案与详解。 A　基础达标（4题，建议用时约 15 分钟） 19．（单选题） （2026·宁夏银川·一模） 如果点在函数的图象上，都有点在函数的图象上，则（   ） A．17 B．5 C．3 D．2 【答案】D 【分析】求出函数的解析式，代入可得. 【详解】设点在函数的图象上，则点在函数的图象上， 所以，即，所以. 20．（单选题） （2026·江西上饶·一模） 已知函数，则（   ） A．4 B．9 C．16 D．25 【答案】C 【分析】令，解得，再利用原式求解. 【详解】因为，令，解得， 所以． 故选：C. 21．（单选题） （25-26高三上·江西·阶段检测） 已知定义在上的函数满足，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．-2 【答案】A 【分析】通过赋值法先求出，继而求得. 【详解】由得， 令，则，得； 令，则，得； 令，则，得. 故选：A. 22．（填空题） （2026·山西晋城·一模） 已知函数的定义域为，且，则__________． 【答案】/ 【详解】令，得， 令，得，所以， 于是． B　能力提升（4题，建议用时约 20 分钟） 23．（单选题） （2026·江西上饶·二模） 若函数的定义域为，则此函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据定义域确定的范围，再结合反比例型函数得到值域即可． 【详解】函数的定义域为， 则或， 当时，， 当时，， 综上，此函数的值域为． 24．（单选题） （25-26高三上·山东菏泽·期中） 已知函数的定义域和值域分别为和，则函数的定义域和值域分别为（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】D 【分析】本题考查函数定义域和值域的概念以及函数图象的平移变换，解题的关键在于理解函数图象平移对定义域和值域的影响. 【详解】函数的图像向右平移1个单位长度得到函数的图像，故定义域为，值域不变； 故选：D 25．（单选题） （25-26高三上·重庆渝北·阶段检测） 已知函数的定义域为则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据抽象函数定义域的求法结合偶次根式有意义的条件得到关于的不等式组，解不等式组即可求解. 【详解】由于函数的定义域为所以，则, 所以的定义域满足,解得：, 所以的定义域为：； 故选：B 26．（多选题） （25-26高三上·广东惠州·期末） 已知定义在R上的函数不是常数函数，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】对ABC选项分别赋值即可判断，对于D先根据赋值得及，再由基本不等式及等式性质可得. 【详解】对于A：令，则， 即， 又函数不是常数函数，所以， 即，故A正确； 对于B：令，则， 所以，即，故B错误； 对于C：令，，则， 再令，，则， 由可知，当时，， 则，故C正确； 对于D：令，则，所以， 则，，又， 所以， 即，当且仅当时等号成立，故D正确. 故选：ACD. C　综合拓展（4题，建议用时约 25 分钟） 27．（多选题） （2025·广东江门·模拟预测） 已知函数的定义域为，，，且，则的值可能为（　　） A．101 B．102 C．103 D．104 【答案】BCD 【分析】由题意得，进而得出，再令即可. 【详解】因，则， 因，则， 则，即， 令，则， 因，则， 则的值可能为. 故选：BCD 28．（填空题） （25-26高三上·内蒙古·期中） 已知函数，则函数的定义域为______． 【答案】 【分析】由根式和分式的性质求原函数的定义域，进而有，即可得. 【详解】由题设，且， 对于有且， 所以函数定义域为. 故答案为： 29．（填空题） （25-26高三上·广东江门·阶段检测） 已知函数的定义域为,则函数的定义域为________. 【答案】 【分析】由函数的定义域为，列出，解不等式即可得解. 【详解】函数的定义域为，， ，，的定义域为. 故答案为：. 30．（填空题） （2025·四川绵阳·模拟预测） 已知定义在区间上的函数满足下列三个条件： ①对任意的，总有成立； ②； ③当时，总有， 那么，____________. 【答案】 【分析】令，，结合可求；再令，结合②③可得，再令，可排除，于是得：. 【详解】先求的值，在①中令可得，. 由②知，，所以，所以. 再求的值，在①中令可得， . 又由③知，，所以. 依题意可得， 但是若，则在①中令， 可得. 注意到，故由③可得，二者矛盾. 所以. 所以. 故答案为： 第1页 共1页 学科网（北京）股份有限公司 $高中数学·一轮复习讲义系列 第01讲 函数的概念及其表示（复习讲义）（原卷版） 2026-2027学年高三一轮复习数学 5 大题型 · 30 题 · 10 道典例 · 8 道变式 · 12 道分层 目　录 01　考情解码·命题预警 2 02　知识梳理 2 03　题型精讲 4 题型一　函数的定义域（常考） 4 题型二　函数值与分段函数（重点） 5 题型三　求函数的解析式（重点） 6 题型四　函数的值域（重点） 9 题型五　函数的概念与函数相等（常考） 11 04　易错核对 12 05　分层练习 13 使用说明 • 本讲义共 30 题：03 题型精讲 18 题（10 道典例 + 8 道变式），05 分层练习 12 题（A、B、C 各 4 题）；03 与 05 不重复。 • 题号为全讲统一编号，03 内按题型顺序排列；同一题型内先典例后变式，题号按阅读顺序连续。 • 原卷版用于课堂演练与限时训练，解析版逐题给出答案、分析与详解；解答题先独立书写，再对照解析。 • 建议顺序：02 知识梳理 → 03 题型精讲（先典例、后变式）→ 04 易错核对 → 05 分层练习。 01　考情解码·命题预警 本讲复习定位：以函数的概念、定义域、解析式、值域为主线，以分段函数和抽象函数为综合载体。选填题要求快而准，解答题要求写全“设、列、解、验”四步；定义域与值域的端点、解析式的适用范围都要写清。 考查要求 方法与条件 常见设问 理解函数的概念，会判断函数关系与函数相等 定义域内任意 唯一 ；定义域与对应关系相同 判断对应是否构成函数；判断两个函数是否相同 会求具体函数与抽象函数的定义域 分母、偶次根式、零次幂限制；复合函数由内层值域解出 求定义域；由定义域求参数；抽象函数定义域 会求函数的解析式 待定系数、换元、配凑、方程组法 求一次、二次函数解析式；已知 求 会求简单函数的值域 配方、分离常数、判别式、换元 求值域；由值域反求定义域或参数 理解分段函数，会求值与解不等式 分段代入；已知函数值求自变量；分段讨论 求分段函数值；解分段不等式；求参数 命题预警 • 定义域先列全限制再取交集：分母、偶次根式、零次幂一个都不能漏。 • 抽象函数定义域要分清“ 的定义域”与“ 的定义域”，方向不能反。 • 解析式换元后必须写新元范围；方程组法要联立两个方程，不能只写一个。 • 值域用判别式法时，先讨论二次项系数为 的情况；换元后注意 的范围。 复习建议：先过函数三要素与定义域，再练解析式的四种求法，最后集中突破值域的配方、分离常数、判别式与换元；每道解答题保留“回代检验”和“定义域核对”两步。 02　知识梳理 按“概念与三要素—定义域—解析式—值域与分段”四块整理，公式后注明使用条件；带“•”的条目是后续题型直接调用的结论。 一、函数的概念与三要素 • 函数：设 是非空数集，若对 中任意一个数 ，按照某种确定的对应关系 ，在 中都有唯一确定的数 与之对应，则称 为从 到 的函数，记作 。 • 三要素：定义域、对应关系、值域。定义域与对应关系确定后，值域随之确定。 • 函数相等：定义域相同，且对应关系完全一致。化简后解析式相同但定义域不同的，不是同一函数。 • 函数关系的判断：定义域内任意一个 只能对应唯一一个 ；图象与直线 最多有一个交点，与直线 可以有多个交点。 • 区间的写法：、、、；无穷端点用圆括号。定义域、值域通常写成集合或区间。 【概念填空】 概念填空① 在函数 中，集合 ____ 称为函数的定义域， 称为 ____；与 值对应的 值称为 ____， 集合 ____ 称为函数的值域。 答案：；自变量；函数值； 概念填空② （1）函数的三要素：____、____、____。 （2）如果两个函数的 ____ 相同，并且 ____ 完全一致， 则这两个函数为同一个函数。 答案：定义域、对应关系、值域；定义域；对应关系 概念填空③ 一般地，设 是非空的 ____， 如果对于集合 中的 ____ 一个数 ， 按照某种确定的对应关系 ，在集合 中都有 ____ 的数 和它对应， 那么就称 为从集合 到集合 的一个函数。 答案：数集；任意；唯一确定 二、函数的定义域 • 具体函数：分式的分母不为 ；偶次根式的被开方数不小于 ；零次幂与负指数幂的底数不为 。 • 多个限制同时存在时，先分别求出 的范围，再取交集；端点是否取到由原限制决定。 • 抽象函数： 的定义域为 ，则 的定义域由 解出。 • 抽象函数： 的定义域为 ，则 的定义域是 在 上的值域。 • 含参定义域为 ：转化为不等式恒成立；二次型先讨论二次项系数是否为 ，再用判别式。 三、函数的解析式 • 待定系数法：已知函数类型，设出解析式，代点或利用恒等式列方程；二次函数要注意 。 • 换元法：令 ，反解 ，先写出 的取值范围；求出 后把 换回 。 • 配凑法：把 的右边凑成 的式子，再整体替换。 • 方程组法： 或 ，用 、 替换后联立消元。 • 求出解析式后回代原式检验；换元法得到的定义域要与原式一致。 四、函数的值域与分段函数 • 配方法：二次函数在给定区间上求值域，先看对称轴与区间的位置，再比较顶点与端点。 • 分离常数法： 化为 ，由 求值域。 • 判别式法：去分母整理成关于 的二次方程，分二次项系数为 与不为 ，用 求 的范围，并检验定义域。 • 换元法：含根式令 ，化为二次函数；注意 的取值范围。 • 分段函数：各段定义域互不相交，并集为整个定义域；求值先定段，已知函数值求自变量要检验段内条件。 03　题型精讲 按解法分 5 个题型。每个题型先给方法条件，再给 1—4 道【典例】完整展示过程，并配 1—2 道【变式】当堂训练；解析版给出答案、分析与详解。 题型一　函数的定义域（共3题）　常考 【方法条件】 • 具体函数：分母不为 ，偶次根式被开方数不小于 ，零次幂与负指数幂的底数不为 ；多个限制取交集。 • 抽象函数： 的定义域为 ，则 由 解出； 的定义域为 ，则 的定义域是 在 上的值域。 • 含参定义域为 ：转化为不等式恒成立；二次型先讨论二次项系数是否为 ，再结合判别式。 • 定义域是自变量 的集合；端点开闭由原限制决定；复合函数先求内层值域，再求外层定义域。 • 求出定义域后代回原式，确认各限制同时成立。 【典例】 01．（解答题） （25-26高三上·陕西西安·开学考试） 设为实数，函数． (1)求函数的定义域； (2)设，把函数表示为的函数，并写出定义域． 【变式1】 02．（单选题） （2026·江苏南通·模拟预测） 已知函数的定义域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】 03．（单选题） （25-26高三下·辽宁·阶段检测） 已知集合，全集，则（   ） A． B． C． D． 题型二　函数值与分段函数（共3题）　重点 【方法条件】 • 求函数值：已知解析式直接代入；抽象函数用赋值法，先求 、 等特殊值。 • 由内向外：先算内层值，再判断外层所在段。 • 已知函数值求自变量：分段讨论，解出的值必须落在该段区间内，否则舍去。 • 解分段不等式：分段讨论或画图，注意端点归属；取大、取小的先化为分段函数。 • 抽象函数常见模型：、、；模型只作方向，不能代替推导。 【典例】 04．（单选题） （25-26高三上·湖北黄冈·阶段检测） 已知定义域为的函数满足，则（   ） A．102 B．101 C．100 D．99 【变式1】 05．（单选题） （25-26高三上·北京·阶段检测） ，，若，则实数n的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】 06．（填空题） （25-26高三上·北京海淀·期中） 设函数若存在点在函数的图象上，则的一个取值为______，的最小值为______． 题型三　求函数的解析式（共5题）　重点 【方法条件】 • 待定系数法：一次函数设 ，二次函数设 （），代条件列方程。 • 换元法：令 ，反解 ，先写 的取值范围；求出 后换回 。 • 配凑法：把 的右边凑成 的式子，再整体替换。 • 方程组法： 或 ，用 、 替换后联立消元。 • 求出解析式后回代原式检验，定义域要与原式一致。 【典例1】 07．（解答题） （25-26高三·全国·一轮复习） 已知函数满足，求的解析式. 【典例2】 08．（解答题） （24-25高三·全国·一轮复习） 求下列函数的解析式： （1）已知，求的解析式； （2）已知，求的解析式； （3）已知是一次函数且，求的解析式； （4）已知满足，求的解析式． 【典例3】 09．（解答题） （24-25高三上·黑龙江佳木斯·开学考试） 求下列函数解析式 (1)函数满足， 求函数的解析式; (2)函数满足，求函数的解析式. 【典例4】 10．（解答题） （24-25高三上·山东菏泽·阶段检测） 如果为二次函数，，并且当时，取得最小值，求的解析式. 【变式1】 11．（解答题） （24-25高三上·海南·开学考试） （1）已知，求函数的解析式； （2）已知是二次函数，且满足，，求函数的解析式； （3）已知，求的解析式. 题型四　函数的值域（共4题）　重点 【方法条件】 • 配方法：二次函数在给定区间上，先看对称轴与区间的位置，再比较顶点与端点。 • 分离常数法： 化为 ，由 求值域。 • 判别式法：去分母整理成关于 的二次方程，分二次项系数为 与不为 ，用 求 的范围，并检验定义域。 • 换元法：含根式令 ，化为二次函数，注意 的范围。 • 值域写成集合或区间；端点能否取到要单独说明。 【典例1】 12．（解答题） （25-26高三·全国·一轮复习） 求下列函数的值域： (1)； (2). 【典例2】 13．（解答题） （25-26高三上·安徽·阶段检测） 已知函数的图象过点和点. (1)求实数的值； (2)写出函数的定义域，并求函数的值域. 【典例3】 14．（解答题） （23-24高三上·天津河西·期中） 已知函数. (1)当时，求的值域； (2)若的定义域为，求实数的值； (3)若的定义域为，求实数的取值范围. 【变式1】 15．（解答题） （25-26高三上·山西太原·阶段检测） 已知函数的图象过点和点． (1)求实数的值； (2)写出的定义域，并求的值域． 题型五　函数的概念与函数相等（共3题）　常考 【方法条件】 • 函数定义：定义域内任意一个 只有唯一一个 与之对应；图象与直线 最多一个交点。 • 三要素：定义域、对应关系、值域；定义域与对应关系相同，两个函数才相同。 • 判断函数相等：先看定义域，再看对应关系；化简后相同但定义域不同，不是同一函数。 • 函数关系判断：一个 对应多个 不是函数；一个 对应多个 仍可以是函数。 【典例】 16．（单选题） （25-26高三上·海南省直辖县级单位·阶段检测） 下列各组函数是同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．， 【变式1】 17．（判断题） （25-26高三·全国·一轮复习） 直线与函数的图象的交点最多有两个．( ) 【变式2】 18．（判断题） （25-26高三·全国·一轮复习） 直线与函数的图象可以有多个交点．( ) 04　易错核对 以下 8 条来自本讲题目的常见失分点，每条给出典型表现、纠正方法和对应题号；做题时先对照，再回看原题。 序号 易错点 典型表现与纠正 对应题 易错一 求定义域漏限制或未取交集 只看到根式，漏掉分母不为 ；或把各限制分别写成几个区间，没有取交集；含参定义域为 时漏讨论二次项系数为 。纠正：先列全限制，再在数轴上取交集；含参时先讨论二次项系数，再结合判别式。 第01、02、03、14、28、29题 易错二 抽象函数定义域方向搞反 把 的定义域当成 的范围，或把 的定义域直接套给 。纠正： 的定义域是 的范围； 中令 落入该范围。 第24、25、29题 易错三 换元后漏写新元范围 令 后只反解 ，没有写 的取值范围，导致解析式定义域扩大。纠正：先由 的范围求 的范围，再写 并换回 。 第01、08、09、11题 易错四 方程组法未联立或漏项 只写 一个方程，没有用 替换后联立；或相减时符号出错。纠正：替换后得到两个方程，消去另一个未知函数，再回代检验。 第07、08、09、11题 易错五 分段函数求值未按段代入 没有先判断自变量所在区间，直接套用某一段；或 先算外层。纠正：由内向外，先定段再代入，结果要符合该段范围。 第05、06题 易错六 抽象函数赋值不当或臆造模型 只令 就下结论，或直接假设 、 代替推导。纠正：按条件赋值，逐步推出特殊值与关系；模型只作检验。 第04、22、30题 易错七 值域漏讨论或换元漏范围 判别式法忘记二次项系数为 的情况；换元后漏掉 ；分离常数后漏掉 。纠正：逐种情况讨论，最后用原式检验端点。 第12—15题 易错八 判断函数相等只看化简结果 把 与 当成同一函数，忽略定义域不同。纠正：先比定义域，再比对应关系；定义域不同直接判定不是同一函数。 第16题 05　分层练习 另选 12 道选填题，按 A 基础、B 提升、C 综合三层编排；与 03 的变式不重复，解析版给出答案与详解。 A　基础达标（4题，建议用时约 15 分钟） 19．（单选题） （2026·宁夏银川·一模） 如果点在函数的图象上，都有点在函数的图象上，则（   ） A．17 B．5 C．3 D．2 20．（单选题） （2026·江西上饶·一模） 已知函数，则（   ） A．4 B．9 C．16 D．25 21．（单选题） （25-26高三上·江西·阶段检测） 已知定义在上的函数满足，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．-2 22．（填空题） （2026·山西晋城·一模） 已知函数的定义域为，且，则__________． B　能力提升（4题，建议用时约 20 分钟） 23．（单选题） （2026·江西上饶·二模） 若函数的定义域为，则此函数的值域为（   ） A． B． C． D． 24．（单选题） （25-26高三上·山东菏泽·期中） 已知函数的定义域和值域分别为和，则函数的定义域和值域分别为（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 25．（单选题） （25-26高三上·重庆渝北·阶段检测） 已知函数的定义域为则的定义域为（    ） A． B． C． D． 26．（多选题） （25-26高三上·广东惠州·期末） 已知定义在R上的函数不是常数函数，且，则（   ） A． B． C． D． C　综合拓展（4题，建议用时约 25 分钟） 27．（多选题） （2025·广东江门·模拟预测） 已知函数的定义域为，，，且，则的值可能为（　　） A．101 B．102 C．103 D．104 28．（填空题） （25-26高三上·内蒙古·期中） 已知函数，则函数的定义域为______． 29．（填空题） （25-26高三上·广东江门·阶段检测） 已知函数的定义域为,则函数的定义域为________. 30．（填空题） （2025·四川绵阳·模拟预测） 已知定义在区间上的函数满足下列三个条件： ①对任意的，总有成立； ②； ③当时，总有， 那么，____________. 第1页 共1页 学科网（北京）股份有限公司 $