16.3 乘法公式 导学案2026-2027学年人教版数学八年级上册

人教版数学八年级上册 · 第十六章 整式的乘法 · 16.3 乘法公式（导学案） 第十六章 整式的乘法 16.3 乘法公式 · 导学案 2026—2027学年 人教版数学 八年级上册 姓名：____________ 班级：____________ 日期：____________ 第十六章 整式的乘法 · 第 3 节 · 3 课时 · 教材 P112—P118 上一节把整式的乘法走完了：单项式乘单项式、单项式乘多项式、多项式乘多项式。三种乘法一个比一个繁，可每一次都是"逐项相乘，再把所得的积相加"。这一节换一个思路：有几类乘法出现得特别勤，与其每一次都逐项展开，不如把它们的展开结果记成一个公式，以后见到这个样子就直接写出来。 这样的公式本节要认两个。一个是"和与差相乘"的平方差公式，一个是"同一个二项式自乘"的完全平方公式。两个公式都有自己的面积图，也都有自己的"样子"，认清了样子才不会用错。等到式子长得不像公式的时候，还要学第三件工具——添括号，用它把式子改造成公式的样子再算。三件工具齐了，本节的内容也就成形了。 学习目标 1. 经历"算几组结构相同的式子、从结果里找共同点、再用面积图说明它不是巧合"的过程，理解并记住平方差公式 (a + b)(a - b) = - 。 2. 会看平方差公式的样子：左边是两个二项式相乘，其中一项在两个因式里完全相同、另一项互为相反数；右边是这两项的平方差。 3. 会用平方差公式做简单计算、连续运算与简便运算，也会判断一道乘法能不能用公式，不能用的就按整式的乘法照算。 4. 理解并记住完全平方公式 = + 2ab + 与 = - 2ab + ，知道它与平方差公式的区别。 5. 会从"首项、尾项、两项的积的 2 倍"这三处认完全平方公式，展开时中间那一项不丢、符号不错。 6. 掌握添括号法则：括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号；并会用去括号走回去检验。 7. 会先添括号、再把式子化成公式的样子，用它算 (x + 2y - 3)(x - 2y + 3)、 这类式子。 8. 会借助面积图说明两个公式为什么成立，并在算完以后回头查一查：中间项有没有丢，符号有没有错。 学习重点与难点 项目 内容 学习重点 平方差公式与完全平方公式的得出、识别与运用；添括号法则的运用；把"不像公式"的式子通过添括号化成公式的样子再计算 学习难点 第一，两个公式的样子容易混：和与差相乘用平方差公式，同一个二项式自乘用完全平方公式，动手前要先认结构；第二，平方差公式的右边只有两项，常常漏掉一个平方，也常常把 (a + b)(-a - b) 这类没有相同项的式子当成能用的；第三，完全平方公式的右边有三项，中间那一项最容易丢，而且它的符号跟着括号里的号走；第四，公式里的 a 与 b 是"位置上的项"，找到它们时要连系数带符号一起看， 里的 3 也要平方；第五，添括号时括号前是负号，括进去的每一项都要变号，添完要用去括号回去检验一遍 课时与教材页码 课时 教材页码 这一课时要弄明白的事 打勾 第 1 课时　平方差公式 P112—P114 由三组结构相同的乘法算式找出共同点，得 (a + b)(a - b) = - ；用面积图说明它成立；认清左边的两个位置；课本 P112 例 1、课本 P113 例 2，课本 P113 练习 第 1 题、课本 P114 练习 第 2、3 题 ○ 第 2 课时　完全平方公式 P114—P116 由四组算式得 = + 2ab + 与 = - 2ab + ；用面积图说明它成立；看清首项、尾项与两项的积的 2 倍；课本 P115 例 3、例 4，课本 P115 练习 第 1 题、课本 P116 练习 第 2、3 题 ○ 第 3 课时　添括号法则与综合运用 P116—P117 学会添括号法则并用去括号检验；把长得不像公式的式子改造成公式的样子；课本 P116 例 5，课本 P117 练习 第 1、2、3 题 ○ 本节三件工具（如图 1）：前两件是公式，各管一类常见的乘法；第三件是添括号，给那些长得不像公式的式子做改造。 图 1 本节三件工具：两个公式与添括号 起跑热身 1. 计算：(x + 1)(x - 1) = ______；(m + 2)(m - 2) = ______；(2x + 1)(2x - 1) = ______。 2. 计算：(a + b)(a - b) = ______（逐项乘开，再把中间两项合并）。 3. 填空：边长 a 的正方形面积是 ______；边长 b 的正方形面积是 ______；前一个面积减去后一个面积，差是 ______。 4. 计算： = ______（写成 (a + b)(a + b)，逐项乘开再合并同类项）。 5. 填空：去括号——a + (b + c) = ______；a - (b + c) = ______。 6. 填空：102 × 98 可以改写成 ______ × ______，也就是"两个数的和乘这两个数的差"的样子。 7. 想一想：把上一题的式子按整式的乘法逐项乘开，中间两项会怎样？先猜一猜，第 1 课时会给出一个更快的算法。 我的热身答案: 【预习提醒】热身第 1 题： - 1； - 4；4 - 1。第 2 题：(a + b)(a - b) = - ab + ab - = - ，中间两项正好抵消。第 3 题：；； - 。第 4 题： = + ab + ab + = + 2ab + 。第 5 题：a + b + c；a - b - c（括号前是负号，括号里两项都要变号）。第 6 题：102 = 100 + 2，98 = 100 - 2，所以写成 (100 + 2)×(100 - 2)。第 7 题：中间的两项是 +2 × 100 与 -2 × 100，相加抵消，只剩 - = 9996。这正是第 1 课时要讲的平方差公式：和与差相乘，中间的交叉项一正一负，正好抵消。 一、公式一 · 平方差公式 这一课时的路子和上一节不太一样：上一节拿到式子就逐项乘开，这一课时先算几组结构相同的式子，从结果里找共同点，再想办法说明这个共同点不是碰巧。找出来的共同点，就是一个新公式。 先把三组式子算出来，别急着下结论，把每一题的结果并排摆着看：三道题的结果有什么相同的地方，又省掉了哪一部分。 1. 算三组式子（课本 P112 探究）：(x + 1)(x - 1)；(m + 2)(m - 2)；(2x + 1)(2x - 1)。 逐题乘开：(x + 1)(x - 1) = - x + x - 1 = - 1；(m + 2)(m - 2) = - 4；(2x + 1)(2x - 1) = 4 - 1。 三题的结果都只剩两项，而且都是"平方减平方"：前一项是两个因式里相同的那个字母的平方，后一项是两个因式里符号相反的那个数的平方。至于中间那两项，一个带正号、一个带负号，相加正好抵消。 2. 把共同点写成字母式（课本 P112）：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差，即 (a + b)(a - b) = - 。这就是平方差公式。 把左边拆开看更清楚：(a + b)(a - b) 逐项乘开会得到 、-ab、+ab、- 四项，其中 -ab 与 +ab 相乘后互为相反数、相加为零，所以右边只剩 - 两项。公式里的 a 与 b 不只是单个字母，也可以是一个数、一个含字母的式子，甚至一整个括号——只要在两个因式里处在相同的位置上就行。 3. 用面积图说明它成立（如图 2）：拿一张边长为 a 的正方形纸片，剪去一个边长为 b 的小正方形，剩下的部分像个拐角。 图 2 平方差的面积说明：挖去小正方形，再剪拼成长方形 把这个拐角沿一条线剪开，可以拼成一个长方形。量一量拼成的长方形：长是 a + b，宽是 a - b。剪拼前后纸片没有增减，面积一样大，所以 - 与 (a + b)(a - b) 说的是同一件事。 4. 认清左边的样子（如图 3）：两个因式按位置摆开，处在相同位置上的项完全一样，处在另一个位置上的项只差一个号。 图 3 平方差公式的结构：按位置把两个因式摆开 看式子时先问两句：哪一项在两个因式里完全相同？哪一项在两个因式里互为相反数？前一项就是公式里的 a，后一项就是公式里的 b。找对了 a 与 b，结果就是"相同项的平方减去相反项的平方"。 【识别提醒】如果两个因式里既没有相同的项、又没有互为相反数的项，就用不上这个公式。比如 (a + 2)(a - 3)：前一项都是 a，后一项是 2 与 -3，既不相反也不相同，只能按整式的乘法逐项乘开。再比如 (x + 2y)(-x - 2y)：两项都互为相反数，也没有相同的项，同样用不上。动手前先看一眼结构，这一步只花几秒，却能省下不少改错的时间。 5. 例题（课本 P112 例 1）：计算：(1) (3x + 2)(3x - 2)；(2) (-x + 2y)(-x - 2y)。 分析与解答：(1) 相同项是 3x，把它当 a；相反项是 2，把它当 b。原式 = - = 9 - 4。(2) 相同项是 -x，把它当 a；相反项是 2y，把它当 b。原式 = - = - 4。 【解题提醒】第 (1) 小题的 3x 要整体当 a，平方时写成 = 9，系数 3 也要平方，别写成 3。第 (2) 小题的相同项是 -x， = ，结果是正的。两小题都提醒同一件事：找 a 与 b 时，要把整个项连系数带符号一起看。 我的例题解答: 6. 例题（课本 P113 例 2）：计算：(1) (x - 1)(x + 1)( + 1)；(2) (y + 2)(y - 2) - (y - 1)(y + 5)；(3) 102 × 98。 分析与解答：(1) 三个因式相乘，前两个正好符合公式的样子：先算 (x - 1)(x + 1) = - 1；再乘 ( + 1)，又符合公式，得 - = - 1。(2) 前一个积用公式得 - 4；后一个积的两个因式既没有相同项也没有相反数，只能用整式的乘法逐项乘开，得 + 4y - 5。两式相减： - 4 - ( + 4y - 5) = - 4 - - 4y + 5 = -4y + 1。(3) 把 102 与 98 分别改写成 100 + 2 与 100 - 2，就凑成了"两个数的和乘这两个数的差"：102 × 98 = (100 + 2)(100 - 2) = - = 10000 - 4 = 9996。 【解题提醒】第 (2) 小题最容易在去括号那一步出错：括号前面是减号，括号里每一项都要变号，-4 与 +5 一个也不能漏改。第 (3) 小题叫简便运算，办法就是先看能不能改写成公式的样子，能改就改，改不了就老老实实按整式的乘法算。 我的例题解答: 7. 即时练习 1. 练习（课本 P113 练习 第 1 题）：下面的计算是否正确？如果不正确，应当怎样改正？(1) (x + 2)(x - 2) = - 2；(2) (-a - 2)(a - 2) = - 4；(3) (x + 2y)(-x - 2y) = - 4；(4) (3a + 4b)(3a - 4b) = 9 - 4。 2. 练习（课本 P114 练习 第 2 题）：运用平方差公式计算：(1) (a + 3b)(a - 3b)；(2) (3 + 2a)(-3 + 2a)；(3) (xy + 1)( + 1)(xy - 1)；(4) (3x + 4)(3x - 4) - (2x + 3)(3x - 2)。 3. 练习（课本 P114 练习 第 3 题）：运用平方差公式计算：(1) 51 × 49；(2) 200 又 × 199 又 。 我的练习答案: 【解题提醒】第 1 题逐题查：(1) 右边漏了平方，应为 - 4；(2) 相同项是 -2、相反项是 a，应为 - = 4 - ；(3) 两个因式的两项都互为相反数，没有相同的项，用不上公式，按整式的乘法算得 - - 4xy - 4；(4) 右边末项漏了平方，应为 9 - 16。第 2 题：(1) - 9；(2) 相同项是 2a、相反项是 3，得 - = 4 - 9；(3) 先把 (xy + 1)(xy - 1) 算成 - 1，再乘 ( + 1)，得 - 1；(4) 前一个积得 9 - 16，后一个积按整式的乘法得 6 + 5x - 6，相减得 3 - 5x - 10。第 3 题：(1) (50 + 1)(50 - 1) = 2500 - 1 = 2499；(2) = 40000 - = 39999 又 。 两个因式里的一项 另一个位置的项 能不能用公式 结果 完全相同（当 a） 互为相反数（当 b） 能用 相同项的平方 - 相反项的平方 不完全相同 也不是相反数 不能用 按整式的乘法逐项乘开 互为相反数 也互为相反数 不能用 按整式的乘法逐项乘开 8. 自主小结：把平方差公式左边与右边的样子各说一句；再想一想——当相同项带着系数时，平方的时候要注意什么？当给出的式子长成 (x + 2)(x - 3) 这样时，为什么用不上公式？ 我的小结: 二、公式二 · 完全平方公式 第一个公式管的是"和与差相乘"。如果两个因式一模一样，也就是一个二项式自己乘自己，那么按上一课时的办法去找"相同的项"与"相反的项"就找不到了——两个因式的每一项都相同。这一类乘法也有自己的规律，就是本节要认的第二个公式。 还是老路子：先把几组式子算出来，看看结果有哪几项，再想办法用面积图说明它为什么成立。 1. 算四组式子（课本 P114 探究）：；；；。 逐题乘开： = (p + 1)(p + 1) = + 2p + 1； = + 4m + 4； = - 2p + 1； = - 4m + 4。 四题的结果都是三项：第一项是第一个数的平方，最后一项是第二个数的平方，中间一项是这两个数的积的 2 倍。前两题括号里是加号，中间一项也是加；后两题括号里是减号，中间一项也是减。 2. 写成公式（课本 P114）：两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的 2 倍，即 = + 2ab + ， = - 2ab + 。这两个式子合称完全平方公式。 记住三个位置：首项平方、尾项平方、两项的积的 2 倍放中间。口诀只帮记忆，动手时还要多问一句——中间那一项的符号跟着括号里的号走：括号里是加号，中间那一项就是加；括号里是减号，中间那一项就是减。另外别忘了一件事：无论括号里是加还是减，最后一项都是正的，因为它是平方。 3. 用面积图说明它成立（如图 4）：把边长为 a + b 的大正方形，按 a 与 b 这两段分别横竖各切一刀，分成四块。 图 4 完全平方的面积说明：边长 a + b 的正方形分成四块 看这四块的边：左上角一块的边都是 a，右上角与左下角两块都是一边 a 一边 b，右下角一块的边都是 b。四块合起来还是那个大正方形，面积没有增减，所以大正方形的面积可以写成四块面积的和， 就拆成了 、ab、ab、 四块，其中两块 ab 可以合起来写成 2ab。 4. 看清三个位置（如图 5）：一个二项式自乘，先把两项认出来，再去找中间那一项。 图 5 完全平方公式的结构：首项、尾项与两项的积的 2 倍 把括号里的第一个数叫首项、第二个数叫尾项。结果里首项的平方与尾项的平方各占一项，中间那一项等于首项乘尾项再乘 2。认这三个位置时同样要连系数带符号一起看：比如 里的首项是 4m，首项平方要写成 = 16。 5. 思考（课本 P115）：先判断，再说明理由。 ① 与 相等吗？______（填"相等"或"不相等"） ② 与 相等吗？______ ③ 与 - 相等吗？______ 第 ③ 问是最要紧的一问：完全平方公式的结果有三项，而平方差公式的结果只有两项，两个式子长得也不一样，一定要分清楚。 我的思考与理由: 6. 例题（课本 P115 例 3）：计算：(1) ；(2) 。 分析与解答：(1) 首项是 4m、尾项是 n。原式 = + 2 × (4m) × n + = 16 + 8mn + 。(2) 首项是 y、尾项是 。原式 = - 2 × y × + = - y + 。 【解题提醒】第 (1) 小题的 4m 要整体当首项，平方得 16；中间那一项是 2 × 4m × n = 8mn，系数别漏乘。第 (2) 小题的尾项是分数 ，尾项平方得 ；中间那一项 2 × y × 正好把 2 与 抵消，剩下 -y，这一步是很多人丢分的地方。 我的例题解答: 7. 例题（课本 P115 例 4）：用简便方法计算：(1) ；(2) 。 分析与解答：(1) 把 102 写成 100 + 2，原式 = = + 2 × 100 × 2 + = 10000 + 400 + 4 = 10404。(2) 把 99 写成 100 - 1，原式 = = - 2 × 100 × 1 + = 10000 - 200 + 1 = 9801。 【解题提醒】简便运算的关键是"就近改写"：把一个接近整十、整百的数写成"整十整百加上或减去一个小数"。改写成和的形式就用 ，改写成差的形式就用 。算完别忘了最后一项是正的：第 (2) 小题是 10000 - 200 + 1，那个 +1 很容易漏。 我的例题解答: 8. 即时练习 1. 练习（课本 P115 练习 第 1 题）：下面的计算是否正确？如果不正确，应当怎样改正？(1) = + ；(2) = - ab + 。 2. 练习（课本 P116 练习 第 2 题）：运用完全平方公式计算：(1) ；(2) ；(3) ；(4) 。 3. 练习（课本 P116 练习 第 3 题）：用简便方法计算：(1) ；(2) 。 我的练习答案: 【解题提醒】第 1 题：(1) 漏了中间那一项，应为 + 2ab + ；(2) 中间那一项少乘了 2，应为 - 2ab + 。第 2 题：(1) + 12x + 36；(2) - 10y + 25；(3) 把 -2x 当首项， = 4，中间那一项是 2 × (-2x) × 5 = -20x，得 4 - 20x + 25；(4) 首项 x 平方得 ，中间那一项是 2 × x × y = xy，尾项 y 平方得 ，得 - xy + 。第 3 题：(1) = 10000 - 400 + 4 = 9604；(2) = 4900 + 70 + 0.25 = 4970.25。 位置 这一项是什么 符号怎么定 首项 括号里第一个数的平方 永远为正 尾项 括号里第二个数的平方 永远为正 中间那一项 首项乘尾项再乘 2 跟着括号里的号走：括号里是加号就加，是减号就减 9. 阅读与思考：杨辉三角。课本 16.3.2 后面有一段阅读材料，讲的是我国古代数学家发现的一个数表。 这个数表的两腰都是 1，其余每个数都等于它"两肩"上两个数的和；从上往下数，第 3 行的三个数 1、2、1 正好是完全平方公式 = + 2ab + 展开式里各项的系数，第 4 行的四个数 1、3、3、1 又对应 展开式里各项的系数，再往下每一行都有对应的展开式。 这份材料是我国南宋数学家杨辉在《详解九章算法》里记载的，书中说明在他之前贾宪已经用过这个办法，所以这个数表也叫"贾宪三角"；在欧洲它被称为"帕斯卡三角"，比杨辉的记载晚了几百年。读它的时候不用背，只要动手把第 4 行、第 5 行按"两肩相加"的规则写出来，再对着 的展开式核一核就行。 10. 自主小结：把完全平方公式的两个式子默写一遍；再想一想——如果括号里两项都带着负号，比如 ，结果里的中间那一项是正是负？把它与 比一比，你会有什么发现？ 我的小结: 三、一把改锥 · 添括号法则 两个公式认清了，还会遇到一种情况：式子的长相和公式差一点点，直接套用会套错。比如 (x + 2y - 3)(x - 2y + 3)，一眼看不出哪一项相同、哪一项相反；再比如 ，括号里是三项，公式里只有两项。这时候需要的不是新公式，而是一件能把式子的长相改一改的工具。 这件工具就是添括号：给式子的某几项加上一对括号，式子的值不变，可长相变了。添括号不是凭空来的，它就是去括号反过来走。 1. 先去括号（复习）：a + (b + c) = a + b + c；a - (b + c) = a - b - c。括号前面是正号，去掉括号后括号里各项都不变号；括号前面是负号，去掉括号后括号里各项都变号。 2. 把两个等式反过来读（课本 P116）：a + b + c 可以写成 a + (b + c)；a - b - c 可以写成 a - (b + c)。这就是添括号。 3. 添括号法则（课本 P116）：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号。简记为"负变正不变"。 添括号只是给式子换一种写法，式子的值一点没有变，所以可以用去括号走回去检验：添完括号以后，把括号去掉重算一遍，如果回到原来那个式子，说明括号添对了。另外要留心一件事：添括号时必须把那一段整体圈起来，符号跟着括号前面那个号一起判断，不能只看一项。 4. 两条路（如图 6）：括号前面放正号与放负号，括号里的式子写法不一样。 图 6 添括号的两条路：括号前是正号与括号前是负号 对着图看：同一个式子 a + b + c，添上正号括起来还是 a + (b + c)；而 a - b - c 要添成 a - (b + c)，把已经变了号的 b、c 再变一次，负负得正，回去才对得上。 5. 检验的办法（如图 7）：添完括号以后，用去括号走回去看一看。 图 7 添括号与去括号的检验关系：两个方向来回走一遍 两个方向是配着用的：从原来的式子往外走叫添括号，从添好括号的式子往回走叫去括号检验。来回走一遍回到原处，括号就添对了。 6. 例题（课本 P116 例 5）：运用乘法公式计算：(1) (x + 2y - 3)(x - 2y + 3)；(2) 。 分析与解答：(1) 先观察两个因式：第一个因式里是 +2y 与 -3，第二个因式里是 -2y 与 +3，如果把 2y - 3 看成一整段，两个因式就成了 [x + (2y - 3)] 与 [x - (2y - 3)]，正好是"和与差相乘"。原式 = - = - (4 - 12y + 9) = - 4 + 12y - 9。(2) 把 a + b 看成一整段，原式 = = + 2(a + b)c + = + 2ab + + 2ac + 2bc + 。 【解题提醒】第 (1) 小题有两处容易错：一是添括号时 (2y - 3) 整体带出去，别把 -3 落下；二是最后去括号， - (4 - 12y + 9) 里括号前面是负号，三项都要变号，写成 - 4 + 12y - 9，那个 +12y 与 -9 常被写反。第 (2) 小题把 a + b 整段当首项、c 当尾项，中间那一项是 2(a + b)c，展开后是 2ac + 2bc 两项，别当成一项。 我的例题解答: 7. 即时练习 1. 练习（课本 P117 练习 第 1 题）：在等号右边的括号里填上适当的项：(1) a + b - c = a + (______)；(2) a - b + c = a - (______)；(3) a + b - c = a - (______)；(4) a + b + c = a - (______)。 2. 练习（课本 P117 练习 第 2 题）：运用乘法公式计算：(1) (x + y - 1)(x - y - 1)；(2) (2x + y + z)(2x - y - z)。 3. 练习（课本 P117 练习 第 3 题）：运用乘法公式计算：(1) ；(2) 。 我的练习答案: 【解题提醒】第 1 题：(1) b - c；(2) b - c；(3) -b + c；(4) -b - c。第 (3) (4) 小题括号前是负号，填进去的每一项都要带上相反的号。第 2 题：(1) 把 x - 1 看成一整段，原式 = - = - 2x + 1 - ；(2) 把 y + z 看成一整段，原式 = - = 4 - - 2yz - 。第 3 题：(1) 原式 = = + 4ab + 4 - 2a - 4b + 1；(2) 原式 = = 4 - 4xy + + 4x - 2y + 1。 括号前面 括到括号里的各项 检验的办法 正号 都不变符号 把括号去掉，各项照抄，应当回到原式 负号 都改变符号 把括号去掉，各项变号，应当回到原式 8. 自主小结：把添括号法则默写一遍，再写一句"为什么添完括号要用去括号检验"。 我的小结: 四、三个公式摆一起比 三件工具齐了，还差最后一步：把它们摆在一起比一比。式子长得像谁，就用谁；长得都不像，就先用添括号改造成像谁。这一步做熟了，本节的计算就基本不会用错工具。 比的时候主要看两处：左边是"两个因式相乘"还是"一个二项式自乘"，右边的结果有两项还是三项。看左边决定用哪个公式，看右边的项数可以回头检查有没有算漏。 1. 三个左边形式（如图 8）：和与差相乘、两个数的和的平方、两个数的差的平方，样子各不相同。 图 8 三个左边形式的对照：和与差相乘与一个二项式自乘 2. 三个公式并排摆着看： 公式 左边的样子 右边的结果 右边的项数 平方差公式 两个因式相乘，一项相同、另一项互为相反数 相同项的平方 - 相反项的平方 两项 完全平方公式（和） 一个二项式自乘，括号里是加号 首项平方 + 两项的积的 2 倍 + 尾项平方 三项 完全平方公式（差） 一个二项式自乘，括号里是减号 首项平方 - 两项的积的 2 倍 + 尾项平方 三项 3. 逐条辨一辨 ① 看左边：两个括号中间是乘号，括号里各有一项相同、另一项只差一个号——用平方差公式；一个括号后面跟着平方，括号里是两项——用完全平方公式。 ② 看右边：平方差公式的结果一定只有两项，完全平方公式的结果一定是三项。算完以后数一数项数，是最省事的自检办法。 ③ 看中间那一项：完全平方公式的中间项等于首项乘尾项再乘 2，符号跟括号里的号走；平方差公式没有中间项，它的中间两项正好互相抵消了。 ④ 看式子像不像：两个因式的两项都互为相反数（如 (x + 2y)(-x - 2y)），或者后一项既不相同也不相反（如 (a + 2)(a - 3)），都不能用公式，要按整式的乘法照算。 ⑤ 看能不能改造：括号里出现三项，或者两个因式里的对应项换了个位置，先想想能不能用添括号，把它变成上面三种样子之一。 4. 辨一辨再算一算：下面的式子分别该用哪个公式？先写出用的是哪一个，再算出结果。 (1) (2x + 1)(2x - 1)；(2) ；(3) ；(4) (2x + 1)(-2x - 1)；(5) (a + b - 2)(a - b + 2)。 我的辨别与解答: 【辨析提醒】(1) 和与差相乘，用平方差公式，得 4 - 1。(2) 一个二项式自乘且括号里是加号，得 4 + 4x + 1。(3) 一个二项式自乘且括号里是减号，得 4 - 4x + 1。(4) 两个因式的两项都互为相反数，没有相同的项，用不上公式，按整式的乘法算得 -4 - 4x - 1。(5) 把 b - 2 看成一整段，原式 = - = - + 4b - 4。 五、易错六问 下面六处是本节做题时最容易踩的地方。每一条都分成三栏：错法、错在哪里、怎么改。做题时如果某一道题怎么算都不顺，可以回来对一对，多半是撞上了其中一条。 对完以后不用急着往下走，先把撞上的那一条用一句话说出来——能说清错在哪里，下一次才不容易再犯。 错法 错在哪里 怎么改 ① 两个公式混着用 把 (a + b)(a - b) 当成能套完全平方公式，或者把 当成平方差公式算 先看左边：两个因式相乘看平方差公式，一个二项式自乘看完全平方公式 ② 平方差公式右边只写一半 把 (x + 2)(x - 2) 算成 - 2 或 2 - 4 右边是"相同项的平方减相反项的平方"，两项都要平方 ③ 完全平方公式漏中间项 把 算成 + 右边一共三项，中间那一项是首项乘尾项再乘 2，一项也不能少 ④ 中间那一项的符号弄反 把 算成 + 2ab + 中间那一项的符号跟着括号里的号走：括号里是减号，中间就是减 ⑤ 公式里的 a 与 b 找错 把 写成 3，或者把 写成 - 找 a 与 b 要连系数带符号一起看，平方时整个项都要平方 ⑥ 添括号时只改第一项 把 a - b + c 添成 a - (b + c)，只改了 b 的号 括号前是负号，括进去的每一项都要变号，添完用去括号走回去检验 自查：上面的六条里，本节你做错过的有哪几条？把序号写下来，再各写一句"下一次怎么躲开它"。 我的易错自查: 【自查提醒】这六条里，第 ③ ④ 两条出现得最多，而且都出在"中间那一项"上：一个是漏掉，一个是符号写反。养成一个习惯——写完完全平方公式以后，先看中间那一项在不在、符号对不对，再看两边两个平方对不对。第 ⑥ 条则提醒一件事：添括号以后一定要用去括号走回去，这一步只需几秒，却能立刻发现问题。 六、作业与自我评价 做作业有个顺序建议：先按课时把课本上的练习过一遍，再做《习题16.3》第 1 至 3 题，它们依次对着平方差公式、完全平方公式与两个公式的混用；最后做第 4 至 8 题，这几题要把公式与添括号连起来用。题面里若注明"图形见课本"，就翻到课本那一页对照着做。 动笔前先问自己两句：这个式子的左边是"两个因式相乘"还是"一个二项式自乘"？括号里的项数是不是刚好两项？答完再决定用哪个公式、要不要先添括号。 《习题16.3》全览（课本 P117—P118，共 8 题） 题号 教材页码 这一题要做什么 打勾 第 1 题 P117 复习巩固：运用平方差公式计算，六道小题，含简便运算 ○ 第 2 题 P117 复习巩固：运用完全平方公式计算，六道小题，含简便运算 ○ 第 3 题 P117 复习巩固：运用乘法公式计算，四道小题，含三项式的平方 ○ 第 4 题 P117—P118 综合运用：先化简，再求值 ○ 第 5 题 P118 综合运用：由面积的变化列式，求正方形纸片的边长 ○ 第 6 题 P118 综合运用：圆形钢板挖去两个小圆，求剩余面积（要翻课本看原图） ○ 第 7 题 P118 综合运用：由和与积整体求平方和 ○ 第 8 题 P118 拓广探索：从三个算式中找规律，并用规律求一串幂的和 ○ 1. 习题16.3 第 1 题（课本 P117）：运用平方差公式计算：(1) ；(2) ( + 1)( - 1)；(3) (2a - 3b)(3b + 2a)；(4) (-2b - 5)(2b - 5)；(5) 100.5 × 99.5；(6) 998 × 1002。 2. 习题16.3 第 2 题（课本 P117）：运用完全平方公式计算：(1) ；(2) ；(3) ；(4) ；(5) ；(6) 。 3. 习题16.3 第 3 题（课本 P117）：运用乘法公式计算：(1) - ；(2) (x + y + 1)(x + y - 1)；(3) ；(4) 。 4. 习题16.3 第 4 题（课本 P117—P118）：先化简，再求值： - (2x + y)(2x - y)，其中 x = ，y = -。 5. 习题16.3 第 5 题（课本 P118）：一个正方形纸片的边长增加 3 cm，它的面积就增加 39 ，这个正方形纸片的边长是多少？ 6. 习题16.3 第 6 题（课本 P118）：一块直径为 (a + b) cm 的圆形钢板，从中挖去直径分别为 a cm 与 b cm 的两个圆，求剩下的钢板的面积。（图形见课本 P118 第 6 题。） 7. 习题16.3 第 7 题（课本 P118）：已知 a + b = 5，ab = 3，求 + 的值。 8. 习题16.3 第 8 题（课本 P118）：计算下列式子：(x - 1)(x + 1)；(x - 1)( + x + 1)；(x - 1)( + + x + 1)；…。你能发现什么规律？验证你发现的规律，并利用你发现的规律计算 + + + … + 2 + 1。 我的作业记录: 分层练习 A 组（必做·把两个公式用熟） 1. 计算：(1) (a + 5)(a - 5)；(2) ；(3) (3m + 2)(3m - 2)；(4) 。 2. 用简便方法计算：(1) 103 × 97；(2) 。 3. 在等号右边的括号里填上适当的项：(1) a + b - 2 = a + (______)；(2) a - b + 2 = a - (______)。 我的 A 组解答: B 组（选做·把变形与整体看清） 1. 计算：(1) (x + 3)(x - 3)( + 9)；(2) 。 2. 先化简，再求值： - (x + 1)(x - 1)，其中 x = -2。 3. 已知 = 25，ab = 6，求 + 的值。 我的 B 组解答: C 组（挑战·把公式倒过来用） 1. 计算： - 2 × 2024 × 2023 + 。 2. 已知 x + y = 4，求 (x + y - 3)(x + y + 3) 的值。 3. 已知 a - b = 3，求 - - 6b 的值。 我的 C 组解答: 【挑战提醒】C 组第 1 题把式子看成"首项平方减中间那一项加尾项平方"的样子，也就是 ，比值直接算快得多。C 组第 2 题不必知道 x、y 各是多少，把 x + y 整段代入就行。C 组第 3 题先看到 - 可以写成 (a + b)(a - b)，再用 a - b = 3 把式子换成只含 a + b 的形式。 评价项目 自评 会说出平方差公式左边与右边的样子，并能判断一道乘法能不能用它 ○ 会用面积图说明平方差公式为什么成立 ○ 会说出完全平方公式的三个位置，展开时中间那一项不丢 ○ 会判断中间那一项的符号，最后一项知道是正的 ○ 能用简便方法算 、、103 × 97 这一类题 ○ 会说出添括号法则，添完会用去括号走回去检验 ○ 会用添括号把三项的式子变成公式的样子再计算 ○ 能在三个公式之间做选择，算完会回头查项数与符号 ○ 学习反思：写两句——两个公式里哪一个你用着更顺手？哪一处最容易踩坑，还需要再练几道题？ 我的学习反思: 七、参考答案 （一）学习目标与起跑热身 （1）热身第 1 题： - 1； - 4；4 - 1。（2）第 2 题： - 。（3）第 3 题：；； - 。（4）第 4 题： + 2ab + 。（5）第 5 题：a + b + c；a - b - c。（6）第 6 题：(100 + 2)×(100 - 2)。（7）第 7 题：中间的两项是 +2 × 100 与 -2 × 100，相加抵消，只剩 - = 9996。 （二）公式一 · 平方差公式 （1）三组式子的结果： - 1； - 4；4 - 1，共同点是"平方减平方"。 （2）公式：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差，即 (a + b)(a - b) = - 。 （3）面积图：边长 a 的正方形挖去边长 b 的小正方形以后，剩下的部分剪拼成长 a + b、宽 a - b 的长方形，剪拼前后面积一样大，所以 - 与 (a + b)(a - b) 说的是同一件事。 （4）例题（课本 P112 例 1）：(1) - = 9 - 4；(2) - = - 4。 （5）例题（课本 P113 例 2）：(1) ( - 1)( + 1) = - 1；(2) ( - 4) - ( + 4y - 5) = -4y + 1；(3) (100 + 2)(100 - 2) = - = 9996。 （6）练习（课本 P113 练习 第 1 题）：(1) 错，应为 - 4；(2) 错，应为 4 - ；(3) 错，两个因式的两项都互为相反数，没有相同的项，按整式的乘法算得 - - 4xy - 4；(4) 错，末项漏了平方，应为 9 - 16。 （7）练习（课本 P114 练习 第 2 题）：(1) - 9；(2) - = 4 - 9；(3) ( - 1)( + 1) = - 1；(4) (9 - 16) - (6 + 5x - 6) = 3 - 5x - 10。 （8）练习（课本 P114 练习 第 3 题）：(1) (50 + 1)(50 - 1) = 2500 - 1 = 2499；(2) = 40000 - = 39999 又 。 （三）公式二 · 完全平方公式 （1）四组式子的结果： + 2p + 1； + 4m + 4； - 2p + 1； - 4m + 4，都是三项，中间那一项的符号跟着括号里的号走。 （2）公式： = + 2ab + ； = - 2ab + 。 （3）面积图：边长 a + b 的大正方形被横竖各切一刀分成四块，左上角是边长为 a 的正方形，右下角是边长为 b 的正方形，另外两块都是一边 a 一边 b 的长方形，四块合起来就是 = + 2ab + 。 （4）思考（课本 P115）：① 相等， 与 只是括号里各项都取了相反数，互为相反数的两个数的平方相等；② 相等，理由同上；③ 不相等，比如 a = 3、b = 1 时， = 4，而 - = 8。 （5）例题（课本 P115 例 3）：(1) + 2 × (4m) × n + = 16 + 8mn + ；(2) - 2 × y × + = - y + 。 （6）例题（课本 P115 例 4）：(1) = 10000 + 400 + 4 = 10404；(2) = 10000 - 200 + 1 = 9801。 （7）练习（课本 P115 练习 第 1 题）：(1) 错，漏了中间那一项，应为 + 2ab + ；(2) 错，中间那一项少乘了 2，应为 - 2ab + 。 （8）练习（课本 P116 练习 第 2 题）：(1) + 12x + 36；(2) - 10y + 25；(3) 4 - 20x + 25；(4) - xy + 。 （9）练习（课本 P116 练习 第 3 题）：(1) = 10000 - 400 + 4 = 9604；(2) = 4900 + 70 + 0.25 = 4970.25。 （10）阅读与思考：杨辉三角的两腰都是 1，其余每个数等于它两肩上两个数的和；第 3 行的 1、2、1 对应 展开式各项的系数，第 4 行的 1、3、3、1 对应 展开式各项的系数。 （四）一把改锥 · 添括号法则 （1）添括号法则：括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号。 （2）检验：添完括号以后把括号去掉，如果回到原来那个式子，就说明括号添对了。 （3）例题（课本 P116 例 5）：(1) [x + (2y - 3)][x - (2y - 3)] = - = - (4 - 12y + 9) = - 4 + 12y - 9；(2) = + 2(a + b)c + = + 2ab + + 2ac + 2bc + 。 （4）练习（课本 P117 练习 第 1 题）：(1) b - c；(2) b - c；(3) -b + c；(4) -b - c。 （5）练习（课本 P117 练习 第 2 题）：(1) - = - 2x + 1 - ；(2) - = 4 - - 2yz - 。 （6）练习（课本 P117 练习 第 3 题）：(1) = + 4ab + 4 - 2a - 4b + 1；(2) = 4 - 4xy + + 4x - 2y + 1。 （五）三个公式摆一起比 （1）平方差公式的结果是两项，完全平方公式的结果是三项。 （2）辨一辨的答案：(1) 平方差公式，4 - 1；(2) 完全平方公式，4 + 4x + 1；(3) 完全平方公式，4 - 4x + 1；(4) 用不上公式，按整式的乘法算得 -4 - 4x - 1；(5) 先添括号，原式 = - = - + 4b - 4。 （六）易错六问 （1）六条依次是：两个公式混着用；平方差公式右边只写一半；完全平方公式漏中间项；中间那一项的符号弄反；公式里的 a 与 b 找错；添括号时只改第一项。 （2）出现最多的两条是漏中间项与中间项符号写反，写完完全平方公式以后先查这两处。 （七）《习题16.3》与自我评价 （1）第 1 题：(1) - ；(2) - 1；(3) (2a - 3b)(2a + 3b) = 4 - 9；(4) (-2b - 5)(2b - 5) = -(2b + 5)(2b - 5) = 25 - 4；(5) (100 + 0.5)(100 - 0.5) = 10000 - 0.25 = 9999.75；(6) (1000 - 2)(1000 + 2) = 1000000 - 4 = 999996。 （2）第 2 题：(1) 4 + 20ab + 25；(2) 16 - 24xy + 9；(3) 4 + 4m + 1；(4) - 2ab + ；(5) = 3600 + 360 + 9 = 3969；(6) = 6400 + 800 + 25 = 7225。 （3）第 3 题：(1) (9 - 30x + 25) - (4 + 28x + 49) = 5 - 58x - 24；(2) - 1 = + 2xy + - 1；(3) = 4 - 4xy + - 12x + 6y + 9；(4) = - 8 + 16。 （4）第 4 题：原式 = (4 + 12xy + 9) - (4 - ) = 12xy + 10；当 x = 、y = - 时，原式 = 12 × × + 10 × = -2 + = 。 （5）第 5 题：设边长为 x cm，由 = + 39 得 + 6x + 9 = + 39，6x = 30，x = 5。所以这个正方形纸片的边长是 5 cm。 （6）第 6 题：剩下钢板的面积 = π × ÷ 4 - π × ÷ 4 - π × ÷ 4 = π × [ - - ] ÷ 4 = π × 2ab ÷ 4 = × πab（）。 （7）第 7 题： + = - 2ab = 25 - 6 = 19。 （8）第 8 题：三个算式的共同规律是 (x - 1)( + + … + x + 1) = - 1；取 x = 2、n = 9， + + + … + 2 + 1 = (2 - 1)( + + … + 2 + 1) = - 1 = 1024 - 1 = 1023。 （9）A 组第 1 题：(1) - 25；(2) - 8x + 16；(3) 9 - 4；(4) 4 - 12y + 9。 （10）A 组第 2 题：(1) (100 + 3)(100 - 3) = 10000 - 9 = 9991；(2) = 10000 - 400 + 4 = 9604。A 组第 3 题：(1) b - 2；(2) b - 2。 （11）B 组第 1 题：(1) ( - 9)( + 9) = - 81；(2) = - 2ab + + 2a - 2b + 1。 （12）B 组第 2 题：原式 = ( + 4x + 4) - ( - 1) = 4x + 5，当 x = -2 时得 -3。B 组第 3 题： + = - 2ab = 25 - 12 = 13。 （13）C 组第 1 题：原式 = = = 1。C 组第 2 题：(x + y - 3)(x + y + 3) = - 9 = 16 - 9 = 7。C 组第 3 题： - - 6b = (a + b)(a - b) - 6b = 3(a + b) - 6b = 3a + 3b - 6b = 3a - 3b = 3(a - b) = 9。 （14）自我评价：逐项对照评价表打勾；没有打勾的项目，就回到对应的课时，把公式的样子与三个位置再理一遍，然后把那一栏的练习重做一遍。 — 2026—2027学年 · 班级 ______ 姓名 ______ — 学科网（北京）股份有限公司 $