16.3 乘法公式（第1课时 平方差公式）（导学案）数学新教材人教版八年级上册

16.3 乘法公式（第1课时 平方差公式）（导学案） 【学习目标】 1. 理解平方差公式的意义，能正确说出公式 中字母 、 的含义及其结构特征，明确公式的适用条件。 2. 掌握平方差公式的推导过程，能熟练运用平方差公式进行整式乘法运算和数的简便计算。 3. 经历“特殊到一般”的归纳过程，体验数形结合、整体代入等数学思想方法，发展观察、比较、归纳与概括的能力。 【学习重点】 平方差公式的推导、结构特征及初步运用。 【学习难点】 准确识别“相同项”与“互为相反项”，确定公式中的 、，并正确处理符号、整体代换及简便计算中的变形。 【自主预习】阅读教材，完成以下问题： 1. 平方差公式的推导 计算下列各式的积，观察结果的共同特点： （1）；　（2）； （3）。 归纳：形如 的多项式与 的多项式相乘，积都是这两个数的 平方的差。 2. 平方差公式 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差，即 。 公式中的 、 可以表示数，也可以表示单项式或多项式，具有“整体”的含义。 3. 平方差公式的结构特征 公式左边是两个二项式相乘，两个因式中一项 相同，另一项 互为相反数；右边是 相同项 的平方减去 相反项 的平方。符号相同的那一项看作公式中的 ，符号相反的两项分别看作 与 。 4. 平方差公式的几何意义 如图（见【课堂探究】探究三），大正方形的边长为 ，从中剪去一个边长为 的小正方形，剩余部分（阴影）的面积为 ；沿虚线剪开后重新拼合，得到一个长为 、宽为 的长方形，其面积为 。由面积相等可得 。 【课堂探究】 探究一、平方差公式的推导——从特殊到一般 【问题引入】计算下列各式的积，你能发现什么规律？ （1）；　（2）； （3）。 【观察归纳】每个算式都是“两个数的和”与“这两个数的差”相乘，结果都是这两个数的平方的差。由此猜想：。 【验证猜想】请你用多项式乘法法则验证上面的猜想： 【结论】平方差公式 。它是多项式乘法 中 、 的特殊情形。 新知应用一 1. 下列各式中，能用平方差公式计算的是（　　） A．　　　B．　　　C．　　　D． 【答案】C 2. 计算：（1）；　（2）。 【解析】（1）原式；（2）原式。 探究二、平方差公式的结构特征——怎样确定 a 与 b 对照公式 ，思考下列问题： （1）公式左边的两个因式在结构上有什么特点？ （2）公式右边的结果与左边的两个因式有什么关系？ （3）运用公式时，怎样快速确定公式中的 与 ？ 【归纳】“一同一反”：两个二项式中符号完全相同的那一项看作 ，符号互为相反数的两项分别看作 与 。运算程序：看结构 → 定 、 → 写平方差 → 再平方。 【例题】例1　运用平方差公式计算： （1）；　（2）。 解：（1）； （2）。 【方法点拨】运用平方差公式的关键是准确确定 、。注意 ，，平方时不要漏掉系数。 新知应用二 3. 计算：（1）；　（2）。 【解析】（1）原式；（2）原式。 4. 计算：（1）；　（2）。 【解析】（1）原式；（2）原式。 5. 计算：（1）；　（2）。 【解析】（1）原式；（2）原式。 6. 下列各式中，能用平方差公式计算的是 （1）（3）（4）（填序号）。 （1）；　（2）；　（3）；　（4）。 【解析】（1）一同一反，能用；（2）原式，不能用；（3）能用；（4）能用。 7. 计算：（1）；　（2）。 【解析】（1）原式；（2）原式。 【方法点拨】判断能否用公式，先看两个二项式是否“一项相同、另一项互为相反数”，确定 、 后再写平方差。 探究三、平方差公式的几何意义——数形结合 观察图①、图②，思考下列问题： （1）图①中阴影部分的面积怎样表示？ （2）沿图①中的虚线把阴影部分剪开，能否拼成图②这样的长方形？若能，拼成的长方形的长、宽各是多少？ （3）图②中长方形的面积是多少？它与图①中阴影部分的面积有什么关系？由此你能得到什么结论？ 【解析】（1）面积为 ；（2）能，拼成的长方形长为 、宽为 ；（3）面积为 ，由面积相等得 。 【结论】从“形”的角度再一次验证了平方差公式，体现了数形结合的思想。 典例分析 例2　计算： （1）；　（2）；　（3）。 解：（1）把 与 中的 看作整体，连续两次使用公式： 原式； （2）原式； （3）原式。 【跟踪练习】计算：（1）；　（2）。 【解析】（1）原式；（2）原式。 【方法点拨】连续使用平方差公式时，先把前两个因式结合，再把所得结果中的字母部分整体看作新的 ；进行数的简便计算时，先把两个乘数写成同一个数的“和”与“差”的形式。 例3　如图①，从边长为 的正方形纸片中剪去一个边长为 的小正方形，再沿线段 剪开，把剪成的两张纸片拼成如图②的等腰梯形。 （1）设图①中阴影部分的面积为 ，图②中阴影部分的面积为 ，请用含 、 的式子表示 、； （2）请写出上述过程所揭示的乘法公式。 【解析】（1）；图②的梯形上底 、下底 、高 ，故 。（2）由面积相等得 。 变式训练 1. 计算：（1）；　（2）。 【解析】（1）原式；（2）原式。 2. 已知 ，求代数式 的值。 【解析】原式。由 得 ，所以原式。 【知识总结】 1. 平方差公式：；文字表述：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。 2. 结构特征——“一同一反”：符号相同的一项看作 ，互为相反数的两项看作 与 ，结果为“相同项的平方 相反项的平方”。 3. 运算程序：看结构（能否用公式）→ 定 、 → 写平方差 → 再平方（系数也要平方）。 4. 几何解释：，用面积割补验证公式，体现数形结合。 5. 易错点：找错 、；漏平方；系数未平方；符号出错；不符合“一同一反”却强用公式。 【课堂练习】 1. 下面的计算是否正确？如果不正确，应当怎样改正？ （1）；　（2）； （3）；　（4）。 【解析】（1）改为 （2 也要平方）；（2）相同项是 ，改为 ；（3）没有相同项，不符合条件；（4），改为 。 2. 计算：（1）；　（2）； （3）；　（4）。 【解析】（1）；（2）；（3）；（4）。 3. 运用平方差公式进行简便计算：（1）；　（2）；　（3）。 【解析】（1）原式；（2）原式；（3）原式。 4.（2026•河南）下列式子中，运算结果为 的是（　　） A．　　　B．　　　C．　　　D． 【答案】C　【解析】A：；B：；C：；D：。故选 C。 5. 若 ，，则 的值为 5。 【解析】，又 ，故 。 6.（拓展）已知 ，，求 的值，并求 的值。 【解析】；。由 、 得 、，故 。 7.（拓展）观察下列各式：；；…… （1）猜想：； （2）利用你发现的规律计算：。 【解析】（1）；（2）因为 ，所以 。 8.（2026•河北）用运算律或乘法公式可以简化运算，例如：。 （1）证明 ，并用以上方法计算 ；（2）计算 。 【解析】（1）右边，成立；。（2）。 【课后反思】本节课学习中，你有哪些收获，还有哪些问题？ 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 16.3 乘法公式（第1课时 平方差公式）（导学案） 【学习目标】 1. 理解平方差公式的意义，能正确说出公式 中字母 、 的含义及其结构特征，明确公式的适用条件。 2. 掌握平方差公式的推导过程，能熟练运用平方差公式进行整式乘法运算和数的简便计算。 3. 经历“特殊到一般”的归纳过程，体验数形结合、整体代入等数学思想方法，发展观察、比较、归纳与概括的能力。 【学习重点】 平方差公式的推导、结构特征及初步运用。 【学习难点】 准确识别“相同项”与“互为相反项”，确定公式中的 、，并正确处理符号、整体代换及简便计算中的变形。 【自主预习】阅读教材，完成以下问题： 1. 平方差公式的推导 计算下列各式的积，观察结果的共同特点： （1）　　　；　（2）　　　； （3）　　　　。 归纳：形如 的多项式与 的多项式相乘，积都是这两个数的 　　　　。 2. 平方差公式 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差，即 　　　　。 公式中的 、 可以表示数，也可以表示单项式或多项式，具有“整体”的含义。 3. 平方差公式的结构特征 公式左边是两个二项式相乘，两个因式中一项 　　　，另一项 　　　　　；右边是 　　　 的平方减去 　　　 的平方。符号相同的那一项看作公式中的 ，符号相反的两项分别看作 与 。 4. 平方差公式的几何意义 如图（见【课堂探究】探究三），大正方形的边长为 ，从中剪去一个边长为 的小正方形，剩余部分（阴影）的面积为 　　　　；沿虚线剪开后重新拼合，得到一个长为 　　　、宽为 　　　 的长方形，其面积为 　　　　　　。由面积相等可得 。 【课堂探究】 探究一、平方差公式的推导——从特殊到一般 【问题引入】计算下列各式的积，你能发现什么规律？ （1）　　　；　（2）　　　； （3）　　　　。 【观察归纳】每个算式都是“两个数的和”与“这两个数的差”相乘，结果都是这两个数的平方的差。由此猜想：。 【验证猜想】请你用多项式乘法法则验证上面的猜想： 【结论】平方差公式 。它是多项式乘法 中 、 的特殊情形。 新知应用一 1. 下列各式中，能用平方差公式计算的是（　　） A．　　　B．　　　C．　　　D． 2. 计算：（1）；　（2）。 探究二、平方差公式的结构特征——怎样确定 a 与 b 对照公式 ，思考下列问题： （1）公式左边的两个因式在结构上有什么特点？ （2）公式右边的结果与左边的两个因式有什么关系？ （3）运用公式时，怎样快速确定公式中的 与 ？ 【归纳】“一同一反”：两个二项式中符号完全相同的那一项看作 ，符号互为相反数的两项分别看作 与 。运算程序：看结构 → 定 、 → 写平方差 → 再平方。 【例题】例1　运用平方差公式计算： （1）；　（2）。 解：（1）； （2）。 【方法点拨】运用平方差公式的关键是准确确定 、。注意 ，，平方时不要漏掉系数。 新知应用二 3. 计算：（1）；　（2）。 4. 计算：（1）；　（2）。 5. 计算：（1）；　（2）。 6. 下列各式中，能用平方差公式计算的是 　　　　　　　　（填序号）。 （1）；　（2）；　（3）；　（4）。 7. 计算：（1）；　（2）。 【方法点拨】判断能否用公式，先看两个二项式是否“一项相同、另一项互为相反数”，确定 、 后再写平方差。 探究三、平方差公式的几何意义——数形结合 观察图①、图②，思考下列问题： （1）图①中阴影部分的面积怎样表示？ （2）沿图①中的虚线把阴影部分剪开，能否拼成图②这样的长方形？若能，拼成的长方形的长、宽各是多少？ （3）图②中长方形的面积是多少？它与图①中阴影部分的面积有什么关系？由此你能得到什么结论？ 【结论】从“形”的角度再一次验证了平方差公式，体现了数形结合的思想。 典例分析 例2　计算： （1）；　（2）；　（3）。 解：（1）把 与 中的 看作整体，连续两次使用公式： 原式； （2）原式； （3）原式。 【跟踪练习】计算：（1）；　（2）。 【方法点拨】连续使用平方差公式时，先把前两个因式结合，再把所得结果中的字母部分整体看作新的 ；进行数的简便计算时，先把两个乘数写成同一个数的“和”与“差”的形式。 例3　如图①，从边长为 的正方形纸片中剪去一个边长为 的小正方形，再沿线段 剪开，把剪成的两张纸片拼成如图②的等腰梯形。 （1）设图①中阴影部分的面积为 ，图②中阴影部分的面积为 ，请用含 、 的式子表示 、； （2）请写出上述过程所揭示的乘法公式。 变式训练 1. 计算：（1）；　（2）。 2. 已知 ，求代数式 的值。 【知识总结】 1. 平方差公式：；文字表述：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。 2. 结构特征——“一同一反”：符号相同的一项看作 ，互为相反数的两项看作 与 ，结果为“相同项的平方 相反项的平方”。 3. 运算程序：看结构（能否用公式）→ 定 、 → 写平方差 → 再平方（系数也要平方）。 4. 几何解释：，用面积割补验证公式，体现数形结合。 5. 易错点：找错 、；漏平方；系数未平方；符号出错；不符合“一同一反”却强用公式。 【课堂练习】 1. 下面的计算是否正确？如果不正确，应当怎样改正？ （1）；　（2）； （3）；　（4）。 2. 计算：（1）；　（2）； （3）；　（4）。 3. 运用平方差公式进行简便计算：（1）；　（2）；　（3）。 4.（2026•河南）下列式子中，运算结果为 的是（　　） A．　　　B．　　　C．　　　D． 5. 若 ，，则 的值为 　　　。 6.（拓展）已知 ，，求 的值，并求 的值。 7.（拓展）观察下列各式：；；…… （1）猜想：　　　　； （2）利用你发现的规律计算：。 8.（2026•河北）用运算律或乘法公式可以简化运算，例如：。 （1）证明 ，并用以上方法计算 ；（2）计算 。 【课后反思】本节课学习中，你有哪些收获，还有哪些问题？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 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