第06讲 函数的概念及其表示 讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学讲义聚焦函数的概念及其表示，涵盖函数三要素、表示法、分段函数、定义域及值域等高考核心考点，按“基础回顾-题型突破-综合精练”逻辑架构知识，通过梳理定义、提炼方法、精讲例题，帮助学生构建函数知识网络，突破抽象函数定义域、分段函数求值等难点，体现复习的系统性与针对性。 资料突出方法多样性与分层训练特色，如求解析式整合代入法、换元法等七种策略，定义域值域结合图像法、单调性法等技巧，培养学生数学思维与模型意识。设计“知识点辨析-例题拆解-课时精练”三步教学活动，助力学生高效掌握解题规律，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支持。

第06讲 函数的概念及其表示 题型一 函数的概念 1. 【答案】D 2．【答案】C 3．【答案】C 4．【答案】B 5．【答案】B 6．【答案】C 7．【答案】A 8．【答案】ACD 9．【答案】BD 10．【答案】BC 题型二 函数的解析式 1．【答案】B 2．【答案】A 3．【答案】D 4．【答案】A 5．【答案】B 6．【答案】D 7．【答案】C 8．【答案】AD 9．【答案】BCD 10．【答案】ACD 题型三 分段函数 1．【答案】D 2．【答案】D 3．【答案】C 4．【答案】D 5．【答案】C 6．【答案】A 7．【答案】D 8．【答案】BCD 9．【答案】BD 10．【答案】BCD 题型四 函数的定义域 1．【答案】B 2．【答案】B 3．【答案】B 4．【答案】A 5．【答案】C 6．【答案】A 7．【答案】B 8．【答案】BCD 9．【答案】ACD 10．【答案】ACD 题型五 函数的值域 1．【答案】A 2．【答案】A 3．【答案】B 4．【答案】B 5．【答案】C 6．【答案】D 7．【答案】A 8．【答案】BCD 9．【答案】ACD 10．【答案】ABD 课时精练 1．【答案】D 2．【答案】B 3．【答案】A 4．【答案】A 5．【答案】D 6．【答案】D 7．【答案】B 8．【答案】D 9．【答案】BD 10．【答案】BCD 11．【答案】BD 12．【答案】 【分析】偶次根式被开方数不为负数，分母不为0，真数大于0，根据这些条件列出的不等式组，则此不等式组的解就是函数的定义域． 【详解】要使函数有意义 所以解得 函数的定义域为． 13．【答案】 【分析】用换元法将转化为，则只需分析最小值即可求得最小值，从而得的最小值. 【详解】 ， 令，因为，则，所以原函数可化为， 令，对称轴，开口向上，所以时，单调递减，时，单调递增， 所以时，，即的最小值为. 14．【答案】 【分析】根据二次函数的性质可求解在上的值域为，进而根据在上的值域需要包含，结合指数函数的性质求解. 【详解】当时，，则函数在上的值域为． 因为函数的值域是R，故在上的值域需要包含， 所以解得． 故实数a的取值范围是． 15．【答案】(1)； (2)当时，；当且时，. 【分析】（1）根据函数定义域的要求，需保证二次函数在上恒非负，利用判别式，求解的取值范围； （2）通过作差法计算，化简后判断其符号，即可比较与的大小. 【详解】（1）由题意，，则， 因为函数的定义域为， 所以对任意，都有恒成立． 即，解得． 故a的取值范围是． （2）由题意，当时，， 所以 ．           所以当时，；当且时，． 16．【答案】(1) (2)； 【分析】（1）要使函数有意义，根号内的表达式非负即可；（2）用三角换元法求解. 【详解】（1）由题可知，解得，即的定义域为. （2）令，，则， 代入原函数得. 令，由得， 代入得函数化为， ，由得， 因此，即. 是开口向上的二次函数，对称轴为，在区间上单调递增， 因此最小值， 最大值， 因此的最小值为，最大值为. 17．【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）先将函数解析式分离常数化为，再根据指数函数，取倒函数的单调性 即可求得 的值域； （2）将代入右式化简计算即可证得左式； （3）先证明函数是奇函数，将代入化简，通过，换元，整理后再由换元，构造函数，由在上的单调性求得最小值即得参数范围. 【详解】（1）， 当时，，则，得， 则有， 故函数在区间上的值域为 （2）因 故. （3），则函数是奇函数， 将（2）代入不等式得， 令，不等式转化为， 整理得恒成立， 令，则在上单调递减，可得． 所以，即实数的取值范围为． 18．【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据指数函数及二次函数的值域求解方法求解； （2）根据复合函数的单调性判断方法，结合二次函数在给定区间上的最小值求法，可求得函数的解析式. 【详解】（1）若，则. 因为，所以， 所以，所以， 所以若，则的值域为. （2）. 令，. 当时，在上单调递增， 因为是增函数，所以在上单调递增. 所以. 当时，在上单调递减， 因为是增函数，所以在上单调递减. 所以. 当时，在上单调递减，在上单调递增. 因为是增函数， 所以当时，取得最小值，即. 综上，. 19．【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】（1）直接根据解析式求解定义域即可； （2）若存在区间，使得函数在上的值域为等价于在上有两个不相等的非负实数根，再根据换元法即可求解范围； （3）先讨论，根据函数的单调性先确定的大致范围，再根据的单调性确定的最终范围． 【详解】（1）若，， ，解得． （2）因为，，所以， ， 若存在区间，使得函数在上的值域为等价于在上有两个不相等的非负实数根， 整理得，设，则， 则， 因为，所以当时，即， 又，所以当时，方程有两个不相等的实数根． （3）存在，理由如下， 当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 若使在上单调递减，则， 即当时，在上单调递减； 当时，，且在上单调递减， 因为，所以， 所以当时，函数在上单调递减， 综上所述，时，在定义域内单调递减． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第06讲 函数的概念及其表示 题型一 函数的概念 2 题型二 函数的解析式 3 题型三 分段函数 5 题型四 函数的定义域： 7 题型五 函数的值域 9 课时精练 10 【基础回顾】 知识点1．函数的概念 一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A. 知识点2．函数的三要素 (1)函数的三要素：定义域、对应关系、值域． (2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数是同一个函数． 知识点3．函数的表示法 表示函数的常用方法有解析法、图像法和列表法． 知识点4．分段函数 若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数． 知识点5. 函数定义域 1.求函数 的定义域 2. 抽象函数定义域 原则: (1) 定义域一定是 的范围; (2) 同一对应法则下的括号内整体范围一样. ① 已知 的定义域是 ,求 的定义域 解不等式 ,其解集就是 的定义域. ② 已知 的定义域是 ,求 的定义域 利用 求 的值域,该值域就是 的定义域. ③已知 的定义域是 ,求 的定义域 利用 先求出 的值域 ,然后解不等式 ,其解集就是 的定义域. 知识点6. 函数值域 主要方法有：图像法，换元法，分离常数法，判别式法，单调性法等 【必备知识】 1．直线x＝a与函数y＝f(x)的图像至多有1个交点：在定义域内画竖线，最多和图像有一个交点． 2．在函数的定义中，非空实数集A，B，A即为函数的定义域，值域为B的子集． 3．分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集． 题型一 函数的概念 函数的含义及判断两个函数是同一个函数的方法 (1)函数概念中有两个要求：①A，B是非空的实数集；②集合A中的每个元素在集合B中有且只有一个元素与之对应． (2)两个函数满足定义域和对应关系相同时，才是同一个函数． 【例题精讲】 1．（25-26高一上·安徽铜陵·期末）已知集合，下列对应关系不能视作函数的是（   ） A． B． C． D． 2．（2026·青海西宁·一模）在平面直角坐标系中，直线，与函数的图像的交点个数为（    ） A．0 B．1 C．0或1 D．0或1或2 3．（25-26高一上·江西赣州·期末）根据函数定义判断：下列对应关系是集合到集合的函数的是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一·全国·寒假作业）下列从集合到集合的对应关系中，是的函数的是（ ） A．，对应关系 B．，对应关系 C．，对应关系 D．，对应关系 5．（25-26高一上·河南·期末）已知函数，且，则实数的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．（25-26高一上·辽宁丹东·期末）已知，若，则（   ） A． B． C．或 D．或 7．（2025高一上·江苏·专题练习）已知，且，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 （多选）8．（25-26高一上·浙江杭州·期中）下列各组函数中，两个函数表示同一个函数的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 （多选）9．（25-26高一上·全国·月考）下列y关于x的关系不是函数关系的是（   ） A． B． C． D． （多选）10．（25-26高一上·云南红河·期中）下列图形中，不是以为自变量的函数的图像的是（   ） A．   B．   C．   D．   题型二 函数的解析式 函数解析式的求法 （1） 代入法 ① 由 求复合函数 ② 由 等求 （2）凑配法【整体替换法,适用于 等类型. 】 （3）换元法【如 . 换元与凑配可以交替使用,如 等类型. 】 （4）待定系数法 告知函数类型或给出函数图像,就要设出该函数表达式,如 是一次函数,则可设 ; ①利用条件得恒等式，由对应项的系数相等完成； ②或利用条件得方程组，然后解方程组即可. （5） 解方程组法 ① 与 ,或 与 ; 【前者 ,后者 】 ② 一奇一偶函数 与 ； ③ 与 ,或 与 ; 【前者 ,后者 方法：将原方程中的变量进行变量替换得新方程，联立原方程解方程组! （6）图像变换法【根据变换过程、对称关系、相关关系等用代入法求曲线（或轨迹）方程】。 （7）赋值法【对两个变量交替使用特殊值代入】。 【例题精讲】 1．（25-26高三·全国·一轮复习）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 2．（2026高三·全国·专题练习）已知是一次函数，，且，函数满足，则（ ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·四川泸州·期中）已知一次增函数满足，则（    ） A．-1或3 B．-3或-1 C．3 D．-1 4．（25-26高一上·全国·单元测试）已知一次函数满足，则（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·浙江杭州·期中）若，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 6．（2027高三·全国·专题练习）若函数，则（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高一上·云南·期末）已知函数，则函数的解析式为（    ） A． B． C． D． （多选）8．（25-26高一上·浙江丽水·期末）下列函数中，满足的是 （    ） A． B． C． D． （多选）9．（25-26高一上·河北雄安·期末）下列说法中，正确的是（    ） A．若，则的定义域为 B．若实数满足，则的最小值为 C．若，则 D．“”是“”的充分不必要条件 （多选）10．（25-26高一上·广东·月考）下列说法正确的是（    ） A．若，则的定义域为 B．和表示同一个函数 C．函数的值域为 D．已知，则 题型三 分段函数 分段函数求值问题的解题思路 (1)求函数值：当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值． (2)求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验． 【例题精讲】 1．（25-26高一下·贵州·期中）已知函数则（   ） A．0 B．1 C．2 D． 2．（25-26高一上·贵州·期中）已知函数，则（   ） A． B．方程的解集为 C．定义域为 D．值域为 3．（2026·广东惠州·二模）已知随机变量的分布列为 0 1 2 3 0.3 0.3 0.2 0.1 设函数，若，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 4．（2026·江西南昌·二模）已知函数在定义域内有最小值，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（2026·甘肃金昌·三模）已知，，若函数在上单调递减，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（2026·陕西·模拟预测）已知函数，若且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 7．（2026·陕西西安·模拟预测）设函数，若存在最大值，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． （多选）8．（25-26高一下·云南昭通·期中）已知函数，下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则或 C． D．无最值 （多选）9．（25-26高一下·浙江·期中）已知函数，下列选项正确的是（    ） A．若，则 B．若，则不等式的解集为 C．若在上单调递减，则 D．当函数恰有2个零点，则 （多选）10．（25-26高一上·山东临沂·期末）下列说法正确的是（   ） A．函数（且）的图像所过定点的坐标为 B．函数的单调递增区间是 C．函数的值域为 D．已知函数在上单调递增，则a的取值范围是 题型四 函数的定义域 求实体函数定义域，抽象函数的定义域及已知定义域求参等。 【例题精讲】 1．（2026·广东清远·二模）设集合，则（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·甘肃兰州·期中）已知函数的定义域是，则函数的定义域是（   ） A． B． C．[1，3] D．(1，3] 3．（25-26高一下·河南信阳·期中）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 4．（2026·湖南·一模）设甲：函数有意义，乙：函数有意义，则（   ） A．甲是乙的充分不必要条件 B．甲是乙的必要不充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲是乙的既不充分也不必要条件 5．（23-24高一上·山东·期中）函数的定义域为，函数，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·辽宁·期末）已知函数的定义域为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高一上·黑龙江大庆·期中）“”是“函数的定义域为R”的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 （多选）8．（2026·河南洛阳·模拟预测）下列选项中说法正确的是（    ） A．函数的单调减区间为 B．幂函数过点，则 C．函数的定义域为，则函数的定义域为 D．若函数的值域为，则实数的取值范围是 （多选）9．（25-26高一上·浙江杭州·期中）下列命题是正确的是（   ） A．函数的定义域是 B．与是同一个函数 C．不等式的解集为 D．若，，则 （多选）10．（25-26高一下·湖南·月考）下列说法正确的是（   ） A．若函数的定义域为，则函数的定义域为 B．不等式对一切实数x恒成立的充要条件是 C．函数在区间上存在零点 D．若，，，则的最小值为4 题型五 函数的值域 主要方法有：图像法、换元法、分离常数法、判别式法、单调性法等。 【例题精讲】 1．（北京市丰台区2025~2026学年度第二学期综合练习（二）高三数学）下列函数中，定义域和值域相同的是（    ） A． B． C． D． 2．（2026·四川达州·二模）已知集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 3．（2026·江西上饶·二模）若函数的定义域为，则此函数的值域为（   ） A． B． C． D． 4．（2026·河北保定·一模）已知函数在区间上的值域为，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．4 5．（2026·山东济宁·一模）已知函数，为的导函数，若，使得，则实数的最小值为（    ） A．1 B．2 C． D． 6．（25-26高三上·新疆·月考）已知，，函数，若，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高三上·广西崇左·期末）已知函数的值域是，则（    ） A．1 B． C． D．2 （多选）8．（2026·江西宜春·模拟预测）用表示不超过的最大整数，则（    ） A． B．是的充分不必要条件 C．函数的值域为 D．方程的解集为 （多选）9．（2026·湖南怀化·二模）已知函数，则下列结论正确的是（   ） A．存在，，使得 B．记的值域为A，对任意，存在，使得 C．若，则的最大值为 D．若，则的最小值为 （多选）10．（2026·山东枣庄·一模）已知函数，则（   ） A．为奇函数 B．的值域是 C．有极值 D．存在实数，，使得在上的值域为 课时精练 1．（2026高二下·湖南·学业考试）函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）已知定义域为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高三下·辽宁铁岭·月考）已知函数则的值域是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·内蒙古鄂尔多斯·期末）已知函数的值域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·浙江杭州·期中）若函数定义域为，则函数的定义域为（） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·甘肃庆阳·期末）已知函数的定义域为，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高一上·上海·期末）函数的定义域为，对定义域内的任意实数，都有，并且时，，若的值域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高一上·浙江杭州·期末）定义在上的函数满足，且当时 ，对，，使得，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 9．（25-26高二下·浙江宁波·期中）下列结论正确的是（   ） A．“，”的否定是“，” B．不等式的解集 C．函数的定义域是 D．函数过定点 （多选）10．（25-26高三下·甘肃武威·期中）用表示不超过的最大整数，则（    ） A． B．是的充分不必要条件 C．函数的值域为 D．方程的解集为 （多选）11．（25-26高一下·云南玉溪·期中）给定函数，用表示中的较大者，记为，则（   ） A．的图像可能是一条直线 B． 的图像不可能是一条直线 C．当时，的值域为 D．若关于的不等式的解集中有且仅有个整数，则实数的取值范围是 三、填空题 12．（25-26高一下·河南濮阳·期中）函数的定义域为________． 13．（25-26高二下·广西南宁·月考）已知函数．则的最小值为___________． 14．（25-26高一下·云南·开学考试）已知函数（且），若函数的值域是R，则实数a的取值范围是______． 四、解答题 15．（25-26高一上·上海·期中）已知函数． (1)若的定义域为，求实数的取值范围； (2)若，设，试比较与的大小并说明理由． 16．（25-26高一下·四川成都·期中）已知函数. (1)指出的定义域； (2)求的最小值与最大值. 17．（25-26高一下·浙江杭州·期中）已知函数． (1)求函数在区间上的值域； (2)求证：； (3)若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围． 18．（25-26高一下·贵州遵义·开学考试）已知函数． (1)若，求的值域； (2)若时，的最小值为，求函数的解析式． 19．（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知函数． (1)若，求函数的定义域； (2)当时，若函数，若存在区间，使得函数在上的值域为，求a的取值范围； (3)是否存在实数a，使得函数在定义域内单调递减？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第06讲 函数的概念及其表示 题型一 函数的概念 2 题型二 函数的解析式 5 题型三 分段函数 10 题型四 函数的定义域： 15 题型五 函数的值域 21 课时精练 29 【基础回顾】 知识点1．函数的概念 一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A. 知识点2．函数的三要素 (1)函数的三要素：定义域、对应关系、值域． (2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数是同一个函数． 知识点3．函数的表示法 表示函数的常用方法有解析法、图像法和列表法． 知识点4．分段函数 若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数． 知识点5. 函数定义域 1.求函数 的定义域 2. 抽象函数定义域 原则: (1) 定义域一定是 的范围; (2) 同一对应法则下的括号内整体范围一样. ① 已知 的定义域是 ,求 的定义域 解不等式 ,其解集就是 的定义域. ② 已知 的定义域是 ,求 的定义域 利用 求 的值域,该值域就是 的定义域. ③已知 的定义域是 ,求 的定义域 利用 先求出 的值域 ,然后解不等式 ,其解集就是 的定义域. 知识点6. 函数值域 主要方法有：图像法，换元法，分离常数法，判别式法，单调性法等 【必备知识】 1．直线x＝a与函数y＝f(x)的图像至多有1个交点：在定义域内画竖线，最多和图像有一个交点． 2．在函数的定义中，非空实数集A，B，A即为函数的定义域，值域为B的子集． 3．分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集． 题型一 函数的概念 函数的含义及判断两个函数是同一个函数的方法 (1)函数概念中有两个要求：①A，B是非空的实数集；②集合A中的每个元素在集合B中有且只有一个元素与之对应． (2)两个函数满足定义域和对应关系相同时，才是同一个函数． 【例题精讲】 1．（25-26高一上·安徽铜陵·期末）已知集合，下列对应关系不能视作函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的定义，逐一分析各个选项，即可得答案. 【详解】由函数的定义得，设A，B为非空数集，如果A中任意一个元素x，按照某种对应关系，在B中都有唯一确定的元素y与之对应，则能视作函数. 选项A：，当时，， 当时，， 当时，，满足函数定义，不符合题意； 选项B：，当时，， 当时，， 当时，，满足函数定义，不符合题意； 选项C：，当时，， 当时，， 当时，，满足函数定义，不符合题意； 选项D：，当时，无意义，不满足函数定义，符合题意. 故选：D 2．（2026·青海西宁·一模）在平面直角坐标系中，直线，与函数的图像的交点个数为（    ） A．0 B．1 C．0或1 D．0或1或2 【答案】C 【详解】根据函数定义可知，当在定义域中时，直线与函数的图像有一个交点， 当不在定义域中时，直线与函数的图像没有交点， 所以直线，与函数的图像的交点个数为0或1. 3．（25-26高一上·江西赣州·期末）根据函数定义判断：下列对应关系是集合到集合的函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接根据函数的定义判断可得. 【详解】对于A：因为时，y的值无意义，所以A不正确； 对于B：因为当时，对应，所以B不正确； 对于C：当分别取，对应的值为，符合题意，所以C正确； 对于D：因为当时，对应，所以D不正确； 故选：C 4．（25-26高一·全国·寒假作业）下列从集合到集合的对应关系中，是的函数的是（ ） A．，对应关系 B．，对应关系 C．，对应关系 D．，对应关系 【答案】B 【分析】根据题意，结合函数的定义，逐项分析判断，即可求解. 【详解】A，当时，函数没有意义，所以不是的函数，不符合； B，当时，对于，任意，都有唯一的与之相对应，所以是的函数，符合； C，当时，函数没有意义，所以不是的函数，不符合； D，令，由，得，不符合函数的定义，所以不是的函数，不符合. 故选：B 5．（25-26高一上·河南·期末）已知函数，且，则实数的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】利用对数函数和对数的运算直接计算求解即可. 【详解】因为函数，且， 所以，解得， 故选：B 6．（25-26高一上·辽宁丹东·期末）已知，若，则（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据分段函数的定义，分与两种情况讨论即可求解. 【详解】当时，，得到，满足条件； 当时，，得到或，因为，所以； 综上所述，或. 故选：C. 7．（2025高一上·江苏·专题练习）已知，且，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】令，求出，代入解出即可. 【详解】， 且， 令，解得， 则. 故选：A. （多选）8．（25-26高一上·浙江杭州·期中）下列各组函数中，两个函数表示同一个函数的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】ACD 【详解】对于A：，定义域为，而，定义域也是，两个函数的定义域和对应法则都相同，所以是同一个函数，故A正确； 对于B：，定义域为，而，定义域为，定义域不同，所以不是同一个函数，故B错误； 对于C：，需满足，即，而，需满足，即， 且，所以两个函数的定义域和对应法则相同，为同一个函数，故C正确； 对于D：，定义域为，而，定义域为，且，所以两个函数的定义域和对应法则相同，为同一个函数，故D正确. （多选）9．（25-26高一上·全国·月考）下列y关于x的关系不是函数关系的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据函数的定义可判断AC中的关系为函数关系，BD中的关系不是函数关系. 【详解】对于A，因为，所以该关系是函数关系； 对于B，当时，没有对应的值，但题干函数定义域包括，所以该关系不是函数关系； 对于C，因为任意的x值，有唯一的y值与之对应，所以该关系是函数关系； 对于D，因为当时，有两个值与之对应，所以该关系不是函数关系． 故选：BD． （多选）10．（25-26高一上·云南红河·期中）下列图形中，不是以为自变量的函数的图像的是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】BC 【分析】根据函数的定义依次判断各个选项. 【详解】对于AD，均满足函数的定义； 对于B，存在着一个的值对应着多个的值，不符合函数的定义，故它不能表示以为自变量的函数的图像； 对于C，图形与轴有两个交点，即有两个函数值与对应，不满足函数定义，故C不能表示以为自变量的函数的图像. 故选：BC. 题型二 函数的解析式 函数解析式的求法 （1） 代入法 ① 由 求复合函数 ② 由 等求 （2）凑配法【整体替换法,适用于 等类型. 】 （3）换元法【如 . 换元与凑配可以交替使用,如 等类型. 】 （4）待定系数法 告知函数类型或给出函数图像,就要设出该函数表达式,如 是一次函数,则可设 ; ①利用条件得恒等式，由对应项的系数相等完成； ②或利用条件得方程组，然后解方程组即可. （5） 解方程组法 ① 与 ,或 与 ; 【前者 ,后者 】 ② 一奇一偶函数 与 ； ③ 与 ,或 与 ; 【前者 ,后者 方法：将原方程中的变量进行变量替换得新方程，联立原方程解方程组! （6）图像变换法【根据变换过程、对称关系、相关关系等用代入法求曲线（或轨迹）方程】。 （7）赋值法【对两个变量交替使用特殊值代入】。 【例题精讲】 1．（25-26高三·全国·一轮复习）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】换元法求解析式即可． 【解答过程】设，则，， 所以， 所以． 故选：B. 2．（2026高三·全国·专题练习）已知是一次函数，，且，函数满足，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，利用待定系数法，结合已知方程组可得，再由换元法代入计算可得，可得出结论. 【详解】依题意可设， 由可得， 因此可得，解得或； 又因为，所以，即，即A正确，B错误； 又可得， 令，所以，因此， 所以，可得C错误，D错误. 故选：A. 3．（25-26高一上·四川泸州·期中）已知一次增函数满足，则（    ） A．-1或3 B．-3或-1 C．3 D．-1 【答案】D 【分析】根据条件，利用待定系数法，求出，即可求解. 【详解】由一次增函数，可设， 则， 所以，解得或（舍去）， 当时，，此时，， 故选：D 4．（25-26高一上·全国·单元测试）已知一次函数满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设出函数解析式，利用待定系数法求解. 【详解】由为一次函数，设， 依题意，，整理得， 因此，解得，所以． 故选：A 5．（25-26高一上·浙江杭州·期中）若，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】将代入函数解析式计算得解. 【详解】将代入， 得到，解得. 故选：B. 6．（2027高三·全国·专题练习）若函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先将已知表达式通分后配方，发现它是中间变量的平方，再通过换元得到函数的解析式. 【详解】，所以． 故选：D. 7．（25-26高一上·云南·期末）已知函数，则函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接利用换元法求解即可，注意定义域的限制. 【详解】设，则，因为，可得， 所以函数 ． 故选：C． （多选）8．（25-26高一上·浙江丽水·期末）下列函数中，满足的是 （    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】对各选项解析式分别求出即可判断. 【详解】对于A：，则，故A正确； 对于B：，则，故B错误； 对于C：，则，而， 所以，故C错误； 对于D：，则，故D正确. 故选：AD （多选）9．（25-26高一上·河北雄安·期末）下列说法中，正确的是（    ） A．若，则的定义域为 B．若实数满足，则的最小值为 C．若，则 D．“”是“”的充分不必要条件 【答案】BCD 【分析】对于A,结合对数函数的定义域求解即可；对于B,利用基本不等式1的妙用即可求解；对于C，利用换元法即可求解解析式；对于D，利用二倍角公式化简结合充分条件和必要条件的定义判断即可. 【详解】对于A，由得，由，得， 的定义域为，故A错误； 对于B，由，得， 则， 当时取得等号，故B正确； 对于C，令，则， 则，所以，故C正确； 对于D，若，则，所以充分性成立； 若，则或，所以必要性不成立， 故“”是“”的充分不必要条件，故D正确. 故选：BCD. （多选）10．（25-26高一上·广东·月考）下列说法正确的是（    ） A．若，则的定义域为 B．和表示同一个函数 C．函数的值域为 D．已知，则 【答案】ACD 【分析】根据具体函数的定义域的求解判断A；利用同一函数的定义判断B；利用二次函数的性质先求，再求得的值域，判断C；利用换元法求解析式判断D. 【详解】对于A，由题意，得且， 则的定义域为，故A正确； 对于B，的定义域为的定义域为， 定义域不同，不是同一个函数，故B错误； 对于C，因为，所以， 则函数的值域为，故C正确； 对于D，令，则， 所以， 函数的解析式为，故D正确. 故选：ACD. 题型三 分段函数 分段函数求值问题的解题思路 (1)求函数值：当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值． (2)求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验． 【例题精讲】 1．（25-26高一下·贵州·期中）已知函数则（   ） A．0 B．1 C．2 D． 【答案】D 【详解】因为 所以，. 2．（25-26高一上·贵州·期中）已知函数，则（   ） A． B．方程的解集为 C．定义域为 D．值域为 【答案】D 【分析】根据函数的解析式，结合选项，逐项求解，即可得到答案. 【详解】由函数， 对于A，由，所以A不正确； 对于B，当时，令，解得； 当时，令，解得， 综上可得，方程的解集为，所以B不正确； 对于C，由函数，可得定义域为，所以C不正确； 对于D，当时，函数为单调递增函数，所以； 当时，函数为单调递增函数，可得， 综上可得，函数的值域为，所以D正确. 故选：D. 3．（2026·广东惠州·二模）已知随机变量的分布列为 0 1 2 3 0.3 0.3 0.2 0.1 设函数，若，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由分布列的性质可知，，所以. 因为函数，. 当时，； 当时，； 当时，. 所以. 所以函数的值域为. 4．（2026·江西南昌·二模）已知函数在定义域内有最小值，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合函数单调性及基本不等式求解即可. 【详解】当时，，当且仅当时取等号. 当时，在上单调递减，此时的值域为， 因为在定义域内有最小值，所以. 故实数的取值范围为. 5．（2026·甘肃金昌·三模）已知，，若函数在上单调递减，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分段函数在两段函数上分别单调递减及分界处函数值大小，列出不等式求解即可. 【详解】由在上单调递减知； 由在上单调递减知： 当，即满足题意； 当，，所以， 由在上单调递减，得，所以， 综上，a的取值范围是. 6．（2026·陕西·模拟预测）已知函数，若且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数解析式画出函数图像得，再根据将转化为，再构造函数，，利用导数说明函数的单调性，即可求出函数的最小值，即可得. 【详解】由，可得函数图像如下所示： 因为且， 所以，且， 所以， 令，， 则， 当时，当时， 即在上单调递减，在上单调递增， 所以. 7．（2026·陕西西安·模拟预测）设函数，若存在最大值，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对进行分类讨论，结合“存在最大值”列不等式，由此求得的取值范围. 【详解】当时，的值域为． 当时，是开口向下的二次函数，对称轴是直线. 若，则当时，的最大值为， 所以，解得； 若，存在最大值； 若，则当时， 的最大值为， 所以，不等式组无解． 综上，实数的取值范围是． （多选）8．（25-26高一下·云南昭通·期中）已知函数，下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则或 C． D．无最值 【答案】BCD 【详解】对于A，当时，由，得，解得； 当时，由，得 ，解得， 综上或，A错误； 对于B，当时，由，得，解得； 当时，由，得，解得， 综上，或，B正确； 对于C，因为 ， 所以 ，C正确； 对于D，当时，，当时，， 所以，的值域为，D正确． （多选）9．（25-26高一下·浙江·期中）已知函数，下列选项正确的是（    ） A．若，则 B．若，则不等式的解集为 C．若在上单调递减，则 D．当函数恰有2个零点，则 【答案】BD 【分析】A选项，利用分段函数求值即可；B选项，分段解不等式即可；C选项，保证函数在每一段上单调递减且同时满足分段点左侧函数值大于等于右侧函数值即可；D选项，分和分类讨论即可. 【详解】对于A：当时，， ，故A错误； 对于B：当时，， 当时，由，即，不成立， 当时，由，即， 所以，即，所以， 综上，不等式的解集为，故B正确； 对于C：若在上单调递减，则，解得：，故C错误； 对于D：（1）当时，，对称轴为． 所以在上单调递减，与只有一个交点． 在上单调递减．，与没有交点．故舍去. （2）当时，在上单调递增，与直线有一个交点， 所以只要在与有一个交点即可， （i）当时，对称轴， 在上单调递减， 只需时，．即，解得． （ii）当时，对称轴， 此时在上单调递减，在上单调递增， 又因为当时，， 所以要使它与只有一个交点，即有两个相等的实数解，则，即， 因为方程在时无解，所以不满足， 综上所述：，故D正确. （多选）10．（25-26高一上·山东临沂·期末）下列说法正确的是（   ） A．函数（且）的图像所过定点的坐标为 B．函数的单调递增区间是 C．函数的值域为 D．已知函数在上单调递增，则a的取值范围是 【答案】BCD 【详解】对于A，当时，恒有，因此所求定点坐标为，A错误； 对于B，函数的定义域为， 函数在上单调递增，在上单调递减，而函数在上单调递减， 因此函数的单调递增区间是，B正确； 对于C，令，则，， 所以，函数在上单调递减， 则时，函数取到最大值2，所以函数值域为，故C正确； 对于D，由题意得，解得，D正确． 题型四 函数的定义域 求实体函数定义域，抽象函数的定义域及已知定义域求参等。 【例题精讲】 1．（2026·广东清远·二模）设集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，所以 2．（25-26高一上·甘肃兰州·期中）已知函数的定义域是，则函数的定义域是（   ） A． B． C．[1，3] D．(1，3] 【答案】B 【详解】因为函数的定义域为，所以函数的定义域为， 所以的定义域需满足： ，解得. 3．（25-26高一下·河南信阳·期中）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可得，解得， 故函数的定义域为. 4．（2026·湖南·一模）设甲：函数有意义，乙：函数有意义，则（   ） A．甲是乙的充分不必要条件 B．甲是乙的必要不充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲是乙的既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】对于甲，由得，对于乙，由得，可知甲是乙的充分不必要条件． 5．（23-24高一上·山东·期中）函数的定义域为，函数，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出的定义域，再由抽象函数求定义域的法则列不等式，解不等式求的定义域． 【详解】函数的定义域为，即，则， 的定义域为， 需满足，解得且， 的定义域为，故C正确． 故选：C． 6．（25-26高一上·辽宁·期末）已知函数的定义域为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由的定义域可知不等式在上恒成立，令判别式小于解出的范围即可. 【详解】因为函数的定义域为， 所以不等式在上恒成立， 所以，解得， 故选：A 7．（25-26高一上·黑龙江大庆·期中）“”是“函数的定义域为R”的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】由不等式恒成立求出的取值范围，根据充分条件、必要条件的概念得解. 【详解】由的定义域为，得. 当时，40恒成立； 当时，由，解得. 所以当函数的定义域为时，的取值范围为， 所以“”是“函数的定义域为”的充分不必要条件. 故选：B （多选）8．（2026·河南洛阳·模拟预测）下列选项中说法正确的是（    ） A．函数的单调减区间为 B．幂函数过点，则 C．函数的定义域为，则函数的定义域为 D．若函数的值域为，则实数的取值范围是 【答案】BCD 【分析】对A，先求函数的定义域，再根据“同增异减”法则，判断单调减区间；对B，先确定的值，再将已知点代入函数求出，进而计算；对C，列不等式，求解得到的定义域；对D，因为函数的值域为，所以需保证能取到所有正实数，分和两种情况讨论 【详解】对A，函数，，解得或 因为复合函数同增异减，外层是增函数，内层减区间为， 结合定义域得的单调减区间为，不是，因此A错误； 对B，根据幂函数定义，形如的函数是幂函数，因此系数， 因为函数过，所以，解得； 因此​，B正确； 对C，因为的定义域为，所以对，满足，解得，即的定义域为，C正确； 对D，因为值域为R，所以需能取到所有正实数， 当时，真数为，是一次函数，可取所有正实数，符合条件； 当时，真数为二次函数，需满足开口向上，且判别式，解得， 综上的取值范围是，D正确. （多选）9．（25-26高一上·浙江杭州·期中）下列命题是正确的是（   ） A．函数的定义域是 B．与是同一个函数 C．不等式的解集为 D．若，，则 【答案】ACD 【分析】求解定义域即可判断A；根据同一函数的定义即可判断B；根据分式不等式的解法求解不等式即可判断C；根据不等式的性质即可判断D． 【详解】对于A，由，得或，所以定义域为，正确； 对于B，定义域为，定义域为， 所以与不是同一个函数，错误； 对于C，，解得，正确； 对于D，因为，所以， 又，所以，正确． （多选）10．（25-26高一下·湖南·月考）下列说法正确的是（   ） A．若函数的定义域为，则函数的定义域为 B．不等式对一切实数x恒成立的充要条件是 C．函数在区间上存在零点 D．若，，，则的最小值为4 【答案】ACD 【详解】对于A，由函数的定义域为， 令，得，则函数的定义域为，故A正确； 对于B，由对一切实数x恒成立， 则，解得， 所以不等式对一切实数x恒成立的充要条件是，故B错误； 对于C，因为函数在上连续，且， 则，根据零点存在性定理， 函数在区间上存在零点，故C正确； 对于D，由，，， 则， 当且仅当，即时等号成立， 则的最小值为4，故D正确. 题型五 函数的值域 主要方法有：图像法、换元法、分离常数法、判别式法、单调性法等。 【例题精讲】 1．（北京市丰台区2025~2026学年度第二学期综合练习（二）高三数学）下列函数中，定义域和值域相同的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】使用函数的图像性质结合图像变换，分别求各个选项中函数的定义域与值域并比较即可求解. 【详解】对于A，的定义域为，值域为， 定义域与值域相同，故A正确； 对于B，的定义域为，值域为， 定义域与值域不同，故B错误； 对于C，的定义域为，值域为， 定义域与值域不同，故C错误； 对于D，的定义域为，值域为， 定义域与值域不同，故D错误； 2．（2026·四川达州·二模）已知集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的定义域和值域求得集合，，然后根据集合的交集运算即可求解. 【详解】由于集合表示函数的定义域，可知， 集合表示函数的值域，可知， 因此，故A正确. 3．（2026·江西上饶·二模）若函数的定义域为，则此函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据定义域确定的范围，再结合反比例型函数得到值域即可． 【详解】函数的定义域为， 则或， 当时，， 当时，， 综上，此函数的值域为． 4．（2026·河北保定·一模）已知函数在区间上的值域为，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】B 【分析】依题意构造函数，利用函数的奇偶性定义判断其为奇函数，即得函数的图像关于点对称，结合题意即可求得答案. 【详解】由题意，，, 令函数， 则， 所以为奇函数，图像关于对称，故的图像关于点对称， 因函数在对称区间上的值域为，故． 5．（2026·山东济宁·一模）已知函数，为的导函数，若，使得，则实数的最小值为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】求导得的解析式，根据基本不等式，可得的值域及的单调性，根据条件可得与的值域的关系，结合二次不等式的解法，即可得答案. 【详解】由题意，定义域为R， 因为恒成立，所以， 当且仅当，即时取等号， 则的值域为，且在R上单调递增， 由，得， 因为，使得， 所以，即， 令，则，解得或（舍）， 所以，解得， 则实数的最小值为. 6．（25-26高三上·新疆·月考）已知，，函数，若，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得且是函数的一个零点，则由，再借助基本不等式中“1”的活用计算即可得. 【详解】， 则，且是函数的一个零点，即， ， 当且仅当，时，等号成立， 故的最小值为. 故选：D. 7．（25-26高三上·广西崇左·期末）已知函数的值域是，则（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】A 【分析】利用数形结合，把分式看成动点到定点的斜率，然后通过代数法来求切线斜率，即可得到函数值域. 【详解】因为，且，所以函数的定义域为． 设，，则是直线的斜率． 点是半圆上的动点．如图， 设点，则． 设切线的方程为，即． 由圆心到切线的距离，解得（舍去）或． 由图可知，即的值域为， 则． 故选：A. （多选）8．（2026·江西宜春·模拟预测）用表示不超过的最大整数，则（    ） A． B．是的充分不必要条件 C．函数的值域为 D．方程的解集为 【答案】BCD 【分析】根据函数的新定义逐项分析即可. 【详解】对于A，当不是整数时，如，则有，不满足，故A错误； 对于B，若，则有，区间长度小于，因此，因此充分性成立， 若，不妨令，此时有，但，，因此必要性不成立， 即是的充分不必要条件，故B正确； 对于C，由于，，不妨设，由于，从而， 因此函数变为， 当时，，此时，，， 当时，， 当时，，此时，，， 因此，函数的值域为，故C正确. 对于D，方程可变为，根据取整函数的性质有， 代入得，即，解得， 又因为必须是整数，不妨设，则，同时， 因为，因此的可能取值为， 当时，，当时，，舍去，当时，，符合条件； 当时，，当时，，符合条件，当时，，舍去； 当时，，当时，，符合条件，当时，，舍去； 因此方程的解集为，故D正确. （多选）9．（2026·湖南怀化·二模）已知函数，则下列结论正确的是（   ） A．存在，，使得 B．记的值域为A，对任意，存在，使得 C．若，则的最大值为 D．若，则的最小值为 【答案】ACD 【分析】通过导数来判断函数单调性，进而判断函数图像的走势来解决问题. 【详解】对于A选项，，当时，， 当时，，所以在上单调递减， 在上单调递增，存在，，使得，A正确． 对于B选项，由函数解析式可知为奇函数，得到的极大值为， 的极小值为，且当时，，当时，， 根据函数图像走势可知，所以的值域为． 取，不存在，使得，B错误． 对于C选项，不妨设，则， 即，． 设函数， 那么由，可知的图像关于直线对称， 将的图像向右平移个单位长度得到函数的图像， 可得与的值域相同，令，当时，， 当时，， 当时，，且，(当且仅当时，等号成立) 当时，函数单调递减，且， 所以当时，取得最大值，最大值为， 综上，的最大值为，即的最大值为，C正确． 对于D选项，不妨设， 则， 变形可得， 所以， 当时，，，要使得取得最小值， 则． 若，则， 解得，或 即,(当且仅当时，等号成立) 若，则， 解得或 即,(当且仅当时，等号成立) 当时，，， 而，矛盾，舍去． 综上，的最小值为，D正确． （多选）10．（2026·山东枣庄·一模）已知函数，则（   ） A．为奇函数 B．的值域是 C．有极值 D．存在实数，，使得在上的值域为 【答案】ABD 【分析】根据函数奇偶性的定义判断A；先化简，进而结合指数函数的性质求解判断B；先判断函数的单调性，即可判断C；若在上的值域为，可得与在上有两个交点，进而结合图像判断D. 【详解】对于A，由，， 则， 所以为奇函数，故A正确； 对于B，由， 而，则，即， 则，即， 所以的值域是，故B正确； 对于C，由B知，， 因为函数在上单调递增，且， 所以函数在上单调递减， 则在上单调递增，无极值，故C错误； 对于D，由C知，函数在上单调递增， 若在上的值域为， 则， 所以方程在上有两个不相等的实根， 则与在上有两个交点， 结合为奇函数，在上单调递增，且的值域是， 且，， 可作出函数与的大致图像如下：    由图可知与在上有两个交点， 因此存在实数，，使得在上的值域为，故D正确. 故选：ABD 课时精练 一、单选题 1．（2026高二下·湖南·学业考试）函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由 . 所以函数的定义域为. 2．（25-26高三上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）已知定义域为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复合函数定义域的求法求解即可. 【详解】设，则可化为. 因为定义域为，即，则中的， 即，解得. 所以的定义域为. 3．（25-26高三下·辽宁铁岭·月考）已知函数则的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数函数及二次函数的单调性得出值域. 【详解】当时，单调递增，， 当时，． 综上所述，的值域是． 4．（25-26高一上·内蒙古鄂尔多斯·期末）已知函数的值域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先求出时的值域，然后根据分段函数的值域把问题转化为当时，的值域与的并集为，分讨论即可. 【详解】当时，；所以要想使得的值域为， 只需满足当时，的值域与的并集为. ①当，即时，函数在上单调递增， 所以当时， ， 所以要想满足题意，则，解得 ，结合，可得. ②当，即时，函数在上为常数函数，不合题意； ③当，即时，函数在上单调递减， 所以当时，，不合题意. 综上所述，实数的取值范围是. 故选：A 5．（25-26高一上·浙江杭州·期中）若函数定义域为，则函数的定义域为（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】需同时满足内层函数的定义域要求和分母不为零两个条件. 【详解】已知的定义域为，则. 对于，则，解得：. 又因为，即：. 所以函数的定义域. 6．（25-26高一上·甘肃庆阳·期末）已知函数的定义域为，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由的解集为，列出不等式求解即可. 【详解】因为的定义域为， 所以关于x的不等式的解集为， 当时，不等式为，解得，不符合， 当时，需满足， 解得， 综上可知：的取值范围为， 故选：D 7．（25-26高一上·上海·期末）函数的定义域为，对定义域内的任意实数，都有，并且时，，若的值域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用函数值域的性质结合分离参数法得到，再得到时，，最后利用二次函数的性质分类讨论对称轴的位置，建立不等式，求解取值范围即可. 【详解】因为的值域为， 所以当时，恒成立， 而，则，即， 令，由一次函数性质得在上单调递增， 当时，，可得， 因为，所以， 而，可得，且的值域为， 则当时，， 由二次函数性质得的对称轴为，， 当时，解得，此时，解得， 可得实数的取值范围是， 当时，解得，此时， 可得实数的取值范围是， 综上可得，实数的取值范围是，故B正确. 8．（25-26高一上·浙江杭州·期末）定义在上的函数满足，且当时 ，对，，使得，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知可得在上的值域是在上值域的子集，根据已知先求出在的值域，结合，即可求出在上的值域，利用单调性可求出在上的值域，即可求出结论. 【详解】当时，，此时单调递减，所以， 当时，， 此时单调递增，所以， 在上的值域为， ， 当 时， ， 在上的值域为， 当 时，在上为增函数，所以在上的值域为， 依题意， ，解得， 当 时，在上为减函数，所以在上的值域为， 依题意， ，解得， 当 ：，值域为 ，不包含 ，舍去. 故a的取值范围是. 故选：D. 二、多选题 （多选）9．（25-26高二下·浙江宁波·期中）下列结论正确的是（   ） A．“，”的否定是“，” B．不等式的解集 C．函数的定义域是 D．函数过定点 【答案】BD 【详解】对A，“，”的否定是“，”，所以A错误； 对B，，所以，整理得且，解得，所以解集为，所以B正确； 对C，函数的定义域是，所以C错误； 对D，令，则 ，与的取值无关，所以函数过定点，所以D正确. （多选）10．（25-26高三下·甘肃武威·期中）用表示不超过的最大整数，则（    ） A． B．是的充分不必要条件 C．函数的值域为 D．方程的解集为 【答案】BCD 【分析】对 A，通过代入具体数值，验证取整函数与的关系；对 B，利用取整函数定义，先证明由可，再举反例 说明必要性不成立，判断充分不必要条件；对 C：先判断为偶函数，再分析的单调性与值域，分情况讨论 与的取值，确定的值域；对 D，利用先求出 的大致范围，再结合为整数的条件，枚举并检验所有可能的值，得到方程解集. 【详解】对于A，当时，，A错误； 对于B，若，设，则，， 所以，所以，充分性成立； 若，取，，则，，，必要性不成立，B正确； 对于C，由题意知是定义域为的偶函数， 由偶函数的性质得的值域与在上的值域一致，， 设，则，且， 在上单调递增，当时，，则， 所以，，故，所以的值域为，C正确； 对于D，由，得，即，所以， 因为及为整数，所以为整数， 所以的可能取值为，0，，，，1， 经检验，原方程的解集为，D正确. （多选）11．（25-26高一下·云南玉溪·期中）给定函数，用表示中的较大者，记为，则（   ） A．的图像可能是一条直线 B． 的图像不可能是一条直线 C．当时，的值域为 D．若关于的不等式的解集中有且仅有个整数，则实数的取值范围是 【答案】BD 【分析】对A、B，作差发现存在使，由此可判断A、B；对C，令，即，解得，求出的值域，判断C；对D，由题得关于的不等式的解集中有且仅有1个整数，即为，得，解不等式求的范围判断D. 【详解】对于A和B，由，故总存在使得， 又，所以不可能始终等于， 即的图像不可能是一条直线，故A错误，B正确； 对于C，当时，，令，即，解得， 当或时，，此时，有， 当时，，此时，有， 综上，的值域为，故C错误； 对于D，由，当时，， 当或时，，， 当时，，， 又当时 ，，所以关于的不等式的解集中有且仅有1个整数，即为， 所以，解得， 所以实数的取值范围为. 三、填空题 12．（25-26高一下·河南濮阳·期中）函数的定义域为________． 【答案】 【分析】偶次根式被开方数不为负数，分母不为0，真数大于0，根据这些条件列出的不等式组，则此不等式组的解就是函数的定义域． 【详解】要使函数有意义 所以解得 函数的定义域为． 13．（25-26高二下·广西南宁·月考）已知函数．则的最小值为___________． 【答案】 【分析】用换元法将转化为，则只需分析最小值即可求得最小值，从而得的最小值. 【详解】 ， 令，因为，则，所以原函数可化为， 令，对称轴，开口向上，所以时，单调递减，时，单调递增， 所以时，，即的最小值为. 14．（25-26高一下·云南·开学考试）已知函数（且），若函数的值域是R，则实数a的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据二次函数的性质可求解在上的值域为，进而根据在上的值域需要包含，结合指数函数的性质求解. 【详解】当时，，则函数在上的值域为． 因为函数的值域是R，故在上的值域需要包含， 所以解得． 故实数a的取值范围是． 四、解答题 15．（25-26高一上·上海·期中）已知函数． (1)若的定义域为，求实数的取值范围； (2)若，设，试比较与的大小并说明理由． 【答案】(1)； (2)当时，；当且时，. 【分析】（1）根据函数定义域的要求，需保证二次函数在上恒非负，利用判别式，求解的取值范围； （2）通过作差法计算，化简后判断其符号，即可比较与的大小. 【详解】（1）由题意，，则， 因为函数的定义域为， 所以对任意，都有恒成立． 即，解得． 故a的取值范围是． （2）由题意，当时，， 所以 ．           所以当时，；当且时，． 16．（25-26高一下·四川成都·期中）已知函数. (1)指出的定义域； (2)求的最小值与最大值. 【答案】(1) (2)； 【分析】（1）要使函数有意义，根号内的表达式非负即可；（2）用三角换元法求解. 【详解】（1）由题可知，解得，即的定义域为. （2）令，，则， 代入原函数得. 令，由得， 代入得函数化为， ，由得， 因此，即. 是开口向上的二次函数，对称轴为，在区间上单调递增， 因此最小值， 最大值， 因此的最小值为，最大值为. 17．（25-26高一下·浙江杭州·期中）已知函数． (1)求函数在区间上的值域； (2)求证：； (3)若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）先将函数解析式分离常数化为，再根据指数函数，取倒函数的单调性 即可求得 的值域； （2）将代入右式化简计算即可证得左式； （3）先证明函数是奇函数，将代入化简，通过，换元，整理后再由换元，构造函数，由在上的单调性求得最小值即得参数范围. 【详解】（1）， 当时，，则，得， 则有， 故函数在区间上的值域为 （2）因 故. （3），则函数是奇函数， 将（2）代入不等式得， 令，不等式转化为， 整理得恒成立， 令，则在上单调递减，可得． 所以，即实数的取值范围为． 18．（25-26高一下·贵州遵义·开学考试）已知函数． (1)若，求的值域； (2)若时，的最小值为，求函数的解析式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据指数函数及二次函数的值域求解方法求解； （2）根据复合函数的单调性判断方法，结合二次函数在给定区间上的最小值求法，可求得函数的解析式. 【详解】（1）若，则. 因为，所以， 所以，所以， 所以若，则的值域为. （2）. 令，. 当时，在上单调递增， 因为是增函数，所以在上单调递增. 所以. 当时，在上单调递减， 因为是增函数，所以在上单调递减. 所以. 当时，在上单调递减，在上单调递增. 因为是增函数， 所以当时，取得最小值，即. 综上，. 19．（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知函数． (1)若，求函数的定义域； (2)当时，若函数，若存在区间，使得函数在上的值域为，求a的取值范围； (3)是否存在实数a，使得函数在定义域内单调递减？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】（1）直接根据解析式求解定义域即可； （2）若存在区间，使得函数在上的值域为等价于在上有两个不相等的非负实数根，再根据换元法即可求解范围； （3）先讨论，根据函数的单调性先确定的大致范围，再根据的单调性确定的最终范围． 【详解】（1）若，， ，解得． （2）因为，，所以， ， 若存在区间，使得函数在上的值域为等价于在上有两个不相等的非负实数根， 整理得，设，则， 则， 因为，所以当时，即， 又，所以当时，方程有两个不相等的实数根． （3）存在，理由如下， 当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 若使在上单调递减，则， 即当时，在上单调递减； 当时，，且在上单调递减， 因为，所以， 所以当时，函数在上单调递减， 综上所述，时，在定义域内单调递减． 1 学科网（北京）股份有限公司 $