精品解析：北京市十一学校2026-2027学年八年级上学期期中数学试题

北京市十一学校2026—2027学年度第1学段常规初二数学Ⅱ课程 教与学诊断（2026.10） 总分：100分 时间：120分钟 注意：请在答题纸的指定区域上作答，在本试卷上的答案一律不计入成绩． 一、选择题（每小题2分，本题共16分）第1—8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 随着科技不断发展，芯片的集成度越来越高．我国企业中芯国际已经实现14纳米量产，14纳米等于0.000014毫米，将0.000014用科学记数法表示应为（ ）． A. B. C. D. 2. 下列图形中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 若分式有意义，则的取值范围是（） A. B. C. D. 4. 下列各式中，运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图所示，将甲图中阴影部分无重叠、无缝隙地拼成乙图，根据两个图中阴影部分的面积关系得到的等式是（    ）    A. B. C. D. 6. 如图，在中，是的垂直平分线，的周长为16，的周长为10，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 7. 如图，在等边外作射线，使得和在直线的两侧，，直线为的中垂线，连接，．则的度数是（　　） A. B. C. D. 8. 当时，定义一种新运算：，若，则的值为（ ） A. 或 B. C. 或 D. 或 二、填空题（每小题2分，本题共16分） 9. 因式分解：__________． 10. 若分式的值为，则的值为__________． 11. 已知关于的多项式是一个完全平方式，则的值是__________． 12. 若，则点关于y轴的对称点的坐标为______． 13. 已知为正整数，则能使代数式的值为整数的所有的和为__________． 14. 我国南宋数学家秦九韶在《数书九章》中给出了如下公式：如果一个三角形的三边长分别为，，，那么三角形的面积为，；如果一个三角形的三边长依次为，，，那么它的面积为__________． 15. 如图1是某市地铁入口的双闸门，如图2，当它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为10cm，双翼的边缘，且与闸机侧立而夹角，求当双翼收起时，两机箱之间的最大宽度为______cm． 16. 如图，已知，射线平分，在上取一点，使得，以点为顶点作，将绕点旋转，的两边分别与射线、交于点、，连接，与交于点，以下个结论： ①在旋转过程中，始终是等腰三角形； ②当点为中点时，是等边三角形； ③当时，； ④在旋转过程中，四边形的面积始终不变，面积为． 上述结论中正确的有__________．（填写序号） 三、解答题（本题共68分，第17—22题，每题5分，第23—26题，每题6分，第27—28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 计算： 18. 计算： 19. 先化简，再求值：，其中从、、、中选取一个你喜欢的数． 20. 小明发现，任意一个直角三角形都可以分割成两个等腰三角形． 已知：在中，． 求作：线段，使得线段将分割成两个等腰三角形． 下面是小明设计的尺规作图的作法： ①作直角边的垂直平分线，与斜边相交于点； ②连接．则线段为所求． （1）请你按照小明设计的作法，使用无刻度的直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：直线是线段的垂直平分线，点在直线上， ．（ ）（填推理的依据） ． ， ． ． ． ．（ ）（填推理的依据） 和都是等腰三角形． 21. 解分式方程：． 22. 如图在中，为中点，，，交于，，，求的长． 23. 某社区为推进“旧改惠民工程”，计划对小区排水管道进行改造．该工程若甲队单独施工恰好在规定时间内完成；若乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的2倍．如果由甲、乙两队先合作12天，那么余下的工程再由甲队单独完成还需6天． （1）这项工程的规定时间是多少天？ （2）已知甲队每天的施工费用为元，乙队每天的施工费用为元．为了缩短工期，减少对居民出行的影响，工程指挥部最终决定该工程由甲、乙两队合做来完成．则该工程施工总费用是多少元？ 24. 如图，在平面直角坐标系中，． （1）在图中作出关于x轴的对称图形，并直接写出点的坐标； （2）求的面积； （3）点与点Q关于x轴对称，若，直接写出点P的坐标． 25. 综合与实践 【探究课题】三角形重心性质的探究． 【问题背景】三角形三条中线交于一点，这个点叫作三角形的重心．重心是个物理名词．从效果上看，我们可以认为物体所受重力的合力集中于一点，这一点叫物体的重心．如图1中，如果取一块质地均匀的三角形纸板，用一根细绳从重心处将三角形提起来，纸板就会处于水平、平衡状态． 【提出问题】 问题1：探究图1中，，，，，，这个小三角形的面积关系？ 问题2：探究图1中的，，的值是多少？ 老师为了让同学们更好地解决提出的问题，设置了以下的探究思路，请同学们通过跟随老师的思路，逐步解决以上提出的问题． 【解决问题】 （1）是的中线，与等底同高，可以得到它们面积的大小关系为： （填“”、“”或“”）； （2）在中，由于点是边中点，那么的面积是的面积的，同理的面积是的面积的，这样的面积与的面积相等，减去公共部分可得的面积与 的面积相等，同样可得的面积与的面积相等，从而可得，，，，，这个小三角形面积相等； （3）由的面积是的面积的倍，可得 ，同理可得： ； 【拓展应用】 （4）如图2，在中，点是的重心，连接，并延长分别交，于点，，若，，，直接利用上面的结论，求四边形的面积． 26. 知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是发现新问题、结论的重要方法． 阅读材料：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有： （1）整体观察；（2）整体设元；（3）整体代入；（4）整体求和等． 例1：分解因式； 解：将“”看成一个整体，令； 原式； 例2：已知，求的值． 解：； 请根据阅读材料利用整体思想解答下列问题： （1）根据材料，请你模仿例1尝试对多项式进行因式分解； （2）①已知，求的值； ②若，直接写出的值． （3）计算： ． 27. 如图，在中，．作的角平分线交于点D，过点A作交的延长线于点E． （1）①依题意补全图形； ②求证：； （2）若，求的大小． 28. 在平面直角坐标系中，对于图形和直线，，给出如下定义：如果图形关于的对称图形为图形，图形关于的对称图形为图形，那么称图形是图形关于直线，的“双轴对称图形”． （1）已知直线过点且与轴垂直． ①点关于轴，直线的“双轴对称图形”的坐标为 ； ②点，：如果线段关于轴，直线的“双轴对称图形”与轴有公共点，求的取值范围； （2）已知点，，，，，．四边形关于轴，直线的“双轴对称图形”上存在到轴和轴距离相等的点，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市十一学校2026—2027学年度第1学段常规初二数学Ⅱ课程 教与学诊断（2026.10） 总分：100分 时间：120分钟 注意：请在答题纸的指定区域上作答，在本试卷上的答案一律不计入成绩． 一、选择题（每小题2分，本题共16分）第1—8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 随着科技不断发展，芯片的集成度越来越高．我国企业中芯国际已经实现14纳米量产，14纳米等于0.000014毫米，将0.000014用科学记数法表示应为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】绝对值小于1的正数也可以用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：将0.000014用科学记数法表示应为， 故选：B． 【点睛】此题主要考查了科学记数法，解题关键是熟练掌握科学记数法的表示方法． 2. 下列图形中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据轴对称图形的概念逐选项判断即可． 【详解】解：A、B、 C找不到对称轴，不是轴对称图形； D沿竖直直线对折后两部分完全重合，是轴对称图形． 3. 若分式有意义，则的取值范围是（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，分式有意义的条件是分母不为零． 【详解】解：∵分式有意义， ∴分母， ∴． 故选：B． 4. 下列各式中，运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：选项A：，运算错误； 选项B：，运算错误； 选项C：，运算正确； 选项D：，运算错误. 5. 如图所示，将甲图中阴影部分无重叠、无缝隙地拼成乙图，根据两个图中阴影部分的面积关系得到的等式是（    ）    A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式，分别计算出甲、乙两图中阴影部分的面积是解决本题的关键． 分别计算出甲、乙两图中阴影部分的面积，根据面积相等，即可解答． 【详解】解：甲图中阴影部分的面积为大正方形面积减去两个长方形的面积再加上小正方形的面积，即， 图乙中阴影部分的面积=四个小正方形拼接成的正方形，此时正方形的边长为 即图乙中阴影部分的面积为， ∵甲、乙两图中阴影部分的面积相等 ∴， 故选：B． 6. 如图，在中，是的垂直平分线，的周长为16，的周长为10，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，根据是的垂直平分线，得，又因为的周长为16，的周长为10，得，，即可求出，则把数值代入进行计算，即可作答． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴ ∵的周长为16， ∴， ∵的周长为10， 则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 7. 如图，在等边外作射线，使得和在直线的两侧，，直线为的中垂线，连接，．则的度数是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的性质，线段垂直平分线的性质，关键是由等腰三角形的性质推出． 连接，由线段垂直平分线的性质推出，得到，由等腰三角形的性质推出，由等腰三角形的性质推出，即可求出的度数． 【详解】解：如图，连接， 垂直平分， ， ． ，， ， ． ，， ． 是等边三角形， ，， ， ． ， ， ． 故选：A． 8. 当时，定义一种新运算：，若，则的值为（ ） A. 或 B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】需按与的大小关系分类讨论，结合新运算定义列方程求解． 【详解】解：分两种情况讨论. 当时，由新运算定义得， 解得， 经检验，，符合题意； 当时，由新运算定义得， 解得， 经检验，，符合题意； 综上，的值为或． 二、填空题（每小题2分，本题共16分） 9. 因式分解：__________． 【答案】 【解析】 【分析】先提取多项式的公因式，再对剩余部分套用平方差公式完成分解，保证分解结果不能再继续拆分． 【详解】解：， ， ， ． 10. 若分式的值为，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵给定分式的值为0， ∴需同时满足分子等于0，分母不等于0， 即且， 解得. 11. 已知关于的多项式是一个完全平方式，则的值是__________． 【答案】或 【解析】 【分析】根据完全平方式的结构，由两个平方项确定对应底数，结合交叉项的两种符号情况建立关于的方程求解． 【详解】解：∵ 多项式是完全平方式， ∴ 该式满足完全平方公式的结构特征， ∵ 式中的两个平方项为和， ∴ 公式中的交叉项为， ∵ 原式的交叉项为， ∴ 两交叉项相等，即， 即， 当时，解得； 当时，解得． 12. 若，则点关于y轴的对称点的坐标为______． 【答案】（-3，2） 【解析】 【分析】阅读题目信息，要求点M（a，b）关于y轴的对称点的坐标，需先求得点M的坐标，根据“非负项之和为0，每一项均为0知a-3=0，b-2=0，解方程求出a，b的值，继而得到点M的坐标． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴a-3=0，b-2=0， ∴a=3，b=2， ∴M点坐标为（3，2）， ∴M（3，2）关于y轴对称的点的坐标为（-3，2）， 故答案为：（-3，2）． 【点睛】此题主要考查了平面直角坐标系内对称点的坐标特征，非负数的性质，掌握平面直角坐标系中关于x轴对称的点的坐标特征是解题的关键． 13. 已知为正整数，则能使代数式的值为整数的所有的和为__________． 【答案】 【解析】 【分析】将分式拆分为整式与真分式的和，结合为正整数的约束，找出所有使代数式值为整数的，再计算其和． 【详解】解：对代数式变形可得， ∵代数式的值为整数，且2为整数， ∴必须为整数， ∵为正整数， ∴是大于1的正整数，且为8的正约数， 8的正约数为1，2，4，8， ∵时，不符合正整数要求， ∴剩余符合条件的取值为2，4，8， 对应的值分别为1，3，7， ∴所有符合条件的的和为． 14. 我国南宋数学家秦九韶在《数书九章》中给出了如下公式：如果一个三角形的三边长分别为，，，那么三角形的面积为，；如果一个三角形的三边长依次为，，，那么它的面积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】将已知三边长代入题干给出的三角形面积公式，结合二次根式的运算规则化简求解． 【详解】解：∵ 题干给出三角形面积公式为， 不妨令，，， ∴ ，，， 代入公式计算， ， ， ， ∴ ． 15. 如图1是某市地铁入口的双闸门，如图2，当它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为10cm，双翼的边缘，且与闸机侧立而夹角，求当双翼收起时，两机箱之间的最大宽度为______cm． 【答案】55 【解析】 【分析】本题考查了含30度角的直角三角形的性质、线段的和差等知识点，正确作出辅助线、构造直角三角形是解题的关键． 如图：过点A作，垂足为E，过点B作，垂足为F，根据垂直定义可得：，然后分别在和中，利用含30度角的直角三角形的性质求出和的长，最后利用线段的和差关系进行计算即可解答． 【详解】解：如图：过点A作，垂足为E，过点B作，垂足为F， ∴， ∵， ∴， ∵双翼边缘的端点A与B之间的距离为， ∴当双翼收起时，可以通过闸机的物体最大宽度． 故答案为：55． 16. 如图，已知，射线平分，在上取一点，使得，以点为顶点作，将绕点旋转，的两边分别与射线、交于点、，连接，与交于点，以下个结论： ①在旋转过程中，始终是等腰三角形； ②当点为中点时，是等边三角形； ③当时，； ④在旋转过程中，四边形的面积始终不变，面积为． 上述结论中正确的有__________．（填写序号） 【答案】 ①②④ 【解析】 【分析】本题考查了角的平分线定义、角的有关计算的应用、三角形全等、等腰三角形三线合一的性质、直角三角形的边角关系和三角函数的应用，主要考查学生计算能力和推理能力，准确识图是解题关键． ①过点P作、的垂线，利用角平分线的性质得到两条垂线段长度相等，结合已知角度推导四边形内角关系，为三角形全等证明做准备． 利用角度关系推导与的关联，结合已得的垂线段相等条件，证明对应三角形全等，以此判断的形状． ②当F为中点时，结合等腰三角形三线合一的性质，推导与的垂直平分关系，进而判断的形状． ③当时，结合直角三角形的角度关系，推导边之间的数量关系，验证与的倍数关系． ④利用全等三角形的面积转化，将四边形的面积转化为固定的直角三角形面积，计算并判断其面积是否恒定． 【详解】①过点P作于G，于H，如图， ， 平分， ， ， ， 又， ， 在和中， ， ， 始终是等腰三角形， ①正确； ②，F是中点， 根据等腰三角形三线合一的性质，可得， 垂直平分， ， 又， 是等边三角形， ②正确； ③， ， ， ， ， 是顶角为的等腰三角形， ， ， ， ， ③错误； ④， ​， ， ，， 在和中， ， ， ，， ， 在上取一点Q，使，则是等腰三角形， ，， 中，，， 设，则，，， 在中：，即， ， ， ， ​④正确． ​上述结论中正确的有①②④． 三、解答题（本题共68分，第17—22题，每题5分，第23—26题，每题6分，第27—28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 计算： 【答案】 【解析】 【详解】解：原式. 18. 计算： 【答案】 【解析】 【详解】解：  . 19. 先化简，再求值：，其中从、、、中选取一个你喜欢的数． 【答案】 ；当时，值为，当时，值为 【解析】 【详解】 解： ； ， ， 从给定的数中，可取的为或， 当时，代入得； 当时，代入得. 20. 小明发现，任意一个直角三角形都可以分割成两个等腰三角形． 已知：在中，． 求作：线段，使得线段将分割成两个等腰三角形． 下面是小明设计的尺规作图的作法： ①作直角边的垂直平分线，与斜边相交于点； ②连接．则线段为所求． （1）请你按照小明设计的作法，使用无刻度的直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：直线是线段的垂直平分线，点在直线上， ．（ ）（填推理的依据） ． ， ． ． ． ．（ ）（填推理的依据） 和都是等腰三角形． 【答案】（1）解：根据题意，作图如下： 则线段即为所求． （2）线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等；；；等角对等边 【解析】 【分析】（1）根据线段的垂直平分线的基本作图，解答即可； （2）利用线段垂直平分线的性质，余角的性质，等腰三角形的判定，证明即可． 【小问1详解】 解：略． 【小问2详解】 证明：直线是线段的垂直平分线，点在直线上， ．（线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等）（填推理的依据） ． ， ，． ． ．（等角对等边 ）（填推理的依据） 和都是等腰三角形． 21. 解分式方程：． 【答案】 【解析】 【分析】先对分母因式分解，将分式方程去分母转化为整式方程，求解整式方程后检验即可得到原分式方程的解． 【详解】解： ， 经检验，当时，， 所以是原分式方程的解． 22. 如图在中，为中点，，，交于，，，求的长． 【答案】12 【解析】 【分析】先连接，过点E作交的延长线于点G，根据线段垂直平分线的性质得到，证明，得到，再证明，得到，最后根据线段的等量代换计算出的长即可． 【详解】解：如图，连接，过点E作交的延长线于点G， ∵D为中点，， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 23. 某社区为推进“旧改惠民工程”，计划对小区排水管道进行改造．该工程若甲队单独施工恰好在规定时间内完成；若乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的2倍．如果由甲、乙两队先合作12天，那么余下的工程再由甲队单独完成还需6天． （1）这项工程的规定时间是多少天？ （2）已知甲队每天的施工费用为元，乙队每天的施工费用为元．为了缩短工期，减少对居民出行的影响，工程指挥部最终决定该工程由甲、乙两队合做来完成．则该工程施工总费用是多少元？ 【答案】（1） 这项工程的规定时间是天； （2） 该工程施工总费用是元． 【解析】 【分析】（1）设规定时间为未知数，以总工作量为等量关系列分式方程求解； （2）先计算甲乙合作完成工程的时长，再结合两队每日施工费用计算总费用． 【小问1详解】 解：设这项工程的规定时间是天，则甲队单独完成需天，乙队单独完成需天，将总工作量记为单位，甲队每日工作量为，乙队每日工作量为， 根据题意列方程： 解得， 检验：当时，且，且符合实际意义， ∴这项工程的规定时间是天， 答：这项工程的规定时间是天； 【小问2详解】 解：甲、乙两队合作的每日总工作量为， 合作完成工程所需时间为（天）， 施工总费用为（元） 答：该工程施工总费用是元． 24. 如图，在平面直角坐标系中，． （1）在图中作出关于x轴的对称图形，并直接写出点的坐标； （2）求的面积； （3）点与点Q关于x轴对称，若，直接写出点P的坐标． 【答案】（1） 解：（1）如图，即为所求，点的坐标； （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查作图-轴对称变换，三角形的面积等知识，解题的关键是掌握轴对称变换的性质． （1）利用轴对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点，，即可； （2）把三角形的面积看成矩形面积减去三个三角形面积即可； （3）根据题意可知P的纵坐标到x轴的距离为，即可列出关于a的方程进而可解答可得结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：； 【小问3详解】 解：∵与点Q关于x轴对称，若， ∴， ∴或， ∴或． 25. 综合与实践 【探究课题】三角形重心性质的探究． 【问题背景】三角形三条中线交于一点，这个点叫作三角形的重心．重心是个物理名词．从效果上看，我们可以认为物体所受重力的合力集中于一点，这一点叫物体的重心．如图1中，如果取一块质地均匀的三角形纸板，用一根细绳从重心处将三角形提起来，纸板就会处于水平、平衡状态． 【提出问题】 问题1：探究图1中，，，，，，这个小三角形的面积关系？ 问题2：探究图1中的，，的值是多少？ 老师为了让同学们更好地解决提出的问题，设置了以下的探究思路，请同学们通过跟随老师的思路，逐步解决以上提出的问题． 【解决问题】 （1）是的中线，与等底同高，可以得到它们面积的大小关系为： （填“”、“”或“”）； （2）在中，由于点是边中点，那么的面积是的面积的，同理的面积是的面积的，这样的面积与的面积相等，减去公共部分可得的面积与 的面积相等，同样可得的面积与的面积相等，从而可得，，，，，这个小三角形面积相等； （3）由的面积是的面积的倍，可得 ，同理可得： ； 【拓展应用】 （4）如图2，在中，点是的重心，连接，并延长分别交，于点，，若，，，直接利用上面的结论，求四边形的面积． 【答案】（1） （2） （3）； （4） 【解析】 【分析】（1）三角形的中线把底边平分，两个三角形等底同高，所以面积相等； （2）利用面积相等的两个三角形减去公共部分，得到剩下部分面积相等，完成填空； （3）结合面积倍数关系，推导出重心分割线段的比值； （4）运用前面探究得到的重心分线段比例结论，结合垂直条件计算图形面积． 【小问1详解】 解：与等底同高， ； 【小问2详解】 解：的面积与的面积相等， 四边形的面积四边形的面积， 的面积与的面积相等； 【小问3详解】 解：的面积是的面积的倍， 设点到的距离为， ， ， ， 的面积是的面积的倍，的面积是的面积的倍， 设点到的距离为，点到的距离为， ，， ，， ，， ； 【小问4详解】 解：由（3）得， ，， ，， ， ， ， 如图，连接交于点， 由（2）得，，，，，这个小三角形面积相等， 四边形的面积为． 26. 知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是发现新问题、结论的重要方法． 阅读材料：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有： （1）整体观察；（2）整体设元；（3）整体代入；（4）整体求和等． 例1：分解因式； 解：将“”看成一个整体，令； 原式； 例2：已知，求的值． 解：； 请根据阅读材料利用整体思想解答下列问题： （1）根据材料，请你模仿例1尝试对多项式进行因式分解； （2）①已知，求的值； ②若，直接写出的值． （3）计算： ． 【答案】（1） （2）①1；②7 （3）2026 【解析】 【分析】（1）仿照例1，整体设元，分解因式； （2）仿照例2，整体代入化简求值即可； （3）仿照例1，令，，分解因式，代入化简结果求值即可． 【小问1详解】 解：设， ， ； 【小问2详解】 解：①， ； ②∵， ∴ ； 【小问3详解】 解：令，， ， ． 27. 如图，在中，．作的角平分线交于点D，过点A作交的延长线于点E． （1）①依题意补全图形； ②求证：； （2）若，求的大小． 【答案】（1） ①如图所示： ②证明：为的角平分线， ． ， ． ， ． ． （2） 【解析】 【分析】（1）①依题意补全图形；②根据角平分线以及角度之间的和差关系即可求解； （2）做辅助线，构造，根据全等三角形即可求解． 本题考查了全等三角形的性质和判定，角度以及线段的和差倍关系，等腰三角形，构造全等三角形是解题关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，延长至点F，使得，延长至点G，使得，连接，． ， 垂直平分． ． ． ，， ． 在和中， ， ． ． ， ， ． ． 在中，． ． ， ． ． 在中， ． ． ． 故答案为：． 28. 在平面直角坐标系中，对于图形和直线，，给出如下定义：如果图形关于的对称图形为图形，图形关于的对称图形为图形，那么称图形是图形关于直线，的“双轴对称图形”． （1）已知直线过点且与轴垂直． ①点关于轴，直线的“双轴对称图形”的坐标为 ； ②点，：如果线段关于轴，直线的“双轴对称图形”与轴有公共点，求的取值范围； （2）已知点，，，，，．四边形关于轴，直线的“双轴对称图形”上存在到轴和轴距离相等的点，直接写出的取值范围． 【答案】（1）①；②． （2）． 【解析】 【分析】（1）把定义拆成连续两次轴对称，先求点关于轴的对称点、再求它关于直线的对称点，线段的情形同样处理两端点，用两端点横坐标与轴的位置关系列出条件； （2）由、的坐标判定直线与轴的夹角，再用垂直平分关系写出任一点两次对称后的坐标，把到两轴距离相等化为原四边形上的等量关系，由该等量在四边形上的取值端点定出的范围． 【小问1详解】 解：由且直线轴，得直线上每一点的横坐标都是． ①点关于轴的对称点为；点关于直线的对称点纵坐标仍是，横坐标与的中点是，故所求点的横坐标为． ∴所求坐标为． ②点关于轴的对称点为，再关于直线的对称点为；点关于轴的对称点为，再关于直线的对称点为． ∵所得线段与轴有公共点． ∴两个端点的横坐标一个不大于、另一个不小于，即． ∵． ∴，解得． 【小问2详解】 解：过点作轴于点，则，，是等腰直角三角形，（如图）． ∵点在点的右上方， ∴直线与轴成，直线上任意一点都满足． 如图，取四边形上一点，它关于轴的对称点为，关于直线的对称点为． ∵直线垂直平分， ∴，且的中点在直线上，中点坐标为． ∵，而与轴成， ∴与轴成，两端点的横坐标之差与纵坐标之差互为相反数， ∴中点与的横坐标之差等于与中点的纵坐标之差，即，整理得． ∵中点在直线上， ∴，整理得． 两式相加得，即；两式相减得，即． ∵点到轴和轴的距离相等． ∴，即或． 当时，，即；当时，，即． ∵四边形在轴左侧、轴上方，其上任一点都满足， ∴四边形上没有满足的点，只需直线与四边形有公共点． 四边形四个顶点的依次为、、、，线段上点的介于两端点之间，故，其中最小值在点处取得，最大值在点处取得． ∵直线与四边形有公共点． ∴． ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $