16.3 乘法公式（第1课时 平方差公式）（教学设计）数学新教材人教版八年级上册

年级

八年级

学科

数学

课型

新授课

教材

人教版八年级上册

教学目标

1.理解平方差公式的意义，能正确说出公式 中字母 的含义及其结构特征，明确公式的适用条件。

2.掌握平方差公式的推导过程，能熟练运用平方差公式进行整式乘法运算和数的简便计算。

3.经历“特殊到一般”的归纳过程，体验数形结合、整体代入等数学思想方法，发展观察、比较、归纳与概括的能力。

教学重点

平方差公式的推导、结构特征及初步运用。

教学难点

准确识别“相同项”与“互为相反项”，确定公式中的 ，并正确处理符号、整体代换及简便计算中的变形。

教材分析

本节教学内容源于人教版八年级上册第十六章《整式的乘法》第三节《乘法公式》（第1课时 平方差公式）。核心内容包括：平方差公式 的观察、猜想、推导与几何验证；公式的结构特征、文字表述和适用条件；运用公式进行整式乘法运算及数的简便计算。

本课以多项式乘法法则为知识生长点，先通过 、、 等特殊算式引导学生观察结构，归纳“两个数的和与这两个数的差相乘”的共同特征，进而提出猜想；再用多项式乘法法则完成一般化验证，得到平方差公式。随后从“一项相同、另一项互为相反数”的角度剖析公式结构，明确字母 可表示数、单项式或多项式，具有整体含义，并用面积割补的几何直观再次验证公式。平方差公式是整式乘法的重要特殊模型，也是后续因式分解、代数恒等变形和简便计算的基础，具有承上启下的作用。教学重点为理解平方差公式的结构特征，经历推导与验证过程，并正确运用公式进行计算。

学情分析

学生已学习整式加减、幂的运算和多项式乘法，掌握 ，并具备一元一次方程学习中的符号意识和代数运算经验；同时经历过观察、归纳等数学活动，因此由几个特殊算式归纳公式的“形式”相对容易。但学生容易停留在机械记忆公式层面，对“哪一项看作 、哪一项看作 ”缺乏稳定判断，遇到 、 等符号变化时易混淆相同项与相反项；对连续使用公式、整体代换及数形结合验证的理解也有困难。此外，学生常见错误包括漏平方、错平方和不符合条件时强用公式。因此，教学中应强化结构辨认与对比辨析，借助图形直观和变式训练突破难点，教学难点确定为：准确识别公式结构，确定 ，并灵活、规范地运用平方差公式。

教学过程

教学内容

设计意图

课堂导入

【复习回顾，链接旧知】

计算： （1） ；（2）；（3）。

知识点链接：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，即 。

解：（1）原式 。

（2）原式 。

（3）原式 。

【师生活动】

学生独立完成，教师巡视；

追问第题结果有何特别之处，引导学生发现“和与差相乘”后中间项抵消，为平方差公式作铺垫。

【创设情境，引入新课】

问题：学校有一块边长为 的正方形劳动实践基地，中间挖去一个边长为 的小正方形水池，剩余种植面积怎样表示？若把剩余部分重新拼接，能否得到更简洁的乘法形式？

观察下面三组特殊形式的多项式相乘： ； ； 。

这些算式在结构上有什么共同特点？计算结果又有什么共同特点？

每个算式都是“两个数的和”与“这两个数的差”相乘；结果都是这两个数的平方的差。

像这样具有特殊形式的多项式相乘，可以直接写成公式的形式。这节课我们学习——平方差公式。

通过多项式乘法复习唤醒旧知，借第题制造认知关注，明确本课学习方向。用生活面积问题激发兴趣，由旧知计算引出“和×差”的特殊结构，明确学习平方差公式的方向。

探究点1 平方差公式的推导——从特殊到一般

【问题引入】

计算下列各式的积，你能发现什么规律？

（1） ；（2）；（3）

通过“计算—观察—归纳—验证”的活动，让学生经历特殊到一般的抽象过程，理解公式来

。

【详细过程】

（1）；

（2）；

（3） 。

归纳：形如 的多项式与 的多项式相乘，运算结果都是这两个数的平方的差。

猜想：。

验证猜想： 。

公式中 可以表示数、单项式，也可以表示多项式，具有“整体”的含义。

注意：平方差公式是多项式乘法 中 的特殊情形。

【师生活动】

学生分组计算三组特殊乘法，观察“相同项”和“相反项”；

教师板书由特殊到一般的归纳过程，并追问 能否表示多项式，强调整体思想。

源，突破推导难点。

探究点2 平方差公式的结构特征与文字表述

【问题引入】

围绕公式 设计阶梯问题：

①公式左边在结构上有什么特征？

②公式右边是什么？

③怎样快速确定公式中的 与 ？

④平方差公式用文字怎样表述？

⑤运用公式时，先看什么、再算什么？

【详细过程】

①左边是两个二项式相乘：两个因式中有一项完全相同，对应公式中的 ；

另一个因式的两项互为相反数，对应公式中的 与 。

②右边是“相同项”的平方减去“互为相反项”的平方，即 。

③看两项的符号：符号相同的那一项看作公式中的 ，符号相反的两项分别看作公式

通过结构辨析和例1，突破“找 ”这一易错点，形成“看结构—定 —写平方差—再平方”的运算程序。