专题09 圆章末22易错+8压轴题型（专项训练）数学新教材北京版九年级上册
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内容正文：
专题09 圆章末22易错+8压轴题型
常考题型·精准突破
考点一 圆章末易错题型
易错题型一、圆的基本概念辨析
易错题型二、圆中的弦
易错题型三、圆的周长和面积问题
易错题型四、确定圆的条件
易错题型五、三角形外接圆的概念辨析
易错题型六、三角形外心问题
易错题型七、判断三角形外接圆的圆心位置
易错题型八、圆心角概念辨析
易错题型九、求圆弧的度数
易错题型十、圆周角定理
易错题型十一、90度的圆周角所对的弦是直径
易错题型十二、圆的内接四边形
易错题型十三、利用垂径定理求值
易错题型十四、垂径定理的推论
易错题型十五、垂径定理的实际应用
易错题型十六、直线与圆的位置关系
易错题型十七、切线的判定与性质
易错题型十八、切线长定理
易错题型十九、正多边形与圆
易错题型二十、求弧长
易错题型二十一、求扇形面积
易错题型二十二、求圆锥侧面积
考点二 圆章末压轴题型
压轴题型一、圆的性质问题压轴
压轴题型二、确定圆的条件压轴
压轴题型三、圆周角定理压轴
压轴题型四、圆内接四边形压轴
压轴题型五、垂径定理压轴
压轴题型六、直线与圆的位置关系压轴
压轴题型七、弧长、扇形面积计算压轴
压轴题型八、圆中综合问题（最值、旋转、翻折等）
常考题型·精准突破
考点一 圆章末易错题型
◆易错题型一、圆的基本概念辨析
1．下列说法中，正确的是（ ）
A．弦是直径 B．半圆是弧
C．过圆心的线段是直径 D．等圆的半径不一定相等
【答案】B
【详解】解：A、 弦是连接圆上任意两点的线段，直径是过圆心的特殊弦，弦不一定是直径，错误；
B、半圆是直径的两个端点分圆所得的弧，属于弧的一种，正确；
C、过圆心且两端都在圆上的线段才是直径，仅过圆心的线段不一定是直径，错误；
D、等圆是能够完全重合的圆，半径一定相等，错误．
2．下列说法中，正确的是（ ）
A．弧是半圆，半圆是弧
B．直径是弦，弦不一定是直径
C．长度相等的弧是等弧
D．圆的任意一条弦都等于直径的一半
【答案】B
【分析】注意区分弧与半圆、弦与直径、等弧与长度相等的弧等易混概念，逐一判断选项．
【详解】解：A选项，弧不一定是半圆，半圆是弧，A错误；
B选项，直径是弦，弦不一定是直径，B正确；
C选项，长度相等的弧不一定在同圆或等圆中，不一定能完全重合，不是等弧，C错误；
D选项，弦的长度不一定等于直径的一半，D错误．
3．把圆规的两脚分开，两脚间的距离是，再把有针尖的一只脚固定在一点上，把装有铅笔尖的一只脚旋转一周，就画出一个圆，则这个圆的（ ）
A．半径是 B．直径是 C．周长是 D．面积是
【答案】A
【详解】解：∵圆规两脚间的距离为所画圆的半径，两脚间距离为．
∴该圆的半径为．
◆易错题型二、圆中的弦
4．如图，是的直径，点C、D在上，连接、，则图中的弦共有（ ）
A．2条 B．3条 C．4条 D．5条
【答案】B
【详解】解：图中的弦有，共3条．
5．如图，四点在上，点，点分别共线，则图中弦的条数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】本题考查圆的认识，理解弦的定义是解决本题的关键．根据弦的定义进行分析，从而得到答案．
【详解】解：图中的弦有共三条，
故选：B．
6．如图，在中，点，，在一条直线上，点，，在一条直线上，那么图中有弦（ ）
A．2条 B．3条 C．4条 D．5条
【答案】B
【分析】本题考查了圆的认识，根据弦的定义进行判断．掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）．
【详解】解：弦为、、．
故选：B．
◆易错题型三、圆的周长和面积问题
7．为了庆祝国庆，三中计划将总面积为（）的盆栽花圃摆放为一个圆形花圃．花圃周围用白色栅栏围起来，栅栏紧挨花圃周边盆栽；则所需栅栏的长度为_______；（用含的代数式表示）
【答案】
【分析】利用面积求出圆的半径，根据周长公式计算出栅栏总长度即可．
【详解】解：设圆形花圃的半径为，
根据题意得，
解得（负值舍去），
所以所需栅栏的长度为．
8．小海同学用一根细绳绕某一个圆形物体一周，剪去多余的部分，再拉直量出绳子的长度为（取），则这个圆形物体的直径是______．
【答案】
【分析】由题意可知，绳子拉直后的长度为该圆形物体的周长，根据圆的周长公式即可计算出直径．
【详解】由题意得，该圆形物体的周长，圆的周长公式为 （其中为圆的直径，取），变形得 ，
∵，
代入数据得 ．
9．．已知图1、图2中两个半圆的半径相等，分别是两圆的圆心，图1中的阴影部分面积为，图2中的阴影部分面积为，那么与之间的大小关系是______．
【答案】
【分析】设两个圆的半径都是r，则图1中长方形的长为，宽为r，图2中三角形的底为，高为r，图1中阴影部分的面积为长方形的面积减去半圆的面积，图2中阴影部分的面积为半圆的面积减去三角形的面积，再进行比较所得面积的大小．
【详解】解:设两个半圆的半径都是r，则图1中长方形的长为，宽为r，
图2中三角形的底为，高为r，
∴ ．
◆易错题型四、确定圆的条件
10．在中，，D为斜边的中点．求证：A、B、C三点在以点D为圆心、以为半径的同一个圆上．
【答案】证明：由D为斜边的中点，
得为斜边上的中线，
由定理“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，得，
所以A、B、C三点到D的距离都等于，
即三点在以点D为圆心、以为半径的同一个圆上．
【分析】依据直角三角形斜边中线定理得到，再由圆的定义得三点共圆．
【详解】略．
11．如图，是圆的一条弦（不是直径）．仅用无刻度的直尺和圆规按下列要求作图，并保留作图痕迹，不写作法．
(1)作圆心和的中点．
(2)连接，交于点，若，，求的半径．
【答案】(1)如图，点和点即为所求，
(2)
【分析】（1）在圆弧上再取一点，连接，作两条弦的垂直平分线，交点即为圆心，的垂直平分线与的交点即为点；
（2）连接，由垂径定理的逆定理可得，，使用勾股定理计算出的值即可．
【详解】（1）略
（2）解：如图，连接，
由（1）可知，点是的中点，
∴，
∴，
在中，．
12．小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，带如图的玻璃碎片到商店配到与原来大小一样的圆形玻璃，以下是工作人员顺序被打乱的操作步骤：
①连接和；
②在玻璃碎片的圆弧边缘任意找三点A、B、C；
③以点O为圆心，为半径作；
④分别作出和的垂直平分线，并且相交于点O．
正确操作步骤的排列序号为______．
【答案】②①④③
【分析】同一平面内，不共线的三点可确定一个圆，一个圆的圆心一定在该圆的一条弦的垂直平分线上，因此第一步在圆弧上任意找三点，进而可得圆的两条弦，作这两条弦的垂直平分线，二者的交点即为圆心，进而可作出对应的圆，据此可得答案．
【详解】解：首先在玻璃碎片的圆弧边缘任意找三点A、B、C，即步骤②，然后连接和，将这三点转化为三角形的边（即圆的弦），即步骤①．根据垂径定理的推论，弦的垂直平分线经过圆心，分别作出和的垂直平分线，它们的交点即为圆心，即步骤④． 最后以点O为圆心，为半径作，即可得到原来的圆形玻璃，即步骤③．
故正确的操作步骤是②①④③．
◆易错题型五、三角形外接圆的概念辨析
13．下列关于三角形外心的说法中，错误的是（ ）
A．三角形的外心到三个顶点的距离相等
B．三角形的外心是三条边的垂直平分线的交点
C．等腰三角形的外心在三角形内
D．任何一个三角形有且只有一个外接圆
【答案】C
【分析】可通过外心位置与三角形形状的对应关系判断错误选项．
【详解】解：A选项，符合三角形外心的定义与性质，说法正确．
B选项，符合三角形外心的定义与性质，说法正确．
C选项，等腰三角形若为钝角三角形，外心在三角形外部；若为直角三角形，外心在斜边中点，
故等腰三角形的外心不一定在三角形内，说法错误．
D选项，任何一个三角形有且只有一个外接圆，说法正确．
14．下列说法：
①三点确定一个圆；
②平分一条弦的直径垂直于这条弦；
③长度相等的弧是等弧；
④三角形只有一个外接圆．
其中真命题有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】D
【详解】解：①不在同一直线上的三点确定一个圆，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
②平分一条弦（不是直径）的直径垂直于这条弦，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
③长度相等的弧不一定是等弧，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
④三角形只有一个外接圆，正确，是真命题，符合题意．
真命题有1个．
15．如图，点，，均在的正方形网格格点上，过，，三点的外接圆除经过，，三点外还能经过的格点数为____．
【答案】5
【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，解题的关键是掌握三角形外心的定义（三角形三边垂直平分线的交点），并通过作图确定外接圆经过的格点．
先作出、的垂直平分线，找到它们的交点（即外接圆的圆心），再以为圆心、为半径作圆，最后数出该圆除、、外经过的格点数．
【详解】解：如图，分别作、的中垂线，两直线的交点为，
以为圆心、为半径作圆，则即为过，，三点的外接圆，
由图可知，还经过点、、、、这5个格点，
故答案为：5．
◆易错题型六、三角形外心问题
16．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是点、点、点，则的外心的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据网格作，的垂直平分线，两条线交于点，可得点是的外心．
【详解】解：如图，根据网格作，的垂直平分线，两条线交于点，
点是的外心，
的外心的坐标为．
17．如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点均在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O为原点建立平面直角坐标系，则过三点的圆的半径为（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了三角形外接圆圆心的确定，勾股定理等知识，确定圆心坐标是关键；确定外接圆的圆心坐标，再根据勾股定理即可求解．
【详解】解：如图，圆心M的坐标，
∵，
∴，
∴的半径为，
故选：C．
18．如图，在平面直角坐标系中，一条圆弧经过网格点A，B，C，其中点A的坐标为、点B的坐标为、点C的坐标为，那么该圆弧所在的圆心坐标为______．
【答案】
【分析】本题考查确定圆心的方法，理解圆弧所在圆的圆心是圆弧中任意两条弦的垂直平分线的交点是解题的关键．
由网格容易得出的垂直平分线和的垂直平分线，它们的交点即为圆心．
【详解】解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，作弦和的垂直平分线，如图所示，
它们的交点D为该圆弧所在圆的圆心，
由图知，，
该圆弧所在的圆心坐标为，
故答案为：．
◆易错题型七、判断三角形外接圆的圆心位置
19．如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A、B、C、D、E、F、G都在小正方形的顶点上，则的外心是（ ）
A．点D B．点E C．点F D．点G
【答案】A
【分析】本题考查了三角形的外心，熟练掌握三角形的外心的定义是解题关键．根据三角形的外心：三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，结合网格特点画出的垂直平分线，由此即可得．
【详解】解：结合网格，画出的垂直平分线如图所示：
则的外心是点．
故选：A．
20．如图，在正方形网格中，一条圆弧经过A、B、C三点，那么所对的圆心角度数是______．
【答案】/90度
【分析】本题考查了圆心角的求解、勾股定理及其逆定理．找到圆心是解题关键．
连接，分别作的垂直平分线，即可得到圆心．分别求出，根据勾股定理的逆定理即可求解．
【详解】解：连接，分别作的垂直平分线，即可得到圆心，
由图可得：，，
∴，
故，
即所对的圆心角为．
故答案为：
21．如图，在4×4的网格中，点，，，，，，均在格点上，则的外心是（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
【答案】C
【分析】本题主要考查三角形的外心，关键是熟练掌握三角形的外心的概念．根据三角形的外心是三边的垂直平分线的交点，再结合图形进行判断即可．
【详解】解：三角形的外心是三边的垂直平分线的交点，
三角形的外心到三个顶点的距离相等．
由图可知，设网格中每个小正方形的边长为，
则点到三个顶点的距离均为，
即点到三个顶点的距离相等，
的外心是点．
故选：C．
◆易错题型八、圆心角概念辨析
22．如图，为的弦，，则所对的圆心角等于（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先根据圆的半径相等确定的度数，然后根据三角形内角和定理求出的度数．
【详解】解：，都是的半径，
，
，
，
所对的圆心角等于．
23．把一个圆分割成个扇形，各个扇形面积的比为，则最大的圆心角的度数是______．
【答案】/144度
【分析】该题考查了圆心角，解一元一次方程，扇形面积比等于圆心角比，设比例系数为，根据圆心角和为列方程求解．
【详解】解：∵各个扇形面积的比为，
设四个扇形的圆心角分别为，，，，
则，
解得：，
最大圆心角为．
故答案为：．
24．如图所示，为的弦，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质和三角形内角和定理，熟练掌握圆的半径相等（等腰三角形的判定）是解题的关键．
先根据圆的半径相等得出等腰三角形，再利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算的度数．
【详解】解：∵、是的半径，
∴，
∴（等腰三角形两底角相等），
∵在中，，
∴，
故选：．
◆易错题型九、求圆弧的度数
25．如图，在中，，以点C为圆心，为半径的圆分别交、于点D、点E，则弧的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了圆心角，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握圆心角的定义；先求出，再根据等腰三角形的性质求出，即为弧的度数，即可得解．
【详解】解：，
，
，
，
，
弧的度数为，
故选：．
26．如图，一把三角尺，，．将其放置在量角器上，点O与圆心重合，若三角尺的直角边和量角器所在圆的半径相等，点C是斜边与量角器边缘的交点，若B点的对应刻度为，则C点的对应刻度为_______．
【答案】/82度
【分析】本题考查圆心角与它所对弧关系，等边三角形的判定和性质，三角形内角和定理．关键是由等边三角形的性质得到．
连接，由，，推出是等边三角形，得到，由B点的对应刻度为，即可求出D点的对应刻度．
【详解】解：连接，如图，
在中，
∵，，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵B点的对应刻度为，
∴D点的对应刻度是．
故答案为：．
27．如图， 是的直径，弦，若，则的度数是__________．
【答案】/30度
【分析】连接，根据平行线的性质可得，由可得，再根据三角形内角和定理可求得的度数，即的度数．
【详解】
连接，
，
．
，
，
，
∴的度数是．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了弧的度数：圆中，弧的度数即弧所对的圆心角的度数，掌握这一点知识是解题的关键．
◆易错题型十、圆周角定理
28．如图，线段是的直径，弦，如果，那么________．
【答案】
【分析】由垂径定理可知，根据同弧（或等弧）所对的圆周角是圆心角的一半即可解答．
【详解】解：是的直径，弦，
，
．
29．如图，的半径为2，是的内接三角形，于D， 于E，当时，线段的长是（ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】A
【分析】连接，作，圆周角定理得到，进而求出，垂径定理求出的长，推出为的中位线，即可得出结果．
【详解】解：连接，作，则，
∵的半径为2，是的内接三角形，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵于D， 于E，
∴，
∴为的中位线，
∴．
30．如图，，是的两条弦，．
(1)求证：；
(2)若，，求的半径．
【答案】(1)
证明：，
，
，
，
；
(2)的半径为
【分析】（1）根据题意得到，即可得到，证明，即可证明结论；
（2）连接，，，根据圆周角定理得到，证明，得到是等腰直角三角形，在中，，即，即可得到答案．
【详解】（1）略
（2）解：如图，令的交点为，连接，，，
∵，
∴，
，
，
在和中，
，
，
又，
是等腰直角三角形，
，
，
设的半径为．
在中，，即，
解得，
的半径为．
◆易错题型十一、90度的圆周角所对的弦是直径
31．如图，是正方形内一点，满足，连接，若，则长的最小值为_____．
【答案】/
【分析】此题考查了正方形的性质，勾股定理和圆周角定理，根据题意得到点的运动轨迹，结合圆的性质得到最小时的情形，再利用正方形的性质和勾股定理求解，解题的关键是熟练掌握正方形的性质，勾股定理和圆周角定理的应用．
【详解】如图，
∵，
∴点在以中点为圆心，为直径的圆上，
则长的最小时，点三点共线，
∵四边形是正方形，
∴，，
在中，，
由勾股定理得：，
∴，
故答案为：．
32．如图，圆内接四边形的对角线交于点平分，．
(1)求证：平分；并求的大小；
(2)过点作交的延长线于点，若，圆的半径长为8，求的长．
【答案】(1)
证明：，
，
平分，
平分，
(2)
【分析】本题考查了圆周角定理、角平分线的定义、圆内接四边形的性质、等边三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）由圆周角定理结合得出，即可得出平分，由角平分线的定义得出，再由圆内接四边形的性质得出，即可得解；
（2）证明出是等边三角形，得出，从而得出，再由圆内接四边形的性质求出，从而即可得解．
【详解】（1）证明：，
，
平分，
平分，
，
∵四边形是圆内接四边形，
，
，
，
，
；
（2）解：由（1）知：，，
是圆的直径，，
，，
，
是等边三角形，
，
又平分，
，
，
，
，
，
∵四边形是圆内接四边形，
，
，
，
，
，
．
33．如图，是的直径，交于点C，P为圆上一动点，M为的中点，连接，若的半径为6，则长的最大值是__________________．
【答案】
【分析】本题考查了直径所对的圆周角是及三角形的中位线的性质；连接，，取中点，连接、，是⊙的直径，可推出，根据中位线的性质可知，则在以为直径的圆上，当与点重合时，最大，根据求出长代入即可．
【详解】解：连接，，
∵是⊙的直径，
∴，
∵为的中点，为的中点，则，
∴
∴，
取中点，连接，
∴在以为直径的圆上，
∴当过点重合时，最大，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为．
◆易错题型十二、圆的内接四边形
34．如图，已知四边形是的内接四边形．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：∵四边形是的内接四边形，，
∴，
∴．
35．如图，是的直径，点、、在上，连接、、、，若，则的度数为______．
【答案】20
【分析】连接，根据圆内接四边形的性质可得，再由是的直径，可得，即可求解．
【详解】解：如图，连接，
∵四边形为的圆内接四边形，
∴，
∵，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴
36．如图，点，，在上，以点为圆心，任意长为半径画弧分别交，于点，，再分别以，为圆心，大于的长为半径画弧交于点，作射线交于点，连接，并延长至，若，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】连接，，，根据作图得出平分，从而得出，根据圆周角定理得出，根据，求出，根据圆内接四边形的性质得出，根据补角的性质得出．
【详解】解：连接，，，如图所示：
根据作图可知：平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵四边形为圆内接四边形，
∴，
∵，
∴．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，尺规作角平分线，补角的性质，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质．
◆易错题型十三、利用垂径定理求值
37．如图，是的直径，弦于点，连接，已知，则的长为（ ）
A．2 B．2.5 C．3 D．3.5
【答案】A
【分析】根据垂径定理得到，设的长为x，根据勾股定理求解即可．
【详解】解：∵是的直径，弦于点，
∴，
∵，
∴，
设的长为x，
则，
∴，
解得：，（大于半径，舍去）．
即的长为2．
38．如图，是的直径，弦于点E．若，，求的半径．
【答案】
【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理，连接，设的半径为r，则．由垂径定理可得，，再由勾股定理计算即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：如图：连接，
设的半径为r，
∵，
∴．
∵是的直径，弦于点E，，
∴，．
∵在中，，且，
∴．
解得．
即的半径为．
39．如图，是的直径，点，在上，，，垂足分别为点．若，则的长为___________．
【答案】9
【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识点，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用．
利用垂径定理得出，，证明，得出，假设半径为，则，，利用勾股定理列出方程进行求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
假设半径为，则，，
由勾股定理得，，
即，
解得，，
∴，
∴，
故答案为：9．
◆易错题型十四、垂径定理的推论
40．如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点为圆心的圆的一部分.如果是中弦的中点，经过圆心交于点，并且．则的半径为（ ）
A． B．3m C． D．4m
【答案】C
【分析】先根据垂径定理的逆定理得出，再根据勾股定理得出答案即可．
【详解】解：∵点M是的中点，且经过点O，，
∴，
∴．
设半径为r，则，根据勾股定理，得
，
解得，
所以半径为．
41．如图，在平面直角坐标系中，一段圆弧经过格点A、B、C，其中点B坐标为．
(1)请写出该圆弧所在的圆的圆心D的坐标______．
(2)的半径为______．
(3)点在______（填“上”、“内”或“外”）；______．
【答案】(1)
(2)
(3)外；90
【分析】（1）根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦和的垂直平分线，交点即为圆心；
（2）根据勾股定理即可得到圆的半径；
（3）根据圆D的半径为，即可判断点与圆的位置关系；连接，，，根据勾股定理求出，利用勾股定理的逆定理可得是直角三角形，即可得
本题是圆的综合题，考查了垂径定理，点与圆的位置关系，勾股定理及其逆定理等知识，熟知“弦的垂直平分线必过圆心”是解答此题的关键．
【详解】（1）解：作弦和的垂直平分线，交点即为圆心，如图所示，
则圆心D的坐标为；
故答案为：；
（2）解：由平面直角坐标系得，
的半径为；
故答案为：；
（3）解：∵点到圆心的距离为，
点在圆D外；
连接，，，由平面直角坐标系得，，
，
圆D的半径为，
，
，
是直角三角形，
故答案为：外；
42．如图，在中，，以该三角形的三条边为边向形外作正方形，正方形的顶点E，F，G，M，N都在同一个圆上．记该圆面积为，面积为，则的值是_________．
【答案】
【分析】先设的三边长为，，，其中为斜边，设的半径为，根据图形找出，，，的关系，用含的式子表示和，即可求出比值．
【详解】如图：取的中点为，取的中点为，连接，，，
设，，则①
取的中点为，
是直角三角形
圆心在和的垂直平分线上
为圆心
连接，，则，为半径
的中点为，的中点为
，
在和中，由勾股定理得：
②
由①②得
，
故答案为：
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，直角三角形斜边中线等于斜边一半，即斜边的中点为圆的圆心，解题关键在于找到圆心，用用含的式子表示和．
◆易错题型十五、垂径定理的实际应用
43．化学实验中常使用一种球形蒸馏瓶，它的底部可以看成是一个球体，这个球体最大纵截面如图所示，其半径为，液面宽的长为，则瓶内液体最大深度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】过点作于点，交于点，利用垂径定理得出，然后利用勾股定理求解．
【详解】解：如图，过点作于点，交于点，
∴，
由勾股定理得，
∴．
44．如图1筒车是我国古代利用水力驱动的灌溉工具，筒车上均匀分布着若干个盛水筒．如图2，筒车⊙O按逆时针方向转动，与水面分别交于A、B，且，筒车的轴心O距离水面的高度长为，则筒车的半径为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了垂径定理和勾股定理，连接，根据“垂径定理”求出的长，在中利用勾股定理求出的长即可．
【详解】解：如图，连接．
，
，
在中，由勾股定理得，，
∴筒车的半径为，
故选：C．
45．项目学习
项目背景：“音乐喷泉”是某市民广场的一个打卡点，为了保障游客安全，管理部门打算在喷泉周围设置一圈防护栏．现在对喷泉进行测量和规划，综合实践小组的同学围绕“景物的测量与计算”开展项目学习活动，形成了如下活动报告．
项目主题
景物的测量与计算
驱动问题
如何对音乐喷泉进行测量和规划
活动内容
利用三角形与圆等有关知识进行测量与计算
活动过程
方案说明
示意图如图所示，点为喷泉中心，是喷泉边缘的一条弦，米，是弦的中点，连接并延长，交劣弧于点，米．
已知防护栏要距离喷泉边缘1米，以点为圆心，为半径作防护栏所在圆（图中虚线所在的圆）．
数据
米，米．图中防护栏的厚度忽略不计．
计算
…
交流展示
…
根据上述数据，若要在防护栏上至少每隔1.5米安装一盏景观灯，最多需要安装多少盏景观灯？（结果取整数，取3.14）
【答案】25
【分析】本题考查垂径定理的推论，勾股定理，求圆的周长，熟练掌握垂径定理是解题的关键．
连接，设喷泉的半径为，根据垂径定理和勾股定理进行求出半径，根据喷泉的半径求出防护栏的半径，进而求出防护栏的周长，进而求解即可．
【详解】解：连接，设喷泉的半径为，则：，
∴，
∵D是弦的中点，
∴，，
∴，
∴，
解得：米，
∴（米），
∴（盏）．
答：大约需要安装25盏景观灯．
◆易错题型十六、直线与圆的位置关系
46．在平面直角坐标系中，已知点，以M为圆心，r为半径的圆与x轴相交，与y轴相离，那么r可以取的值是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．10
【答案】B
【分析】先求出圆心M到x轴和y轴的距离，再根据直线与圆相交相离的位置关系确定半径r的取值范围，最后匹配选项即可．
【详解】解：∵点M的坐标为，
∴圆心M到轴的距离，到轴的距离，
∵圆与轴相交，与轴相离，
∴且，即，
观察选项，只有满足该范围，因此选B．
47．在同一平面内，已知点O到直线的距离为．以点O为圆心，为半径画圆．当上有且只有2个点到直线的距离等于时，则r的取值范围是_____．
【答案】
【分析】本题主要考查了直线与圆的位置关系，理解题意是解题的关键．以点O为圆心的圆上只有两点到直线l的距离为，则两个交点在到直线l的距离是的直线m上，圆与直线l的位置关系是相交，据此即可判断．
【详解】解：以点O为圆心的圆上只有两点到直线l的距离为，则两个交点在到直线l的距离是的直线l上．
则直线l到圆心O的距离是：或．
圆O与直线l相交，因而该圆的半径r的取值范围是．
故答案为：．
48．“等弦”的探究．
(1)如图①，在中，，是弦，且．由此，你能发现什么？小明发现点到，的距离相等．小红发现延长，交于点，则．从小明、小红两位同学所发现的结论中，选择一个完成证明．
(2)如图②，已知，与各边都相交且所形成的弦的长度均相等．若，，，的半径为，则的取值范围是_____．
【答案】(1)
①选择小明．
理由：如图①，过点O分别作，，垂足分别为E、F，连接、，
∵，且过圆心O，
∴，
∵，且经过点O，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
即O到、的距离相等；
②选择小红．
证明：如图①，连接，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
(2)
【分析】（1）小明：根据勾股定理或者全等即可证明；小红：利用等弧所对的圆周角相等，再利用等角对等边即可得证；
（2）①利用（1）中小明的结论可知，圆心可到三边距离相等，所以作角平分线的交点即可；
②因为得满足与三边相交，所以找临界值相切时值，再看最短的，就作为另一个临界值．
【详解】（1）略
（2）解：如图②中，即为所求．
∵，
∴，
∴，
当是的内切圆时，
则有，
解得，
当过点时可得，
又因为得满足与三边相交，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查作图-复杂作图，角平分线的性质，勾股定理的逆定理，圆心角，弧，弦的关系，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
◆易错题型十七、切线的判定与性质
49．如图，，分别与相切于点，，且，平分．
(1)求证：与相切；
(2)若，求的长．
【答案】(1)
证明：连接，过点作于点，
∵，分别与相切于点，，
∴，
∵平分，，
∴，
∵是半径，
∴是半径，
∴与相切；
(2)10
【分析】本题考查了切线的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质定理等知识点，解题的关键是正确添加辅助线，灵活运用各知识点．
（1）连接，过点作于点，根据切线的性质以及角平分线的性质定理得到，即可证明；
（2）先证明，然后证明，再由勾股定理求解即可．
【详解】（1）略
（2）解：∵，，，，
∴
，
∵平分
∴，
，
，
，
，
∵，
∴．
50．如图，是的外接圆，点在的延长线上，且，交于点．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，则_________°．
【答案】(1)
证明：，
，
，
，
是半径，
是的切线；
(2)
【分析】本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理，等腰三角形的判定和性质．
（1）根据，可得，再计算即可；
（2）根据直角三角形的性质可得，则，再通过证明，可得即可解答．
【详解】（1）略
（2）解：根据（1）可得，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
51．如图，中，，为的中点，与相切于点．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)
证明：如图，连接，，作于点．
∵，为的中点，
∴平分．
∵与相切于点，
∴是的半径，，
∵，平分，
∴．
∴也是的半径，
∴是的切线；
(2)
【分析】本题考查切线的判定性质、等腰三角形性质与角平分线性质、勾股定理与方程思想．
（1）通过作辅助线构造垂线段，利用等腰三角形“三线合一”得角平分线，结合角平分线性质证明垂线段等于半径，从而判定切线．
（2）先在中求出半径，再设，利用等腰三角形三线合一与勾股定理建立方程求解．
【详解】（1）略
（2）解：在中，，，
∴．
设，则．
∵，为的中点，
∴，即．
在中，；
在中，，
∴，
展开化简得，解得，
∴．
◆易错题型十八、切线长定理
52．如图，是的切线，为切点，与相切于点，分别交于点．若的周长为，则切线长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】连接，，，根据切线长定理可知，，，再由的周长为，即可求解．
【详解】解：连接，，，
，分别与相切，
，
同理，，
的周长为，
，
，
，
，
，
．
53．如图，是的内切圆，，，为切点，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据切线长定理得出，，根据，，利用线段的和差关系即可得出答案．
【详解】解：∵是的内切圆，，，为切点，
∴，，
∵，，
∴．
54．结果如此巧合！
下面是小颖对一道题目的解答．
题目：如图，的内切圆与斜边相切于点，，，求的面积．
解：设的内切圆分别与、相切于点，，的长为．
根据切线长定理，得，，．
根据勾股定理，得．
整理，得．
所以
．
小颖发现12恰好就是，即的面积等于与的积．这仅仅是巧合吗？
请你帮她完成下面的探索．
已知：的内切圆与相切于点，，．
可以一般化吗？
(1)若，求证：的面积等于．
倒过来思考呢？
(2)若，求证：．
(3)若，，，直接写出的面积．
【答案】(1)证明：如图所示，
设的内切圆分别与、相切于点，，的长为，
根据切线长定理，得，，，
∴，
而．
根据勾股定理，得，
∴．
整理，得．
所以
；
(2)证明：设的内切圆分别与、相切于点，，的长为，
根据切线长定理，得，，，
∴，
而，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴
，
∴是直角三角形，即；
(3)
【分析】（1）设的内切圆分别与、相切于点、，的长为，仿照例题利用勾股定理得，再根据即可得到；
（2）设的内切圆分别与、相切于点，，的长为，根据，得到，再证明，即可证明；
（3）过点作，垂足为，在中，，，则， 在中根据勾股定理得，由此，据此代入求解即可．
【详解】（1）略
（2）略
（3）解：如图所示，过点作，垂足为，
设的内切圆分别与、相切于点，，的长为，
根据切线长定理，得，，，
∴，
而，
在中，，
∴，
∴
∴，，
在中，根据勾股定理，得，
，
∴，
∴，
∴
∴，
所以
，
当，时，．
◆易错题型十九、正多边形与圆
55．如图，正六边形内接于．若的半径为，则点到的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】过作于，根据正六边形的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，，于是利用勾股定理得到结论．
【详解】
解：过作于，
在正六边形中：，
∴，，
∴．
【点睛】本题主要考查了正多边形和圆，等腰三角形的性质，含30°角直角三角形的性质和勾股定理，解决本题的关键是要正确的作出辅助线和熟练掌握含30°角直角三角形的性质和勾股定理．
56．如图，是正五边形的外接圆，P为上的一点，则的度数为_______．
【答案】/度
【分析】先计算正五边形的内角的度数，再根据圆内接四边形对角互补求出的度数．
【详解】解：∵五边形是正五边形，
∴，
∵四边形是的内接四边形，
∴，
∴．
57．如图，是正五边形的内切圆，M，N，P分别是边，，与的切点，连接，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】连接、，由M、N是边、与的切点可以得到，求出正多边形每个内角的度数，通过四边形内角和为可以得出的度数，同弧所对的圆周角是圆心角的一半．
【详解】解：连接、，如下图所示，
、N是边、与的切点，
、，
，
正五边形的内角和为：，
，
在四边形中，，，
，
．
◆易错题型二十、求弧长
58．如图，已知．
(1)用直尺和圆规作出的外接圆O；
(2)若，，求的长度．
【答案】(1)圆O即为所求：
(2)
【分析】（1）三角形的外接圆圆心是三角形三边垂直平分线的交点，分别作线段的垂直平分线，相交于点O，以点O为圆心，的长为半径画圆即可；
（2）连接，，，设交于点D可得，根据等腰三角形三线合一性质得，可知为等边三角形，得到半径的长，再利用弧长公式计算即可．
【详解】（1）略
（2）解：如图：连接，，，设交于点D，
，
．
，，
垂直平分，是等腰三角形，
，
为等边三角形，
，
的长度为．
59．如图，某品牌扫地机器人的形状是“莱洛三角形”，它的三“边”分别是以等边三角形的三个顶点为圆心，边长为半径的三段圆弧．若该等边三角形的边长为4，则这个“莱洛三角形”的周长_____．
【答案】
【分析】根据正三角形的有关计算求出弧的半径和圆心角，根据弧长的计算公式求解即可．
【详解】解：如图：
∵是正三角形，
∴，
∴的长为： ，
∴“莱洛三角形”的周长=．
60．如图，在中，，以为直径作，点为上一点，连接，且．
(1)试判断与的位置关系，并说明理由；
(2)若 ，求的长．
【答案】(1)解：与相切，理由如下：连接，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵是半径，
∴与相切；
(2)
【分析】（1）要判断与的位置关系，需证明：连接、，通过证明，得到，从而得出，结合是半径，判定与相切．
（2）要求弧的长，先结合求出的度数，利用三角函数算出半径的长度；再通过四边形内角和求出的度数，进而得到的度数，最后代入弧长公式计算弧的长．
【详解】（1）略
（2）解：由（1）知，
∴，
∵，
∴，
在中，
∵，
∴，
∴
，
在四边形中，
∵，
，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了圆的切线判定、全等三角形的判定与性质、三角函数的应用以及弧长公式的计算，熟练掌握“切线的判定方法（证明半径与直线垂直）、全等三角形的判定定理及弧长公式的应用”是解题的关键．
◆易错题型二十一、求扇形面积
61．如图，已知正六边形的边长为1，分别以C，F为圆心，以边长为半径画弧（两条弧均经过正六边形的顶点），则图中阴影部分的面积为____________．
【答案】/
【分析】求出阴影部分扇形的圆心角，再求出扇形面积即可解答；
【详解】解：∵正六边形的边长为1，
∴，,
∴．
62．如图，在中，，以为直径的交于点D，连接，已知，．
(1)求劣弧的长；
(2)求阴影部分的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）首先根据等腰三角形性质求出，进而得到劣弧所对的圆心角的度数，再结合弧长公式（n为圆心角，r为半径）计算．
（2）观察图形可知，阴影部分的面积等于扇形的面积减去的面积，扇形面积利用公式（n为圆心角，r为半径）计算，三角形面积公式可通过辅助线作高进行计算．
【详解】（1）解：，
，
，
．
，
的半径为4，
的长．
（2）如图，过点D作于点H．
在中，，，
∴，则，
∴，
∴．
又∵，
∴，
∴．
63．如图，育才中学手工制作社团准备用一块直径为的圆形卡纸制作书签配件，需要在圆片上裁剪出一个圆周角为的扇形作为装饰部件．
(1)求裁剪得到的扇形装饰部件的半径；
(2)求裁剪后剩下废料的面积．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（1）连接，说明是直角三角形，根据勾股定理即可求解；
（2）用圆形面积减去裁剪的扇形面积即可．
【详解】（1）解：连接，根据题意，，
，
是直径，
，，
，
，
，
，
即裁剪得到的扇形装饰部件的半径为；
（2）解：
即裁剪后剩下废料的面积为．
◆易错题型二十二、求圆锥侧面积
64．圆锥的底面直径是，母线长，它的侧面展开图的圆心角是（ ）度．
A．60 B．120 C．160 D．240
【答案】C
【分析】由圆锥的底面直径算出圆锥底面周长（即侧面展开图扇形的弧长），设侧面展开图的圆心角为，利用扇形弧长公式代入母线长（即侧面展开图扇形的半径）列方程求解．
【详解】解：∵圆锥的底面直径为，
∴底面周长为，即侧面展开图扇形的弧长为，
∵圆锥母线长为，即侧面展开图扇形的半径为，
设侧面展开图的圆心角为，
则，
解得．
65．如图，从一块半径为的圆形铁皮上剪出一个圆心角为的扇形．若将剪下来的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的底面圆的半径为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据弧长公式求出阴影扇形的弧长，进而可求出围成圆锥的底面半径．
【详解】解：扇形的长为：，
∵扇形的弧长相当于围成圆锥的底面周长，
设围成圆锥的底面半径为，
∴
解得：．
66．如图，从一块直径是2的圆形铁皮上剪出一个扇形，将此扇形围成一个圆锥，则圆锥底面圆的半径是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先利用圆周角定理得到，利用勾股定理求得，设该圆锥底面圆的半径为r，根据扇形的弧长等于圆锥底面的周长，结合弧长公式列方程求解r值即可．
【详解】解：由图可知为的直径，
∴，
由题意，，，
由得，
设该圆锥底面圆的半径为r，
则，解得，即该圆锥底面圆的半径为．
考点二 圆章末压轴题型
◆压轴题型一、圆的性质问题压轴
67．如图，是的直径，是的弦，、的延长线相交于点，， 若，则______．
【答案】/26度
【分析】连接，得到，继而得到，再根据三角形外角的性质计算即可．
【详解】解：如图，连接，
，
，
，，
，
，
．
68．如图，点为半径的中点，过作交于、，是上一动点（除点外），则的度数不可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】连接，，可证明垂直平分，则可证明是等边三角形，，据此求出的取值范围即可得到答案．
【详解】解：如图所示，连接，，
∵点为半径的中点，，
∴垂直平分，，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵是上一动点（除点外），
∴当点在上时，，
当点在上时，，
综上所述，，
∴的度数不可能是．
69．如图，两矩形和彼此相邻内接于半圆，其中点、、在圆上，点、、在直径上，已知，，则_____ ．
【答案】5
【分析】连接，，，根据矩形的性质得，，，证明，然后利用全等三角形的性质可得，从而可得，设，，则，在中，利用勾股定理可得，从而可得，再在中，利用勾股定理进行计算可得，从而进行计算即可解答．
【详解】解：如图，连接，，，
∵四边形和四边形都是矩形，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，，
∵，
∴，
在中，，
∴，
在中，，
∴，
整理得：，
，
∴或（舍去），
∴．
◆压轴题型二、确定圆的条件压轴
70．如图，边长均为的个正方形，、、三点在圆上，则圆的半径为________．
【答案】
【分析】作出解图的辅助线，确定圆心O，设，利用勾股定理得到，即，解方程得到，再用勾股定理即可求解．
【详解】解：如图，作的垂直平分线，交于点Q，交的延长线于点P，作的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为圆心O，
4个正方形的边长均为2，
，，，
设，则，
，即，
，
即，
解得，即，
，
．
71．如图，在正方形中，，点为边上的一个动点，连接，，点为外接圆的圆心．在点从点运动到点的过程中，下列说法正确的是________．（填序号）
①在点运动的过程中，的面积不发生变化；
②外接圆的最大半径为；
③外接圆的最小半径为；
④点运动的路径长为．
【答案】①②④
【分析】利用三角形面积公式计算可判断说法①正确；当点与点或点重合时，外接圆的半径最大，据此计算可判断说法②正确；作于点，作于点，当共线时，外接圆的半径最小，据此计算可判断说法③错误；连接交于点，则点在点和点之间运动，则运动路径长为，据此计算可判断说法④正确．
【详解】解：∵，
∴在点运动的过程中，的面积不发生变化，说法①正确；
当点与点或点重合时，外接圆的半径最大，此时直径为，
∴外接圆的最大半径为，说法②正确；
∵外接圆的圆心在线段的垂线平分线上，作于点，作于点，如图，
∴，
∴当共线时，外接圆的半径最小，
如图，此时设，，，
在中，由勾股定理得，
解得，即外接圆的最小半径为，说法③错误；
连接交于点，
∴点在点和点之间运动，则运动路径长为，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点运动的路径长为，说法④正确．
72．如图，在中，，以为直径的圆经过，，三点．
(1)请用无刻度的直尺和圆规作出圆心；（保留作图痕迹，不写作法）
(2)若的中点为，直线与交于点，，求线段的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）分别以点A，C为圆心，以大于为半径画弧，两弧交于点F，M，则直线是的垂直平分线，交于点O，则点即为所求；
（2）连接，，，先说明，即可得出，可得进而求出，再说明为等边三角形，即可得出，然后求出，最后解直角三角形可得答案．
【详解】（1）解：如图，点即为所求．
（2）解：如图，连接，，，
∵是的直径，
∴．
在与中，
．
∵，
∴．
∵，
∴为等边三角形，
．
的中点为
∴直线垂直平分
∴，
在中， ．
◆压轴题型三、圆周角定理压轴
73．如图，矩形的顶点A、D在圆上，B、C两点在圆内，请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求作图，不要求写作法，但要保留作图痕迹：
(1)如图1，请作出圆心O；
(2)如图2，已知圆心O，请作出的中点E；
(3)如图3，若矩形满足，在图3中作出圆的内接正方形（作图过程中的线用虚线，内接正方形用实线）．
【答案】(1)如图，圆心O即为所求：
(2)如图，的中点E即为所求：
(3)圆的内接正方形如图所示：
【分析】（1）分别延长、交圆于、，即可根据矩形得到矩形，根据圆周角所对的弦为直径得到对角线与是直径，则对角线与交点即为圆心；
（2）连接与交于点，连接并延长与相交，根据矩形得到，根据圆半径相等得到，则垂直平分，即与交点为的中点E；
（3）先根据（1）的方法画出圆心，再根据（2）的方法画出直径垂直平分，同样的方法画出直径垂直平分，则直径与互相垂直平分且相等，则四边形是圆的内接正方形．
【详解】（1）略
（2）略
（3）略
74．如图，点是内部一点，连接，平分，以点为圆心，为半径的圆经过点，交于点，连接并延长交于点，连接并延长交于点．
(1)求证：；
(2)当时，求的度数．
【答案】(1)证明：平分，
，
由题意得：，
，
∵，
∴，
，
．
(2)
【分析】（1）根据平分，推出；根据，推出；结合即可求证；
（2）设，，则，，，推出，即可求解．
【详解】（1）略
（2）解：设，，
，，，
，
∵，
∴，
在中，，
，
解得，
．
75．把正方形和正方形拼接在一起，、、三点共线，过、、三点作．分别交边，于点、，若，，则的半径长为______．
【答案】
【分析】连接，，，，，根据题意可以推得，根据直角所对的弦是直径可知是的直径，根据直径所对圆周角是直角可得和是直角三角形；设，根据题意和勾股定理列式求解即可．
【详解】解：连接，，，，，
设，
∵正方形和正方形，
∴，
∴，
则是的直径，
∴，
∵，
∴，
则，
∵，
∴，，
∴，
则在中，，
在中，，
即
解得或（舍）
代入可得，
∴半径为．
◆压轴题型四、圆内接四边形压轴
76．如图，是的直径，点D是的中点，、的延长线相交于点P．若，，则和之间的数量关系为________________．
【答案】
【分析】连接，则，根据直角三角形的性质和圆内接四边形的性质求出的度数，证明，结合可得答案．
【详解】解：如图所示，连接，
∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∵四边形是圆内接四边形，
∴，
∵点D是的中点，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴．
77．探究以下问题：
(1)问题提出
如图①，在四边形中，若，，，，，连接，求出的长度；
(2)问题解决
如图②，，，，，现需要截取某种四边形的材料板，这个材料板的形状恰好符合如图②所示的四边形，为了尽可能节约成本，你能求出这种四边形面积的最小值吗？若能，请求出此四边形面积的最小值；若不能，请说明理由．
【答案】(1)10
(2)能，
【分析】（1）连接，将绕点A顺时针旋转，得到，连接，证明出是等边三角形，求出，再结合勾股定理计算即可得出结果；
（2）连接，将绕点A顺时针旋转，得到，连接，由（1）同理可得为等边三角形，，求出，表示出，证明的外接圆为定圆，构造的外接圆，G为优弧上一点（不与C、重合），求出，过点O作于点H，求出，过点O作，过点D作于点M，交于点P，证明四边形为矩形，得出，则．连接，那么，越大，越大，越大，则越小，当且仅当M，O重合时，点D位于弧中点时取等号，此时取最小值，由此计算即可得出结果．
【详解】（1）解：如图①，连接，将绕点A顺时针旋转，得到，连接，
则，，，
∴是等边三角形，
∴，
由旋转性质可知，，
∴，
∴．
在中，，，
由勾股定理得；
（2）解：能．
如图②，连接，将绕点A顺时针旋转，得到，连接，
由（1）同理可得为等边三角形，
∴，
由旋转性质可知，，
∴，
∴．
作于，则，
∴，
∴，
∴．
∵，，
∴的外接圆为定圆．
如图③，构造的外接圆，G为优弧上一点（不与C、重合），
∴，连接，，
∴，
∴．
如图④，过点O作于点H，
∴，
∴．
过点O作，过点D作于点M，交于点P，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，
∴．
连接，那么，越大，越大，越大，则越小，
当且仅当M，O重合时，点D位于弧中点时取等号，如图⑤，
此时取最小值．
∴最大值为，则的最大值为，
∴，
∴，
∴此时四边形的面积的最小值为．
78．如图，在平行四边形中，点E在边上，是四边形的外接圆．
(1)尺规作图，过点E作的平行线，交于点F；
(2)当时，
①求证：四边形是菱形；
②若的半径，，则点O到的距离为_________．
【答案】(1)如图，即为所求；
(2)①证明：∵是四边形的外接圆，，
∴，，
∵平行四边形，
∴，，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴四边形是菱形；
②3
【分析】（1）以为圆心，的长为半径画弧，交于点，连接，易得四边形为平行四边形，则；
（2）①先证明四边形是平行四边形，再根据圆内接四边形的性质，得到，推出为等边三角形，得到，即可得证；②求出的长，作，连接，垂径定理结合勾股定理求出的长即可.
【详解】（1）略
（2）解：①略
②∵平行四边形，
∴，
由（1）知：为等边三角形，
∴，
作，连接，则，
∴，即点O到的距离为3.
◆压轴题型五、垂径定理压轴
79．如图，是的直径，弦交于，且，，且，则弦的长为______．
【答案】
【分析】过点O作于点E，连接，根据圆的性质可求出，由垂径定理得到，证明是等腰直角三角形，则可求出，再利用勾股定理求出的长即可得到答案．
【详解】解：如图所示，过点O作于点E，连接，
∵，，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴；
∵，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
80．如图，是的直径，是弦，沿对折劣弧，交于点D，E、F分别是和的中点，若，，则的长为__________．
【答案】
【详解】解：连接、设点O关于的对称点为，则为对折后的的圆心，连接，，如图所示：
∵E、F分别是和的中点，
∴，，设垂足为点，，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴．
81．某中学数学兴趣小组探究圆内接四边形性质时，遇到如下问题：如图，四边形内接于，．若，，则的半径是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】首先取 的中点 ，利用弧长关系得出 ，然后通过垂径定理和勾股定理建立关于半径的方程求解即可．
【详解】解： 如图，取 的中点 ，连接 ， ．
，
，
．
过点 作 于点 ，连接 ，
，且 ，， 三点共线 ．
在 中，．
设 的半径为 ，则 ，
，
在 中，，
解得 ．
◆压轴题型六、直线与圆的位置关系压轴
82．如图，在中，，过A，B，C三点的交于点E．
(1)求证：与相切；
(2)若，求的半径．
【答案】(1)证明：连接并且延长交于点，连接，
则，
∴点O在的垂直平分线上，
，
∴点A在的垂直平分线上，
∴垂直平分，
即垂直平分，
∴，
∵四边形是平行四边形，
，
，
∵是的半径，
与相切；
(2)
【分析】（1）连接并且延长交于点，连接，根据，，得到垂直平分，结合平行四边形性质，可得，利用切线判定定理完成证明．
（2）设的半径为，连接，则．根据平行四边形性质，可得，即得，得到．结合，运用勾股定理求出，运用勾股定理即可得到r的方程，即可求出r的值．
【详解】（1）略
（2）解：设的半径为，则
∵在中，，
，
，
，
，
，
，
，
∵，且，
，
解得，
的半径长为．
83．如图，经过的三个顶点，，，且与相切，切点为，并交边于点．
(1)求证：；
(2)若，，则的半径为______．
【答案】(1)证明：如图，连接并延长，交于，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵是的切线，
∴，
∴，
∴，
∴是的垂直平分线，
∴，
∴，
∴，即，
∵四边形是圆内接四边形，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
(2)．
【分析】如图，连接并延长，交于，由平行四边形的性质和切线的性质得到，进而证明得到，则，再由圆内接四边形的性质可得，又，，则，从而求证；
由得，，则，，通过平行四边形的性质、圆内接四边形性质可得，所以，从而有，则，然后连接，如图，设的半径为，最后通过勾股定理即可求出的半径．
【详解】（1）略；
（2）解：由得，，
∴，，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵四边形是圆内接四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
连接，如图，设的半径为，
在中，，
∴，
，
，
，即的半径为．
84．已知，四边形内接于，连接，且．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，连接，若，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接，若，，求的长．
【答案】(1)证明：取弧的中点，则，
∴
，
∴
∴
．
(2)证明：过点作于点，连接,
四边形内接于，
,
，
，解得,
所对的圆心角,
，
为等腰三角形，,
由等腰三角形三线合一得：,
在中，，，
,
由勾股定理：
(3)
【分析】（1）取弧的中点，则，再由圆周角定理证明即可．
（2）已知，结合圆内接四边形对角互补：，先解出，再由圆周角定理：弧AC所对圆心角是圆周角的2倍，得到圆心角，是的等腰三角形，顶角，过圆心作弦的垂线，利用等腰三角形三线合一，分成两个含的直角三角形，借助勾股定理建立和半径之间的数量关系，完成证明；
（3）承接前两小问结论：，，所以只要求出，就可以算出，由第(1)问结论，设，则，构造辅助点：在弧上取点，使，则弦；利用等弧对等圆周角倒角，证，得到，继续倒角推导：，推出，于是；继续倒角算出，作，得到含的，用设元，则，，，在中，用勾股定理列出关于的方程，解出方程即可解出此题．
【详解】（1）略
（2）略
（3）解：由（2）知，，，
设，则，，
在弧上取一点，连接，，使，则，
，
在与中
，
，
设，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
∴，
，
，
作于点，
∴，
，
，
，
在中，
，
，
解得 ，
，
由(2)得：
【点睛】本题是圆综合压轴，层层递进：第（1）问铺垫弧与圆周角的倍数关系；第（2）问铺垫角度、与半径的关系式；第(3)问依托前两问结论，采用构造等弧、全等转移线段、特殊角，勾股方程的思路，是初中圆综合典型的“倒角构造方程”解题模型．
◆压轴题型七、弧长、扇形面积计算压轴
85．【温故知新】在学习扇形的面积公式时，已知扇形圆心角和所在圆的半径，可以推得扇形面积公式：扇形；并通过比较扇形面积公式与弧长公式，得出扇形面积的另一种计算方法扇形．有位同学发现扇形面积公式③类似于三角形面积公式，扇形有人也叫它“曲边三角形”．
【问题再探】甲同学受“曲边三角形”面积公式的启发，猜测折扇扇面部分的面积应该类似梯形面积公式．如图1，已知弧和弧所在圆的圆心都是点，弧的长为，弧的长为，．他猜想折扇扇面部分的面积（如图1中的阴影部分），他的猜想正确吗？
【解决问题】
(1)补全空白部分的公式．
(2)如果正确，写出推导过程；如果不正确，请说明理由．
(3)某纸杯的尺寸（单位：）如图2所示，展开它的侧面得到扇环纸片（可以看作扇形纸片剪去扇形纸片后剩余的部分）．①纸杯的侧面积为．
②记表示两边长分别为、（，单位：）的矩形纸片的大小．图3是可以剪出扇环纸片的一张矩形纸片，它的一边与弧相切，点、在对边上，点、分别在另外两边上，求出、的值．
【答案】(1)①；②；③；
(2)正确，推导如下：
设弧的半径为，弧的半径为，，
∵，
∴，
则折扇扇面部分的面积
；
(3)
①；②；．
【分析】（1）根据扇形面积公式和弧长公式填空即可；
（2）设弧的半径为，弧的半径为，，则折扇扇面部分的面积，然后代入弧长公式进行计算即可推导出结论；
（3）①根据（2）推导的公式求解即可；
②延长交于点，设矩形的边与相切于点，连接交于点，则，先利用弧长公式列出方程组，求得，，然后利用圆的切线的性质定理，矩形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质解答即可．
【详解】（1）解：；
弧长公式；
∴；
（2）略
（3）解：①由图可知，，，，
∴纸杯的侧面积；
②如图，延长交于点，设矩形的边与相切于点，连接交于点，则，
∵四边形是矩形，
∴四边形为矩形，
∴，，
由图可知，，，，
设，，则，
∴，
解得，
∴，，，
∴是等边三角形，
∴，，，
∴，，，
∴在和中，，
∴，，
∴，
．
86．如图，的半径为，点为平面上一定点，，点为上任意一点．连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段；当点沿着圆周转动时，点所经过的路径长为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】通过旋转构造等腰直角三角形，结合平行四边形判定确定点C的轨迹圆半径及圆心角，然后再利用弧长公式求解即可．
【详解】解：如图：连接，作点D，使得为等腰直角三角形，，且D在的逆时针方向，将绕点O逆时针旋转得到，
∴，
∵将线段绕点逆时针旋转，得到线段，
∴，
∴，
∴ 四边形为平行四边形，
∴，
∴点C在以D为圆心，为半径的圆上运动，
∵点沿着圆周转动，即旋转，
∴旋转，即旋转，
∴点C转过的圆心角为，
∴点C经过的路径长为．
87．如图，已知圆锥母线长为3，底面圆半径为2，
(1)圆锥侧面展开图圆心角度数是________．
(2)已知矩形纸片的边长分别为，．按如图②所示的方式剪出作为圆锥侧面的扇形纸片，且扇形与矩形纸片的两边相切于点P，Q，点A，B在矩形纸片的一边上．利用剩余的纸片能否剪出作为圆锥底面的圆形纸片？并说明理由：
(3)在一张矩形纸片中裁出一个扇形和圆形，使其可以拼成该圆锥，求这个矩形的最小面积．
【答案】(1)
(2)能，理由：
如图，过点M作，垂足为C，延长交扇形于点D，交矩形的右侧边于点E，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵底面圆半径为2，
即直径为4，
∵，
∴能
(3)这个矩形的最小面积
【分析】（1）底面圆的周长比上扇形的弧长，再乘以，即可求解；
（2）过点M作，垂足为C，延长交扇形于点D，交矩形的右侧边于点E，结合含角的直角三角形的性质以及对称性，求出，将、矩形的宽度与底面圆的直径作比较，即可判断；
（3）扇形与底面圆靠的越近，尽量使扇形所在圆的直径的长度与矩形的某边的长度相等来构造最小矩形，分类讨论：情况一如图：扇形圆心与底面圆圆心的连线与矩形边平行（或垂直）时，画出图形，结合含角的直角三角形的性质以及对称性、勾股定理，先求出的长度，进而可求出，此时以的长度、扇形所在圆的直径长度来构造矩形，并可求出面积；情况二如图，扇形即底面圆与矩形的底边都相切时，根据情况1的方法求出，结合图形，根据相切的特点，可知的长度实为扇形圆心、底面圆圆心二者与矩形下方边的距离之差，即可求出，再利用勾股定理求出，的长度与扇形圆心到矩形左侧边的长度相等也就是与扇形半径的长度相等，进而可求出，此时以的长度、扇形所在圆的直径长度来构造矩形，并可求出面积；综上比较两个面积即可求解．
【详解】（1）解：，，
即：；
（2）见答案
（3）情况一如图：扇形圆心与底面圆圆心的连线与矩形边平行（或垂直）时，
由图可知：圆C与扇形的两条半径相切，即，
根据题意有：，，，
根据对称性，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴（负值舍去），
∵，，
∴，
此时最小矩形的面积为：；
情况二如图，扇形即底面圆与矩形的底边都相切时，
根据上述方法可求出，
∵扇形的半径为3，底面圆的半径为2，的长度与扇形圆心到矩形左侧边的长度相等，也就是与扇形半径的长度相等，
∴，，
∴，
∴
此时最小矩形的面积为：；
∵，，
∴，
∴，
故：这个矩形的最小面积．
◆压轴题型八、圆中综合问题（最值、旋转、翻折等）
88．已知内接于，，是弧的中点，连结，交于点，射线交的延长线于点．
(1)如图1，
①求证：；
②若，，求的长；
(2)若直线与直线交于点，且，求的度数．
【答案】(1)①证明：如图：连接，
∵是弧的中点，
∴．
∴．
∵，
∴是的垂直平分线，即．
②．
(2)或
【分析】（1）①如图：连接，再说明，结合圆的性质可得是的垂直平分线，从而证明结论；②如图：设与交于点H，连接，利用垂径定理可得，由题意可得，设，则，根据勾股定理得，据此列出方程求解可得，最后利用勾股定理求解即可；
（2）先利用圆周角定理、等边对等角、等角对等边证明，再分点G在线段上和延长线上两种情况，分别连接，设，再利用三角形外角的性质、线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理求解即可．
【详解】（1）①略．
②解：如图：设与交于点H，连接，
∵内接于，，
，
∴，即，
，
，
设，则，
，
，解得：，
∴，
，
．
（2）解：∵，
∴，
，
，
∵，
，
，
，
∴，
∴；
①如图，点G在线段上时，连接，
设，
，
∵是的垂直平分线，
，
，
，
∵，，，
∴，
，
∵，
，
，
，解得：，
；
②如图，点G在延长线上时，连接，
设，
，
∵是的垂直平分线，
，
，
∵，
，
∵，，，
∴，
，
，
，解得：，
．
综上，的度数为或．
89．如图，是的直径，点在上，平分交于点，过点作，交的延长线于点．
(1)求证：是的切线；
(2)若的半径为，，求圆心到的距离．
【答案】(1)
证明：连接
平分，
，
，
，
，
，
，即，
,
又是的半径，
是的切线．
(2)4
【分析】（1）先连接，利用角平分线得到相等角，再结合的等边对等角，进行等角代换，推出；已知，即可证得，完成切线证明；
（2）求圆心到弦的距离，过圆心作弦的垂线，根据垂径定理，垂线平分弦，构造直角三角形，再用勾股定理直接计算垂线段长度．
【详解】（1）略
（2）解：过点作于点,
由垂径定理，得,
，
，
在中，，
由勾股定理：
，
圆心到的距离为．
90．如图，等腰三角形的外接圆是以为直径的，，是的优弧上的任意一点（点不与点重合），连接，作直线交直线于点，使．
(1)求的度数；
(2)求证：直线是的切线；
(3)写出的数量关系，请证明你的结论．
【答案】(1)
(2)证明：如图，连接，
∵，点O为的中点，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵为半径，
∴直线是的切线；
(3)解：、、的数量关系分两种情况：当点P在下方时，；当点在上方时，．证明如下：
①当点P在下方时，．证明如下：
如图，延长至点E，使，连接，
∵四边形为的内接四边形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴．
②当点P在上方时，．证明：
如图，在上取点，使，连接．
∵四边形为⊙的内接四边形，
∴（同弧所对的圆周角相等）．
∵，，
∴．
∴，．
∴，
即．
∴为等腰直角三角形，
∴．
∵，
∴．
综上所述，或．
【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角，即可求解；
（2）根据等腰三角形的性质以及，可得，即可求证；
（3）分点P在上方、下方两种情况讨论：在上（或其延长线上）取点，使，连接，证明，可得，，从而得到为等腰直角三角形，即可求解．
【详解】（1）解：∵为的直径，
∴；
（2）略
（3）略
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专题09 圆章末22易错+8压轴题型
常考题型·精准突破
考点一 圆章末易错题型
易错题型一、圆的基本概念辨析
易错题型二、圆中的弦
易错题型三、圆的周长和面积问题
易错题型四、确定圆的条件
易错题型五、三角形外接圆的概念辨析
易错题型六、三角形外心问题
易错题型七、判断三角形外接圆的圆心位置
易错题型八、圆心角概念辨析
易错题型九、求圆弧的度数
易错题型十、圆周角定理
易错题型十一、90度的圆周角所对的弦是直径
易错题型十二、圆的内接四边形
易错题型十三、利用垂径定理求值
易错题型十四、垂径定理的推论
易错题型十五、垂径定理的实际应用
易错题型十六、直线与圆的位置关系
易错题型十七、切线的判定与性质
易错题型十八、切线长定理
易错题型十九、正多边形与圆
易错题型二十、求弧长
易错题型二十一、求扇形面积
易错题型二十二、求圆锥侧面积
考点二 圆章末压轴题型
压轴题型一、圆的性质问题压轴
压轴题型二、确定圆的条件压轴
压轴题型三、圆周角定理压轴
压轴题型四、圆内接四边形压轴
压轴题型五、垂径定理压轴
压轴题型六、直线与圆的位置关系压轴
压轴题型七、弧长、扇形面积计算压轴
压轴题型八、圆中综合问题（最值、旋转、翻折等）
常考题型·精准突破
考点一 圆章末易错题型
◆易错题型一、圆的基本概念辨析
1．下列说法中，正确的是（ ）
A．弦是直径 B．半圆是弧
C．过圆心的线段是直径 D．等圆的半径不一定相等
2．下列说法中，正确的是（ ）
A．弧是半圆，半圆是弧
B．直径是弦，弦不一定是直径
C．长度相等的弧是等弧
D．圆的任意一条弦都等于直径的一半
3．把圆规的两脚分开，两脚间的距离是，再把有针尖的一只脚固定在一点上，把装有铅笔尖的一只脚旋转一周，就画出一个圆，则这个圆的（ ）
A．半径是 B．直径是 C．周长是 D．面积是
◆易错题型二、圆中的弦
4．如图，是的直径，点C、D在上，连接、，则图中的弦共有（ ）
A．2条 B．3条 C．4条 D．5条
5．如图，四点在上，点，点分别共线，则图中弦的条数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
6．如图，在中，点，，在一条直线上，点，，在一条直线上，那么图中有弦（ ）
A．2条 B．3条 C．4条 D．5条
◆易错题型三、圆的周长和面积问题
7．为了庆祝国庆，三中计划将总面积为（）的盆栽花圃摆放为一个圆形花圃．花圃周围用白色栅栏围起来，栅栏紧挨花圃周边盆栽；则所需栅栏的长度为_______；（用含的代数式表示）
8．小海同学用一根细绳绕某一个圆形物体一周，剪去多余的部分，再拉直量出绳子的长度为（取），则这个圆形物体的直径是______．
9．．已知图1、图2中两个半圆的半径相等，分别是两圆的圆心，图1中的阴影部分面积为，图2中的阴影部分面积为，那么与之间的大小关系是______．
◆易错题型四、确定圆的条件
10．在中，，D为斜边的中点．求证：A、B、C三点在以点D为圆心、以为半径的同一个圆上．
11．如图，是圆的一条弦（不是直径）．仅用无刻度的直尺和圆规按下列要求作图，并保留作图痕迹，不写作法．
(1)作圆心和的中点．
(2)连接，交于点，若，，求的半径．
12．小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，带如图的玻璃碎片到商店配到与原来大小一样的圆形玻璃，以下是工作人员顺序被打乱的操作步骤：
①连接和；
②在玻璃碎片的圆弧边缘任意找三点A、B、C；
③以点O为圆心，为半径作；
④分别作出和的垂直平分线，并且相交于点O．
正确操作步骤的排列序号为______．
◆易错题型五、三角形外接圆的概念辨析
13．下列关于三角形外心的说法中，错误的是（ ）
A．三角形的外心到三个顶点的距离相等
B．三角形的外心是三条边的垂直平分线的交点
C．等腰三角形的外心在三角形内
D．任何一个三角形有且只有一个外接圆
14．下列说法：
①三点确定一个圆；
②平分一条弦的直径垂直于这条弦；
③长度相等的弧是等弧；
④三角形只有一个外接圆．
其中真命题有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
15．如图，点，，均在的正方形网格格点上，过，，三点的外接圆除经过，，三点外还能经过的格点数为____．
◆易错题型六、三角形外心问题
16．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是点、点、点，则的外心的坐标为（ ）
A． B． C． D．
17．如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点均在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O为原点建立平面直角坐标系，则过三点的圆的半径为（ ）
A． B．3 C． D．
18．如图，在平面直角坐标系中，一条圆弧经过网格点A，B，C，其中点A的坐标为、点B的坐标为、点C的坐标为，那么该圆弧所在的圆心坐标为______．
◆易错题型七、判断三角形外接圆的圆心位置
19．如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A、B、C、D、E、F、G都在小正方形的顶点上，则的外心是（ ）
A．点D B．点E C．点F D．点G
20．如图，在正方形网格中，一条圆弧经过A、B、C三点，那么所对的圆心角度数是______．
21．如图，在4×4的网格中，点，，，，，，均在格点上，则的外心是（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
◆易错题型八、圆心角概念辨析
22．如图，为的弦，，则所对的圆心角等于（ ）．
A． B． C． D．
23．把一个圆分割成个扇形，各个扇形面积的比为，则最大的圆心角的度数是______．
24．如图所示，为的弦，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
◆易错题型九、求圆弧的度数
25．如图，在中，，以点C为圆心，为半径的圆分别交、于点D、点E，则弧的度数为（ ）
A． B． C． D．
26．如图，一把三角尺，，．将其放置在量角器上，点O与圆心重合，若三角尺的直角边和量角器所在圆的半径相等，点C是斜边与量角器边缘的交点，若B点的对应刻度为，则C点的对应刻度为_______．
27．如图， 是的直径，弦，若，则的度数是__________．
◆易错题型十、圆周角定理
28．如图，线段是的直径，弦，如果，那么________．
29．如图，的半径为2，是的内接三角形，于D， 于E，当时，线段的长是（ ）
A． B． C．2 D．4
30．如图，，是的两条弦，．
(1)求证：；
(2)若，，求的半径．
◆易错题型十一、90度的圆周角所对的弦是直径
31．如图，是正方形内一点，满足，连接，若，则长的最小值为_____．
32．如图，圆内接四边形的对角线交于点平分，．
(1)求证：平分；并求的大小；
(2)过点作交的延长线于点，若，圆的半径长为8，求的长．
33．如图，是的直径，交于点C，P为圆上一动点，M为的中点，连接，若的半径为6，则长的最大值是__________________．
◆易错题型十二、圆的内接四边形
34．如图，已知四边形是的内接四边形．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
35．如图，是的直径，点、、在上，连接、、、，若，则的度数为______．
36．如图，点，，在上，以点为圆心，任意长为半径画弧分别交，于点，，再分别以，为圆心，大于的长为半径画弧交于点，作射线交于点，连接，并延长至，若，且，则（ ）
A． B． C． D．
◆易错题型十三、利用垂径定理求值
37．如图，是的直径，弦于点，连接，已知，则的长为（ ）
A．2 B．2.5 C．3 D．3.5
38．如图，是的直径，弦于点E．若，，求的半径．
39．如图，是的直径，点，在上，，，垂足分别为点．若，则的长为___________．
◆易错题型十四、垂径定理的推论
40．如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点为圆心的圆的一部分.如果是中弦的中点，经过圆心交于点，并且．则的半径为（ ）
A． B．3m C． D．4m
41．如图，在平面直角坐标系中，一段圆弧经过格点A、B、C，其中点B坐标为．
(1)请写出该圆弧所在的圆的圆心D的坐标______．
(2)的半径为______．
(3)点在______（填“上”、“内”或“外”）；______．
42．如图，在中，，以该三角形的三条边为边向形外作正方形，正方形的顶点E，F，G，M，N都在同一个圆上．记该圆面积为，面积为，则的值是_________．
◆易错题型十五、垂径定理的实际应用
43．化学实验中常使用一种球形蒸馏瓶，它的底部可以看成是一个球体，这个球体最大纵截面如图所示，其半径为，液面宽的长为，则瓶内液体最大深度为（ ）
A． B． C． D．
44．如图1筒车是我国古代利用水力驱动的灌溉工具，筒车上均匀分布着若干个盛水筒．如图2，筒车⊙O按逆时针方向转动，与水面分别交于A、B，且，筒车的轴心O距离水面的高度长为，则筒车的半径为（ ）
A． B． C． D．
45．项目学习
项目背景：“音乐喷泉”是某市民广场的一个打卡点，为了保障游客安全，管理部门打算在喷泉周围设置一圈防护栏．现在对喷泉进行测量和规划，综合实践小组的同学围绕“景物的测量与计算”开展项目学习活动，形成了如下活动报告．
项目主题
景物的测量与计算
驱动问题
如何对音乐喷泉进行测量和规划
活动内容
利用三角形与圆等有关知识进行测量与计算
活动过程
方案说明
示意图如图所示，点为喷泉中心，是喷泉边缘的一条弦，米，是弦的中点，连接并延长，交劣弧于点，米．
已知防护栏要距离喷泉边缘1米，以点为圆心，为半径作防护栏所在圆（图中虚线所在的圆）．
数据
米，米．图中防护栏的厚度忽略不计．
计算
…
交流展示
…
根据上述数据，若要在防护栏上至少每隔1.5米安装一盏景观灯，最多需要安装多少盏景观灯？（结果取整数，取3.14）
◆易错题型十六、直线与圆的位置关系
46．在平面直角坐标系中，已知点，以M为圆心，r为半径的圆与x轴相交，与y轴相离，那么r可以取的值是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．10
47．在同一平面内，已知点O到直线的距离为．以点O为圆心，为半径画圆．当上有且只有2个点到直线的距离等于时，则r的取值范围是_____．
48．“等弦”的探究．
(1)如图①，在中，，是弦，且．由此，你能发现什么？小明发现点到，的距离相等．小红发现延长，交于点，则．从小明、小红两位同学所发现的结论中，选择一个完成证明．
(2)如图②，已知，与各边都相交且所形成的弦的长度均相等．若，，，的半径为，则的取值范围是_____．
◆易错题型十七、切线的判定与性质
49．如图，，分别与相切于点，，且，平分．
(1)求证：与相切；
(2)若，求的长．
50．如图，是的外接圆，点在的延长线上，且，交于点．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，则_________°．
51．如图，中，，为的中点，与相切于点．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长．
◆易错题型十八、切线长定理
52．如图，是的切线，为切点，与相切于点，分别交于点．若的周长为，则切线长为（ ）
A． B． C． D．
53．如图，是的内切圆，，，为切点，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
54．结果如此巧合！
下面是小颖对一道题目的解答．
题目：如图，的内切圆与斜边相切于点，，，求的面积．
解：设的内切圆分别与、相切于点，，的长为．
根据切线长定理，得，，．
根据勾股定理，得．
整理，得．
所以
．
小颖发现12恰好就是，即的面积等于与的积．这仅仅是巧合吗？
请你帮她完成下面的探索．
已知：的内切圆与相切于点，，．
可以一般化吗？
(1)若，求证：的面积等于．
倒过来思考呢？
(2)若，求证：．
(3)若，，，直接写出的面积．
◆易错题型十九、正多边形与圆
55．如图，正六边形内接于．若的半径为，则点到的距离为（ ）
A． B． C． D．
56．如图，是正五边形的外接圆，P为上的一点，则的度数为_______．
57．如图，是正五边形的内切圆，M，N，P分别是边，，与的切点，连接，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
◆易错题型二十、求弧长
58．如图，已知．
(1)用直尺和圆规作出的外接圆O；
(2)若，，求的长度．
59．如图，某品牌扫地机器人的形状是“莱洛三角形”，它的三“边”分别是以等边三角形的三个顶点为圆心，边长为半径的三段圆弧．若该等边三角形的边长为4，则这个“莱洛三角形”的周长_____．
60．如图，在中，，以为直径作，点为上一点，连接，且．
(1)试判断与的位置关系，并说明理由；
(2)若 ，求的长．
◆易错题型二十一、求扇形面积
61．如图，已知正六边形的边长为1，分别以C，F为圆心，以边长为半径画弧（两条弧均经过正六边形的顶点），则图中阴影部分的面积为____________．
62．如图，在中，，以为直径的交于点D，连接，已知，．
(1)求劣弧的长；
(2)求阴影部分的面积．
63．如图，育才中学手工制作社团准备用一块直径为的圆形卡纸制作书签配件，需要在圆片上裁剪出一个圆周角为的扇形作为装饰部件．
(1)求裁剪得到的扇形装饰部件的半径；
(2)求裁剪后剩下废料的面积．
◆易错题型二十二、求圆锥侧面积
64．圆锥的底面直径是，母线长，它的侧面展开图的圆心角是（ ）度．
A．60 B．120 C．160 D．240
65．如图，从一块半径为的圆形铁皮上剪出一个圆心角为的扇形．若将剪下来的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的底面圆的半径为（ ）
A． B． C． D．
66．如图，从一块直径是2的圆形铁皮上剪出一个扇形，将此扇形围成一个圆锥，则圆锥底面圆的半径是（ ）
A． B． C． D．
考点二 圆章末压轴题型
◆压轴题型一、圆的性质问题压轴
67．如图，是的直径，是的弦，、的延长线相交于点，， 若，则______．
68．如图，点为半径的中点，过作交于、，是上一动点（除点外），则的度数不可能是（ ）
A． B． C． D．
69．如图，两矩形和彼此相邻内接于半圆，其中点、、在圆上，点、、在直径上，已知，，则_____ ．
◆压轴题型二、确定圆的条件压轴
70．如图，边长均为的个正方形，、、三点在圆上，则圆的半径为________．
71．如图，在正方形中，，点为边上的一个动点，连接，，点为外接圆的圆心．在点从点运动到点的过程中，下列说法正确的是________．（填序号）
①在点运动的过程中，的面积不发生变化；
②外接圆的最大半径为；
③外接圆的最小半径为；
④点运动的路径长为．
72．如图，在中，，以为直径的圆经过，，三点．
(1)请用无刻度的直尺和圆规作出圆心；（保留作图痕迹，不写作法）
(2)若的中点为，直线与交于点，，求线段的长．
◆压轴题型三、圆周角定理压轴
73．如图，矩形的顶点A、D在圆上，B、C两点在圆内，请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求作图，不要求写作法，但要保留作图痕迹：
(1)如图1，请作出圆心O；
(2)如图2，已知圆心O，请作出的中点E；
(3)如图3，若矩形满足，在图3中作出圆的内接正方形（作图过程中的线用虚线，内接正方形用实线）．
74．如图，点是内部一点，连接，平分，以点为圆心，为半径的圆经过点，交于点，连接并延长交于点，连接并延长交于点．
(1)求证：；
(2)当时，求的度数．
75．把正方形和正方形拼接在一起，、、三点共线，过、、三点作．分别交边，于点、，若，，则的半径长为______．
◆压轴题型四、圆内接四边形压轴
76．如图，是的直径，点D是的中点，、的延长线相交于点P．若，，则和之间的数量关系为________________．
77．探究以下问题：
(1)问题提出
如图①，在四边形中，若，，，，，连接，求出的长度；
(2)问题解决
如图②，，，，，现需要截取某种四边形的材料板，这个材料板的形状恰好符合如图②所示的四边形，为了尽可能节约成本，你能求出这种四边形面积的最小值吗？若能，请求出此四边形面积的最小值；若不能，请说明理由．
78．如图，在平行四边形中，点E在边上，是四边形的外接圆．
(1)尺规作图，过点E作的平行线，交于点F；
(2)当时，
①求证：四边形是菱形；
②若的半径，，则点O到的距离为_________．
◆压轴题型五、垂径定理压轴
79．如图，是的直径，弦交于，且，，且，则弦的长为______．
80．如图，是的直径，是弦，沿对折劣弧，交于点D，E、F分别是和的中点，若，，则的长为__________．
81．某中学数学兴趣小组探究圆内接四边形性质时，遇到如下问题：如图，四边形内接于，．若，，则的半径是（ ）
A． B． C． D．
◆压轴题型六、直线与圆的位置关系压轴
82．如图，在中，，过A，B，C三点的交于点E．
(1)求证：与相切；
(2)若，求的半径．
83．如图，经过的三个顶点，，，且与相切，切点为，并交边于点．
(1)求证：；
(2)若，，则的半径为______．
84．已知，四边形内接于，连接，且．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，连接，若，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接，若，，求的长．
◆压轴题型七、弧长、扇形面积计算压轴
85．【温故知新】在学习扇形的面积公式时，已知扇形圆心角和所在圆的半径，可以推得扇形面积公式：扇形；并通过比较扇形面积公式与弧长公式，得出扇形面积的另一种计算方法扇形．有位同学发现扇形面积公式③类似于三角形面积公式，扇形有人也叫它“曲边三角形”．
【问题再探】甲同学受“曲边三角形”面积公式的启发，猜测折扇扇面部分的面积应该类似梯形面积公式．如图1，已知弧和弧所在圆的圆心都是点，弧的长为，弧的长为，．他猜想折扇扇面部分的面积（如图1中的阴影部分），他的猜想正确吗？
【解决问题】
(1)补全空白部分的公式．
(2)如果正确，写出推导过程；如果不正确，请说明理由．
(3)某纸杯的尺寸（单位：）如图2所示，展开它的侧面得到扇环纸片（可以看作扇形纸片剪去扇形纸片后剩余的部分）．①纸杯的侧面积为．
②记表示两边长分别为、（，单位：）的矩形纸片的大小．图3是可以剪出扇环纸片的一张矩形纸片，它的一边与弧相切，点、在对边上，点、分别在另外两边上，求出、的值．
86．如图，的半径为，点为平面上一定点，，点为上任意一点．连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段；当点沿着圆周转动时，点所经过的路径长为（ ）．
A． B． C． D．
87．如图，已知圆锥母线长为3，底面圆半径为2，
(1)圆锥侧面展开图圆心角度数是________．
(2)已知矩形纸片的边长分别为，．按如图②所示的方式剪出作为圆锥侧面的扇形纸片，且扇形与矩形纸片的两边相切于点P，Q，点A，B在矩形纸片的一边上．利用剩余的纸片能否剪出作为圆锥底面的圆形纸片？并说明理由：
(3)在一张矩形纸片中裁出一个扇形和圆形，使其可以拼成该圆锥，求这个矩形的最小面积．
◆压轴题型八、圆中综合问题（最值、旋转、翻折等）
88．已知内接于，，是弧的中点，连结，交于点，射线交的延长线于点．
(1)如图1，
①求证：；
②若，，求的长；
(2)若直线与直线交于点，且，求的度数．
89．如图，是的直径，点在上，平分交于点，过点作，交的延长线于点．
(1)求证：是的切线；
(2)若的半径为，，求圆心到的距离．
90．如图，等腰三角形的外接圆是以为直径的，，是的优弧上的任意一点（点不与点重合），连接，作直线交直线于点，使．
(1)求的度数；
(2)求证：直线是的切线；
(3)写出的数量关系，请证明你的结论．
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