精品解析：北京市顺义第八中学2026-2027学年八年级上学期期中考试数学试卷

顺义八中2026－2027学年度第一学期期中学习质量检测 初二数学 本试卷共4页，共三部分，第一部分 选择题，第二部分填空题．满分100分．考试时间120分钟． 试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答．考试结束，上交答题卡． 一、选择题：（本题共8小题，每小题2分，共16分） 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查最简二次根式的判定，根据最简二次根式的定义判断即可，最简二次根式需满足两个条件，被开方数不含能开得尽方的因数或因式，且被开方数不含分母． 【详解】答：∵ ，被开方数4含能开得尽方的因数，∴A不是最简二次根式； ∵ ，被开方数8含能开得尽方的因数，∴B不是最简二次根式； ∵ ，被开方数含分母，∴C不是最简二次根式； ∵满足最简二次根式的两个条件，∴D是最简二次根式． 2. 在实数（每两个1之间依次多一个0）中，无理数的个数有（ ） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 【答案】C 【解析】 【详解】解：． 有理数有，，． 无理数有，，（每两个之间依次多一个）． 无理数共个． 3. 不改变分式的值，下列各式变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据分式的性质，结合平方差公式、分式的乘方逐项计算判断即可． 【详解】解：A、，故此选项变形不正确，不符合题意； B、，故此选项变形正确，符合题意； C、，故此选项变形错误，不符合题意； D、，故此选项变形错误，不符合题意， 故选：B． 【点睛】本题考查分式的性质，涉及到平方差公式、积的乘方等知识，掌握运算法则和性质是解答的关键． 4. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，根据运算法则进行计算即可． 【详解】A、不属于同类项，无法合并相加，因此选项错误，不符合题意； B、，选项正确，符合题意； C、，选项错误，不符合题意； D、，选项错误，不符合题意； 故选：B． 5. 根据下列表格信息，y可能为（ ） x … 0 1 2 … y … 0 * * 无意义 * … A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式值为0的条件和分式无意义的条件，掌握分式分母不为0是解题的关键． 根据题意可得分式为0、分式无意义是条件，然后判断即可． 【详解】解：由表格信息可知： 当时，无意义， 排除B、C两个选项， 又当时，， ∴代入A、D两个选项中，只有A选项， 故选：A． 6. 下列各式中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：，A错误． ，B正确． ，C错误． ，D错误． 7. 如图，在中，是边上的高，平分交边于点，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由角平分线的定义得到的度数，再由三角形高的定义和三角形内角和定理求出的度数即可得到答案． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵是边上的高， ∴， ∴， ∴， ∴． 8. 已知，下列结论正确的是（ ） A. 的计算结果为 B. 当时， C. 当时，的值为负数 D. 若为正整数，则可能为3 【答案】B 【解析】 【分析】先化简分式，再结合分式有意义的条件、不等式性质、正整数定义逐项判断． 【详解】解：分式有意义的条件为，即， ， ∵化简结果为，与不符， ∴A错误； 当时，， ∴B正确； 当时，，，； 当时，，，， 故时不一定为负数，C错误； 当时，，不是正整数， ∴D错误． 二、填空题：（本题共8小题，每小题2分，共16分）． 9. 的平方根是________；的立方根是________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据正数的平方根有两个，且互为相反数，负数的立方根是负数，即可求解． 【详解】解：， 的平方根是； ， 的立方根是． 10. 要使代数式有意义，则x的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件，二次根式的被开方数为非负数，列出一元一次不等式求解，即可得到的取值范围． 【详解】解：根据二次根式有意义的条件，可得： 移项得． 11. 如图，在中，是延长线上一点，，则___________． 【答案】 【解析】 【详解】解：是的外角 12. 若一个等腰三角形的两边长分别是和，则这个等腰三角形的周长是_______． 【答案】 【解析】 【分析】因为等腰三角形的两边分别为和，但没有明确哪是底边，哪是腰，所以有两种情况，需要分类讨论． 【详解】当为底时，其它两边都为和可以构成三角形，周长为； 当为腰时，其它两边为和，因为、、可以构成三角形，周长为． 故这个等腰三角形周长为或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，解题的关键是分类讨论等腰三角形的腰长. 13. 在实数范围内分解因式：___________． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 14. 若关于x的分式方程有正数解，则m的取值范围是______________． 【答案】且 【解析】 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有正数解，即可确定出m的范围． 【详解】解：去分母得：x-3(x-2)=m， 解得：x=， ∵分式方程有一正数解， ∴＞0，且≠2， 解得：m＜6且m≠2， 故答案为：m＜6且m≠2． 【点睛】此题考查了分式方程的解，始终注意分母不为0这个条件． 15. 如图是的中线，，若的周长比的周长大，则的长是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的中线的定义，熟练掌握三角形中线的有关计算是解题的关键． 根据中线的定义得出，的周长比的周长大，得，代入数值求解即可． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∵的周长为，的周长为， ∵的周长比的周长大， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 16. 如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知线段是等腰三角形的一边，的三个顶点都在正方形网格的格点上，则这样的等腰三角形的个数为______． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，分别找到以为底和以为腰时，符合题意的点C的个数即可得到答案． 【详解】解：如图所示，以为底有6个点符合题意； 以为腰有4个点符合题意； ∴一共有10个点符合题意， 故答案为：10． 三、解答题：（本题共10题，共68分） 17. 计算： （1） （2） （3） （4） 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：； 【小问3详解】 解：； 【小问4详解】 解：． 18. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 19. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 20. 解方程： （1） （2） 【答案】（1） （2）原方程无解 【解析】 【小问1详解】 解：原方程的分母满足， 方程两边同乘最简公分母，得 展开整理得 化简得 解得 将代入公分母验证，得， 故是原方程的解． 【小问2详解】 解：原方程的分母满足， 方程两边同乘最简公分母，得 整理得 解得 将代入公分母验证，得， 故是原方程的增根，原方程无解． 21. 化简求值： （1），其中． （2）若，求代数式的值． 【答案】（1）化简结果为，值为 （2）． 【解析】 【小问1详解】 解： 当时，原式． 【小问2详解】 解： 由得，代入化简后的式子得： 原式． 22. 某商场改造部分停车位为充电停车位，分别花费5万元和8万元购进A、B两款充电桩．已知A款充电桩的单价比B款充电桩的单价高万元，且购进B款充电桩的数量是A款充电桩数量的2倍．求A、B两款充电桩的单价． 【答案】A款充电桩的单价为万元，B款充电桩的单价为万元 【解析】 【分析】设A款充电桩的单价为万元，则B款充电桩的单价为万元，以B款充电桩数量是A款的2倍为等量关系列分式方程求解． 【详解】解：设A款充电桩的单价为万元，则B款充电桩的单价为万元， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：A款充电桩的单价为万元，B款充电桩的单价为万元． 23. 如图方格纸中，每个小正方形边长均为1，点、点、点在小正方形的顶点上． （1）画出中边上的高； （2）画出中边上的中线； （3）若，则___________； （4）求的面积． 【答案】（1）高即为所求： （2）中线即为所求： （3） （4）4 【解析】 【分析】（1）取格点N，连接交于点D，则即为所求，可证明，得到，则可证明； （2）取格点E，连接即可，可证明，则为的中线； （3）求出的面积即可得到答案； （4）根据三角形的中线平分三角形的面积可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由题意得，， ∴， ∵， ∴； 【小问4详解】 解：由（3）可知，， ∵是的中线， ∴． 24. 在一个三角形中，如果一个内角的度数是另一个内角的度数的3倍，那么我们称这样的三角形为“三倍角三角形”． （1）在，，则____（填“是”或“不是”）“三倍角三角形”； （2）若是“三倍角三角形”，且，求中最小内角的度数． 【答案】（1）是 （2）或 【解析】 【分析】本题为新定义问题，考查了三角形的内角和定理，理解“三倍角三角形”定义是解题关键． （1）根据三角形内角和定理求出，即可得到是“三倍角三角形”； （2）根据得到，设最小的角为,分三种情况分类讨论即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴, ∴是“三倍角三角形”． 故答案为：是 【小问2详解】 解：∵， ∴， 设最小的角为, ①当时，若，解得，，此时三角形三内角为，最小内角是； ②当时，，此时三角形三内角为，最小内角是， ③和之间存在3倍关系，设，则，解得，，此时三角形三内角为，最小内角是， 综上所述，若是“三倍角三角形”，且，则中最小内角的度数是或． 25. 阅读理解: 定义：若分式和分式满足（为正整数），则称是的“差分式”． 例如： 我们称 是 的“差分式”， 解答下列问题： （1）分式 是分式 的“ 差分式”． （2）分式 是分式 的“差分式”． ① （含的代数式表示）； ②若 的值为正整数，为正整数，求的值． （3）已知，分式 是 的“差分式”（其中为正数），求的值． 【答案】（1） （2）①；②，则；，则； （3） 【解析】 【分析】本题主要考查定义新运算，分式的混合运算，乘法公式的运用， （1）根据材料提示进行计算即可求解； （2）根据“差分式”的计算方法可得，结合分式的混合运算即可求解； （3）根据“差分式”的计算方法可得，根据分式的混合运算，乘法公式的运算可得，结合，由此即可求解． 【小问1详解】 解：， 故答案为：； 【小问2详解】 解：①， ∴， 解得，； ②，为正整数， ∴当时，，则； 当时，，则； 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，不符合题意，舍去； ∴的值为或； 【小问3详解】 解：， ，且， ∴， ∵为正数， ∴， ∴的值为． 26. 在二次根式的计算和比较大小中，有时候用“平方法”会取得很好的效果，例如，比较和的大小，我们可以把a和b分别平方，∵，则，∴． 请利用“平方法”解决下面问题： （1）比较，大小，c d（填写＞，＜或者＝）． （2）猜想 ，之间的大小，并证明． （3）化简： （直接写出答案）． 【答案】（1） （2） 猜想：， 证明：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴； （3）4或 【解析】 【分析】本题考查了实数的大小比较，二次根式的大小比较和化简二次根式，解题的关键是熟练运用题干中“平方法”，第（3）题注意分情况讨论． （1）根据题干中“平方法”比较实数大小； （2）根据题干中“平方法”比较二次根式的大小； （3）根据题干中“平方法”找出，，再利用二次根式的性质结合完全平方公式进而开平方分类讨论得出答案． 【小问1详解】 解：∵， 则， ∴； 故答案为：>． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵，， ∴ ∵ ∴， 分情况讨论： ①若，即时， 原式； ②若，即时， 原式， 综合①②得： 当时，原式； 当时，原式； 故答案为：4或． 27. 我们知道，整式、分式、二次根式等都是代数式，代数式是用基本运算符号连接起来的式子，当被除数是一个二次根式，除数是一个整式时，求得的商就会出现这样的形式，我们把这种形式的式子称为根分式，例如都是根分式．已知两个根分式与． （1）写出的取值范围___________． （2）是否存在实数，使得，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． （3）当是一个整数时，求实数的值． 【答案】（1） （2）不存在．理由如下： ∵，，且 ∴ ∵ ∴ ∴ 当时，，等式不成立，无解． 当时， 解得． ∵，不符合的取值范围 ∴不存在这样的实数． （3） 【解析】 【分析】（1）根据二次根式被开方数非负、分式分母不为0的条件，列不等式组求解公共解集． （2）先化简，再解方程，结合的取值范围验证解的合理性． （3）先化简，根据结果为整数的条件，结合的取值范围求解． 【小问1详解】 解：要使两个根分式都有意义，需满足： 解得． 解得． 解，即，得或． 取公共解集，得． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ∵是整数，且 ∴， ∴ ∴的整数值只能为0． 令，则 解得或． ∵ ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 顺义八中2026－2027学年度第一学期期中学习质量检测 初二数学 本试卷共4页，共三部分，第一部分 选择题，第二部分填空题．满分100分．考试时间120分钟． 试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答．考试结束，上交答题卡． 一、选择题：（本题共8小题，每小题2分，共16分） 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 在实数（每两个1之间依次多一个0）中，无理数的个数有（ ） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 3. 不改变分式的值，下列各式变形正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 根据下列表格信息，y可能为（ ） x … 0 1 2 … y … 0 * * 无意义 * … A. B. C. D. 6. 下列各式中，正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，是边上的高，平分交边于点，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 已知，下列结论正确的是（ ） A. 的计算结果为 B. 当时， C. 当时，的值为负数 D. 若为正整数，则可能为3 二、填空题：（本题共8小题，每小题2分，共16分）． 9. 的平方根是________；的立方根是________． 10. 要使代数式有意义，则x的取值范围是_______． 11. 如图，在中，是延长线上一点，，则___________． 12. 若一个等腰三角形的两边长分别是和，则这个等腰三角形的周长是_______． 13. 在实数范围内分解因式：___________． 14. 若关于x的分式方程有正数解，则m的取值范围是______________． 15. 如图是的中线，，若的周长比的周长大，则的长是________． 16. 如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知线段是等腰三角形的一边，的三个顶点都在正方形网格的格点上，则这样的等腰三角形的个数为______． 三、解答题：（本题共10题，共68分） 17. 计算： （1） （2） （3） （4） 18. 计算： （1） （2） 19. 计算： （1） （2） 20. 解方程： （1） （2） 21. 化简求值： （1），其中． （2）若，求代数式的值． 22. 某商场改造部分停车位为充电停车位，分别花费5万元和8万元购进A、B两款充电桩．已知A款充电桩的单价比B款充电桩的单价高万元，且购进B款充电桩的数量是A款充电桩数量的2倍．求A、B两款充电桩的单价． 23. 如图方格纸中，每个小正方形边长均为1，点、点、点在小正方形的顶点上． （1）画出中边上的高； （2）画出中边上的中线； （3）若，则___________； （4）求的面积． 24. 在一个三角形中，如果一个内角的度数是另一个内角的度数的3倍，那么我们称这样的三角形为“三倍角三角形”． （1）在，，则____（填“是”或“不是”）“三倍角三角形”； （2）若是“三倍角三角形”，且，求中最小内角的度数． 25. 阅读理解: 定义：若分式和分式满足（为正整数），则称是的“差分式”． 例如： 我们称 是 的“差分式”， 解答下列问题： （1）分式 是分式 的“ 差分式”． （2）分式 是分式 的“差分式”． ① （含的代数式表示）； ②若 的值为正整数，为正整数，求的值． （3）已知，分式 是 的“差分式”（其中为正数），求的值． 26. 在二次根式的计算和比较大小中，有时候用“平方法”会取得很好的效果，例如，比较和的大小，我们可以把a和b分别平方，∵，则，∴． 请利用“平方法”解决下面问题： （1）比较，大小，c d（填写＞，＜或者＝）． （2）猜想 ，之间的大小，并证明． （3）化简： （直接写出答案）． 27. 我们知道，整式、分式、二次根式等都是代数式，代数式是用基本运算符号连接起来的式子，当被除数是一个二次根式，除数是一个整式时，求得的商就会出现这样的形式，我们把这种形式的式子称为根分式，例如都是根分式．已知两个根分式与． （1）写出的取值范围___________． （2）是否存在实数，使得，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． （3）当是一个整数时，求实数的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $