专题03 直线与圆位置关系计算类问题（题型专练）数学新教材浙教版九年级下册
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内容正文：
专题03 直线与圆的位置关系计算类模型
（题型突破·举一反三）
题型01 直线平移动态相切计算模型
题型02 切线长的计算模型
题型03 直线与圆相交时弦长与半径的计算模型
题型04 内切圆半径的计算模型
题型05 外切三角形周长与面积计算模型
题型06内心相关角度的计算模型
▌题型01 直线平移动态相切计算模型
┐
┐
┐
1.直线与圆相离（图1）
2.直线与圆相切（图2）
3.直线与圆相交（图3）
核心解题思路：图3
图2
图1
1.求原始圆心到直线的距离；
2.根据计算需要平移的距离；
3.应用分类讨论的思想分析结果(向上或向下平移).
【典例1】（25-26九年级上·北京·课后作业）如图，为正比例函数图象上的一个动点，的半径是，设点的坐标为．
(1)求与直线相切时点的坐标．
(2)请直接写出与直线相交、相离时的取值范围．
【变式1-1】（24-25九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，，点M是射线上一点，，以点M为圆心，r为半径作，若与射线有两个公共点，则半径r的取值范围是____．
【变式1-2】（23-24九年级上·福建厦门·阶段检测）中，，，，以C为圆心，r为半径作，
（1）若线段与相离时，r的取值范围是_________；
（2）若线段与只有一个交点时，r的取值范围是________．
【变式1-3】（26-27九年级上·江苏盐城·阶段检测）在中，，，．的半径为r，若边与有公共点，则半径r的取值范围为______．
【变式1-4】（23-24九年级上·全国·课后作业）已知在矩形中，，，以点为圆心，为半径作，
(1)当半径为何值时，与直线相切；
(2)当半径为何值时，与直线相切；
(3)当半径的取值范围为何值时，与直线相交且与直线相离．
▌题型02 切线长的计算模型图1
1.切线长定理：过圆外一点所做的圆的两条切线长相等.
几何语言：如图1分别与☉相切于点
2.常见图形及数量关系图2
(1)常见图形如图2
（2）数量关系
线段:垂直平分AB（需通过三角形全等证明）
角：（需通过三角形全等证明）
3.解题思路：连接过切点的半径及圆心和圆外的点构造直角三角形，通过解直角三角形求切线长.
【典例1】已知：如图，是的切线，B，C是切点，过上的任意一点P作的切线与分别交于点D，E．
(1)连接和，若，则_______；
(2)已知，求的周长．
【变式1-1】（24-25九年级上·北京·阶段检测）如图，分别切于A、B两点，点C为上一点，过点C作的切线分别交于M、N两点，若的周长为10，则切线长等于_______．
【变式1-2】（25-26九年级下·浙江宁波·阶段检测）如图，为的直径，点P在的延长线上，与相切，切点分别为C，D．若，则__________．
【变式1-3】（25-26九年级上·浙江·阶段检测）如图，是四边形的内切圆．四边形的周长为48，且，则的长为（ ）
A．9 B．12 C．15 D．18
【变式1-4】（2026·浙江杭州·模拟预测）如图，，是的切线，，为切点，连结，长为，，则的半径为（ ）．
A． B． C． D．
【变式1-5】（25-26九年级上·浙江·单元复习）如图，在中，，以为直径的交于点D，点Q为延长线上一点，延长交于点P，连接，．
(1)求证：是的切线；
(2)若时，求的长．
▌题型03 直线与圆相交时弦长及半径的计算
1.垂径定理：垂直于弦的直径平分弦并且平分弦所对的两条弧.
2.核心数量关系
a
d
3.解题思路：过圆心向弦作垂线段找d，由垂径定理得半弦长a，利用已知条件解直角三角形求d和a.
【典例1】（2026·湖北·中考真题）如图，在中，，以为直径的交于点，弦，垂足为．
(1)求证：；
(2)若，，求的半径．
【变式1-1】（2026九年级上·全国·专题练习）如图，是的弦，半径交弦于点，交于点，若，，，则圆心到的距离为_______．
【变式1-2】（25-26九年级上·陕西安康·期中）如图，在中，直径垂直弦于点，为的半径，且点是的中点，连接交于点，交于点．
(1)若，，求的长；
(2)连接，，求的度数．
【变式1-3】（2026九年级·北京·专题练习）如图，，均为的直径，作弦于点，连接．过点作的切线交的延长线于点．
(1)求证：；
(2)连接，若，，求的长．
【变式1-4】（2026·浙江嘉兴·二模）已知，是圆的两条弦，，垂足为（点在优弧上，点在劣弧上），且．
(1)如图，是直径，是圆心，且，求的半径；
(2)如图，连结并延长至点，再连结，．若且，求的度数；
(3)如图，若经过端点，点是弦上一点，点，在圆上．连结，，，满足．连结交于点，求的最小值．
▌题型04 内切圆半径的计算模型
1.内切圆定义：；为
2.内心基本性质
（1）内心到三边距离相等，距离 = 内切圆半径 r
（2） 内心一定在三角形内部
（3） 直角三角形（a、b为直角边，c为斜边）、普通三角形（S为面积，C为周长）
【典例1】（26-27九年级上·北京·课堂例题）如图，在中，，为的内切圆，切点分别为D、E、F，的半径为r．试用含a、b、c的代数式表示r．
小亮的思路：连接、．因为为的内切圆，切点分别为D、E、F，所以，且，易证四边形ODCE为正方形，所以．因为 ，所以，即．
小丽的思路是分别连接、和，把分割成3个小三角形：、和，利用这3个小三角形的面积之和等于的面积求出r．
(1)尝试按照小丽的思路求出r；
(2)小亮感到很奇怪：“我发现按照小丽的思路求出的结果与我求出的结果‘不一样’，但是它们都等于的半径呀！这是怎么回事呢？”请你给出解释．
【变式1-1】（26-27九年级上·江苏南京·期中）三边长分别为3，4，5的三角形的内切圆的半径为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式1-2】（26-27九年级上·江苏南京·阶段检测）已知直角三角形的两直角边分别长为，8，则其内切圆的半径为__________．
【变式1-3】（26-27九年级上·全国·课后作业）设等边三角形的内切圆半径为r，外接圆半径为R，边长为a，则______．
【变式1-4】（25-26九年级下·全国·课后作业）的面积为，周长为．求该三角形的内切圆的半径．
▌题型05 外切三角形周长与面积计算模型
1.外切三角形定义：和圆相切的三条直线围成的三角形，叫做这个圆的外切三角形.
一个圆有无数个外切三角形；一个三角形有且只有一个内切圆.
2.面积计算公式：
（为三角形的周长，为三角形内切圆半径）
【典例1】（2025九年级·全国·专题练习）阅读材料：已知的周长为l，面积为S，内切圆的半径为r，探究r与S，l之间的关系．
解：如图①，连接OA，OB，OC．
，，
，，．
解决问题：
(1)利用探究的结论，计算边长分别为5，12，13的三角形的内切圆半径．
(2)如图（2），若四边形ABCD存在内切圆（与各边都相切的圆），且面积为S，各边长分别为a，b，c，d，试推导四边形的内切圆半径公式．
【变式1-1】（25-26九年级上·云南曲靖·期末）如图，的内切圆分别与相切于点，且，则的周长为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】（25-26九年级上·浙江金华·期末）如图，三角形纸片的三边之比，是它的内切圆，的三条切线、、分别交的边于点D、E、F、G、M、N，则、、的周长之比为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-3】（25-26九年级上·江西宜春·阶段检测）如图，已知是等边的内切圆，若的半径为2，则的面积为_______．
【变式1-4】（25-26九年级上·江苏徐州·阶段检测）如图，半径为1的与的边分别相切于点D、E、F，若，，，则面积为______
【变式1-5】（25-26九年级下·全国·课后作业）的周长为l，内切圆的半径为r．求该三角形的面积S．
▌题型06 内心角度的计算模型
1. 定义：内心是三角形三条角平分线的交点，内心到三边的距离相等（等于内切圆的半径）
A
B
C
O
2.基本数量关系：
【典例1】（（26-27九年级上·山东日照·阶段检测）如图，在三角形中，O是外心，I是内心．
(1)若，求的度数；求的度数．
(2)求与的关系．
【变式1-1】（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，的内心为，，则（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】如图，点E是的内心，的延长线和的外接圆相交于点D，连接、、，若，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-3】（25-26九年级上·江苏盐城·期中）如图，点I为的内心，若，则的度数为_______．
【变式1-4】（2026·河北邢台·模拟预测）如图，在中，，，点是AB边上一点（不与点A，B重合），点是的内心，则____________．
【变式1-5】（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，在中，，，点O是的内心，的延长线交于点D，求的度数．
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专题03 直线与圆的位置关系计算类模型
（题型突破·举一反三）
题型01 直线平移动态相切计算模型
题型02 切线长的计算模型
题型03 直线与圆相交时弦长与半径的计算模型
题型04 内切圆半径的计算模型
题型05 外切三角形周长与面积计算模型
题型06内心相关角度的计算模型
▌题型01 直线平移动态相切计算模型
┐
┐
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1.直线与圆相离（图1）
2.直线与圆相切（图2）
3.直线与圆相交（图3）
核心解题思路：图3
图2
图1
1.求原始圆心到直线的距离；
2.根据计算需要平移的距离；
3.应用分类讨论的思想分析结果(向上或向下平移).
【典例1】（25-26九年级上·北京·课后作业）如图，为正比例函数图象上的一个动点，的半径是，设点的坐标为．
(1)求与直线相切时点的坐标．
(2)请直接写出与直线相交、相离时的取值范围．
【答案】(1)，或，
(2)当时，与直线相交；当或时，与直线相离．
【分析】本题为一次函数和圆的运用综合题，掌握直线和圆的不同位置关系应满足的数量关系是解题的关键．
（1）根据直线和圆相切应满足圆心到直线的距离等于半径，首先求得点的横坐标，再根据直线的解析式求得点的纵坐标；
（2）根据（1）的结论，即可分析出相离和相交时的取值范围．
【详解】（1）解：过作直线的垂线，垂足为，
当点在直线右侧时，
，
得，
把代入直线解析式，
可得，，
，
当点在直线左侧时，
，
得，
把代入直线解析式，
可得，
，
当与直线相切时，点的坐标为或；
（2）解：当时，与直线相交，
当或时，与直线相离．
【变式1-1】（24-25九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，，点M是射线上一点，，以点M为圆心，r为半径作，若与射线有两个公共点，则半径r的取值范围是____．
【答案】
【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，勾股定理，解答本题的关键要画出图形，利用数形结合可轻松解答．
根据直线与圆的位置关系及直角三角形的性质解答.若，则直线与圆相交；若则直线与圆相切；若，则直线与圆相离．
【详解】解：作由图可知，的取值范围在和之间．
在直角三角形中，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
则的取值范围是，
故答案为：．
【变式1-2】（23-24九年级上·福建厦门·阶段检测）中，，，，以C为圆心，r为半径作，
（1）若线段与相离时，r的取值范围是_________；
（2）若线段与只有一个交点时，r的取值范围是________．
【答案】 或
【分析】本题考查直线与圆的位置关系，勾股定理，解直角三角形等知识．利用正弦函数先求得，作于．利用勾股定理求出，再利用直角三角形的性质求出即可解答．
【详解】解：∵，，，
∴，
∴，
如图，作于．
在中，∵，，，
∴，
∴，
（1）以点为圆心，为半径的圆与线段所在直线相离，
∴的取值范围为，
（2）与线段只有一个公共点，
∴的取值范围为或，
故答案为：，或．
【变式1-3】（26-27九年级上·江苏盐城·阶段检测）在中，，，．的半径为r，若边与有公共点，则半径r的取值范围为______．
【答案】
【分析】要使线段与有公共点，半径的取值范围为：点到的最短距离上的点到点的最长距离，结合，即可推导范围．
【详解】解：∵，，上的点到点的最长距离为的长度，
∴；
∵点到线段的距离的最小值等于的长度，要使与有公共点，至少需要等于，
∴；
综上可得的取值范围是．
【变式1-4】（23-24九年级上·全国·课后作业）已知在矩形中，，，以点为圆心，为半径作，
(1)当半径为何值时，与直线相切；
(2)当半径为何值时，与直线相切；
(3)当半径的取值范围为何值时，与直线相交且与直线相离．
【答案】(1)当半径为3时，与直线相切
(2)当半径为2.4时，与直线相切
(3)当半径的取值范围为时，与直线相交且与直线相离
【分析】（1）根据圆心到直线的距离等于半径时，圆与直线相切，结合矩形的性质进行求解即可；
（2）连接，过点作，等积法求出的长，即为所求；
（3）根据圆心到直线的距离和圆的半径之间的关系，进行求解即可．
【详解】（1）解：∵四边形为矩形，
∴，
∴，，
∵圆心到边的距离为，与直线相切，
∴，
则当半径为3时，与直线相切；
（2）连接，过作，交于点，
∵在中，，，
∴，
又∵，
∴圆心到边的距离，
又与直线相切，
∴，则当半径为2.4时，与直线相切；
（3）∵与直线相交，圆心到边的距离为，
∴，
又与直线相离，圆心到的距离为，
∴，
则当半径的取值范围为时，与直线相交且与直线相离．
▌题型02 切线长的计算模型
图1
1.切线长定理：过圆外一点所做的圆的两条切线长相等.
几何语言：如图1分别与☉相切于点
2.常见图形及数量关系
(1)常见图形如图2图2
（2）数量关系
线段:垂直平分AB（需通过三角形全等证明）
角：（需通过三角形全等证明）
3.解题思路：连接过切点的半径及圆心和圆外的点构造直角三角形，通过解直角三角形求切线长.
【典例1】已知：如图，是的切线，B，C是切点，过上的任意一点P作的切线与分别交于点D，E．
(1)连接和，若，则_______；
(2)已知，求的周长．
【答案】(1)，(2)
【分析】本题主要考查了切线长定理，切线的性质，全等三角形的性质与判定，熟知切线的性质和切线长定理是解题的关键．
（1）由切线的性质得到，则由四边形内角和定理可求出的度数，证明，可推出；
（2）由切线长定理得到，再根据三角形周长计算公式和线段的和差关系求解即可．
【详解】（1）解：如图所示，连接，
∵都是的切线，
∴，
∵，
∴；
又∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵都是的切线，
∴，
∴的周长
．
【变式1-1】（24-25九年级上·北京·阶段检测）如图，分别切于A、B两点，点C为上一点，过点C作的切线分别交于M、N两点，若的周长为10，则切线长等于_______．
【答案】5
【分析】本题考查切线长定理．根据切线长定理得到，再根据三角形周长公式计算，得到答案．
【详解】解：∵分别切于A、C两点，
∴，
同理可得：，
∵的周长为10，
∴，
∴，
∴，
故答案为：5．
【变式1-2】（25-26九年级下·浙江宁波·阶段检测）如图，为的直径，点P在的延长线上，与相切，切点分别为C，D．若，则__________．
【答案】
【分析】连接，设与交于点，根据切线的性质结合勾股定理求出的长，进而求出，解，求出的长，即可．
【详解】解：连接，则，
∵与相切，
∴，，
∴垂直平分，
∴，
∵为直径，且，
∴，
在中，，
∴，
在中，，
∴．
【变式1-3】（25-26九年级上·浙江·阶段检测）如图，是四边形的内切圆．四边形的周长为48，且，则的长为（ ）
A．9 B．12 C．15 D．18
【答案】B
【分析】本题考查切线长定理，如图，设四边形的内切圆切点分别为，根据切线长定理得到，求出，进而得到，求出，从而求出，再根据，设，则，由，求出的值，即可求解．
【详解】解：如图，设四边形的内切圆切点分别为，
∴，
∴，
∵四边形的周长为48，
∴，
∴，
∴，
∵，
设，则，
∴，即，
解得，
∴．
故选：B．
【变式1-4】（2026·浙江杭州·模拟预测）如图，，是的切线，，为切点，连结，长为，，则的半径为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由切线的性质可得，，进而可证明，则，使用三角函数计算出的值即可．
【详解】解：∵，是的切线，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
在中，．
【变式1-5】（25-26九年级上·浙江·单元复习）如图，在中，，以为直径的交于点D，点Q为延长线上一点，延长交于点P，连接，．
(1)求证：是的切线；
(2)若时，求的长．
【分析】（1）连接，根据圆周角定理得到，由于，得到，根据余角的性质得到，于是得到结论；
（2）连接，根据切线的判定定理得到是的切线，求得，得到，根据平行线分线段成比例定理得到，根据三角形的中位线的性质得到，根据射影定理即可得到结论．
【详解】（1）证明：连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵为直径，
∴，
∵，
，
∴是的切线；
（2）解：连接．
∵为半径，
∴是的切线，
∴，
，
∴，
，
，
∴，，
∴，
∴是的中位线，
∵，
∴，
∵，
，
∴，
∴．
▌题型03 直线与圆相交时弦长及半径的计算
1.垂径定理：垂直于弦的直径平分弦并且平分弦所对的两条弧.
2.核心数量关系
a
d
3.解题思路：过圆心向弦作垂线段找d，由垂径定理得半弦长a，利用已知条件解直角三角形求d和a.
【典例1】（2026·湖北·中考真题）如图，在中，，以为直径的交于点，弦，垂足为．
(1)求证：；
(2)若，，求的半径．
【分析】（1）利用等腰三角形三线合一证明即可；
（2）由（1）得出的长，利用垂径定理求出的长，在中利用勾股定理求出的长，设的半径为，则，，在中利用勾股定理即可求出．
【详解】（1）证明：如图，连接，
为的直径，
，
又，
；
（2）解：如图，连接，
弦，为直径，，
，
，，
，
在中，，
设的半径为，则，，
在中，，
，化简得，解得，
的半径为．
【变式1-1】（2026九年级上·全国·专题练习）如图，是的弦，半径交弦于点，交于点，若，，，则圆心到的距离为_______．
【答案】
【分析】设交于点，连接，由垂径定理可得，则，设，在和中，由勾股定理列式计算可得的值，进而可得的长．
【详解】解：设交于点，连接，
∵，
∴，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理得，，
在中，由勾股定理得，，
∴，
解得，
∴，
即圆心到的距离为．
【变式1-2】（25-26九年级上·陕西安康·期中）如图，在中，直径垂直弦于点，为的半径，且点是的中点，连接交于点，交于点．
(1)若，，求的长；
(2)连接，，求的度数．
【答案】(1)，(2)
【分析】（1）根据垂径定理得，；在和中，由得，即；在中，由勾股定理建立方程，解方程即可求解．
（2）在中由三角形内角和定理得，由点是的中点，得圆心角，再利用平角的知识可得的度数．
【详解】（1）解：∵为的半径，且点是的中点，
∴，，，
∵直径垂直弦于点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
设的半径为，则, 即，
在中，由勾股定理得，
即，
解得，
∴．
（2）解：∵直径垂直弦于点，
∴，
在中，
即，
∵点是的中点，
∴，
∴，，
∵，
∴．
【变式1-3】（2026九年级·北京·专题练习）如图，，均为的直径，作弦于点，连接．过点作的切线交的延长线于点．
(1)求证：；
(2)连接，若，，求的长．
【分析】（1）连接，由垂径定理可得，由圆周角定理可知，等量代换可证结论成立；
（2）根据直径所对的圆周角是直角，可知，根据余弦定义可知，可以求出，的值，由垂径定理可知，利用的余弦求出，利用勾股定理求出，从而可得，进而求出，则可以求出，利用三角函数在中，求出，根据求出结果即可．
【详解】（1）证明：如下图所示，连接，
弦直径，
，
，
，
；
（2）解：连接，
是的直径，
，
，，
，
在中，，
，解得，
，半径，
弦直径，
，，
在中，，
，即，
，，
在中，，即，
为切线，是半径，
，
，
在中，，，
，
．
【变式1-4】（2026·浙江嘉兴·二模）已知，是圆的两条弦，，垂足为（点在优弧上，点在劣弧上），且．
(1)如图，是直径，是圆心，且，求的半径；
(2)如图，连结并延长至点，再连结，．若且，求的度数；
(3)如图，若经过端点，点是弦上一点，点，在圆上．连结，，，满足．连结交于点，求的最小值．
【答案】(1)，(2)，(3)
【分析】（）借助垂径定理得半弦长，再在直角三角形里用勾股定理求出圆半径；
（）设未知角为，结合角度倍数、圆周角性质列方程求出，再利用直角互余算出；
（）构造以为圆心、为半径的辅助圆，结合垂径定理、相交弦定理建立线段关系式，化简推导出与的数量关系，再配方转化为二次函数形式，进而求出的最小值．
【详解】（1）解：连接，
∵且是直径，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴圆的半径是；
（2）解：设，则，
∴，
∵，
∴，
∵ ，
∴，
∵ ，
∴，
∴ ，
∵，
∴；
（3）解：以为圆心，的长为半径作圆，交的延长线于点，
，
，两点在上，
，
，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
当时，的最小值是．
▌题型04 内切圆半径的计算模型
1.内切圆定义：；为
2.内心基本性质
（1）内心到三边距离相等，距离 = 内切圆半径 r
（2） 内心一定在三角形内部
（3） 直角三角形（a、b为直角边，c为斜边）、普通三角形（S为面积，C为周长）
【典例1】（26-27九年级上·北京·课堂例题）如图，在中，，为的内切圆，切点分别为D、E、F，的半径为r．试用含a、b、c的代数式表示r．
小亮的思路：连接、．因为为的内切圆，切点分别为D、E、F，所以，且，易证四边形ODCE为正方形，所以．因为 ，所以，即．
小丽的思路是分别连接、和，把分割成3个小三角形：、和，利用这3个小三角形的面积之和等于的面积求出r．
(1)尝试按照小丽的思路求出r；
(2)小亮感到很奇怪：“我发现按照小丽的思路求出的结果与我求出的结果‘不一样’，但是它们都等于的半径呀！这是怎么回事呢？”请你给出解释．
【分析】（1）按照题目要求求解即可．
（2）利用勾股定理证明两式相等即可．
【详解】（1）
如图，连接，，，
∵为的内切圆，且点D、E、F分别为切点，
∴，，，
，
即，
∴，
解得．
（2）两种思路求出来的r的表达式在数值上是相等的．
理由：要证明，
只需证，
即证，
故只需证，
故即证，
又∵为直角三角形，由勾股定理显然有，
∴原等式成立，即．
【变式1-1】（26-27九年级上·江苏南京·期中）三边长分别为3，4，5的三角形的内切圆的半径为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】先根据题意画出图形，根据勾股定理的逆定理判断出的形状，设内切圆的半径为，切点分别为、、，判断出四边形是正方形，再根据切线长定理即可得到关于的一元一次方程，求出的值即可．
【详解】解：设中，，，，
，即，
是直角三角形，
如图所示：作的内切圆，切点分别为、、，
设内切圆的半径为，
，，，
，，，
四边形为矩形，
，
矩形是正方形，即，
，，
，
．
【变式1-2】（26-27九年级上·江苏南京·阶段检测）已知直角三角形的两直角边分别长为，8，则其内切圆的半径为__________．
【答案】
【分析】先利用勾股定理求出直角三角形的斜边长，再利用面积法建立等式求解内切圆半径．
【详解】解：直角三角形的两直角边分别为和，
由勾股定理得斜边长为，
如图，设该直角三角形内切圆的半径为，
该直角三角形的面积为，
该直角三角形的面积也为三个小三角形的面积和，即，
，
化简得，
解得．
【变式1-3】（26-27九年级上·全国·课后作业）设等边三角形的内切圆半径为r，外接圆半径为R，边长为a，则______．
【答案】
【分析】由等边三角形的边长、外接圆半径、内切圆半径正好组成一个直角三角形，从而求得它们的比．
【详解】解：等边三角形的边长为，
外接圆半径，
内切圆半径，
．
【变式1-4】（25-26九年级下·全国·课后作业）的面积为，周长为．求该三角形的内切圆的半径．
【答案】
【分析】通过面积法推导得到三角形面积、周长与内切圆半径的关系，代入已知条件即可计算出内切圆半径．
【详解】解：如图：设内切圆的半径为， 连接，将分为三个小三角形，三个小三角形的高都等于内切圆半径r，
∵的面积为，
∴，
∴，
∵的周长为，
∴，
∴，即．
答：该三角形的内切圆半径为．
▌题型05 外切三角形周长与面积计算模型
1.外切三角形定义：和圆相切的三条直线围成的三角形，叫做这个圆的外切三角形.
一个圆有无数个外切三角形；一个三角形有且只有一个内切圆.
2.面积计算公式：
（为三角形的周长，为三角形内切圆半径）
【典例1】（2025九年级·全国·专题练习）阅读材料：已知的周长为l，面积为S，内切圆的半径为r，探究r与S，l之间的关系．
解：如图①，连接OA，OB，OC．
，，
，，．
解决问题：
(1)利用探究的结论，计算边长分别为5，12，13的三角形的内切圆半径．
(2)如图（2），若四边形ABCD存在内切圆（与各边都相切的圆），且面积为S，各边长分别为a，b，c，d，试推导四边形的内切圆半径公式．
【答案】(1)2
(2)
【分析】（1）利用探究的结论，计算边长分别为的三角形内切圆半径；
（2）若四边形存在内切圆（与各边都相切的圆），且四边形的面积为，各边长分别为，利用四边形面积等于个三角形的面积之和，可得四边形的内切圆半径公式．
【详解】（1）解：，
此三角形为直角三角形，
三角形的面积，
．
（2）解：如图，设四边形ABCD内切圆的圆心为O，连接OA，OB，OC，OD，则
，
．
【变式1-1】（25-26九年级上·云南曲靖·期末）如图，的内切圆分别与相切于点，且，则的周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查切线长定理，熟练掌握切线长定理是解题的关键．根据切线长定理得到，，，数形结合可得到的周长．
【详解】解：∵的内切圆分别与相切于点，且，
∴，
∴，
∴的周长，
故选：A．
【变式1-2】（25-26九年级上·浙江金华·期末）如图，三角形纸片的三边之比，是它的内切圆，的三条切线、、分别交的边于点D、E、F、G、M、N，则、、的周长之比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了切线长定理，全等三角形的判定与性质及三角形周长计算．设，，，分别过点O作，，，，，，由切线长定理知，，，分别连接，，，，，，利用“”证明，同理可得，，，，，从而得出，，，，，设，，，将，，的周长分别用含a、b、c的式子表示出来，联立的周长表达式求得，进而得出a、b、c含k的表达式，最终经过计算得出比值．
【详解】解：由题意知，设，，，
如图，分别过点O作，，，，，，
由切线长定理知，从点B引两条切线，，则有，
同理得：，，
分别连接，，，，，，
在和中，
，
∴，
∴，
同理，易证得：，，，，，
∴，，，，，
设，，，
∴，
，
，
∴，即，
∴，，，
∴，，，
∴，
故选：D．
【变式1-3】（25-26九年级上·江西宜春·阶段检测）如图，已知是等边的内切圆，若的半径为2，则的面积为_______．
【答案】
【分析】本题考查了三角形内切圆的性质，等边三角形的性质、含的直角三角形性质等知识点，内切圆的圆心是三角形角平分线交点是解题的关键．
连接、连接并延长交于点，在直角中，，利用含的直角三角形性质求解出，进而求出等边的边长和高，由此即可解题．
【详解】解：连接、连接并延长交于点，
∵等边，
∴，
又∵是等边的内切圆，
∴是的角平分线，即，，
，，
又∵是的切线，的半径为2，
∴是切点，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
故答案为．
【变式1-4】（25-26九年级上·江苏徐州·阶段检测）如图，半径为1的与的边分别相切于点D、E、F，若，，，则面积为______
【答案】9
【分析】本题考查切线长定理，三角形内切圆，掌握知识点是解题的关键．
连接， 推导出，，再根据，代入计算即可．
【详解】解：连接，如图，
∵半径为1的与的边分别相切于点D、E、F，若，，，
∴ ，
，
∴，
∴
．
故答案为：9．
【变式1-5】（25-26九年级下·全国·课后作业）的周长为l，内切圆的半径为r．求该三角形的面积S．
【答案】
【分析】根据题意画出图形，与圆切于点、、，连接、、，可得，，，进而根据三角形面积列出等式即可求出的面积．
【详解】解：如图，
与圆切于点、、，
连接、、，
则，，，
，
连接、、，
则
▌题型06 内心角度的计算模型
1. 定义：内心是三角形三条角平分线的交点，内心到三边的距离相等（等于内切圆的半径）
A
B
C
O
2.基本数量关系：
【典例1】（（26-27九年级上·山东日照·阶段检测）如图，在三角形中，O是外心，I是内心．
(1)若，求的度数；求的度数．
(2)求与的关系．
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）根据圆周角定理得出，代入求出即可； 求出，求出，根据三角形内角和定理求出即可；
（2）分别推导、与的关系式，以为中间量消元，得到与的数量关系．
【详解】（1）解∶为的内心，
，．
，
．
，即，
．
点O为的外心，
由圆周角定理得．
，
．
（2）解： 是的内心，
平分，平分．
．
在中，由三角形内角和定理：
在中，，
∴
是的外心，由圆周角定理：同弧所对圆心角等于圆周角的2倍．
∴，即，
∴．
【变式1-1】（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，的内心为，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据内心是三角形三条角平分线的交点，结合三角形的内角和定理进行求解即可.
【详解】解：在中，，
∴，
∵的内心为，
∴平分，平分，
∴，
∴.
【变式1-2】如图，点E是的内心，的延长线和的外接圆相交于点D，连接、、，若，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用同弧所对圆周角相等求出，由三角形内心性质得到，结合三角形内角和定理，求出，进而求出的度数．
【详解】解：，
，
点是的内心，
平分，
，
，
平分，平分，
，
．
【变式1-3】（25-26九年级上·江苏盐城·期中）如图，点I为的内心，若，则的度数为_______．
【答案】
或52度
【分析】根据三角形内心的定义可知 是 的角平分线，利用角平分线的性质即可求解；
【详解】解：点为的内心，
平分，
，
，
．
【变式1-4】（2026·河北邢台·模拟预测）如图，在中，，，点是AB边上一点（不与点A，B重合），点是的内心，则____________．
【答案】/115度
【分析】本题主要考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理、三角形内心的定义和性质．
根据等腰三角形性质求出，再结合三角形内心的性质，求出的度数，进而求出的度数．
【详解】∵在中，，，
∴；
又∵是的内心，
∴平分，平分，
∴，；
又∵在中，，
∴，
∴，
∴；
又∵在中，，
∴
【变式1-5】（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，在中，，，点O是的内心，的延长线交于点D，求的度数．
【答案】
【分析】先根据三角形内角和得到的度数，再根据点O是的内心求出的度数，进而根据三角形外角，即可得到的度数．
【详解】解：∵，，
∴，
又∵点O是的内心，
∴平分，
∴，
∴．
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专题03 直线与圆的位置关系计算类模型
（题型突破·举一反三）
▌题型01 直线平移动态相切计算模型
【典例1】
【答案】(1)，或，
(2)当时，与直线相交；当或时，与直线相离．
【分析】本题为一次函数和圆的运用综合题，掌握直线和圆的不同位置关系应满足的数量关系是解题的关键．
（1）根据直线和圆相切应满足圆心到直线的距离等于半径，首先求得点的横坐标，再根据直线的解析式求得点的纵坐标；
（2）根据（1）的结论，即可分析出相离和相交时的取值范围．
【详解】（1）解：过作直线的垂线，垂足为，
当点在直线右侧时，
，
得，
把代入直线解析式，
可得，，
，
当点在直线左侧时，
，
得，
把代入直线解析式，
可得，
，
当与直线相切时，点的坐标为或；
（2）解：当时，与直线相交，
当或时，与直线相离．
【变式1-1】
【答案】
【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，勾股定理，解答本题的关键要画出图形，利用数形结合可轻松解答．
根据直线与圆的位置关系及直角三角形的性质解答.若，则直线与圆相交；若则直线与圆相切；若，则直线与圆相离．
【详解】解：作由图可知，的取值范围在和之间．
在直角三角形中，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
则的取值范围是，
故答案为：．
【变式1-2】
【答案】 或
【分析】本题考查直线与圆的位置关系，勾股定理，解直角三角形等知识．利用正弦函数先求得，作于．利用勾股定理求出，再利用直角三角形的性质求出即可解答．
【详解】解：∵，，，
∴，
∴，
如图，作于．
在中，∵，，，
∴，
∴，
（1）以点为圆心，为半径的圆与线段所在直线相离，
∴的取值范围为，
（2）与线段只有一个公共点，
∴的取值范围为或，
故答案为：，或．
【变式1-3】
【答案】
【分析】要使线段与有公共点，半径的取值范围为：点到的最短距离上的点到点的最长距离，结合，即可推导范围．
【详解】解：∵，，上的点到点的最长距离为的长度，
∴；
∵点到线段的距离的最小值等于的长度，要使与有公共点，至少需要等于，
∴；
综上可得的取值范围是．
【变式1-4】
【答案】(1)当半径为3时，与直线相切
(2)当半径为2.4时，与直线相切
(3)当半径的取值范围为时，与直线相交且与直线相离
【分析】（1）根据圆心到直线的距离等于半径时，圆与直线相切，结合矩形的性质进行求解即可；
（2）连接，过点作，等积法求出的长，即为所求；
（3）根据圆心到直线的距离和圆的半径之间的关系，进行求解即可．
【详解】（1）解：∵四边形为矩形，
∴，
∴，，
∵圆心到边的距离为，与直线相切，
∴，
则当半径为3时，与直线相切；
（2）连接，过作，交于点，
∵在中，，，
∴，
又∵，
∴圆心到边的距离，
又与直线相切，
∴，则当半径为2.4时，与直线相切；
（3）∵与直线相交，圆心到边的距离为，
∴，
又与直线相离，圆心到的距离为，
∴，
则当半径的取值范围为时，与直线相交且与直线相离．
▌题型02 切线长的计算模型
【典例1】
【答案】(1)，(2)
【分析】本题主要考查了切线长定理，切线的性质，全等三角形的性质与判定，熟知切线的性质和切线长定理是解题的关键．
（1）由切线的性质得到，则由四边形内角和定理可求出的度数，证明，可推出；
（2）由切线长定理得到，再根据三角形周长计算公式和线段的和差关系求解即可．
【详解】（1）解：如图所示，连接，
∵都是的切线，
∴，
∵，
∴；
又∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵都是的切线，
∴，
∴的周长
．
【变式1-1】
【答案】5
【分析】本题考查切线长定理．根据切线长定理得到，再根据三角形周长公式计算，得到答案．
【详解】解：∵分别切于A、C两点，
∴，
同理可得：，
∵的周长为10，
∴，
∴，
∴，
故答案为：5．
【变式1-2】
【答案】
【分析】连接，设与交于点，根据切线的性质结合勾股定理求出的长，进而求出，解，求出的长，即可．
【详解】解：连接，则，
∵与相切，
∴，，
∴垂直平分，
∴，
∵为直径，且，
∴，
在中，，
∴，
在中，，
∴．
【变式1-3】
【答案】B
【分析】本题考查切线长定理，如图，设四边形的内切圆切点分别为，根据切线长定理得到，求出，进而得到，求出，从而求出，再根据，设，则，由，求出的值，即可求解．
【详解】解：如图，设四边形的内切圆切点分别为，
∴，
∴，
∵四边形的周长为48，
∴，
∴，
∴，
∵，
设，则，
∴，即，
解得，
∴．
故选：B．
【变式1-4】
【答案】C
【分析】由切线的性质可得，，进而可证明，则，使用三角函数计算出的值即可．
【详解】解：∵，是的切线，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
在中，．
【变式1-5】
【分析】（1）连接，根据圆周角定理得到，由于，得到，根据余角的性质得到，于是得到结论；
（2）连接，根据切线的判定定理得到是的切线，求得，得到，根据平行线分线段成比例定理得到，根据三角形的中位线的性质得到，根据射影定理即可得到结论．
【详解】（1）证明：连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵为直径，
∴，
∵，
，
∴是的切线；
（2）解：连接．
∵为半径，
∴是的切线，
∴，
，
∴，
，
，
∴，，
∴，
∴是的中位线，
∵，
∴，
∵，
，
∴，
∴．
▌题型03 直线与圆相交时弦长及半径的计算
【典例1】
【分析】（1）利用等腰三角形三线合一证明即可；
（2）由（1）得出的长，利用垂径定理求出的长，在中利用勾股定理求出的长，设的半径为，则，，在中利用勾股定理即可求出．
【详解】（1）证明：如图，连接，
为的直径，
，
又，
；
（2）解：如图，连接，
弦，为直径，，
，
，，
，
在中，，
设的半径为，则，，
在中，，
，化简得，解得，
的半径为．
【变式1-1】
【答案】
【分析】设交于点，连接，由垂径定理可得，则，设，在和中，由勾股定理列式计算可得的值，进而可得的长．
【详解】解：设交于点，连接，
∵，
∴，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理得，，
在中，由勾股定理得，，
∴，
解得，
∴，
即圆心到的距离为．
【变式1-2】
【答案】(1)，(2)
【分析】（1）根据垂径定理得，；在和中，由得，即；在中，由勾股定理建立方程，解方程即可求解．
（2）在中由三角形内角和定理得，由点是的中点，得圆心角，再利用平角的知识可得的度数．
【详解】（1）解：∵为的半径，且点是的中点，
∴，，，
∵直径垂直弦于点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
设的半径为，则, 即，
在中，由勾股定理得，
即，
解得，
∴．
（2）解：∵直径垂直弦于点，
∴，
在中，
即，
∵点是的中点，
∴，
∴，，
∵，
∴．
【变式1-3】
【分析】（1）连接，由垂径定理可得，由圆周角定理可知，等量代换可证结论成立；
（2）根据直径所对的圆周角是直角，可知，根据余弦定义可知，可以求出，的值，由垂径定理可知，利用的余弦求出，利用勾股定理求出，从而可得，进而求出，则可以求出，利用三角函数在中，求出，根据求出结果即可．
【详解】（1）证明：如下图所示，连接，
弦直径，
，
，
，
；
（2）解：连接，
是的直径，
，
，，
，
在中，，
，解得，
，半径，
弦直径，
，，
在中，，
，即，
，，
在中，，即，
为切线，是半径，
，
，
在中，，，
，
．
【变式1-4】
【答案】(1)，(2)，(3)
【分析】（）借助垂径定理得半弦长，再在直角三角形里用勾股定理求出圆半径；
（）设未知角为，结合角度倍数、圆周角性质列方程求出，再利用直角互余算出；
（）构造以为圆心、为半径的辅助圆，结合垂径定理、相交弦定理建立线段关系式，化简推导出与的数量关系，再配方转化为二次函数形式，进而求出的最小值．
【详解】（1）解：连接，
∵且是直径，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴圆的半径是；
（2）解：设，则，
∴，
∵，
∴，
∵ ，
∴，
∵ ，
∴，
∴ ，
∵，
∴；
（3）解：以为圆心，的长为半径作圆，交的延长线于点，
，
，两点在上，
，
，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
当时，的最小值是．
▌题型04 内切圆半径的计算模型
【典例1】
【分析】（1）按照题目要求求解即可．
（2）利用勾股定理证明两式相等即可．
【详解】（1）
如图，连接，，，
∵为的内切圆，且点D、E、F分别为切点，
∴，，，
，
即，
∴，
解得．
（2）两种思路求出来的r的表达式在数值上是相等的．
理由：要证明，
只需证，
即证，
故只需证，
故即证，
又∵为直角三角形，由勾股定理显然有，
∴原等式成立，即．
【变式1-1】
【答案】A
【分析】先根据题意画出图形，根据勾股定理的逆定理判断出的形状，设内切圆的半径为，切点分别为、、，判断出四边形是正方形，再根据切线长定理即可得到关于的一元一次方程，求出的值即可．
【详解】解：设中，，，，
，即，
是直角三角形，
如图所示：作的内切圆，切点分别为、、，
设内切圆的半径为，
，，，
，，，
四边形为矩形，
，
矩形是正方形，即，
，，
，
．
【变式1-2】
【答案】
【分析】先利用勾股定理求出直角三角形的斜边长，再利用面积法建立等式求解内切圆半径．
【详解】解：直角三角形的两直角边分别为和，
由勾股定理得斜边长为，
如图，设该直角三角形内切圆的半径为，
该直角三角形的面积为，
该直角三角形的面积也为三个小三角形的面积和，即，
，
化简得，
解得．
【变式1-3】
【答案】
【分析】由等边三角形的边长、外接圆半径、内切圆半径正好组成一个直角三角形，从而求得它们的比．
【详解】解：等边三角形的边长为，
外接圆半径，
内切圆半径，
．
【变式1-4】
【答案】
【分析】通过面积法推导得到三角形面积、周长与内切圆半径的关系，代入已知条件即可计算出内切圆半径．
【详解】解：如图：设内切圆的半径为， 连接，将分为三个小三角形，三个小三角形的高都等于内切圆半径r，
∵的面积为，
∴，
∴，
∵的周长为，
∴，
∴，即．
答：该三角形的内切圆半径为．
▌题型05 外切三角形周长与面积计算模型
【典例1】
【答案】(1)2
(2)
【分析】（1）利用探究的结论，计算边长分别为的三角形内切圆半径；
（2）若四边形存在内切圆（与各边都相切的圆），且四边形的面积为，各边长分别为，利用四边形面积等于个三角形的面积之和，可得四边形的内切圆半径公式．
【详解】（1）解：，
此三角形为直角三角形，
三角形的面积，
．
（2）解：如图，设四边形ABCD内切圆的圆心为O，连接OA，OB，OC，OD，则
，
．
【变式1-1】
【答案】A
【分析】本题考查切线长定理，熟练掌握切线长定理是解题的关键．根据切线长定理得到，，，数形结合可得到的周长．
【详解】解：∵的内切圆分别与相切于点，且，
∴，
∴，
∴的周长，
故选：A．
【变式1-2】
【答案】D
【分析】本题考查了切线长定理，全等三角形的判定与性质及三角形周长计算．设，，，分别过点O作，，，，，，由切线长定理知，，，分别连接，，，，，，利用“”证明，同理可得，，，，，从而得出，，，，，设，，，将，，的周长分别用含a、b、c的式子表示出来，联立的周长表达式求得，进而得出a、b、c含k的表达式，最终经过计算得出比值．
【详解】解：由题意知，设，，，
如图，分别过点O作，，，，，，
由切线长定理知，从点B引两条切线，，则有，
同理得：，，
分别连接，，，，，，
在和中，
，
∴，
∴，
同理，易证得：，，，，，
∴，，，，，
设，，，
∴，
，
，
∴，即，
∴，，，
∴，，，
∴，
故选：D．
【变式1-3】
【答案】
【分析】本题考查了三角形内切圆的性质，等边三角形的性质、含的直角三角形性质等知识点，内切圆的圆心是三角形角平分线交点是解题的关键．
连接、连接并延长交于点，在直角中，，利用含的直角三角形性质求解出，进而求出等边的边长和高，由此即可解题．
【详解】解：连接、连接并延长交于点，
∵等边，
∴，
又∵是等边的内切圆，
∴是的角平分线，即，，
，，
又∵是的切线，的半径为2，
∴是切点，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
故答案为．
【变式1-4】
【答案】9
【分析】本题考查切线长定理，三角形内切圆，掌握知识点是解题的关键．
连接， 推导出，，再根据，代入计算即可．
【详解】解：连接，如图，
∵半径为1的与的边分别相切于点D、E、F，若，，，
∴ ，
，
∴，
∴
．
故答案为：9．
【变式1-5】
【答案】
【分析】根据题意画出图形，与圆切于点、、，连接、、，可得，，，进而根据三角形面积列出等式即可求出的面积．
【详解】解：如图，
与圆切于点、、，
连接、、，
则，，，
，
连接、、，
则
▌题型06 内心角度的计算模型
【典例1】
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）根据圆周角定理得出，代入求出即可； 求出，求出，根据三角形内角和定理求出即可；
（2）分别推导、与的关系式，以为中间量消元，得到与的数量关系．
【详解】（1）解∶为的内心，
，．
，
．
，即，
．
点O为的外心，
由圆周角定理得．
，
．
（2）解： 是的内心，
平分，平分．
．
在中，由三角形内角和定理：
在中，，
∴
是的外心，由圆周角定理：同弧所对圆心角等于圆周角的2倍．
∴，即，
∴．
【变式1-1】
【答案】D
【分析】根据内心是三角形三条角平分线的交点，结合三角形的内角和定理进行求解即可.
【详解】解：在中，，
∴，
∵的内心为，
∴平分，平分，
∴，
∴.
【变式1-2】
【答案】C
【分析】利用同弧所对圆周角相等求出，由三角形内心性质得到，结合三角形内角和定理，求出，进而求出的度数．
【详解】解：，
，
点是的内心，
平分，
，
，
平分，平分，
，
．
【变式1-3】
【答案】
或52度
【分析】根据三角形内心的定义可知 是 的角平分线，利用角平分线的性质即可求解；
【详解】解：点为的内心，
平分，
，
，
．
【变式1-4】
【答案】/115度
【分析】本题主要考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理、三角形内心的定义和性质．
根据等腰三角形性质求出，再结合三角形内心的性质，求出的度数，进而求出的度数．
【详解】∵在中，，，
∴；
又∵是的内心，
∴平分，平分，
∴，；
又∵在中，，
∴，
∴，
∴；
又∵在中，，
∴
【变式1-5】
【答案】
【分析】先根据三角形内角和得到的度数，再根据点O是的内心求出的度数，进而根据三角形外角，即可得到的度数．
【详解】解：∵，，
∴，
又∵点O是的内心，
∴平分，
∴，
∴．
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