重难点专题 直线与圆、三角函数的综合训练（专项训练）数学新教材浙教版九年级下册

重难点专题 直线与圆、三角函数的综合训练 题型1 圆中找等角，证相似 固定解题模型：圆里的等角主要来自同弧、弦切角和圆内接四边形，凑够两组等角就相似. 解题步骤：① 用同弧或弦切角找出第一组等角　② 用公共角或圆内接四边形外角找第二组　③ 写出相似比，求线段. 核心数据：同弧所对的圆周角相等；圆内接四边形对角互补，外角等于内对角. 1．（2026·浙江湖州·模拟预测）如图，为半圆的直径，为延长线上一点，切半圆于点于点,交半圆于点，已知，则的长为（   ） A． B．4 C． D． 2．（2026·四川南充·模拟预测）如图，是的外接圆，为直径，为的切线，连接交弦BC于，． (1)求证：． (2)若，，求的长． 3．（25-26九年级下·河北衡水·阶段检测）如图1和图2，在矩形中，，点E是边上一点，以点A为圆心，的长为半径作，过点E的切线与边交于点F． (1)如图1，当时． ①求证：； ②直接写出的长； (2)如图2，当点D落在上时，求的长． 4．（2026·四川眉山·模拟预测）如图，是的外接圆，是的直径，是延长线上一点，连接，且． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为，，求的长． 5．（2026·浙江杭州·一模）已知，如图①，是的直径，，点E是上一动点（点E与点C在直径的两侧，且点E不与A，B重合），连接，连接交于点F，连接分别交于点G，H． (1)求证：． (2)试问：在点E在运动过程中，的值会不会变？若不变，请求出它的比值；若会变，请说明理由． (3)如图②，连接，求证：． 6．模型学习： 如图，，，，垂足分别为、、，且三个垂足在同一直线上， 我们把这样的图形叫“型图”；易得． 模型应用： (1)如图，已知在四边形中，，，，，，若以为直径的圆与边相交于点，则的长为______． 模型拓展： (2)如图，在平面直角坐标系中，直线：与、轴分别相交于点、，将直线绕点逆时针旋转后得到直线，求直线的函数关系式． 模型延伸： (3)如图，反比例函数的图象经过点，在的右侧该图象上找一点，使，求点的坐标． 7．阅读与思考 圆形，是一个看来简单，实际上是十分奇妙的形状．古希腊的毕达哥拉斯学派认为：“一切图形中最美的是球形，一切平面图形中最美的是圆形．”中华民族自古也有以“圆合”为美的心理习惯，认为圆形有圆满、周全的含义，有完美、和谐的意象．早在2000多年前，“科圣”墨子在《墨经》中就有“圆，一中同长也”的记载．与圆有关的定理有很多，弦切角定理就是其中之一．其内容为弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆周角度数．（顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角．）具体来说，如果一条直线与圆相切于某一点，并且过该点的另一条直线（弦）与圆相交，那么这两条直线所夹的角就是一个弦切角． 如图，直线与相切于点，任取上不与点重合的点，则和是弦与切线所成的弦切角． 下面是励志小组对于此定理探究的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务． 证明：如图1，与相切于点．当圆心在弦上时，容易得到，，所以弦切角． 如图2，与相切于点．当圆心在的外部时，过点作直径交于点，连接DF． 是直径， ，（__________） …… 请你认真阅读以上内容，完成下列任务： 任务一：写出上述证明过程中空缺处依据的定理是__________； 任务二：请结合图2补全上述证明过程； 任务三：如图3，是的直径，点C在上，延长至D使得，过点C作的切线交于H．若，，则的半径为__________． 8．（24-25九年级下·广东湛江·阶段检测）【阅读与探究】 我们定义：如果两个三角形有一条公共边，且这条公共边所对的同侧的角相等，那么这两个三角形有公共的外接圆（如图1），简记为：共边同侧对角等，四点共圆． 几何语言：如图1．． 、B、C、D四点共圆 【定义运用】 （1）如图2，在平面直角坐标系中，四边形的边在x轴上，对角线，交于点F，且． 求证：A、B、C、D四点共圆； （2）在（1）的条件下，如图3，作四边形的外接圆，延长交x轴于点E，若，设，，求y关于x的函数关系式； 【深入探究】 （3）如图4，在平面直角坐标系中，以x轴上的线段为直径作，且的半径为，点，点G是x轴上方劣弧上的一个动点，连接，点N在上，点H在上，且，，连接，，反比例函数的图象经过点G，若，当的值最小时，求k的值． 题型2 四点共圆与角平分线模型 固定解题模型：共顶点的两条线段旋转，得到两组对应边成比例且夹角相等，构成旋转型相似. 解题步骤：① 找出旋转中心与旋转角　② 证两组对应边成比例、夹角相等　③ 用相似比把要求的线段转过去. 核心数据：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. 1．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）探究与实践：“善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆． 该小组继续利用上述结论进行探究． 【提出问题】如图， 在线段同侧有两点，，连接，，，， 如果，那么，，，四点在同一个圆上． 【探究展示】如图，作经过点，，的，在劣弧上取一点（不与， 重合），连接，， 则（依据） ∵， ∴， ∴点，，，四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆） ∴点， 都在点，，所确定的上（依据） ∴点，，，四点在同一个圆上； 【反思归纳】 圆内接四边形对角互补； 对角互补的四边形四个顶点共圆； 过不在同一直线上的三个点有且只有一个圆； 同圆中，同弧所对的圆周角相等； （）上述探究过程中的“依据”、“依据”分别是指什么？依据： ；依据： ．（从框内选一个选项，直接填序号） （） 如图，在四边形中，，，则的度数为 ； 【拓展探究】 （）如图4， 已知 是等腰三角形，，点在上（不与的中点重合），连接．作点关于的对称点，连接并延长交的延长线于， 连接，． 求证：，，，四点共圆； 若，的值是否会发生变化，若不变化，求出其值；若变化，请说明理由． 2．如图，是的角平分线，过点的圆与相切，与边分别交于点．若，，，则的长为___． 3．如图，内接于，为直径，与相切于点B，，作交于点E． (1)求证：． (2)作于点F，于点G．若，求的值． 4．如图，锐角内接于，平分，交于点D，交于点E，平分，连接并延长交于点G． (1)若，求，的度数． (2)求证：是的切线． (3)若平分，，，求的长． 5．如图，是内接三角形，的角平分线交于点，交于点，连接、，过点作交的延长线于点． (1)若，，求的半径． (2)求证：为的切线． (3)求证：． 6．如图是一个量角器和一个含角的直角三角板放置在一起的示意图，其中点在半圆的直径的延长线上，切半圆于点，且． (1)求证：； (2)当时，若以，，为顶点的三角形与相似，求的长； (3)若，移动三角板且使边始终与半圆相切，直角顶点在直径的延长线上移动，直接写出点移动过程中距点的最大距离． 题型3 三角函数与圆 固定解题模型：圆里求三角函数值，先构造直角三角形，三条路：作垂线、用直径、用切线. 解题步骤：① 选一条构直角的路　② 把要求的角放进直角三角形　③ 用边之比或同角三角函数关系求值. 核心数据：直径所对的圆周角是直角；锐角三角函数的定义. 1．已知，是的内接三角形，，与关于直线对称，与交于点E． 探究一：如图1，连接并延长交于点M，交于点N．请判断下列结论是否正确．（在相应括号中，正确的打“√”，错误的打“×”） ①（ ）； ②（ ）； ③是的切线（ ）． 探究二：连接并延长，交于点F、J，交、分别于点G、H． （1）如图2，若． ①求的度数； ②试猜想与有怎样的数量关系？并说明理由． （2）如图3，若，求证：E、G、C三点在同一直线上． 2．如图1，以点为圆心的圆与y轴、x轴分别交于点A、B、C、D，直线与相切于点H，交x轴于点E，交y轴于点． (1)填空：的长为______；的长为______；的半径为______；的长为______； (2)如图2，点P是直径上的一个动点（不与C、D重合），连结并延长交于点． ①当时，求的值； ②设，，求y与x的函数关系式． 3．如图1，在中，是的直径，弦于点，是延长线上一点，过点作的切线，为切点，连接交于点． (1)求证：； (2)如图2，连接，若． ①求证：； ②如图3，连接，，若四边形是平行四边形，，求平行四边形的面积． 4．如图， 已知是的直径， C是上一点，是的切线，且 于点D， 延长交于点 M，连接交于点F， (1)如图1，作于点E， ①求证   ②若则的长 (2)若求 5．如图1，中，，，，以为直径的交于点D，M是的中点，连接． (1)求证：是的切线； (2)如图2，过点B作的平行线交于点E． ①求的长； ②如图3，点P在线段上，连接并延长交于点Q，连接，当时，求的值． 6．（2026·四川宜宾·模拟预测）如图，是的直径，点为上一点（不与，重合），点为的延长线上一点，连接并延长至点，且平分． (1)求证：； (2)求证：； (3)若与相切于点，，，求的值． 7．（26-27九年级上·浙江宁波·阶段检测）如图，在中，是一条不过圆心的弦，点，是弧的三等分点，直径交于点，连结交于点，连结，过点的切线交的延长线于点． (1)求证：． (2)若，求的值． (3)连结交于点，若的半径为5． ①若，求的长． ②若，求的周长． ③若，求的面积． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 重难点专题直线与圆、三角函数的综合训练 重难点一 同弧所对圆周角 圆中找等角 重难点二 弦切角等于所夹弧对角 重难点三圆内接四边形外角 重难点一对角互补则四点共圆 圆与相似及三角函数 四点共圆 重难点二 角平分线得等弧等弦 重难点三连半径得切线垂直 重难点一 作垂线构直角 三角函数构直角 重难点二 用直径、切线构直角 重难点三 等角转化后再求值 00 题型1圆中找等角，证相似 啸方法 固定解题模型：圆里的等角主要来自同弧、弦切角和圆内接四边形，凑够两组等角就相似 解题步骤：①用同弧或弦切角找出第一组等角②用公共角或圆内接四边形外角找第二组③写出 相似比，求线段 核心数据：同弧所对的圆周角相等：圆内接四边形对角互补，外角等于内对角 1. (2026·浙江湖州·模拟预测)如图，AB为半圆O的直径，C为AB延长线上一点，CD切半圆于点 D,AE⊥CE于点E,交半圆于点F,已知AE=6,CE=8,则OD的长为() 15 A. B.4 C. 9 25 D. 4 【答案】A 【分析】本题考查了圆的切线性质、相似三角形的判定与性质及勾股定理，解题的关键是连接OD,利用 切线性质得OD⊥CD再证△AEF一△ODC或利用平行线分线段比例求OD.由AE⊥CE,OD⊥CD, 1/68 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 得AE‖OD则 AECE OD CD ,结合勾股定理求出AC=10,设OD=r表示CD、OC在Rt△ODC中用勾股 定理建立方程求解. 【详解】解：∵CD切半圆于点D, .OD⊥CD .AE⊥CE, .OD‖AE 在Rt△AEC中AE=6,CE=8, ∴AC=AE2+CE=62+8=10 设OD=r,则OA=OB=r,OC=AC-OA=10-r, .'AE‖OD ∴.△COD~△CAE .AE=AC OD OC :0- 6_10 15 r=4' 2.(2026·四川南充·模拟预测)，如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，CD为⊙O的切线，连接 OD交弦BC于E,∠BOD=∠BCD D 1)求证：AC|OD 2若sin∠CAB=6,AB=10,求CD的长 【答案】(1)证明：连接OC, 2/68 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B CD为⊙O的切线， ∴.∠OCD=90°，即∠OCB+∠BCD=90°， AB为直径， ∴∠ACB=90°， .∠CAB+∠CBA=90°， .OB=OC, ∴.∠OCB=∠OBC, ∴.∠BCD=∠CAB. ,∠BOD=∠BCD, ∴.∠CAB=∠BOD, .AC‖OD @号 【分析】(1)连接OC,由圆切线的性质可知∠OCB+∠BCD=90°，由直径所对的圆周角等于90度以 及直角三角形两个锐角互余得出∠CAB+∠CBA=90°，由等边对等角得出∠OCB=∠OBC,即可得 出∠BCD=∠CAB,结合已知条件可得出∠CAB=∠BOD,即可得出AC‖OD (2)由正弦的定义得出BC=6,由垂径定理得出OD1BC,CE=号BC=3,由勾股定理求出OE,证明 △OCD~△OEC,由相似三角形的性质得出OC=CD, OE EC 代入数值即可求出CD 【详解】(1)略 (2)解：：∠ACB=90°，AB=10.sin∠CAB=BC=3 AB 5 BC=6,0C=5AB=5 :ACOD,AC⊥BC, 3/68 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 ∴.OD⊥BC,CE=5BC=3 在Rt△C0E中，OE=OC2-CE=4 .∠OCD=∠OEC=90°，∠COE=∠DOC, .△OCD-△OEC, 8品 5_CD 即二 43 CD=15 4 3.(25-26九年级下·河北衡水·阶段检测)如图1和图2，在矩形ABCD中，AB=6,BC=10,点E是 BC边上一点，以点A为圆心，AE的长为半径作⊙A,过点E的切线与CD边交于点R D 图1 图2 (1)如图1，当AE=EF时. ①求证：△ABE≌△ECF: ②直接写出CF的长： (2)如图2，当点D落在⊙A上时，求CF的长 【答案】(1)①证明：四边形ABCD为矩形，AB=6,BC=10, .∠B=∠C=90°，CD=AB=6,BC=AD=10, EF为⊙A的切线， ∴AE⊥EF,即∠AEF=90°， ∴、∠AEB+∠CEF=90°， :∠AEB+∠BAE=180°-∠B=90°， ∴.∠BAE=∠CEF, 在△ABE和△ECF中， 4/68 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠BAE=∠CEF ∠B=∠C AE=EF ∴△ABE≌△ECFAAS: ②4 【分析】(1)①结合矩形的性质可得∠B=∠C=90°；由切线的性质可得AE⊥EF,进一步证明 ∠BAE=∠CEF,然后根据“AAS”证明△ABE≌△ECF即可：②由全等三角形的性质可得BE=CF, EC=AB,进而确定BE的长度，即可获得答案； (2)首先根据题意可得AE=AD=10,在Rt△ABE中，由勾股定理解得BE的长度，进而可得CE的长度： 证明△ABE一△ECP,由相似三角形的性质可得A迟=BE 代入数值并求解，即可获得答案. EC CF 【详解】(1)①略 ②解：，△ABE≌△ECF, ∴.BE=CF,EC=AB=6, ∴.BE=BC-CE=10-6=4, ∴.CF=BE=4: (2)解：：点D落在⊙A上， .AE=AD=10, ∴在Rt△ABE中，BE=√AE2-AB=102-6=8 ∴.CE=BC-BE=10-8=2, EF为⊙A的切线， ∴，AE⊥EF, ∴、∠AEB+∠CEF=90°， ,∠AEB+∠BAE=180°-∠B=90°， .∠BAE=∠CEF, 又：∠B=∠C=90°， ∴.△ABE一△ECF, 5/68 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AB_BE EC CE 2 CF 解得C℉= 3， 即CF的长为 ,8 4. (2026·四川眉山·模拟预测)如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，F是AD延长线上 一点，连接CD,CF,且∠DCF=∠CAD. B (1)求证：CF是⊙O的切线： ②)若⊙0的半径为5，sinB=4 求FD的长 【答案】(1)证明：连接OC,如图所示： A .AD⊙O 是 的直径， ∴.∠ACD=90°，则∠OCD+∠OCA=90, .OC=0A, ∴.∠OCA=∠OAC, ∴.∠OCD+∠OAC=90°， .∠DCF=∠CAD, ∴.∠OCD+∠DCF=90°，即∠OCF=90°， .OC⊥CF, ∵ OC是⊙O的半径， ∴.CF是⊙O的切线； 2)FD=90 7 【分析】(1)先由直径所对的圆周角是直角、等边对等角得到∠OC℉=90°，进而由切线的判定求证即 6/68 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 可； (2)在Rt△ACD中，先由三角函数值及勾股定理求出三角形各边长，再由相似三角形的判定与性质得出 FC FD_CD_6_3 AFCAC84?进而有FD=9 16 A,数形结合，将FA代换成关于FD的方程求解即可. 【详解】(1)略 (2)解：'AC=AC, .∠ADC=∠B,则sin∠ADC=sinB=4 在Rt△ACD中，∠ACD=90°，AD=10,则sin∠ADC=4=AC 5 AD :AC=4AD=4×10=8, 5 5 则在Rt△ACD中，由勾股定理可得CD=VAD-AC=6' .'∠DCF=∠CAD,∠F=∠F, ·△FCD-△AC,则FC=FD-CD=6=3 FA FC AC 8 4 即FC=3FA,FD=3FC, 4 4 ..FD=9 FA 6 FA=FD+AD=FD+10. FD-是PD+10,解得D=9 5.(2026·浙江杭州·一模)己知，如图①，AB是⊙O的直径，AC=CD=DB,点E是AB上一动点 (点E与点C在直径AB的两侧，且点E不与A,B重合)，连接BC,连接EC交AB于点F,连接ED分别 交AB,BC于点G,H. G F G C D 图① 图② 7/68 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)求证：△CEH一△CBF, (②)试问：在点E在运动过程中，CF:DH的值会不会变？若不变，请求出它的比值；若会变，请说明理由， (3)如图②，连接EA,EB,求证： 2EC-B=3. EA 【答案】(1)见解析 ②)不会：3 (3)见解析 【分析】(1)根据AC=CD,可得∠E=∠B,即可求证： (2)连接AC,BD,根据圆周角定理可得AC=DB,∠BAC=60°，则tan∠BAC=tan60°=BC=3, AC 证明△DBH~△CBF,可得CE=BC=BC DH DB AC 即可解答： (3)延长BE至%使得ME=V3AE,连接AM,AC,则3EA+EB=MB,证明△MBA一△ECA, 可得MB=AB=2,从而得到MB=2EC,即可解答. EC AC 【详解】(1)证明：'AC=CD ∠E=∠B, 又∠ECH=∠BCF, ∴.△CEH一△CBF; (2)解：不会变化， 如图，连接AC,BD, G B H D .AC=CD=DB ∴.∠BAC=2∠ABC,AC=DB, .AB是⊙O的直径， ∴.∠ACB=90°， 8/68 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠BAC+2∠ABC=3∠ABC=90°， ∴.∠ABC=30°，∠BAC=60°， .'.tan 2 BAC=tan60=BC=3. AC .'∠BCE=∠BDE,∠ABC=∠CBD, ∴△DBH一△CBF, CF-BC=BC-/3: ·DH DB AC (3)证明：如图②，延长BE至M使得ME=3EA,连接AM,AC,则3EA+EB=MB, M E G B H C D 图② ,AB是直径， ∴.∠AEB=90°， .∠AEM=90°， ∴tanM= EA 3 ME 3' .∠M=30°， ,∠ACE=∠ABE,∠AEC=∠ABC=30°=∠M, .△MBA△ECA, 漂怨 在Rt△ABC中，∠ABC=30°， ∴AB=2AC, MB=AB=2. ·ECAC 9/68 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ..MB=2EC 即2EC=BM=V3EA+EB, ..2EC-EB-V3. EA 6.模型学习： 如图I,AB⊥BD,CD⊥BD,AP⊥PC,垂足分别为B、P、D,且三个垂足在同一直线上， 我们把这样的图形叫“K型图”；易得△ABP∽△PDC. VA A B B B 图1 图2 图3 图4 模型应用： (1)如图2，已知在四边形ABCD中，AB⊥BC,ABI‖CD,AB=3,CD=2,BC=5,若以AD为直径 的圆与边BC相交于点P,则BP的长为 模型拓展： ②)如图3，在平面直角坐标系中，直线1，y=2+2 与x、y轴分别相交于点A、B,将直线I绕点B逆 时针旋转45°后得到直线'，求直线'的函数关系式. 模型延伸： k V= (3)如图4，反比例函数x的图象经过点A(4,6,在OA的右侧该图象上找一点B,使 an∠AOB=J 求点B的坐标， 【答案】(1)2或3 2)y=3x+2 B(V424V42 (3) 10/68 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【分析】(1)利用模型中的结论，设BP=x,根据相似三角形的性质构建方程求解即可： (2)如图3，过点A作AC⊥I于C,过点C作CE1y轴于E,AF⊥EC交EC的延长线于F.得出 △ACF≌△CBE(AAS),求出C(-l,-),利用待定系数法求出直线I的函数关系式即可： (3)如图4，过点A作AE⊥OB于E,作EM⊥x轴于M,作AN⊥ME交ME的延长线于N,设AW=a, 利用模型的结论，构造相似三角形解决问题即可， 【详解】(1)解：如图2，设BP=x, 图2 :AD是⊙0的直径， .∠APD=90°， ∠APB+∠CPD=90°， ,AB⊥BC,ABIICD, .CD⊥BC,∠APB+∠BAP=90°，∠ABP=∠PCD=90°. ∴.∠CPD=∠BAP, .△ABP△PCD, AB BP .PC CD, 3= .5-x2, 解得：x=2或x=3, BP=2或BP=3, (2)解：如图3，过点A作AC⊥I于C,过点C作CE⊥y轴于E,AF⊥EC交EC的延长线于F, 11/68 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 YA A 5月E 图3 y=2+2 x、y轴分别相交于点A、B, “当x=0时，y=2,当y=0时，x=4, .A(-4,0),B0,2).OA=4,OB=2, ,将直线I绕点B逆时针旋转45°后得到直线1'， .∠ABC=45 .∠CAB=∠ABC=45°， ∴CA=CB, ,∠ACF+∠BCE=90°，∠CBE+∠BCE=90°， ∴.∠ACF=∠CBE, ∠F=∠CEB=90 ∠ACF=∠CBE 在△ACF和△CBE中， CA=CB ·.△ACF≌aCBE(AAS)」 ∴AF=CE,CF=BE, ∴.4-CE=2+CE, 解得：CE=1, .C(-1,-) 设直线I'的解析式为y=mr+n, -m+n=-1 .(n=2 m=3m=3 解得： n=2n=2 12/68 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ·.直线I的解析式为y=3x+2 1 an∠AOB= (3)解：如图4，当 2时，过点A作AE⊥OB于E,作EM⊥x轴于M,作AN⊥ME交ME 的延长线于N,设AN=a, .N B E M 图4 .tan∠A0B= 2. AE 1 .OE2, 同(1)可得，△ANEAEMO, AE AN NE 1 ∴.OE ME OM2. y= :反比例函数x的图象经过点A(4,6), ∴k=4x×6=24,0M=4+a,ME=2a. E=4+a 2, 24 y= ∴反比例函数解析式为x, MN=6」 ,4+0=6 2a+ 2 8 a=9 解得： 5, a+4=282a 16 5, 5, E2816 55 13/68 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 设直线OE的解析式为y=x, k 16 ..5 5, 、4 解得： k27, 4 直线0E的解析式为' 24 V= x 4 y= 联立直线OE与反比例函数解析式得， x=V42 x=-√42 4V42 4√42 y= y=- 解得： 7 或 点B在第一象限， 饭4 7.阅读与思考 圆形，是一个看来简单，实际上是十分奇妙的形状.古希腊的毕达哥拉斯学派认为： “一切图形中最美的是球形，一切平面图形中最美的是圆形.”中华民族自古也有以 “圆合”为美的心理习惯，认为圆形有圆满、周全的含义，有完美、和谐的意象。早在 2000多年前，“科圣”墨子在《墨经》中就有“圆，一中同长也”的记载.与圆有关的 定理有很多，弦切角定理就是其中之一.其内容为弦切角的度数等于它所夹的弧所对的 圆周角度数.（顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角.）具体 来说，如果一条直线与圆相切于某一点，并且过该点的另一条直线（弦）与圆相交，那 么这两条直线所夹的角就是一个弦切角. 14/68 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E to B C 图1 B A C 图2 图3 如图，直线AB与O0相切于点C,任取⊙O上不与点C重合的点D,则∠ACD和 ∠BCD是弦CD与切线AB所成的弦切角 下面是励志小组对于此定理探究的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务， 证明：如图1，AB与⊙0相切于点C.当圆心O在弦CD上时，容易得到，∠CED=90° ,所以弦切角∠BCD=∠CED=90° 如图2，AB与⊙0相切于点C,当圆心O在∠BCD的外部时，过点C作直径CF交⊙0 于点F,连接DR ,CF是直径， ∠CDF=90°，( .∠CFD+∠FCD=90° … 请你认真阅读以上内容，完成下列任务： 任务一：写出上述证明过程中空缺处依据的定理是 任务二：请结合图2补全上述证明过程： 任务三：如图3，AB是⊙0的直径，点C在⊙0上，延长AC至D使得CD=AC,过点C作O0的切线交 BD于H若AC=2V3,DH=2,则O0的半径为 15/68 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】任务一：直径所对的圆周角是直角： 任务二： 如图2，AB与OO相切于点C.当圆心O在∠BCD的外部时，过点C作直径CF交⊙O于点F,连接DR. CF是直径， ·∠CDF=90°，（直径所对的圆周角是直角） ∴.∠CFD+∠FCD=90° :AB与⊙O相切于点C, .∠FCB=90°， ∴，∠BCD+∠FCD=90°， .∠BCD=∠CFD 又：∠CED和∠CFD是弧CD所对的圆周角， ∴.∠CED=∠CFD .∠BCD=∠CED 任务三：3 【分析】本题考查切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握切线的性质，圆周角定 理，是解题的关键： 任务一：根据直径所对的圆周角是直角进行作答即可： 任务二：根据切线的性质，同角的余角相等以及同弧所对的圆周角相等，即可得出结论： 任务三：圆周角定理，结合中垂线的判定和性质，推出AB=BD,三线合一，得到∠ABC=∠DBC,证明 △CDH∽aBDC,求出BD的长，进而得到AB的长即可. 【详解】任务一：依据是直径所对的圆周角是直角。 任务二：略 任务三：：AB是直径， .∠BCA=90°， ..CD=AC, BC垂直平分AD, ∴AB=BD, .∠ABC=∠CBD. CH是切线， 16/68 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴由任务二可知：∠BCH=∠CAB, :∠ABC=90°-∠BAC,∠HCD=90°-∠BCH, ∴.∠ABC=∠HCD, “.∠CBD=∠HCD, ∠D=∠D, ∴.aDCH∽aDBC, CD BD 23 BD ∴DHCD,即：223， BD=6. AB=6, .⊙0的半径为3. 8.(24-25九年级下·广东湛江·阶段检测)【阅读与探究】 我们定义：如果两个三角形有一条公共边，且这条公共边所对的同侧的角相等，那么这两个三角形有公共 的外接圆（如图1），简记为：共边同侧对角等，四点共圆. 几何语言：如图1.∠C=∠D ∴A、RCD四点共圆 D 图1 【定义运用】 (1)如图2，在平面直角坐标系中，四边形ABCD的边AD在轴上，对角线AC,BD交于点R,且 CF.FA=DF.FB 求证：ABCD四点共圆： (2)在(1)的条件下，如图3，作四边形ABCD的外接圆⊙O',延长BC交x轴于点E,若 S△MB=y LBCA=2LCAD,设cos∠CEA=x,SAm,求y关于x的函数关系式： 17/68 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 y B E D 图2 图3 【深入探究】 (3)如图4，在平面直角坐标系中，以x轴上的线段AD为直径作⊙P,且⊙P的半径为22，点P(7,0) G是r轴上方劣弧DM上的一个动点，连接MP,点N在PM上，点H在DP上，且H心、，NP 15,连 k y= x>0 接GH,GN,反比例函数x 的图象经过店&若血∠WPD-.当Gm+5y2GN 5,当 4 的值最小时， 求k的值. M D A X 图4 【答案】 (1)证明：CF.FA=DF·FB, CF DF 'BF AF, :∠CFD=∠BFA, .∴△CFDOABFA, .∠DCF=∠ABF, ABCD四点共圆； (2)y=4x2 18/68 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)10 【分析】(I)由相似三角形的判定方法得△CFD∽aBFA,由相似三角形的性质得DCF=∠ABF,即可得 证： (2)过C作CH⊥AE交于H,由余弦函数得EH=xCE,由三角形的外角性质得∠BCA=∠CEA+∠CAD 由等腰三角形的性质得AE=2EH,由相似三角形的判定方法得△AEB∽△CED,由相似三角形的性质得 SEAB AE 2 y= SECD 、CE 即可求解； (3)延长PM至，使得P吧=5，连接G、PG,由相似三角形的判定方法得△PGN∽aPOG,由相似 G-52 三角形的性质得 4,作S1x轴交于S,GT1x轴交于T,当、G、H三点共线时，GH+OG 的值最小，此时GH+0G=H,由三角函数及勾股定理S=4,PS=3,H0=25,由相似三角形的 判定方法△HGT∽aHS,由勾股定理得GT=2,HT=l,即可求解. 【详解】(1)略 (2)如图，过C作CH⊥AE交于H, B 0 :cos∠CBA-EA=x CE ∴EH=xCE, :∠BCA=∠CEA+∠CAD ∠BCA=2∠CAD, ∴.∠CEA=∠CAD」 ..CE=CA. ·AE=2EH, ..AE=2xCE, 19/68 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AE =2x CE :四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴.∠EAB=∠ECD :∠AEB=∠CED ∴△AEB ACED S.EAB AE .y SECD CE =(2x} =4x2, “y关于x的函数关系式y=4x2: (3)延长PM至0，使得PO=5,连接OG、PG, M P D H :PM=PG=22, PG_22 P5 6 PN 5 2V2 .PG2√2 5, PG PN PO PG :∠PGN=∠POG ∴.APGN∽△POG 20/68 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 GNPG2√2 QG-PO5. 0G=52 4 GH+GN-GH+0G 如图，作S1x轴交于S,GT1x轴交于T, Q M o H 当2、G、H三点共线时，GH+QC的值最小， 此时GH+OG=QH, GH+5 -GN=OH 4 sin /MPD=5, 4 0S4 .PO 5 .0S=4 ∴.PS=VPg2-0S =V52-4 =3, .HS PS-HP =3-1 =2, 21/68 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.H0=VQS2+Hs =V42+22 =2W5. S⊥x轴，GT⊥x轴， .GT∥s, :∴.△HGT∽△HQS GT HT OS HS, GT HT 42, ..GT=2HT, .GT2+PT2=PG2, (2Hr}+(Hn+1=(22 解得：HT=1, .GT=2, P7,0) .OP=7, ∴.OH=OP-HP =7-1 =6, OT=OH-HT =6-1 =5, G(5,2. ∴.k=5×2 =10: 22/68 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 故的值为10 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，等腰三角形的判定及性质，相似形三角形的判定及性质，三角 函数，勾股定理等，掌握圆内接四边形的性质，等腰三角形的判定及性质，相似形三角形的判定及性质， 能构建相似三角形找出取得最小值的条件，并能熟练利用三角函数，勾股定理进行求解是解题的关键， 题型2四点共圆与角平分线模型 嫩方法 固定解题模型：共顶点的两条线段旋转，得到两组对应边成比例且夹角相等，构成旋转型相似 解题步骤：①找出旋转中心与旋转角②证两组对应边成比例、夹角相等③用相似比把要求的线 段转过去。 核心数据：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似， 1.(24-25九年级上·浙江杭州·期中)探究与实践：“善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动， 得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆.该小组继续利用上述结论进行探究. 【提出问题】如图1，在线段AC同侧有两点B,D,连接AD,AB,BC,CD,如果∠B=∠D,那么 A,B,C,D四点在同一个圆上 【探究展示】如图2，作经过点A,C,D的⊙O,在劣弧AC上取一点E(不与A,C重合)，连接 AE,CE, 则∠AEC+∠D=180°（依据1） ,∠B=∠D .∠AEC+∠B=180°. ∴点A,B,C,E四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆） ∴点B,D都在点A,C,E所确定的OO上（依据2） 点A,B,C,E四点在同一个圆上： 【反思归纳】 ①圆内接四边形对角互补： ②对角互补的四边形四个项点共圆： ③过不在同一直线上的三个点有且只有一个圆： ④同圆中，同弧所对的圆周角相等： (1)上述探究过程中的“依据1”、“依据2”分别是指什么？依据1：一；依据2：一·（从框内选一个选 项，直接填序号) 23/68 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)如图3，在四边形ABCD中，∠1=∠2=70°，∠3=45°，则∠4的度数为_： 【拓展探究】 (3)如图4，已知△ABC是等腰三角形，AB=AC,点D在BC上（不与BC的中点重合），连接AD. 作点C关于AD的对称点E,连接EB并延长交AD的延长线于F,连接AE,DE. ①求证：A,D,B,E四点共圆： ②若AB=2W2，,ADAF的值是否会发生变化，若不变化，求出其值：若变化，请说明理由. D D B B 图1 图2 图3 图4 【答案】(1)①，③： (2)45°： (3)①证明：：AB=AC, .∠ABC=∠ACB, :E点与C点关于AD对称， .∠ACD=∠AED, ∴.∠AED=∠ABD, .A,D,B,E四点共圆： ②ADAF=8 【分析】(1)根据圆内接四边形对角互补；过不在同一直线上的三个点有且只有一个圆作答即可： (2)根据同弧所对的圆周角相等即可求解： (3)①根据(I)中的结论证明∠AED=∠ABD即可得证： ②证明△BAD∽△FAB,根据相似三角形的性质即可求解. 【详解】(1)解：如图2，作经过点A,C,D的⊙O,在劣弧AC上取一点E(不与A,C重合)，连 接AE,CE则∠AEC+∠D=180°（圆内接四边形对角互补） 24/68 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D B A E 图2 ∠B=∠D, ∴∠AEC+∠B=180°， ∴，点A,B,C,E四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆） “点B,D在点A,C,E所确定的⊙O上（过不在同一直线上的三个点有且只有一个圆） 点A,B,C,E四点在同一个圆上， 故答案为：①，③： (2)解：：在线段CD同侧有两点A,B,∠I=∠2， ∴A,B,C,D四点共圆， ,AD=AD」 .∠4=∠3=45°， 故答案为：45°： (3)①略 ②解：AD·AF=8,理由如下， 如图，A,D,B,E四点共圆， A B D F ∴.∠FBD=∠DAE, :AE,AC关于AD对称， 25/68 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠DAE=∠DAC, .∠DAC=∠DBF, ∠ADC=∠BDF, ∴∠F=∠ACD, .AB=AC, ∴.∠ABD=∠ACD, .∠F=∠ABD. 又∠BAD=∠FAB, .△BADn△FAB, AB AD AF-AB, AD·AF=AB2, :AB=22, .'AD.AF=8. 【点睛】本题考查了圆内接四边形对角互补，同弧所对的圆周角相等，轴对称的性质，相似三角形的性质 与判定，掌握以上知识是解题的关键。 2.如图，AD是△ABC的角平分线，过点A、D的圆与BC相切，与边ABAC分别交于点E、F.若 AD=6√2，AE=8,AF=6,则BC的长为. 【答案】7V3 【分析】本题考查切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，作圆O的直径DG,连接AG, 证明∠EDB=∠DAE,同理∠FDC=∠DAF,连接DE,DF,AD是△ABC的角平分线，BC是OO的切线， 得∠CDF=∠EDB=∠DAC=∠EAD,证明△ADB∽△AFD,对应边成比例得AB=12,证明 △EDB∽△DAB,求出BD=4V5,DF=26,再证明△CDF∽aDAE,求出CD=3N5,进而可得BC. 26/68 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】解：如图，作圆O的直径DG,连接AG, .∠DAG=90° ∴.∠DAE+∠EAG=90°， :BC是⊙O的切线， ∠GDB=90° ∴.∠EDB+∠EDG=90°， ,∠EAG=∠EDG, ∴∠EDB=∠DAE, 同理，∠FDC=∠DAF, 连接DE,DF, G D :AD是△ABC的角平分线， ∴.∠DAB=∠DAC, .∠CDF=∠EDB=∠DAC=∠EAD ∴.∠ADB=∠ADE+∠BDE=∠AFD, ∴，△ADB∽△AFD AB AD ∴.ADAF, .64B=(62. .AB=12, ∴.BE=AB-AE=12-8=4. ∠B=∠B,∠BDE=∠EAD, ∴△EDB∽△DAB, BE BD :.BD AB, :.BD2=BEAB=4×12=48, 27/68 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .BD=43」 ,△ADBAAFD, AB BD :AD DF, .12DF=43×62. .DF=26, ,∠CFD=∠AED,∠CDF=∠EAD, ∴.ACDFSADAE. CD DF :'AD AE, CD 26 .6W28, .CD=3V3 BC=BD+CD=43+33=7N5 故答案为：7V5」 3.如图，△ABC内接于O0,BC为直径，BD与⊙O相切于点B,BD=AC,作DE∥AB交BC于点E G B (1)求证：△ABC≌△BED nD=2 OG ②)作OF⊥AC于点R,OG⊥DE于点G.若 3,求OF的值. 【答案】(1)见解析 5 (2)6 28/68 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【分析】(1)根据直径所对的圆周角可知∠A=90°，再根据相切可知∠DBE=90°，即可判定全等三角形： (2)证明△EGO∽△BAC,根据相似三角形的性质即可求解 【详解】(1)证明：，BC为直径， ∴.∠A=90° ,BC为直径，BD与⊙O相切于点B, ∴.∠DBE=90 ,DE∥AB, .∠ABC=∠BED 在△ABC和△BED中， ∠A=∠DBE=90° ∠ABC=∠BED AC=BD :AMBC≌△BED(MMS): (2)解：设OB=3x, .△ABC≌△BED ∠C=∠D,AB=BE 2 sinC=sinD= AB 2 sinC= .∠A=90° BC-3, .'AB=BE=4x, ..OE=x,AC=BC2-AB2 =25x OF⊥AC,OF过圆心， ∴.AF=CF ..OB=OC, OF=14B=2x 2 :OG⊥DE, .∠OGE=∠A=90° 29/68 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 又：∠GEO=∠ABC, .△EGOn△BAC, OG OE :AC BC, 0G5 √5 0G3x5 .0F2x6. 4.如图，锐角△ABC内接于⊙0，AF平分∠BAC,交BC于点D,交OO于点E,BE平分∠CBF,连接 BO并延长交AD于点G. (1)若∠BAC=70°，求∠EBC,∠OBC的度数. (②)求证：BF是⊙O的切线. (3)若BG平分∠ABC,AG=6,GD=4,求BG的长. 【答案】(1)35°，20° (2)证明：设∠BAC=2a,则∠B0C=4a. .∠EBC=∠EAC=a, ∴.∠0BC=90°-2a, ,BE平分∠CBF, .∠FBE=∠EBC=a, ∠FBC=2a. .∠0BF=90°-2a+2a=90°， ..OB L BF, BF是⊙O的切线. 30/68 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)BG=6v6 【分析】(1)连接OC,根据角平分线定义，以及圆周角定理推出∠EAC,∠BOC,进而即可求出∠EBC, LOBC (2)设∠BAC=2a,则∠BOC=4a,类比(1)推出∠EBC,∠OBC,结合角平分线定义进而推出 ∠FBC=2a,再根据∠OBF=∠OBC+∠FBC分析证明即可； (3)利用角平分线定义推出∠BGE=∠EBG,结合切线性质，以及等角的余角相等推出∠EBF=∠F,以 及EB=EF=EG,设DE=t,则EB=EF=EG=1+4,证明△BED∽△AEB,利用相似三角形性质求出 t值，再证明△EBF∽aBFA,结合相似三角形性质分析求解，即可解题. 【详解】(1)解：连接OC, :∠BAC=70°，AF平分∠BAC, .∠EBC=∠EAC=35°，∠BOC=2∠BAC=140°， .∠0BC=20° (2)略 (3)解：：AE平分∠BAC,BG平分∠ABC, ∴LBAE=∠CAE,∠ABG=∠CBG .∠BGE=∠BAE+∠ABG,∠EBG=∠CBG+∠EBC, 又∠EBC=∠CAE=∠BAE, ∴.∠BGE=∠EBG 又：BF是⊙0的切线，∠GBF=90°， ∴.∠EBF=∠F, .'EB=EF=EG, :AG=6,GD=4,设DE=t,则EB=EF=EG=+4, 31/68 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ,∠EBC=∠EAC=∠BAE,∠BED=∠AEB, ∴.△BED∽△AEB BE DE :'AE BE, :BE2=AEDE=+10)=(+4y 解得1=8， .DE=8,EB=EF=12,AE=18, :∠F=∠FBE=∠EBC=∠EAC=∠EAB, ,△EBFP△BFA, EB BF .BFFA」 BF2=EB-FA=12×30=360, .BG2=GF2-BF2-242-360=216, 即BG=6V6 5.如图，△ABC是⊙O内接三角形，∠ACB的角平分线CD交AB于点F,交⊙0于点D,连接AD、BD, 过点D作DE‖AB交CB的延长线于点E. F B 0 D ()若∠ACB=120°，AB=V5,求⊙0的半径. (②)求证：DE为O0的切线 (3)求证： DE2-DC2=(EB+BC)(EB-AC) 【答案】1)5 (2)见解析 (3)见解析 32/68 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【分析】(1)连接OA,OB,过点O作OH⊥AB于点H利用圆周角定理求得∠AOB=2∠ADB=120°， ∠A0H=)∠40B=60,4H=BH=14B=5 利用等腰三角形的性质得到 2 2 2,再利用直角三角形的边角关 系定理解答即可得出结论： (2)连接D0并延长，交AB于点G,利用角平分线的定义，垂径定理得到OG⊥AB,利用平行线的性质 得到OD⊥DE,再利用圆的切线的判定定理解答即可得出结论： (3)利用圆周角定理，平行线的性质和相似三角形的判定与性质得到DE和CD',再利用等式的性质解 答即可 【详解】(1)解：如图，连接OA,OB,过点O作OH⊥AB于点H :CD是∠ACB的角平分线，∠ACB=120°， ∴.∠ACD=∠BCD=60° ∴.∠ABD=∠ACD=60°，∠BAD=∠BCD=60°， ∴.△ABD为等边三角形， ∴.∠ADB=60° ∴.∠A0B=2∠ADB=120°， OA=OB,OH⊥AB. ∠A0H=∠A0B=60°，AH=BH=)AB5 2 2 sin∠A0H=4世 OA, OA= AH sin60° 2=5 2 :⊙0的半径为V5 33/68 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)证明：如图，连接DO并延长，交AB于点G, :CD是∠ACB的角平分线， ·∠ACD=∠BCD, .AD=BD. .OG⊥AB. :DEI AB」 .OD⊥DE, :OD为⊙0的半径， :DE为⊙O的切线： (3)证明：，CD是∠ACB的角平分线， ·.∠ACD=∠BCD :∠ACD=∠ABD. ∴.∠ABD=∠BCD. DE I AB ∴.∠ABD=∠EDB. .∠EDB=∠BCD, ,∠E=∠E, ,△EDBAECD. BE DE ..DE EC, ∴DE2=BEEC DE Il AB ∴∠ABC=∠E. :∠ABC=∠ADC, .∠ADC=∠E, 34/68 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :∠ACD=LBCD, .△ACDADCE, AC CD .CD CE, .CD2=AC.CE. DE2-DC2=BE-EC-AC-EC=EC(EB-AC) ·EC=EB+BC, ..DE2-DC2=(EB+BC)-(EB-AC) 6.如图是一个量角器和一个含30°角的直角三角板放置在一起的示意图，其中点B在半圆O的直径DE的 延长线上，AB切半圆O于点F,且BC=OE. A B (1)求证：DE∥CF: (2)当OE=2时，若以O,B,F为顶点的三角形与△ABC相似，求OB的长： (3)若OE=2,移动三角板ABC且使AB边始终与半圆O相切，直角顶点B在直径DE的延长线上移动， 直接写出点B移动过程中距点E的最大距离. 【答案】(1)见解析 45 OB= (2) 3或4 (3)2 【分析】(1)先作辅助线，连接OF,证明四边形OBCF是平行四边形，得出DE∥CF: (2)利用相似比求OB的长， (3)由题意得到点B所在的两个极值位置，求出点B移动的最大距离， 【详解】(1)证明：连接OF, 35/68 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :AB切半圆O于点F,OF是半径， ∠0FB=90°， ,∠ABC=90°， .∠OFB=∠ABC, .OF∥BC, ..BC=OE,OE=OF .BC=OF, ∴四边形OBCF是平行四边形. ∴.OB ICF 即DECF OB AC (2)解：若△OBF∽△ACB,则OFAB, ..OB=AC.OF AB :∠A=30°，∠ABC=90°，BC=OE=2, .AC=4.AB=AC2-BC2 =23 又.0F=OE=2, :0B=4×2、45 233； 若△BOF∽△ACB」 OB AC OF BC, 4 ∴.OB=×2=4 21 0B-45 综上， 3或4： 36/68 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)解：如图，直角顶点B在直径DE的延长线上移动，在移动过程中，当移动的距离最小时，点B与点 E重合，当移动的距离最大时，点A与点F重合，切点为点A,移动的最大距离是线段BE的长， (E)B A(F) B 当点B移动过程中距点E的距离最大时，∠ABC=∠OAB=90°， .OAll BC :OF∥BC. .BC=OE,OE =OF .BC=OF, ∴四边形OBCF是平行四边形. ..OBI CF. ∠BAC=30°， .∠AB0=30°， .B0=4, ∴BE=2, 故点B移动的最大距离是线段BE的长为2. 题型3三角函数与圆 啸方法 固定解题模型：圆里求三角函数值，先构造直角三角形，三条路：作垂线、用直径、用切线， 解题步骤：①选一条构直角的路②把要求的角放进直角三角形③用边之比或同角三角函数关系 求值。 核心数据：直径所对的圆周角是直角；锐角三角函数的定义， 1.已知，△ABC是OO的内接三角形，AB=AC,△ABD与△ABC关于直线AB对称，AD与OO交于点 37/68 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 探究一：如图1，连接AO并延长交BC于点M交O0于点N,请判断下列结论是否正确.（在相应括号中， 正确的打“√”，错误的打“×”) ①OA⊥BC(): ②BD=BE(_): ③BD是⊙O的切线(_)· 探究二：连接D0并延长，交O0于点RJ交AB、AC分别于点GH (1)如图2，若DH⊥AC. ①求∠BAC的度数： ②试猜想AE与BD有怎样的数量关系？并说明理由. (2)如图3，若DH∥BC,求证：R6C三点在同一直线上. E E E D D M B N 图1 图2 图3 【答案】探究一：(1)①√；②√；③√：探究二：(1)①30°： ②AE=V2BD.理由如下： 如图，连接OA、OE、OB、OC, B :∠DAB=∠BAC=30°，AB=AC, ∴.∠ABC=∠ACB=75°. :.∠B0E=2∠BAE=60°，∠AOB=2∠ACB=150°， 38/68 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠A0E=90°， .OA=OE. ∴.AE=V20A, .∠B0C=2∠BAC=2×30°=60°，OB=OC, ∴.△BOC是等边三角形， .BC=OB :△ABD与△ABC关于直线AB对称， ∴BC=BD .BD=OB=OA, :.AE=BD: (2)如图，连接BE、CG、EG, E ○ :△ABD与△ABC关于直线AB对称， ∴.BC=BD,∠ABD=∠ABC,∠ADB=∠ACB,AD=AC=AB, .DH∥BC, :∠DGB=∠ABC, .∠ABD=∠DGB, .'DG=DB ∴DG=BC, 又：DG∥BC, ∴四边形DBCG是平行四边形， .CG∥BD :AD=AC=AB,∠BAD=∠BAC, ∴.∠ABC=∠ACB=∠ABD=∠ADB, 39/68 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :∠AEB+∠ACB=180°，∠AEB+∠DEB=180°， ∴.∠DEB=∠ACB ∴.∠DEB=∠EDB=∠ABD=∠DGB, ∴BD=BE 在△DBG和△BDE中， ∠EDB=∠GBD ∠DEB=∠BGD DB=BD .△DBG≌aBDE(AAS) ∴.DE=BG AD-DE=AB-BG,即AE=AG, AE AG .AD AB, .∠EAG=∠BAD, ∴.△EAG∽aDAB .∠AEG=∠ADB, .EG∥BD. :CG∥BD, .及GC三点在同一直线上 【分析】探究一：①利用垂径定理解答即可： ②利用轴对称的性质，圆内接四边形的性质和等腰三角形的判定定理解答即可： ③连接连接OB、CN,利用圆周角定理，轴对称的性质，同圆的半径相等的性质，等腰三角形的性质和圆 的切线的判定定理解答即可： 探究二：(1)①利用垂径定理和直角三角形的边角关系定理求得∠DAC,再利用轴对称的性质解答即可： ②连接OA、OE、OB、OC,,利用圆周角定理求得∠AOE=90°，得到AE=√2OA,再利用等边三角形 的判定定理和轴对称的性质解答即可得出结论： (2)连接BE、CG、EG，利用轴对称的性质，平行线的性质和等腰三角形的判定定理得到DG=BC, 得到四边形DBCG是平行四边形，则CG∥BD;利用全等三角形的判定与性质得到DE=BG,则 AE=AG,利用相似三角形的判定与性质得到∠AEG=∠ADB,则EG∥BD,利用平行公理解答即可得出 40/68 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 结论 【详解】解：探究一：①，AB=AC, ..AB=AC, :AN为直径， ·BN=C. .OA⊥BC. ①的结论正确. 故答案为：√； ②·：△ABD与△ABC关于直线AB对称， .∠D=∠C, :四边形ACBE为圆的内接四边形， .∠AEB+∠C=90°， ∠AEB+∠DEB=90°， ∴，∠DEB=∠C, .∠DEB=∠D, ∴BD=BE ∴②的结论正确、 故答案为：√： ③如图，连接OB、CN, B :AN为⊙O的直径， .∠ACN=90°， ,∠ACB+∠NCB=90° AB=AC, 41/68 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠ABC=∠ACB, ,△ABD与△ABC关于直线AB对称， ∴.∠ADB=∠ACB. ∴∠ADB+∠NCB=90°， ...OA=OB, ∴.∠BAN=∠OBA, .BN =BN. ∴∠BAN=∠BCN, ∴.∠OBA=∠NCB, ∴.∠ABD+∠OBA=90°， ∴.∠0BD=90°， ∴OB⊥DB, ,OB为⊙0的半径， ∴.BD是⊙O的切线 ③的结论正确. 故答案为：√： 探究二：(1)①，DH⊥AC, ∠AHD=90°. :△ABD与△ABC关于直线AB对称， ∴AC=AD」 AH=1AD 2 ,sin∠ADH=AH1 AD 2 ∠ADH=30°， .∠DAC=60°， ,△ABD与△ABC关于直线AB对称， 1 ∠DAB=∠BAC=5∠DAC=30° 42/68 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ②略. (2)略. 【点睛】本题考查了垂径定理，轴对称的性质，圆内接四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，圆周角 定理，圆的切线的判定定理，解直角三角形的应用，等边三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质， 全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，掌握相关知识点是解题关键 V5,55 2.如图1，以点M(L0)为圆心的圆与轴、x轴分别交于点A、及C2直线'=-了x+ y=- 3与⊙M相 切于点H,交x轴于点E,交y轴于点F. M E D B ⊙ 图1 图2 (1)填空：OE的长为； OF的长为；⊙M的半径为 ；CH的长为 ②)如图2，点P是直径CD上的一个动点（不与C、D重合），连结HP并延长交⊙M于点. ①当DP:PH=3:2时，求cos∠QHC的值； PO ②设tan∠OHC=x, =y PH,求y与x的函数关系式 55 【答案】(1)5,3,2,2 (2)① C0s/OHC= 4V3x 4:®y与r的函数关系武为'3+3 【分析】(1)利用直线解析式求出点B和点F坐标，进而得到OE和OF的长度，再根据边角关系可得 ∠OEF=30°，继而得到MH和CH: (2)①易证ADPOPAHPC,从而求出DO的长，进而即可得解： KO PO ②构造8字型相似，作K上x轴于点K,W⊥x轴于点万则W∥K0 =y HJ PH ,解直角三角形 CK tan∠KOC= =X CW可得HW=V5,进而得到K、DK和CK,再在Rt△KCO中， KQ”,进而建立等式求 43/68 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解 √353 v=- 【详解】(1)解：~直线 3t+ 3交x轴于点E,交y轴于点F, 5.55 0= 令y=0得， -x+ 3 3, 解得x=5, .0E=5: 5W5 令x=0得， 3， 0F=5v3 3: tan∠OEF= 0F5 0E3, .∠OEF=30° 连接MH,则∠ME=90°， M D E、 B 图1 M(1,0) ∴.OM=1, ∴.EM=4, :.MH=IEM=2 21 ,即⊙M的半径为2 :MC=MH,∠CMH=90°-30°=60°， :∴△MCH是等边三角形， ∴CH=2: 55 故答案为：5,3,2,2 44/68 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)解：①连接D0、C0, F A M D、O P E B C0=-C0, ∴.∠QDC=∠QHC ∠QPD=∠CPH ∴△DPO∽aHPC. DP DO 3 PH CH 2, CH=2, D0=3, CD为直径， CD=4,∠D0C=90°， ∴cosLODC= DO 3 CD 4. ∴.cos∠OHC= 45 ②由①知∠ODC=∠QHC, :.tan/OHC=un/ODC-co=x DO 如图，作OK⊥轴于点瓜，HW⊥x轴于点万则W∥K⑨ 45/68 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 F H D E B :∠MCH=60°，CM=2, .HW=CH.cos30°=V5 :HW∥K9, KQ_PO=y HJ PH K0=5y, 在RtADKO中， tan/KDO=DK Q =x ∴DK=g3y x, CD=4, CK=CD-DK=4-3y x, :∠DQC=90° ∴∠K0C=90°-∠KOD=∠KD0, am∠KOc-CK=x 在Rt△KCO中， KO, 4-5y=3yx .CK=KQx,即x 整理得v5(r+p=4 4V3x ∴y与x的函数关系式为3x+3. 【点睛】本题主要考查了圆周角定理、一次函数与坐标轴交点、特殊直角三角形、相似三角形的判定和性 质等内容，综合性强，难度大，熟练掌握相关知识是解题的关键， 46/68 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3.如图1，在⊙0中，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H,P是DC延长线上一点，过点P作OO的切 线PE,E为切点，连接BE交CD于点F D E O H D D 图1 图2 图3 (1)求证：PE=PF: (2)如图2，连接BD,若PE∥BD, ①求证：BF·EF=CF.BD, ②如图3，连接DE,PB,若四边形BDEP是平行四边形，BF=2N2,求平行四边形BDEP的面积. 【答案】(1) 证明：如图1，连接OE,则OE=OB, E F B D 图1 ,CD⊥AB于点H,交BE于点F, .∠BHF=90°，∠PFE=∠BFH, ·∠PFE+∠B=∠BFH+∠B=90°， :.PE与⊙0相切于点E, .PE⊥OE. ∴.∠PEF+∠OEB=∠OEP=90°， ∠B=∠OEB .LPFE=∠PEF, .PE=PF: 47/68 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (②)①证明：如图2，连接CE, D 图2 ∠CEF=∠D,∠CFE=∠BFD, ∴.ACFE∽aBFD, EF CF DF BF ∴BF,EF=CF·DF, ∴PE∥BD, .∠PEF=∠DBF, ∴.∠PFE=∠DFB,且∠PEF=∠PFE, .∠DBF=∠DFB, ∴DF=BD BFEF=CF·BD: ②8v7 【分析】(1)连接OE,则OE=OB,由∠BF=90,∠PFE+∠B=∠BFH+∠B=90°，由切线的性质得 PE⊥OE,则∠PEF+∠OEB=∠OEP=90°，而∠B=∠OEB,则∠PFE=∠PEF,所以PE=PF: EF CF (2)①连接CE,由∠CEF=∠D,∠CFE=∠BFD,证明△CFEABFD,得DFBF,则 BF·EF=CF·DF,由PE∥BD,得∠PEF=∠DBF,可证明∠DBF=∠DFB,则DF=BD,所以 BF.EF =CF.BD ②连接AE、AD,则∠AEB=∠ADB=90°，由平行四边形的性质得EF=BF=2V2,则BE=4V2,可证 BF BH AH DH 明△FHB~△AEB,得BABE,求得BHBA=BFBE=I6,再证明△AHDPADHB,得DHBH,则 48/68 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 DH=BHAH=16-BH2,所以PF=DF=BD=VDH+BH=4,则PD=8,由 (222-(4-DH=4-DH=BH,求得DH=3,则BH=VBD2-D=V7,所以S,r=4V7,则 S平行四边形BDEP=2S.DP=8V7 【详解】(1)略 (2)①略 ②解：如图3，连接AE、AD, B D 图3 AB是⊙O的直径， .∠AEB=∠ADB=90, :四边形BDEP是平行四边形， ∴.EF=BF=2N2, ∴.BE=2BF=4V2, ∴.∠FHB=∠AEB=90°. ∠FHB=∠ABE, ∴.△FHB∽AAEB, BF BH BA BE, .BH·BA=BF.BE=2N2×4N2=16, ∠AHD=∠DHB=90°， ∠ADH=∠DBH=90°-∠BDH, ∴.△AHD∽ADHB, 49/68 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AH DH DH BH, :.DH=BH-AH-BH(BA-BH)=BH.BA-BH=16-BHP2 .DH2+BH2=16, .PF=DF=BD=DH2+BH2 =16=4, .PD=2PF=8, .BF2-FH2 BD2-DH2=BH2 B FH=4-DH, :(22-(4-DH}=4-DH ∴DH=3, BH=BD2 -DH2=V4-3= S.wr -PD.BH=x8x7=47 2 2 .EP=BD,DE PB,PD=DP ·aEPD≌*BDP(SSS)」 .S.EPD=S.mDp=4V7 片.S平行四边BDm=2S,Dp=8V万 “平行四边BDEP的面积为8√7. 【点睛】本题考查了切线的性质，垂径定理，相似三角形的性质与判定，勾股定理，全等三角形的性质与 判定，平行四边形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键 4.如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙0上一点，CD是⊙0的切线，且AD⊥CD于点D,延长DA 交⊙O于点M,连接CM交AB于点F, 50/68 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B F B M M 图1 图2 1)如图1，作CE⊥AB于点E, ①求证 △CDA≌ACEA ②若AE=EF,CF=3,则FM的长 CF 13 (2)若FM10'求tan∠AMC. 【答案】(1)①证明：：CE⊥AB ∴∠CEA=90°，∠ACE+∠CAB=90°， ,CD是⊙O的切线， .OC⊥CD, ∴∠DCA+∠AC0=90°， OA=OC, .∴∠BAC=∠OCA, .∠DCA+∠BAC=90°， ∴.∠DCA=∠ACE, ,AD⊥CD .∠ADC=90°-=∠AEC, 又：AC=AC, ∴.aCDM≌aCEA;:②FM=3V2 2 (2)3 【分析】(1)①切线的性质，得到OC⊥CD,等边对等角得到∠BAC=∠OCA,等角的余角相等，推出 ∠DCA=∠ACE,利用AAS,即可得证；②连接OM,BC,根据圆周角定理，同角的余角相等，推出 ∠ACE=∠AMC,证明OC∥DM,推出∠ACE=∠OCM,证明CE垂直平分AF,三线合一推出 51/68 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠CAE=∠FCE,进而得到∠CAE=∠FCE=∠DCA=∠OCF,推出△AOM为等腰直角三角形，得到 AM=√2OA=√2OC,证明aOFC∽aAFM,列出比例式求解即可： OC CF 13 (2)过点C作CE⊥AB,根据△OFCOAAFM,得到AMFM10,设设OC=13x,AM=10x,勾股 CE=- 定理求出BM的长，证明△MABAEOC,推出2 BM =12x OE=7AM=5x ,进而求出CD,DM的 长，在Rt△CDM中，利用正切的定义，进行求解即可. 【详解】(1)解：①略 ②连接OM,BC, B 图1 ,AB是直径， ∴.∠ACB=90° .∠B+∠CAB=90°， .∠ACE+∠CAB=90°， .∠ACE=∠B ,∠AMC=∠B, ∴.∠ACE=∠AMC, OC⊥CD,CD⊥AD ∴.OC∥DM, ∴.∠AMC=∠OCM, .∠ACE=∠OCM, :AE=EF,CE⊥EF, ..CA=CF, ∴.∠CAE=∠FCE, 52/68 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠CAE=∠FCE=∠DCA=∠OCF .∠CAE+∠FCE+∠DCA+∠OCF=∠OCD=90°， ∴.∠CAE=∠FCE=∠DCA=∠OCF=22.5°. “.∠ACM=∠ACE+∠FCE=45, '.∠A0M=2∠ACM=90°， ...OA=OM, ∴.△AOM为等腰直角三角形， .AM=20A=20C, OC∥DM, ∴.AOFCOAAFM, FM_AM-五 ∴.C℉OC .FM=2CF=32 (2)过点C作CE⊥AB,由(1)知：△ADC≌△AEC, M 、CD=CE,AD=AE 由(1)②可知：OC∥DM,△OFC∽aAFM, OC CF 13 ∴.∠BAM=∠COE,AMFM1o. ∴.设0C=13x,AM=10x,则：OA=13x, AB是直径， .AB=20C=26x,∠AMB=90°， .BM=√AB2-AM2=24x, :∠OEC=∠AMB=90°，∠MAB=∠COE 53/68 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .△MAB∽△EOC, OC CE OE 1 .AB BM AM 2. CE=1BM=12x OE=1AM=5x 2 2 、AE=OA-OE=8x, .'AD=AE=8x,CD=CE=12x, ∴.DM=AD+AM=18x, tan∠Mc=CD-l2x_2 在RtACDM中， AD 18x 3 【点睛】本题考查切线的性质，圆周角定理，全等三角形的判定和性质，中垂线的判定和性质，等腰三角 形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，求正切值，熟练掌握相关知识点，添加辅助线构造特殊图形， 是解题的关键， 5.如图1，RIABC中，∠ABC=90°，AB=20,BC=15,以AB为直径的⊙0交AC于点D,M是BC的 中点，连接DM. D D D M E E O B A (图1) (图2) (图3) (1)求证：MD是⊙0的切线： (②)如图2，过点B作MD的平行线交AC于点E. ①求AE的长 ②如图3，点P在线段BE上，连接DP并延长交⊙0于点Q,连接BD,当 一2s时，求D四的值 4 【答案】(1)证明：以AB为直径的⊙O交AC于点D,M是BC的中点，如图1，连接OD、BD、OM, 54/68 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D M A (图1) .∠ADB=∠CDB=90°， .BM=DM=CM, .∴∠MDB=∠MBD, OB=OD ∴∠ODB=∠OBD, :∠MBD+∠OBD=∠ABC=90°， :.∠ODM=∠MDB+∠ODB=90°， :OD是⊙0的半径， .MD是⊙O的切线： 2)①7；②D0=10W2 【分析】(1)连接OD、BD、OM,利用圆周角定理，直角三角形性质，以及等腰三角形性质得到 ∠MDB=∠MBD,∠ODB=∠OBD,再利用等量代换得到∠ODM,即可证明MD是OO的切线： (2)①连接BD,利用勾股定理求出AC,利用解直角三角形得到CD,由(1)可知DM=CM,结合等 腰三角形性质和等量代换得到BE=BC,再结合等腰三角形性质得到CE,最后根据AE=AC-CE求解， 即可解题： ②过点D作DH⊥BE于H,连接BD,结合题意得到EP,利用解直角三角形得到DH,EH，,进而得到 PH,DP,连接A犯，证明△EDP∽aODA,利用相似三角形性质求解即可. 【详解】(1)略 (2)解：①在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=20,BC=15,如图2，连接BD, 55/68 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D M E B (图2) 由勾股定理得：AC=√AB2+BC2=25 :AB为⊙0的直径 ∠ADB=90°， ,∠A+∠ABD=∠CBD+∠ABD, ∴.∠A=∠CBD」 CD =sin∠CBD=sin∠A= BC 则CB AC, 解得CD=9, BE∥DM, ∴.∠CDM=∠CEB, 由(1)可知DM=CM. .∠C=∠CDM, ∴.∠C=∠CEB, .BE=BC=15. BD⊥AC, .CE=2CD=18 ∴AE=AC-CE=7: ②过点D作DH⊥BE于H,连结BD,AQ,AD=AC-CD=I6, 56/68 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D M E (图3) 21 ADPB EP 21 BP 4, ..EP 21BE=15×21-63 25 255 在△DEP中，∠ADB=90°， DE=CD=9tan∠DEB=tan∠C-20-4 153, BD BD 4 CD =9=3, .BD=12, ∴DH= DE·BD36 EH= 3DH27 BE 5 45, ∴PH=6327_36 555, ..DP= 连接4犯， :∠DEB=∠C=∠DBA=∠DOA, ∠EDP=∠ODA, ∴EDP△ODA, DP DE DA DO ∴DP.D0=DE.DA=9×16=144 57/68 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ·Dg= 144 =102 36√2 5 6.(2026·四川宜宾·模拟预测)如图，DE是⊙O的直径，点A为⊙O上一点（不与D,E重合），点 B为ED的延长线上一点，连接BA并延长至点M,且AD平分∠BAC. M (1)求证：∠CAE=∠MAE: (2)求证：OE2=OB·OC: (3)若BM与⊙O相切于点A,BD=5,CD:OC=2:3,求tan∠AED的值. 【答案】(1)证明：.AD平分∠BAC, ∴.∠BAD=∠CAD, .DE是⊙O的直径， ∴.∠DAE=90°， .∴.∠CAD+∠CAE=90°，∠BAD+∠MAE=90°， ∴.∠CAE=∠MAE: (②)证明：如下图所示，连接OA, M E.OA=OD ∴.∠ODA=∠OAD ·.∠ODA=∠B+∠BAD,∠OAD=∠OAC+∠CAD,∠BAD=∠CAD, ∴.∠B=∠OAC, .∠AOC=∠BOA, .∴.△AOC-△BOA, 58/68 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 OA_OC OB OA ,即0A2=0B·0C, .OE=OA, ∴.0E2=OB·0C: ③an∠AED-号 【分析】(1)根据直径所对的圆周角是直角可得∠DAE=90°，从而可得∠CAD+∠CAE=90°， ∠BAD+∠MAE=90°，再根据等角的余角相等可证结论成立； (2)连接OA,可证△AOC一△BOA,根据相似三角形对应边成比例可证结论成立； (3)根据切线的性质可证∠OCA=∠OAB=90°，设CD=2X,OC=3x,则有OA=5x,OB=5x+5, 根据OA=OB·OC可得关于x的方程，解方程可以求出，OC=4.5,OA=7.5,CE=12,利用勾股定理 即可求出AC=6,根据正切的定义即可求出结果. 【详解】(1)略 (2)略 (3)解：，BM与⊙O相切于点A, M E∴.∠BAO=900 .△AOC-△BOA, ∴.∠OCA=∠OAB=90°， .CD:OC=2:3, 设CD=2x,OC=3x, BD=5, ..OA=OD=OC+CD=5x,OB=OD+BD=5x+5, .OA2=OB.OC, ∴.5x2=5+5x3x 解得：名=0（不符合题意，合去），为号 59/68 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.CD=3,0C=4.5, .OE=OA=5x=7.5,CE=OC+OE=12, 在Rt△AC0中，AC=OA2-0C2=6 ∴.tan∠AED=AC=6-1 CE122 7.(26-27九年级上·浙江宁波·阶段检测)如图，在⊙O中，CE是一条不过圆心O的弦，点A,D是 弧CE的三等分点，直径AB交CE于点H,连结CD交AH于点G,连结AC,过点A的切线交EC的延长线 于点F. B E (1)求证：CD‖AF. ②)若0c=3 AG之：求tan∠ECG的值. (3)连结EA交CD于点M,若⊙O的半径为5. ①若AE=7,求OH的长， ②若AG=2,求△CME的周长 ③若HF·CE=52,求△EAF的面积. 【答案】(1)证明：连接BC, 60/68 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B D E AF为⊙O的切线， ∴∠FAC+∠CAB=90°， ,AB为⊙O的直径， .∠ACB=90°， ∴.∠CAB+∠1=90°， .∠1=∠FAC, .∠1=∠2， ∴.∠2=∠AC, ,点A,D是CE的三等分点， ..AC=AD=DE. ∴∠2=∠3， .∠FAC=∠3， .CD‖AF ®时 3)①V51-5②1+225g54 5 -③ 【分析】(1)利用切线与直径垂直、直径所对圆周角为直角推导等角，结合弧三等分的等角关系，通过 内错角相等证明CD‖AF (2)设OG=3k、AG=2k,由弧三等分推得CD⊥AB且AG=GH,在Rt△CGO中用勾股定理求CG, 61/68 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 进而计算tan∠ECG (3)①由弧三等分得CD=AE,结合垂径定理得CG长度，在Rt△CGO中用勾股定理求OG,再通过线 段差计算OH」 ②先由勾股定理求CG与CD,通过三角形相似求出GM,得到MC=ME的长度，分段求和得到△CME的 周长 ③设CH=t,结合线段关系与相似三角形列方程解得t,再利用相似三角形的面积比求出△EAF的面积. 【详解】(1)略 (2)解：如图，连接CO, 4 G H B D E 0G_3 AG 2 设OG=3k、AG=2k, ∴.CO=AO=AG+OG=5k :点A,D是CE的三等分点， ..AD=DE, ∴.∠1=∠2， .CD AF, .∠AB=∠CGB=90°，即CD⊥AB, ∴.∠CGA=∠CGH=90°， .∠3=∠4， ..CA=CH. 62/68 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ..AG=GH=2k, 在Rt△CG0中，由勾股定理有CG2+G0'2=C02,即CG=5k-3k=4k &tan∠ECG-Gl=2k-1 CG 4k 2 (3)解：①如图，连接CO, G H 3 E ,点A,D是CE的三等分点， ∴.AC=AD=DE, ∴.CD=AE, ..CD=AE=7, ,CD‖AF, .∠FAB=∠CGB=90°，即CD⊥AB, .CG-CD-7 ⊙0半径为5， 在Rt△CG0中，由勾股定理有cG2+G0'=C02,即c0=52- 51 AG=A0-G0=5- V51 2 ,∠CGA=∠CGH=90°，∠1=∠2， ∴.∠CAG=∠CHG, 63/68 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ..CA=CH, AG=HG-5-51 OH=AO-AG-HG=5- =951-5 故0H=51-5. ②如图，连接CO,过点H作HT⊥AE交AE于点T, B M 2 D E ,AG=2且⊙O半径为5， .G0=A0-AG=3,C0=5, .CD‖AF, ∴∠AB=∠CGB=90°，即CD⊥AB, 在Rt△CG0中，由勾股定理有cG2+G0'=C02,即cG=5-3=4 .CD=2CG=8, .AC=AD=DE, .CD=AE,∠1=∠2=∠3， .'.CD=AE=8, ,∠CGA=∠CGH=90°， ∴.∠CAG=∠CHG, ∴CA=CH, 64/68 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ..AG=HG=2, ∴AH=2AG=4, 则有an∠1=an∠2=HC=2-1 CG 42 .设HT=m、ET=2m, ∴，AT=AE-ET=8-2m, 在Rt△AHT中，由勾股定理得AT2+HT2=AH,即m2+8-2mP=4 12 解得m1=专、m,=4, .AH>HT,即m<4, ∴.m2不符合题意舍去， 12 :m=5 在Rt△EHT中，由勾股定理有HT2+ET2=EH,即EH=m+12mP=5m=125 5 :∠MAG=∠i、∠AGM=∠ATH=90°， .∴△AMG一△AHT, 华停。兴6 8-2mm ·ME=MC=GM+CG-3 2 在Rt△CGH中，由勾股定理得CG2+GH=CH,即CH=2+4=25 Cace=ME+MC+CH+HE=号+号+25+125-11+25 22 5 故△CME的周长为11+225 5 ③如图，连接BC, 65/68 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B D E AB为⊙O直径， ∴∠ACB=90°， ,CD‖AF, “∠FAB=∠CGB=90°，即CD⊥AB, .∠1+∠GCB=∠GCB+∠3=90°， .∠1=∠3， .∠AGC=∠ACB=90°， ∴.△AGC~△ACB ..AG_AC AC=AB,即AC2=AG·AB, :点A,D是CE的三等分点， ∴CA=AD=DE, .∠1=∠2， ,∠CGA=∠CGH=90°， .∠4=∠5， ∴.CA=CH, ∴.AG=HG, 设CA=CH=t, .⊙0半径为5， ∴.AB=10, 66/68 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 t2 由AC2=AG~AB可得AG=1 HG-AG= 0 t2 ·AH=2HG= .HB-AB-AH-10- 在Rt△AFH中有∠5+∠F=∠4+∠FAC=90°， .∠F=∠FAC, ∴.CF=CA=CH=t, ∴.HF=2CH=2t, 由HF:CE=52可得CE=26, :.HE=CE-CH=26-t, t ,∠3=∠E、∠AHE=∠CHB, .△AHE≈△CHB t 26-t AH_HE ÷Ce 5-t 10- 5 解得2=10t2=65 :CE>CH,即29>t,2<26, t 故t2不符合题意舍去， ∴.t=10,即AC=CH=CF=V10, HG-AG= =1, 10 ∴在Rt△CGH中，由勾股定理有cG2+GH2=CH即cG=1o-1P=3 ,点C点G分别为HF、HA的中点， ∴.CG为△AHF的中位线， 67/68 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .AF=2CG=6, S。c=3AF-AG=3. ,∠FAC=∠1=∠E, ∴.△CFA~△AFE, :S△AcF= CF, 即3 V10 54」 S△EAF AF SAEAF 6 解得SAEN 5 故△EAP的面积为 54 68/68