第十六章 整式的乘法 阅读与思考 杨辉三角 导学案 2026--2027学年人教版八年级数学上册

第十六章 整式的乘法

阅读与思考  杨辉三角

班级：__________  姓名：__________  学号：__________

 

【学习目标】

1. 了解杨辉三角的由来及我国古代数学成就，知道杨辉、贾宪与《详解九章算法》的基本史实，感受数学文化。

2. 通过观察杨辉三角的数阵，发现并归纳其基本构造规律：两腰为 1，其余每个数等于它上方左右两数之和。

3. 能把杨辉三角的第 n 行与 (a+b)ⁿ⁻¹ 展开式的系数对应起来，并会用“两数相加”的规则进行验证与纠错。

4. 在弹珠台、网格路径、遗传杂交等不同情境中辨认杨辉三角的结构，体会同一个数学模式在不同领域中的反复出现。

 

一、温故知新

1. 计算下列展开式，并把各项系数按顺序写在横线上（按 a 的降幂排列）：

 

(a+b)¹ = a + b，系数：__________

 

(a+b)² = a² + 2ab + b²，系数：__________

 

(a+b)³ = ________________________，系数：__________

 

(a+b)⁴ = ________________________，系数：__________

2. 如果把上面的系数按“下一行比上一行多一个数”的方式排列，你写出的第 5 行系数是什么？

 

 

二、阅读与探究

阅读教材“阅读与思考  杨辉三角”的内容，完成下列问题。

 

3. 杨辉三角是我国南宋数学家__________在《__________》一书中记载的。实际上，北宋数学家__________在《释锁算书》中更早给出了这一系数表，因此这个三角形也被称为“__________三角”。在欧洲，它被称为“帕斯卡三角”，帕斯卡建立一般正整数次幂的二项式定理的时间比杨辉的记载大约晚__________年。

 

 

4. 观察杨辉三角的前 6 行：

 

1
1  1
1  2  1
1  3  3  1
1  4  6  4  1
1  5  10  10  5  1

 

（1）杨辉三角两腰上的数字都是__________。

 

（2）除两腰外，其余每个数等于它上方__________之和。例如，第 4 行中的“3”等于第 3 行中的__________与__________的和。

 

（3）第 n 行（从上往下数，第 1 行为“1”）共有__________个数。

（4）把第 n 行的所有数字相加：第 1 行和为 1，第 2 行和为 2，第 3 行和为 4，第 4 行和为__________，第 5 行和为__________。你猜测第 n 行数字之和与 2 的幂有什么关系？

 

 

三、辨析与思考

5. 小明说：“杨辉三角的第 n 行数字，恰好就是 (a+b)ⁿ⁻¹ 展开式的系数。”你认为他说的对吗？请用第 4 行数字与 (a+b)³ 的展开式进行验证。

 

 

 

6. 小红在计算 (a+b)⁵ 时，直接查杨辉三角第 6 行得到系数 1，5，10，10，5，1，于是写出：

(a+b)⁵ = a⁵ + 5a⁴b + 10a³b² + 10a²b³ + 5ab⁴ + b⁵。

请你说一说，她这样做的依据是什么。如果她不小心把其中某一项的系数写错了，你可以用什么方法不用重新展开就能发现？

 

 

 

7. 判断下列说法是否正确（正确的画“√”，错误的画“×”）：

（1）杨辉三角中每一行的数字从左到右先增大后减小，并且左右对称。（  ）

 

（2）杨辉三角第 n 行所有数字之和等于 2ⁿ。（  ）

 

（3）如果把杨辉三角中的偶数全部去掉，剩下的数字分布会呈现出类似分形的自相似结构。（  ）