专题09 数量关系的分析（一）（解决问题专项讲义）数学苏教版三年级上册（新教材）

专题09 数量关系的分析（一）（解决问题专项讲义） 题型01 从问题或条件出发解决问题 题型02 提问题，填条件类问题 题型03 画线段图解决问题 题型01 从问题或条件出发解决问题（一） 一、从问题或条件出发解决问题（一）基础解题逻辑 ‌基础计算逻辑‌ 解决两步实际问题的数量关系时，先读题找出已知条件和所求问题，判断题目求的是"剩下的""一共的""比多比少的"还是"几倍的"，再选一条思考路径：从条件出发顺着推（知道总数和两个部分量，先求一共运走多少，再求还剩多少），或从问题出发倒着想（要求还剩多少，需要知道总数和一共运走多少）。确定先求什么、再求什么，最后列式解答并验算。比如一共采摘300箱，上午运走120箱，下午运走160箱，还剩多少箱？从条件想起用120+160=280、300−280=20；从问题想起则先算一共运走多少，再减。 ‌特殊速算技巧‌ 当题目属于"总数减去几个部分量"这一类时，可直接在两种等价式之间口算挑更简便的一个：300−120−160与300−(120+160)，后者先把两个部分量凑成280再一次性减，少走一步，数字也更整齐，遇到部分量能凑整十、整百时优势更明显。 ‌结果预判规律‌ 每算一步都要和题意对得上——部分量不能超过总数、各部分量的和必须等于总数、得数要符合"比谁多就该更大、比谁少就该更小"的常识；做完把答案代回题目检验，看几个部分量加起来是否正好等于总数。解题前先预判结果落在哪个数量区间，避免出现"用减法求总数""把几倍的关系当成加减处理"这类低级错误。 二、从问题或条件出发解决问题（一）进阶解题技巧 ‌基础应用逻辑‌ 遇到"看条件提问题"的场景，先看已知条件能组合出哪些新的量，再据此提出不同问题并解答；遇到"看问题找条件"的场景，先看要解决的问题需要哪些量，再判断哪个量已知、哪个量要先求出来；遇到"补条件"的题，先看问题还缺哪一步信息，再从备选条件里挑出真正用得上的一条。先锁定核心的"先算什么、再算什么"模块，再匹配对应的数量关系，不用反复把题目从头读。 ‌特殊场景速算技巧‌ 遇到连续"比多比少"的题，比如A区388个座位、B区比A区少22个、C区比B区少16个，从最上层的已知量顺着往下做，直接用388−22−16=350口算得到C区座位数，不必逐段画图；遇到"是几倍"的题，先用乘法一次求出，再按多几步的加减处理；遇到多个条件任意选两条的题，先口算哪两条能直接推出所问，再落笔。 ‌逆向推导技巧‌ 已知最后的结果和中间某个环节，可反向依托数量关系倒推被隐去的量，适配带隐藏条件的实际情境题。比如已知车间每盒装6串葡萄，已装16箱、还剩60串，要求一共能装多少箱，先算60÷6=10求出剩下还能装10箱，再10+16=26得到总数，最后把26箱代回验算，验证完全符合"已装箱数+还能装箱数=总箱数"的数量关系。 【典例1】有96本书要摆放在2个书架上，每个书架有4层。平均每个书架每层放多少本书？ 天天的方法： 96÷2＝48（本） 48÷4＝12（本） 天天的思考过程： 先算：________________________， 再算：________________________。 思思的方法： 先算：2个书架共有几层。 再算：平均每层放了多少本。 根据思思的思考过程，列综合算式并计算： 【专项训练1】为了响应“全民健身”的号召，三（2）班准备购买一些体育用品。如果买单价为8元的羽毛球，正好可以买9个。如果买单价为6元的乒乓球，用这笔钱可以买多少个？ 分步列式并解答： 先算 算式（                             ） 再算 算式（                              ） 答： 【专项训练2】根据问题分析数量关系，并写出先算什么，再算什么。 如果把总人数看作总量，那么两个分量分别是（ ）人数和（ ）人数。 数量关系：（ ）＋（ ）＝总人数。 先算（ ）人数，列式：__________ 再算总人数，列式：__________ 答：__________ 【专项训练3】食品店要把120只粽子进行包装出售，每袋装2个粽子，这样4袋装一盒。一共可以装几盒？ （1）小明列出算式：120÷2÷4 先求________________________。 再求________________________。 （2）你还能用其他方法算一算吗，请列式解答。 【专项训练4】一个水族店有2层鱼缸，每层有3个鱼缸，每个鱼缸里有36条小鱼。这个水族店一共有多少条小鱼？ （1）下面是小优的算法，你能看出她每一步所表示的意思吗？请写下来。 36×3＝108（条）解决的问题是__________________________________________。 108×2＝216（条）解决的问题是__________________________________________。 （2）小新的解法是先求一共有多少个鱼缸，再求一共有多少条小鱼。你知道怎样解答吗？请写出小新的解答过程。（列综合算式） 【专项训练5】找出数学信息之间的关联并解答。 学校开展爱心义卖活动，笑笑做了一些桂花糕去售卖。相关信息如下。 ①做了120盒桂花糕    ②每盒有4个    ③每个桂花糕2元    ④卖了85盒桂花糕。 （1）要求“一共卖了多少钱”，用到的数学信息有（ ）（填序号），可以先求__________________，再求__________________。 （2）列式解答： 题型02 从问题或条件出发解决问题（二） 一、从问题或条件出发解决问题（二）基础解题逻辑 ‌基础计算逻辑‌ 解决提问题、填条件类实际问题时，先把题目拆成"已知条件"和"所求问题"两栏，看清哪几条已经给出、哪一空着。提问题时，先看两条条件之间能推出什么新量——"一共多少""相差多少""是几倍"，再据此补一句能一步或两步算出答案的问话；填条件时，先看所问需要哪两个量，从已知里找出缺的那一个，再从备选条件中挑出真正用得上的一条补上。最终得到一个条件用得上、问题算得出的完整题目。比如已知"一年级作品25幅，二年级是一年级的2倍"，就能提"二年级有多少幅"（25×2）；再加上"三年级比二年级少13幅"，还能提"三年级有多少幅"。 ‌特殊速算技巧‌ 抓关键词能直接锁定运算：看到"一共""合起来"想加法，看到"还剩""比……少"想减法，看到"是……的几倍"想乘法、求几倍用除法。先口头把关键词对应的运算口算准，再拿两条条件一凑，题目往往当场成型，不必从头到尾重读。 ‌结果预判规律‌ 提出的问题必须靠已有条件算得出来，不能把答案直接写进问句里；补进去的条件必须是解决所问真正需要的那一条，多补的、用不上的都不合格。解题前先预判"这道题缺的是一个问题还是一条条件""补上后能不能算通"，避免出现"条件不够、提了也白提""补的条件和问题无关"这类脱离条件的错误。 二、从问题或条件出发解决问题（二）进阶解题技巧 ‌基础应用逻辑‌ 遇到"看图或看条件提问题"的场景，先找出两条条件之间的数量关系，再按"先求什么"提一句算得出来的问题；遇到"看问题找条件"的场景，先定准所问要用的两个量，再看已知缺哪一个，缺的那个就对应要补的条件；遇到"从备选里挑条件"的场景，先排除用不上的干扰条件，再验证剩下的能否算通。先锁定核心的"缺什么补什么"模块，再匹配对应的数量关系，不用反复通读题目。 ‌特殊场景速算技巧‌ 备选条件多于所需时，可用"代入试算"快速筛：把每条备选条件分别代进题目，看能不能顺着算到答案，能算通的才留下，只有配对成功的那条才要，比逐条分析更快。遇到连续"比多比少"的题，比如A区388个座位、B区比A区少22个、C区比B区少16个，从最上层的已知量顺着往下推一步即可，不必逐段画图。 ‌逆向推导技巧‌ 已知问题、算式或答案，可反向依托数量关系倒推题目里缺的条件或该提的问题。比如已知算式是"81-22-35"，就反推出题目一定是"合计81人、去掉22人和35人"，据此补上对应的条件或问题；已知问题"还剩多少箱"，就反推出条件里必须有一条给总数、若干条给去掉的量，验证完全符合"总数－各部分量＝剩下的"的数量关系。 【典例2】近日，社区联合卫生服务中心开展“健康体检进社区，关爱居民暖人心”体检活动。爷爷组去了103人，____________，奶奶组去了多少人？（请你填上一条信息，使它变成用乘法解答的问题，并解答） 【专项训练1】请选择合适的信息，提出一个用两步计算解决的问题并解答。 ①彩色铅笔有45盒。②蜡笔比彩色铅笔少12盒。③一盒蜡笔9元。④水彩笔有30盒。⑤一盒水彩笔比一盒蜡笔贵6元。⑥张老师带了100元。 我选择信息（    ），问题是___________________________________？ 【专项训练2】匠心花店假期不打烊，下面是今日进货信息。请问向日葵有多少枝？请你从中先选择合适的信息，再进行解答。 ①玫瑰花的枝数是百合花的2倍。②向日葵比百合花多38枝。 ③百合花的枝数是康乃馨的3倍。④康乃馨有9枝。 选择信息（填序号）： 列式解答： 【专项训练3】停车场有16辆卡车，大客车的辆数是卡车的3倍，小汽车开走12辆就与大客车同样多。________？ （1）请根据上面的数学信息，先提出一个简单的数学问题不解答。 问题：_______ （2）请根据上面的数学信息，再提出一个富有挑战性的数学问题，并列式解答。 问题：_______ 解答： 【专项训练4】实验小学给三年级参加元旦文艺汇演同学们准备了面包和矿泉水。 ①购买9箱矿泉水。 ②购买4箱面包。 ③一箱面包85元。 ④每箱矿泉水有24瓶。 ⑤每箱面包有56个。 ⑥每箱矿泉水18元。 ⑦三年级有210人参加元旦文艺汇演。 （1）买的矿泉水每人一瓶，够吗？ 解决这个问题用到的信息有（    ）。（填序号） 解答： （2）请你再提出一个用乘法解决的问题，并解答。 【专项训练5】迎泽花店运来百合花84枝，玫瑰花比百合花多67枝，康乃馨比玫瑰花少21枝，______________________？（选择一个你喜欢的问题后并解答） 问题（1）百合花和玫瑰花一共有多少枝？ 问题（2）迎泽花店运来多少枝康乃馨？ 我选择____________。 我是这样计算的： 【专项训练6】按要求填序号并解答。 ①某玫瑰花店新进了300枝玫瑰。②第一天卖完后还剩248枝玫瑰。③每枝玫瑰6元。④第一天卖出的百合比玫瑰少24枝。⑤第一天卖完后剩下的玫瑰每8枝扎成一束。 （1）要求“第一天卖玫瑰共收入多少元？”需要条件：（    ）。 （2）要求“第一天卖完后，剩下的玫瑰能扎成多少束？”需要条件：（    ）。 题型03 画线段图解决问题 一、画线段图解决问题基础解题逻辑 ‌基础计算逻辑‌ 解决画线段图辅助解题的实际问题时，先根据题意找出"标准量"（被比较的那个量、或一份量），先画出标准量对应的线段，再按"谁比谁多（少）""谁是谁的几倍"把比较量的线段画出来——多就画长一截、少就画短一截、几倍就等分成几段。把已知数据标在线段对应位置上，在要求的量上打"？"，再依托线段图分析数量关系、定出先算什么，最后列式解答并检验。比如一共采摘300箱，上午运走120箱、下午运走160箱，求还剩多少箱：一条长线段表示300箱，按两部分拆开标上120和160，剩下的那一段打"？"，关系就一目了然。 ‌特殊速算技巧‌ 两步计算问题可先用线段图快速找到那个"中间量"，再口算。比如求排球和篮球一共多少个（排球27个、篮球比排球多9个），线段图先画排球那条，再画篮球那条多出一小截，一看就知道中间量是"篮球有多少个"，先口算27+9=36，再口算27+36=63；遇到"是几倍"的题，先算几倍量，再处理加减，一步都不绕。 ‌结果预判规律‌ 线段的长短要和数量大小对得上——线段画得更长，表示的数量就更大；等长的线段表示相等的数量。每算完一步都要和线段图核一遍：部分量的和必须等于总量，得数要符合"比谁多就该更大、比谁少就该更小"的常识，最后把答案代回题目检验（如剩下的20箱加上运走的280箱要正好等于300箱）。解题前先预判结果落在哪个区间，避免出现"连减与减和混用漏括号""拿总量去和已知量直接运算、跳过了中间量"这类错误。 二、画线段图解决问题进阶解题技巧 ‌基础应用逻辑‌ 遇到"总数与部分"的题，先画总量那条线段、再按条件分段，用"剩下的=总数−部分−部分"或"总数−（部分+部分）"求解；遇到"相差关系"的题，先画较小的量，再画较大的一截；遇到"倍数关系"的题，先画一份量的短线段，再照抄几段得到几倍量；遇到"每份数×份数=总数"的题（排队、分组、归一），先算出一份数或份数这个中间量，再往下算。先锁定核心的"先画标准量、找出中间量"模块，再匹配对应的数量关系式，不用反复通读题目。 ‌特殊场景速算技巧‌ 遇到连续"比多比少"的题，比如A区388个座位、B区比A区少22个、C区比B区少16个，线段图逐节往下接，基准量一段段在变，直接顺着口算388−22−16=350，不必逐段回头重画；遇到"先用总数÷每份数再运算"的归一问题（如每盒装6串葡萄、已装16箱、还剩60串，求一共能装多少箱），先用60÷6=10求出还能装的箱数，再10+16=26，两步到位。 ‌逆向推导技巧‌ 已知算式或结果，可反向依托线段图的分段关系倒推题目里被隐去的条件或该补的中间量。比如已知算式"81−22−35"，就反推出线段图必然是"总量81，去掉22和35两段"，据此补上对应情境或问题；已知所求是"还剩多少"，就反推出线段图上必须标出总量和若干段去掉的量，验证完全符合"总数−各部分量=剩下的"的数量关系。 【典例3】春节写对联和“福”字是传统习俗，某书法志愿者给老年公寓写对联和福字，一共书写了8副对联，书写的“福”字数量比对联的4倍少2副，那么他书写了多少副“福”字？（先画线段图表示数量关系，再解答。） 【专项训练1】汗水浇灌成长。三年级的劳动基地成熟了，下图是扬扬根据成熟的情况画的线段图。你能看懂下面的线段图吗？请你根据下面的线段图编一道数学题目，并解答。 【专项训练2】阳光大课间活动中，三年级丢沙包的有20人，跳绳的人数比丢沙包的4倍少6人，三年级跳绳的有多少人？ （1）画线段图整理信息和问题。 （2）列式解答。 【专项训练3】小芳看一本书，她已经看了48页，剩下的页数是已看的3倍。这本书一共有多少页？（先把线段图补充完整，再列式计算） 【专项训练4】跳蚤书市，一年级卖了58本书，________________________。三年级比二年级多29本。 （1）根据线段图在横线上把信息补充完整。 （2）三年级有多少本书？ 【专项训练5】画一画，并列式计算。 科技组的人数比美术组的2倍多6人，科技组有几人？ （1）根据信息和问题，将线段图补充完整。 （2）列式计算。 【专项训练6】今年，莱阳梨又获得了大丰收，张大爷梨园的一棵大梨树摘了365个梨。 （1）李大爷的果园里有棵梨树被誉为“梨树王”，摘得梨的数量比张大爷果园里的那棵梨树的2倍少88个。李大爷的“梨树王”摘了多少个梨？（先画线段图表示数量关系，再解答） （2）李大爷将“梨树王”摘下的梨装箱发往外地，每9个装一箱，能装几箱？还剩几个？ （3）张大爷将大梨树摘得梨挑选出205个特级果装箱，剩下的制成梨膏棒棒糖。如果平均每个梨能制成4根棒棒糖，张大爷能制出多少根梨膏棒棒糖？（列综合算式解答） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 数量关系的分析（一）（解决问题专项讲义） 题型01 从问题或条件出发解决问题 题型02 提问题，填条件类问题 题型03 画线段图解决问题 题型01 从问题或条件出发解决问题（一） 一、从问题或条件出发解决问题（一）基础解题逻辑 ‌基础计算逻辑‌ 解决两步实际问题的数量关系时，先读题找出已知条件和所求问题，判断题目求的是"剩下的""一共的""比多比少的"还是"几倍的"，再选一条思考路径：从条件出发顺着推（知道总数和两个部分量，先求一共运走多少，再求还剩多少），或从问题出发倒着想（要求还剩多少，需要知道总数和一共运走多少）。确定先求什么、再求什么，最后列式解答并验算。比如一共采摘300箱，上午运走120箱，下午运走160箱，还剩多少箱？从条件想起用120+160=280、300−280=20；从问题想起则先算一共运走多少，再减。 ‌特殊速算技巧‌ 当题目属于"总数减去几个部分量"这一类时，可直接在两种等价式之间口算挑更简便的一个：300−120−160与300−(120+160)，后者先把两个部分量凑成280再一次性减，少走一步，数字也更整齐，遇到部分量能凑整十、整百时优势更明显。 ‌结果预判规律‌ 每算一步都要和题意对得上——部分量不能超过总数、各部分量的和必须等于总数、得数要符合"比谁多就该更大、比谁少就该更小"的常识；做完把答案代回题目检验，看几个部分量加起来是否正好等于总数。解题前先预判结果落在哪个数量区间，避免出现"用减法求总数""把几倍的关系当成加减处理"这类低级错误。 二、从问题或条件出发解决问题（一）进阶解题技巧 ‌基础应用逻辑‌ 遇到"看条件提问题"的场景，先看已知条件能组合出哪些新的量，再据此提出不同问题并解答；遇到"看问题找条件"的场景，先看要解决的问题需要哪些量，再判断哪个量已知、哪个量要先求出来；遇到"补条件"的题，先看问题还缺哪一步信息，再从备选条件里挑出真正用得上的一条。先锁定核心的"先算什么、再算什么"模块，再匹配对应的数量关系，不用反复把题目从头读。 ‌特殊场景速算技巧‌ 遇到连续"比多比少"的题，比如A区388个座位、B区比A区少22个、C区比B区少16个，从最上层的已知量顺着往下做，直接用388−22−16=350口算得到C区座位数，不必逐段画图；遇到"是几倍"的题，先用乘法一次求出，再按多几步的加减处理；遇到多个条件任意选两条的题，先口算哪两条能直接推出所问，再落笔。 ‌逆向推导技巧‌ 已知最后的结果和中间某个环节，可反向依托数量关系倒推被隐去的量，适配带隐藏条件的实际情境题。比如已知车间每盒装6串葡萄，已装16箱、还剩60串，要求一共能装多少箱，先算60÷6=10求出剩下还能装10箱，再10+16=26得到总数，最后把26箱代回验算，验证完全符合"已装箱数+还能装箱数=总箱数"的数量关系。 【典例1】有96本书要摆放在2个书架上，每个书架有4层。平均每个书架每层放多少本书？ 天天的方法： 96÷2＝48（本） 48÷4＝12（本） 天天的思考过程： 先算：________________________， 再算：________________________。 思思的方法： 先算：2个书架共有几层。 再算：平均每层放了多少本。 根据思思的思考过程，列综合算式并计算： 【答案】平均每个书架放了多少本书；平均每个书架每层放多少本书；96÷（2×4）＝12（本） 【分析】可以用两种方法解题：一种是先用除法求每个书架放书的数量，再用除法求每层放书的数量；另一种是先用乘法算出总层数，再用总本数除以总层数得到每层的本数。 【详解】天天的方法：先将96本书平均分给2个书架，得到每个书架的书的数量：（本）； 再将每个书架的书平均分给4层，得到每层的书的数量：（本）。 思思的方法：先计算2个书架的总层数，列综合算式时用小括号将乘法部分括起，保证先算总层数，脱式计算如下： （本） 答：平均每个书架每层放12本书。 【专项训练1】为了响应“全民健身”的号召，三（2）班准备购买一些体育用品。如果买单价为8元的羽毛球，正好可以买9个。如果买单价为6元的乒乓球，用这笔钱可以买多少个？ 分步列式并解答： 先算 算式（                             ） 再算 算式（                              ） 答： 【答案】先算买羽毛球一共用多少钱？ 算式：8×9＝72（元） 再算这些钱可以买多少个乒乓球？ 算式：72÷6＝12（个） 【分析】由题已知羽毛球单价8元，买9个，用8×9算出总钱数；然后再用总钱数除以乒乓球单价6元，即可求出可以买乒乓球的个数。 【详解】先算：一共花了多少钱。 算式：8×9＝72（元） 再算：用这笔钱可以买多少个乒乓球。 算式：72÷6＝12（个） 答：用这笔钱可以买12个。 【专项训练2】根据问题分析数量关系，并写出先算什么，再算什么。 如果把总人数看作总量，那么两个分量分别是（ ）人数和（ ）人数。 数量关系：（ ）＋（ ）＝总人数。 先算（ ）人数，列式：__________ 再算总人数，列式：__________ 答：__________ 【答案】男生 女生 男生人数 女生人数 女生人数 58－17＝41（人） 58＋41＝99（人） 男生和女生一共99人。 【分析】看图可知，男生58人，比女生多17人，由此可以计算出女生的人数。再用男生人数加上女生人数就可以计算出一共有多少人。据此解答。 【详解】如果把总人数看作总量，那么两个分量分别是男生人数和女生人数。 数量关系：男生人数＋女生人数＝总人数。 先算女生人数，列式：58－17＝41（人） 再算总人数，列式：58＋41＝99（人） 答：男生和女生一共99人。 【专项训练3】食品店要把120只粽子进行包装出售，每袋装2个粽子，这样4袋装一盒。一共可以装几盒？ （1）小明列出算式：120÷2÷4 先求________________________。 再求________________________。 （2）你还能用其他方法算一算吗，请列式解答。 【答案】（1） 一共可以装多少袋 一共可以装多少盒。 （2） （个） （盒） 答：一共可以装15盒。 【分析】（1）已知粽子总数量、每袋装的个数和每盒的袋数，求总盒数。结合题干的包装逻辑，对应清楚数量关系，分析算式每一步的意义。 （2）可以先计算每盒能装的粽子总数，即每袋个数乘每盒袋数，再用总粽子数除以每盒粽子数，即可得到总盒数。 【详解】（1）小明的算式是： 第一步计算，求的是120只粽子一共可以装多少袋； 第二步用总袋数除以每盒的4袋，求的是一共可以装多少盒。 （2）先算每盒有多少个粽子： （个） 再算一共可以装多少盒： （盒） 答：一共可以装15盒。 【专项训练4】一个水族店有2层鱼缸，每层有3个鱼缸，每个鱼缸里有36条小鱼。这个水族店一共有多少条小鱼？ （1）下面是小优的算法，你能看出她每一步所表示的意思吗？请写下来。 36×3＝108（条）解决的问题是__________________________________________。 108×2＝216（条）解决的问题是__________________________________________。 （2）小新的解法是先求一共有多少个鱼缸，再求一共有多少条小鱼。你知道怎样解答吗？请写出小新的解答过程。（列综合算式） 【答案】（1）每层有多少条小鱼 两层一共多少条小鱼 （2）2×3×36＝216（条） 【分析】第一小问结合乘法算式中各数对应的实际意义，判断每一步所求的问题； 第二小问先求出鱼缸总数量，再用每个鱼缸的小鱼条数乘总缸数，得到小鱼总条数。 【详解】（1）（条）解决的问题是：每层有多少条小鱼？ （条）解决的问题是：这个水族店一共有多少条小鱼？ （2）（个） （条） 答：一共有216条小鱼。 【专项训练5】找出数学信息之间的关联并解答。 学校开展爱心义卖活动，笑笑做了一些桂花糕去售卖。相关信息如下。 ①做了120盒桂花糕    ②每盒有4个    ③每个桂花糕2元    ④卖了85盒桂花糕。 （1）要求“一共卖了多少钱”，用到的数学信息有（ ）（填序号），可以先求__________________，再求__________________。 （2）列式解答： 【答案】（1）②③④ 一共卖出多少个桂花糕 一共卖了多少钱 （2）680元 【分析】问题是求“一共卖了多少钱”，需要知道卖出的数量和单价。信息①是做的总数，与卖出的钱数无直接关系，是多余条件；信息④是卖出的盒数，信息②是每盒的个数，信息③是每个的单价，这三个信息有关联。思路一：先根据卖出的盒数和每盒的个数，求出卖出的总个数（信息④乘信息②），再根据总个数和每个的单价，求出一共卖出的钱数（总个数乘信息③）。思路二：先根据每盒的个数和每个的单价，求出每盒的钱数（信息②乘信息③），再根据卖出的盒数和每盒的钱数，求出一共卖出的钱数（信息④乘每盒钱数）。本题填空处采用思路一进行解答。再根据连乘运算的顺序，从左往右依次计算，注意单位名称只在最后结果处标注。 【详解】（1）要求“一共卖了多少钱”，用到的数学信息有（②③④），可以先求一共卖了多少个桂花糕，再求一共卖了多少钱。 （2）列式解答： 85×4×2 ＝340×2 ＝680（元） 答：一共卖了680元。 题型02 从问题或条件出发解决问题（二） 一、从问题或条件出发解决问题（二）基础解题逻辑 ‌基础计算逻辑‌ 解决提问题、填条件类实际问题时，先把题目拆成"已知条件"和"所求问题"两栏，看清哪几条已经给出、哪一空着。提问题时，先看两条条件之间能推出什么新量——"一共多少""相差多少""是几倍"，再据此补一句能一步或两步算出答案的问话；填条件时，先看所问需要哪两个量，从已知里找出缺的那一个，再从备选条件中挑出真正用得上的一条补上。最终得到一个条件用得上、问题算得出的完整题目。比如已知"一年级作品25幅，二年级是一年级的2倍"，就能提"二年级有多少幅"（25×2）；再加上"三年级比二年级少13幅"，还能提"三年级有多少幅"。 ‌特殊速算技巧‌ 抓关键词能直接锁定运算：看到"一共""合起来"想加法，看到"还剩""比……少"想减法，看到"是……的几倍"想乘法、求几倍用除法。先口头把关键词对应的运算口算准，再拿两条条件一凑，题目往往当场成型，不必从头到尾重读。 ‌结果预判规律‌ 提出的问题必须靠已有条件算得出来，不能把答案直接写进问句里；补进去的条件必须是解决所问真正需要的那一条，多补的、用不上的都不合格。解题前先预判"这道题缺的是一个问题还是一条条件""补上后能不能算通"，避免出现"条件不够、提了也白提""补的条件和问题无关"这类脱离条件的错误。 二、从问题或条件出发解决问题（二）进阶解题技巧 ‌基础应用逻辑‌ 遇到"看图或看条件提问题"的场景，先找出两条条件之间的数量关系，再按"先求什么"提一句算得出来的问题；遇到"看问题找条件"的场景，先定准所问要用的两个量，再看已知缺哪一个，缺的那个就对应要补的条件；遇到"从备选里挑条件"的场景，先排除用不上的干扰条件，再验证剩下的能否算通。先锁定核心的"缺什么补什么"模块，再匹配对应的数量关系，不用反复通读题目。 ‌特殊场景速算技巧‌ 备选条件多于所需时，可用"代入试算"快速筛：把每条备选条件分别代进题目，看能不能顺着算到答案，能算通的才留下，只有配对成功的那条才要，比逐条分析更快。遇到连续"比多比少"的题，比如A区388个座位、B区比A区少22个、C区比B区少16个，从最上层的已知量顺着往下推一步即可，不必逐段画图。 ‌逆向推导技巧‌ 已知问题、算式或答案，可反向依托数量关系倒推题目里缺的条件或该提的问题。比如已知算式是"81-22-35"，就反推出题目一定是"合计81人、去掉22人和35人"，据此补上对应的条件或问题；已知问题"还剩多少箱"，就反推出条件里必须有一条给总数、若干条给去掉的量，验证完全符合"总数－各部分量＝剩下的"的数量关系。 【典例2】近日，社区联合卫生服务中心开展“健康体检进社区，关爱居民暖人心”体检活动。爷爷组去了103人，____________，奶奶组去了多少人？（请你填上一条信息，使它变成用乘法解答的问题，并解答） 【答案】奶奶组去的人数是爷爷组的2倍；（答案不唯一） 206人 【分析】要使题目用乘法解答，需补充奶奶组人数是爷爷组人数几倍的条件，求一个数的几倍是多少用乘法计算。 【详解】补充信息：奶奶组去的人数是爷爷组的2倍。（答案不唯一） 103×2＝206（人） 答：奶奶组去了206人。 【专项训练1】请选择合适的信息，提出一个用两步计算解决的问题并解答。 ①彩色铅笔有45盒。②蜡笔比彩色铅笔少12盒。③一盒蜡笔9元。④水彩笔有30盒。⑤一盒水彩笔比一盒蜡笔贵6元。⑥张老师带了100元。 我选择信息（    ），问题是___________________________________？ 【答案】①②③；购买蜡笔需要多少元钱；297元 【分析】选择①②③，已知彩色铅笔有45盒，蜡笔比彩色铅笔少12盒，一盒蜡笔9元，求购买蜡笔需要多少元钱？用彩色铅笔的盒数减去12盒，求出蜡笔的盒数，再用蜡笔的盒数乘每盒蜡笔的价格，即可求出购买蜡笔需要多少元钱。 【详解】（45－12）×9 ＝33×9 ＝297（元） 答：购买蜡笔需要297元钱。（答案不唯一） 【专项训练2】匠心花店假期不打烊，下面是今日进货信息。请问向日葵有多少枝？请你从中先选择合适的信息，再进行解答。 ①玫瑰花的枝数是百合花的2倍。②向日葵比百合花多38枝。 ③百合花的枝数是康乃馨的3倍。④康乃馨有9枝。 选择信息（填序号）： 列式解答： 【答案】②③④；65枝 【分析】向日葵的枝数和百合花有关，百合花的枝数又和康乃馨有关。先根据百合花和康乃馨的数量关系求出百合花的枝数，再根据向日葵和百合花的数量关系求出向日葵的枝数。 【详解】先结合信息③中百合花和康乃馨的倍数关系和信息④中康乃馨的数量，求出百合花的枝数；再利用信息②中向日葵与百合花的数量关系，求出向日葵的枝数。因此，选择信息②③④。 9×3＋38 ＝27＋38 ＝65（枝） 答：向日葵有65枝。 【专项训练3】停车场有16辆卡车，大客车的辆数是卡车的3倍，小汽车开走12辆就与大客车同样多。________？ （1）请根据上面的数学信息，先提出一个简单的数学问题不解答。 问题：_______ （2）请根据上面的数学信息，再提出一个富有挑战性的数学问题，并列式解答。 问题：_______ 解答： 【答案】（1）大客车的辆数是多少？ （2）小汽车原来有多少辆？60辆；（答案不唯一） 【分析】（1）、（2）根据题意可知，停车场有卡车的辆数×3＝大客车的辆数，大客车的辆数＋12辆＝小汽车的辆数，依此提出问题并解答即可。（答案不唯一） 【详解】（1）大客车的辆数是多少？ 16×3＝48（辆） 答：大客车的辆数是48辆。 （2）小汽车原来有多少辆？ 16×3＝48（辆） 48＋12＝60（辆） 答：小汽车原来有60辆。（答案不唯一） 【专项训练4】实验小学给三年级参加元旦文艺汇演同学们准备了面包和矿泉水。 ①购买9箱矿泉水。 ②购买4箱面包。 ③一箱面包85元。 ④每箱矿泉水有24瓶。 ⑤每箱面包有56个。 ⑥每箱矿泉水18元。 ⑦三年级有210人参加元旦文艺汇演。 （1）买的矿泉水每人一瓶，够吗？ 解决这个问题用到的信息有（    ）。（填序号） 解答： （2）请你再提出一个用乘法解决的问题，并解答。 【答案】（1）①④⑦；够 （2）买面包花费多少元钱？340元 （答案不唯一） 【分析】（1）要求买的矿泉水每人一瓶，够不够，需要比较矿泉水总瓶数与人数的大小关系。其中⑦给出了参加元旦文艺汇演的人数是210人。①给出了矿泉水箱数，④给出了每箱矿泉水瓶数，用矿泉水箱数乘每箱矿泉水瓶数，即可求出矿泉水总瓶数。进而解决问题。 （2）可以提出一个用乘法解决的问题，比如：买面包花费多少元钱？用一箱面包的价钱乘面包箱数解答。 【详解】（1）买的矿泉水每人一瓶，够吗？ 解决这个问题用到的信息有①④⑦。 解答：24×9＝216（瓶） 216＞210 答：买的矿泉水每人一瓶，够了。 （2）买面包花费多少元钱？ 85×4＝340（元） 答：买面包花费340元。 （答案不唯一） 【专项训练5】迎泽花店运来百合花84枝，玫瑰花比百合花多67枝，康乃馨比玫瑰花少21枝，______________________？（选择一个你喜欢的问题后并解答） 问题（1）百合花和玫瑰花一共有多少枝？ 问题（2）迎泽花店运来多少枝康乃馨？ 我选择____________。 我是这样计算的： 【答案】问题（1）；235枝 【分析】问题（1）百合花和玫瑰花一共有多少枝？用84加上67，求出玫瑰花的枝数，再加上84，据此列式解答； 问题（2）迎泽花店运来多少枝康乃馨？用84加上67，求出玫瑰花的枝数，用玫瑰花的枝数减去21，据此列式解答。 【详解】我选择问题（1）； 84＋67＋84 ＝151＋84 ＝235（枝） 答：百合花和玫瑰花一共有235枝。 （答案不唯一） 【点睛】本题的关键是读懂题意，理清题中的数量关系，再确定先算什么，最后再算什么。 【专项训练6】按要求填序号并解答。 ①某玫瑰花店新进了300枝玫瑰。②第一天卖完后还剩248枝玫瑰。③每枝玫瑰6元。④第一天卖出的百合比玫瑰少24枝。⑤第一天卖完后剩下的玫瑰每8枝扎成一束。 （1）要求“第一天卖玫瑰共收入多少元？”需要条件：（    ）。 （2）要求“第一天卖完后，剩下的玫瑰能扎成多少束？”需要条件：（    ）。 【答案】（1）①②③；312元 （2）②⑤；31束 【分析】根据题意，要求“第一天卖玫瑰共收入多少元”，需计算卖出的玫瑰数量×单价。总玫瑰数（①300枝）减去剩余玫瑰数（②248枝），得到卖出数量：300－248＝52（枝）。单价为③每枝6元，总收入为：52×6＝312（元）。要求“剩下的玫瑰能扎成多少束”，需用剩余玫瑰数（②248枝）除以每束的数量（⑤8枝）。计算：248÷8＝31（束）。以此答题即可。 【详解】①某玫瑰花店新进了300枝玫瑰。②第一天卖完后还剩248枝玫瑰。③每枝玫瑰6元。④第一天卖出的百合比玫瑰少24枝。⑤第一天卖完后剩下的玫瑰每8枝扎成一束。 （1）要求“第一天卖玫瑰共收入多少元？”需要条件：①②③。 300－248＝52（枝） 52×6＝312（元） 答：第一天卖玫瑰共收入312元。 （2）要求“第一天卖完后，剩下的玫瑰能扎成多少束？”需要条件：②⑤。 248÷8＝31（束） 答：第一天卖完后，剩下的玫瑰能扎成31束。 题型03 画线段图解决问题 一、画线段图解决问题基础解题逻辑 ‌基础计算逻辑‌ 解决画线段图辅助解题的实际问题时，先根据题意找出"标准量"（被比较的那个量、或一份量），先画出标准量对应的线段，再按"谁比谁多（少）""谁是谁的几倍"把比较量的线段画出来——多就画长一截、少就画短一截、几倍就等分成几段。把已知数据标在线段对应位置上，在要求的量上打"？"，再依托线段图分析数量关系、定出先算什么，最后列式解答并检验。比如一共采摘300箱，上午运走120箱、下午运走160箱，求还剩多少箱：一条长线段表示300箱，按两部分拆开标上120和160，剩下的那一段打"？"，关系就一目了然。 ‌特殊速算技巧‌ 两步计算问题可先用线段图快速找到那个"中间量"，再口算。比如求排球和篮球一共多少个（排球27个、篮球比排球多9个），线段图先画排球那条，再画篮球那条多出一小截，一看就知道中间量是"篮球有多少个"，先口算27+9=36，再口算27+36=63；遇到"是几倍"的题，先算几倍量，再处理加减，一步都不绕。 ‌结果预判规律‌ 线段的长短要和数量大小对得上——线段画得更长，表示的数量就更大；等长的线段表示相等的数量。每算完一步都要和线段图核一遍：部分量的和必须等于总量，得数要符合"比谁多就该更大、比谁少就该更小"的常识，最后把答案代回题目检验（如剩下的20箱加上运走的280箱要正好等于300箱）。解题前先预判结果落在哪个区间，避免出现"连减与减和混用漏括号""拿总量去和已知量直接运算、跳过了中间量"这类错误。 二、画线段图解决问题进阶解题技巧 ‌基础应用逻辑‌ 遇到"总数与部分"的题，先画总量那条线段、再按条件分段，用"剩下的=总数−部分−部分"或"总数−（部分+部分）"求解；遇到"相差关系"的题，先画较小的量，再画较大的一截；遇到"倍数关系"的题，先画一份量的短线段，再照抄几段得到几倍量；遇到"每份数×份数=总数"的题（排队、分组、归一），先算出一份数或份数这个中间量，再往下算。先锁定核心的"先画标准量、找出中间量"模块，再匹配对应的数量关系式，不用反复通读题目。 ‌特殊场景速算技巧‌ 遇到连续"比多比少"的题，比如A区388个座位、B区比A区少22个、C区比B区少16个，线段图逐节往下接，基准量一段段在变，直接顺着口算388−22−16=350，不必逐段回头重画；遇到"先用总数÷每份数再运算"的归一问题（如每盒装6串葡萄、已装16箱、还剩60串，求一共能装多少箱），先用60÷6=10求出还能装的箱数，再10+16=26，两步到位。 ‌逆向推导技巧‌ 已知算式或结果，可反向依托线段图的分段关系倒推题目里被隐去的条件或该补的中间量。比如已知算式"81−22−35"，就反推出线段图必然是"总量81，去掉22和35两段"，据此补上对应情境或问题；已知所求是"还剩多少"，就反推出线段图上必须标出总量和若干段去掉的量，验证完全符合"总数−各部分量=剩下的"的数量关系。 【典例3】春节写对联和“福”字是传统习俗，某书法志愿者给老年公寓写对联和福字，一共书写了8副对联，书写的“福”字数量比对联的4倍少2副，那么他书写了多少副“福”字？（先画线段图表示数量关系，再解答。） 【答案】 他书写了30副“福”字。 【分析】线段图的画法：第一步，画线段图：先画1条线段，标注“对联：8副”，作为1倍量；再对齐线段左端，画4段与上述线段等长的线段，截去最后一段的一小部分，标注“少2副”，整体标注“福字：？副”。 根据“书写的“福”字数量比对联的4倍少2副”，用对联的数量乘4，再减去2，即可求出他书写“福”字的副数。 以对联数量为1倍量，根据“4倍少2副”的关系，先求对联数量的4倍，再减2得到福字数量；画线段图以1倍量为基准，可直观体现数量关系。 【详解】线段图略； 8×4－2 ＝32－2 ＝30（副） 答：他书写了30副“福”字。 【专项训练1】汗水浇灌成长。三年级的劳动基地成熟了，下图是扬扬根据成熟的情况画的线段图。你能看懂下面的线段图吗？请你根据下面的线段图编一道数学题目，并解答。 【答案】能。示例：三年级的劳动基地共种了136株土豆，每株结了5个土豆，洋葱的个数比土豆少65个，洋葱结了多少个？615个 【分析】先根据“株数×每株结果数”算出土豆的总数量，再根据线段图体现的“洋葱总数比土豆总数少65”的数量关系，减去少的部分就得到洋葱的数量，据此解答。 【详解】题目：三年级的劳动基地共种了136株土豆，每株结了5个土豆，洋葱的个数比土豆少65个，洋葱结了多少个？ 136×5－65 ＝680－65 ＝615（个） 答：洋葱结了615个。 【专项训练2】阳光大课间活动中，三年级丢沙包的有20人，跳绳的人数比丢沙包的4倍少6人，三年级跳绳的有多少人？ （1）画线段图整理信息和问题。 （2）列式解答。 【答案】（1） （2）74人 【分析】处理画线段图的子问题：先确定丢沙包人数为1倍量，画对应长度的线段标注人数；因为跳绳人数是丢沙包的4倍少6人，所以先画4段和丢沙包线段等长的线段，再去掉一段表示少的6人，标注对应条件和问题。 处理列式解答的子问题：突破口是先求出丢沙包人数的4倍，根据乘法的意义，用丢沙包的人数乘4；因为跳绳人数比这个结果少6人，所以用上述结果减去6，得到跳绳的人数。 【详解】（1）略 （2）20×4－6 ＝80－6 ＝74（人） 答：三年级跳绳的有74人。 【专项训练3】小芳看一本书，她已经看了48页，剩下的页数是已看的3倍。这本书一共有多少页？（先把线段图补充完整，再列式计算） 【答案】 ；192页 【分析】补充线段图：在已看线段下方画长度为已看线段3倍的线段，标注“剩下的”；再用大括号将已看和剩下的线段合起来，标注“一共？页”。这本书一共有192页。 已知已看48页，剩下的页数是已看的3倍，先算出剩下的页数，再加上已看的页数就能得到总页数。 【详解】先算剩下的页数：（页） 再算总页数：（页） 答：这本书一共有192页。 【专项训练4】跳蚤书市，一年级卖了58本书，________________________。三年级比二年级多29本。 （1）根据线段图在横线上把信息补充完整。 （2）三年级有多少本书？ 【答案】（1）二年级卖的本数是一年级卖的本数的3倍 （2）203本 【分析】（1）根据线段图可知，二年级卖的本数是一年级卖的本数的3倍； （2）用58乘3求出二年级卖的本数，再加上29本，就是三年级卖的本数。 【详解】（1）二年级卖的本数是一年级卖的本数的3倍； （2）58×3＋29 ＝174＋29 ＝203（本） 答：三年级有203本书。 【专项训练5】画一画，并列式计算。 科技组的人数比美术组的2倍多6人，科技组有几人？ （1）根据信息和问题，将线段图补充完整。 （2）列式计算。 【答案】（1） （2）76人 【分析】（1）根据题意可知，科技组的人数比美术组的2倍多6人，先画出与美术组一样的两条首尾相连的线段，再多画出一小部分，表示6人。 （2）求一个数的几倍是多少，用乘法计算。先计算出美术组的2倍是多少，再加上6，即可算出科技组的人数 【详解】（1）图略。 （2）35×2＋6 ＝70＋6 ＝76（人） 答：科技组有76人。 【专项训练6】今年，莱阳梨又获得了大丰收，张大爷梨园的一棵大梨树摘了365个梨。 （1）李大爷的果园里有棵梨树被誉为“梨树王”，摘得梨的数量比张大爷果园里的那棵梨树的2倍少88个。李大爷的“梨树王”摘了多少个梨？（先画线段图表示数量关系，再解答） （2）李大爷将“梨树王”摘下的梨装箱发往外地，每9个装一箱，能装几箱？还剩几个？ （3）张大爷将大梨树摘得梨挑选出205个特级果装箱，剩下的制成梨膏棒棒糖。如果平均每个梨能制成4根棒棒糖，张大爷能制出多少根梨膏棒棒糖？（列综合算式解答） 【答案】（1）；642个 （2）71箱；3个 （3）640根 【分析】（1）根据求比一个数的几倍少几的数，先乘后减，“梨树王”摘的数量是张大爷梨树的2倍少88个，先用365乘2再减去88即可解答；线段图说明：先画1段表示张大爷梨树摘了365个，李大爷的“梨树王”线段画2段同样的长度，再标注“少88个”，剩余部分即为“梨树王”的数量，据此解答。 （2）用“梨树王”摘下的梨数除以每9个装一箱，所得商就是能装几箱，余数就是还剩几个，据此解答。 （3）先算出挑选特级果后剩余的梨的数量，用365－205，再用剩余数量乘4，最后用小括号保证运算顺序，据此解答。 【详解】（1）线段图略。 365×2－88 ＝730－88 ＝642（个） 答：李大爷的“梨树王”摘了642个梨。 （2）642÷9＝71（箱）……3（个） 答：能装71箱，还剩3个。 （3）（365－205）×4 ＝160×4 ＝640（根） 答：张大爷能制出640根梨膏棒棒糖。 学科网（北京）股份有限公司 $