重难点专题 圆中最值与隐圆（专项训练）数学新教材浙教版九年级下册

重难点专题 圆中最值与隐圆 题型1 定点定长与隐圆 固定解题模型：动点到定点的距离不变，这个动点就在以定点为圆心的圆上，最值变成点与圆上点的距离. 解题步骤：① 找出定点与定长，确定隐圆　② 连圆心与另一个定点　③ 用圆心距加、减半径求最大最小值. 核心数据：点与圆上各点距离的最大值等于圆心距加半径，最小值等于圆心距减半径. 1．（26-27九年级上·江苏宿迁·期中）如图，是的弦，，的半径为，点是上一动点，则面积的最大值为（     ） A． B． C． D． 2．（26-27九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，在中，弦．点在上移动，连接，过点作，交于点，则长的最大值为（     ） A． B． C． D． 3．（26-27九年级上·浙江湖州·期中）如图，内接于，，于点，延长交于点． (1)如图①，若是等边三角形，求证：； (2)如图②，当点在弦上方运动时（包括点、），作交于点． ①求证：； ②如图③，作的直径，若，求的最小值（直接写出答案）． 4．（26-27九年级上·浙江杭州·自主招生）若半径为1的半圆能完全放入一个长为、宽为的矩形中，则x的最小值为_______． 5．（26-27九年级上·广西南宁·期中）综合与探究 在数学课上，学习小组对一类特殊的圆内接四边形开展研究，给出如下定义： 【定义】 有一个角是其对角一半的圆内接四边形叫做圆美四边形，其中这个角叫做美角． 【示例】 如图1，如果圆内接四边形中，，则称四边形是圆美四边形，是它的美角， 【初步应用】 (1)如图，四边形是圆美四边形，是它的美角，已知的半径为． 直接写出美角的度数； 求弦的长； 【拓展提升】 (2)如图，四边形是圆美四边形，是它的美角，连接，若平分 求证：； 若已知的半径为，直接写出圆美四边形面积的最大值． 6．（2026·河北廊坊·二模）圆周角定理及其推论是初中数学中很重要的定理，反映了圆心角和圆周角及圆周角之间的关系． 【回顾】 (1)如图1，为的弦，且．点，在弦所对的优弧上，则的度数为________，的度数为________； 【应用】如图2，已知线段．点在所在直线的上方，且．要求：用尺规作图的方法作出满足条件的点所组成的图形． (2)嘉嘉经过思考后进行了下面的操作，求优弧的长； 如图3． 1．以为边画正方形，连接，，交于点； 2．以点为圆心，长为半径画圆，则位于线段上方的圆弧就是满足条件的点所组成的图形． (3)请你用另一种不同于（2）中的方法按要求作图（保留作图痕迹，不用写作法）； 【拓展】 (4)如图4，已知建筑物宽为30米，一名摄影师从距点30米的点（点在直线上）出发，沿大桥方向前进（），当摄影师到达对建筑物视角最大的最佳拍摄点（最大）时，求他前进的距离． 这个问题可以通过“米勒定理”解决：过点，作，与直线相切于点时，最大，此时的为最佳拍摄点．连接并延长交于点，连接．请你完成解答（求的长）． 7．（2026·四川德阳·中考真题）如图1，是的直径且经过弦的中点． (1)连接，，试说明是多少度时，． (2)如图2，为上一点，过点作的切线，与的延长线相交于点，连接交于点，如果，，． ①求证：； ②若为上任意一点，求的最小值． 题型2 定弦定角与隐圆 固定解题模型：一条定弦对定角，动点的轨迹是一段圆弧，先把这个圆补出来. 解题步骤：① 由定弦定角确定圆心与半径　② 判断圆心在弦的哪一侧　③ 把最值转化成圆心距加减半径. 核心数据：定弦对定角时，动点在过定弦两端点的圆上，定弦所对的圆周角不变. 1．（26-27九年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，⊙的半径为2，、是互相垂直的两条直径，点P是⊙上任意一点，过点P作于M，于N，点Q是的中点，点P沿着圆周从点D逆时针方向运动到点C的过程中，当度数取最大值时，线段的长为（     ） A．2 B．1 C． D． 2．点P为图形M上任意一点，过点P作直线l，垂足为Q，记的长度为d． 定义一：若d存在最大值，则称其为“图形M到直线l的限距离”，记作； 定义二：若d存在最小值，则称其为“图形M到直线l的基距离”，记作； (1)已知直线，平面内反比例函数在第一象限内的图象记作H，求． (2)已知直线，点，点是x轴上一个动点，的半径为，点C在上，若，求此时t的取值范围． (3)已知直线恒过定点，点恒在直线上，点是平面上一动点，记以点E为顶点，原点为对角线交点的正方形为图形K，若，求m的取值范围． 3．（25-26九年级上·江苏连云港·阶段检测）1471年，德国数学家米勒提出最大视角问题，这一问题一般描述的是：如图，已知点、是的边上的两个定点，点是边上的一个动点，当在何处时，最大？ 问题的答案是：当且仅当的外接圆与边相切于点时，最大．人们称这一命题为米勒定理．在足球比赛中，球员在双方球门前的不同位置起脚射门，对球门的威胁是不同的，触球点对球门的张角越大，射门的命中率就越高．如图为室内人制足球场示意图，设球场长大约为，宽大约为米，球门长大约为，在某场比赛中有一位球员欲在边线上的某点处射门，为使得张角最大，则大约为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 4．（2023·广西北海·二模）综合与实践 【问题提出】 （1）如图，在足球比赛场上，甲、乙两名队员互相配合向对方球门进攻，当甲带球冲到点时，乙已跟随冲到点，仅从射门角度大小考虑，甲是自己射门好，还是迅速将球回传给乙，让乙射门好？假设球员对球门的视角越大，足球越容易被踢进．请结合你所学知识，求证：． 【数学理解】 德国数学家米勒曾提出最大视角问题，对该问题的一般描述是：如图，已知点，是的边上的两个定点，是边上的一个动点，当且仅当的外接圆与边相切于点时，最大，人们称这一命题为米勒定理． 【问题解决】 （2）如图，已知点，的坐标分别是，，是轴正半轴上的一动点，当的外接圆与轴相切于点时，最大，当最大时，求点的坐标． 5．（22-23九年级上·山西吕梁·期末）阅读与思考：阅读下列材料，并完成相应的任务． 米勒定理 米勒（）是德国的数学家，是欧洲最有影响的数学家之一，米勒发表的《三角全书》，是使得三角学在欧洲取得独立地位的第一部系统性著作．下面是米勒定理（又称切割线定理）的证明过程 已知：如图1，与相切于点A，与相交于点B，C． 求证：． 证明：如图2，连接． ∵为的切线， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ……    任务： (1)请完成剩余的证明过程 (2)应用：如图3，是的切线，经过的圆心O，且，割线交于点D，E，，求的长． 6．（2026·广东广州·二模）【阅读材料】德国数学家约翰内斯•米勒在1471年提出了一个有趣的问题：如图①，一根竖直悬挂的杆，在地面（直线l）上的哪个点P能让杆看起来最长（也就是最大）．这个最大视角问题是数学史上100个著名的极值问题之一．利用圆的知识，其实这个问题并不难解决．如图②，作过点A，B且与直线l相切于点C，当点P异于点C时，容易证明，所以当点P与点C重合时，最大，也就是说，当的外接圆与l相切时，最大． 【解决问题】 (1)请完成材料中的证明； (2)材料中的最大视角问题，设，点B到直线l的距离为b，当最大时，点P到所在直线的距离是多少？（用含a，b的代数式表示） (3)如图③，E是射线上的一点，，，C是的中点．把绕点C顺时针旋转得到，连接．求当最大时，的长． 题型3 动圆相切与米勒问题 固定解题模型：动圆与定直线相切，就是圆心到直线的距离等于半径这一临界；最大视角问题转化为过两定点且与定直线相切的圆. 解题步骤：① 设动圆圆心位置　② 写出圆心到直线的距离，令它等于半径　③ 解出临界值，再判合题意的那个. 核心数据：动圆与定直线相切时，圆心到直线的距离等于半径. 1．（2026·贵州·模拟预测）【问题情境】如图1，在足球比赛场上，甲带球奔向对方球门（虚线部分为的外接圆），当他带球冲到A点时，同伴乙和丙分别已冲到B点和C点，甲是自己射门好，还是将球传给乙或者丙，让乙或者丙射门好？ (1)【问题探究】对于这个问题，小明结合图1判断得出，根据“仅从射门角度考虑，球员对球门的视角越大，足球越容易被踢进”的经验，认为甲应该将球传给乙．以下给出了证明的部分过程，请继续完成证明过程： 如图2，设与圆交于点M，连接，设延长线交圆与点N，连接，则， ∵________，∴________，∴； ∵________，∴________，∴； ∴； (2)【问题应用】德国数学家米勒曾提出最大视角问题，并得到这样的结论：如图3，点A，B是平面内两个定点，C是直线l上的一个动点，当且仅当的外接圆与l相切于点C时，最大．请直接根据这一结论解决问题：如图4，在正方形中，E是上一点，连接，当取得最大值时，求的值； (3)【问题拓展】如图5，，点A，B是边上两点，，点C是边上一动点．若最大不超过，求的取值范围． 2．（25-26九年级上·湖南长沙·阶段检测）如果一个四边形的四个顶点在同一个圆上，我们就称这个四边形为圆内接四边形． (1)下列选项中，一定是圆内接四边形的是___________．（填序号） ①平行四边形；②菱形；③矩形；④正方形 (2)如图1，与轴交于点，与轴交于点，点在轴的正半轴上，点在轴负半轴上，若、、、四点共圆 ①设、、四边形的面积分别为、、，且满足：，试判断的形状，并说明理由． ②在①的条件下，求四边形的面积． (3)如图2，若等腰的外接圆为，半径为，平面上有两点、，分别与的三个顶点构成圆内接四边形（在的左侧，点在的右侧），求五边形面积的最大值． 3．（2020·陕西宝鸡·模拟预测）阅读材料：“最值问题”是数学中的一类较具挑战性的问题．其实，数学史上也有不少相关的故事，如下即为其中较为经典的一则：海伦是古希腊精通数学、物理的学者，相传有位将军曾向他请教一个问题﹣﹣如图1，从A点出发，到笔直的河岸l去饮马，然后再去B地，走什么样的路线最短呢？海伦轻松地给出了答案：作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交l于点P，则PA+PB＝A′B 的值最小． 解答问题： （1）如图2，⊙O的半径为2，点A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC＝60°，P是OB上一动点，求PA+PC的最小值； （2）如图3，已知菱形ABCD的边长为6，∠DAB＝60°．将此菱形放置于平面直角坐标系中，各顶点恰好在坐标轴上．现有一动点P从点A出发，以每秒2个单位的速度，沿A→C的方向，向点C运动．当到达点C后，立即以相同的速度返回，返回途中，当运动到x轴上某一点M时，立即以每秒1个单位的速度，沿M→B的方向，向点B运动．当到达点B时，整个运动停止． ①为使点P能在最短的时间内到达点B处，则点M的位置应如何确定？ ②在①的条件下，设点P的运动时间为t（s），△PAB的面积为S，在整个运动过程中，试求S与t之间的函数关系式，并指出自变量t的取值范围． 4．（2026·浙江嘉兴·二模）已知，是圆的两条弦，，垂足为（点在优弧上，点在劣弧上），且． (1)如图，是直径，是圆心，且，求的半径； (2)如图，连结并延长至点，再连结，．若且，求的度数； (3)如图，若经过端点，点是弦上一点，点，在圆上．连结，，，满足．连结交于点，求的最小值． 5．（2026九年级·北京·专题练习）平面直角坐标系中，的半径为1．对于点和给出如下定义：若存在的弦，使得点关于直线的对称点在上，则称点是的关联点，称弦是点与的关联线段． (1)如图，在点，，中，点______是的关联点； (2)已知点，，若弦是点与的关联线段，则线段长的取值范围是______； (3)直线（）分别与轴，轴交于，两点，当线段上存在的关联点时，记这些点与的关联线段长的最大值为，若，直接写出的取值范围． 6．（2026·浙江金华·三模）已知在平行四边形中，，，过、、三点的圆与边相切于点，圆心为． (1)如图，连接并延长交于点，连接，交于点，连接． ①求证：； ②求线段的长． (2)如图，、分别是、上的动点，且，求的最小值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点专题 圆中最值与隐圆 题型1 定点定长与隐圆 固定解题模型：动点到定点的距离不变，这个动点就在以定点为圆心的圆上，最值变成点与圆上点的距离. 解题步骤：① 找出定点与定长，确定隐圆　② 连圆心与另一个定点　③ 用圆心距加、减半径求最大最小值. 核心数据：点与圆上各点距离的最大值等于圆心距加半径，最小值等于圆心距减半径. 1．（26-27九年级上·江苏宿迁·期中）如图，是的弦，，的半径为，点是上一动点，则面积的最大值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点作的垂线，垂足为，延长交于点，连接，，，就是点到的最大距离，的面积就是的最大面积，根据垂径定理和勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，过点作的垂线，垂足为，延长交于点，连接，，， ， 的半径为， ， ， 点到距离的最大值为， 面积的最大值为． 2．（26-27九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，在中，弦．点在上移动，连接，过点作，交于点，则长的最大值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由勾股定理得，为定值，最小时最大，根据垂线段最短，当时最小，最后求出最大值． 【详解】解：如图，连接， ， ， 为定值，则当取得最小值时，取得最大值， 当时，取得最小值， 此时点与点重合， ， ． 3．（26-27九年级上·浙江湖州·期中）如图，内接于，，于点，延长交于点． (1)如图①，若是等边三角形，求证：； (2)如图②，当点在弦上方运动时（包括点、），作交于点． ①求证：； ②如图③，作的直径，若，求的最小值（直接写出答案）． 【答案】(1)证明：连接， ∵为等边三角形， ∴于点，则为的中点， ∴垂直平分， ∵为外接圆的圆心， ∴在的垂直平分线上，即在上， ∵在的延长线上， ∴、、、四点共线， ∵， ∴， ∵，且于中点， ∴平分， ∴， ∴， ∴， ∵与均为的半径， ∴， ∵在弦上， ∴点在内部，即点在与之间， ∴， ∴． (2)① 证明：连接， ∵，， ∴， ∵于点，交于点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵点、都在优弧上， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∵于点， ∴为的中点， ∴． ②的最小值为． 【分析】（1） 由等边三角形三线合一得垂直平分，外心落在上，故、、、共线；连接，由及三线合一得，在中得；再由，即得． （2）① 由得，结合得、；由点、同在优弧上得，于是，为等边三角形；又，由三线合一得为中点，即． ② 由得点、、、四点共圆；先由解出半径为2，再证劣弧中点到、、的距离均为2，故点在以为圆心、半径为2的圆上；由为直径得、，由，取等即得最小值． 【详解】（1）略 （2）略 ② 解：连接， ∵， ∵， ∴， ∵点与点都在弦的上方， ∴点、、、四点共圆， 作于点，并延长交于点，连接、、， 则点为劣弧的中点， ∵， ∴为的中点，，， ∴ ∵， ∴， ∴， 即， ∴（负舍），即的半径为2， ∵，， ∴为等边三角形， ∴， 同理， ∴， ∴点是过点、、的圆的圆心，且该圆半径为2， ∴点在以为圆心、2为半径的圆上， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∵， 作于点， ∴为的中点，， ∴， ∴， ∵点在该圆外， ∴， 当点在线段上时取等号，此时最小， ∴的最小值为． 4．（26-27九年级上·浙江杭州·自主招生）若半径为1的半圆能完全放入一个长为、宽为的矩形中，则x的最小值为_______． 【答案】 【分析】根据题意得，当半圆与矩形相切于点E，F时，x取得最小值，解直角三角形表示出，，利用同角三角函数的平方关系建立关于x的一元二次方程，解方程并根据几何意义取舍即可得到x的最小值． 【详解】解：如图，半圆与矩形相切于点E，F，此时x取得最小值，和分别垂直于矩形的两边，设， 根据题意得，， ∴，， ∴在中，， ∵， ∴， 在中，， ∵， ∴， 整理得，， 解得或（舍去） ∴x的最小值为． 5．（26-27九年级上·广西南宁·期中）综合与探究 在数学课上，学习小组对一类特殊的圆内接四边形开展研究，给出如下定义： 【定义】 有一个角是其对角一半的圆内接四边形叫做圆美四边形，其中这个角叫做美角． 【示例】 如图1，如果圆内接四边形中，，则称四边形是圆美四边形，是它的美角， 【初步应用】 (1)如图，四边形是圆美四边形，是它的美角，已知的半径为． 直接写出美角的度数； 求弦的长； 【拓展提升】 (2)如图，四边形是圆美四边形，是它的美角，连接，若平分 求证：； 若已知的半径为，直接写出圆美四边形面积的最大值． 【答案】(1) ①; ②． (2)①证明：， ． 平分， ． 如图所示：在上截取，连接． ，， 是等边三角形． ，， ． （同弧所对的圆周角相等），，， ， ． ，且，， ． ② 【分析】第问与第问都依赖同一条信息——是定弦：由半径与圆心角算出，弦长固定后，圆上动点到弦的距离只与它在弧上的位置有关，这既是垂径定理的计算，也是面积最值的几何依据． 第问采用截长补短：在上截，用构造等边三角形，把转换成，再用证，把转移到，于是．这条思路的关键是“等腰即等边”，以及同弧圆周角相等提供的等角． 第问把四边形拆成两个同底三角形，底的定长使问题化为两次“点到直线的最大距离”：优弧上最远点为优弧中点，距离为；劣弧上最远点为劣弧中点，距离为，两部分相加即得最大面积． 【详解】（1）解：四边形内接于， （圆内接四边形对角互补）． 是美角，，即． ，． 连接、． ， （同弧所对圆心角是圆周角的倍）． 如图所示：过点作于，连接 由垂径定理得，． 在中，， ∴． （2）①证明见答案； ②解：． 对于：，为定弦，点在优弧上． 当点到的距离最大时面积最大，此时为优弧的中点． 圆心到的距离， 到的最大距离， ． 对于：，为定弦，点在劣弧上． 当为劣弧的中点时，到的距离最大，此时． 劣弧中点到的距离， ． ∴． 6．（2026·河北廊坊·二模）圆周角定理及其推论是初中数学中很重要的定理，反映了圆心角和圆周角及圆周角之间的关系． 【回顾】 (1)如图1，为的弦，且．点，在弦所对的优弧上，则的度数为________，的度数为________； 【应用】如图2，已知线段．点在所在直线的上方，且．要求：用尺规作图的方法作出满足条件的点所组成的图形． (2)嘉嘉经过思考后进行了下面的操作，求优弧的长； 如图3． 1．以为边画正方形，连接，，交于点； 2．以点为圆心，长为半径画圆，则位于线段上方的圆弧就是满足条件的点所组成的图形． (3)请你用另一种不同于（2）中的方法按要求作图（保留作图痕迹，不用写作法）； 【拓展】 (4)如图4，已知建筑物宽为30米，一名摄影师从距点30米的点（点在直线上）出发，沿大桥方向前进（），当摄影师到达对建筑物视角最大的最佳拍摄点（最大）时，求他前进的距离． 这个问题可以通过“米勒定理”解决：过点，作，与直线相切于点时，最大，此时的为最佳拍摄点．连接并延长交于点，连接．请你完成解答（求的长）． 【答案】(1)50°；50° (2)π (3)所求图形，如图所示； (4)米 【分析】（1）根据圆周角定理求解即可； （2）由作图过程可知四边形是正方形，得到，，可求出的半径，根据弧长公式计算即可； （3）作线段的垂直平分线，交于点C，在垂直平分线上取点O，使得，以点O为圆心，的长为半径画弧，则优弧为所求； （4）由切线的性质得到，由是直径，得到，则，从而有，再由得到，结合，可得，根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵点，在弦所对的优弧上， ∴． （2）解：由作图过程可知四边形是正方形，， ∴，即， ，，， ∴的半径， ∴优弧的长为． （3）解：连接，， 由作图可得， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即优弧为所求． （4）解：∵与相切于点P， ∴， ∴， ∴． ∵是直径， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即的长为米． 7．（2026·四川德阳·中考真题）如图1，是的直径且经过弦的中点． (1)连接，，试说明是多少度时，． (2)如图2，为上一点，过点作的切线，与的延长线相交于点，连接交于点，如果，，． ①求证：； ②若为上任意一点，求的最小值． 【答案】(1)当时，． 理由如下：是的直径且经过弦的中点， ，， 如图1，连接，则， ， ， ， 当时， ， ， ， 时，． (2)①证明：如图2，连接， 为的切线， ， ， 是的直径且经过弦的中点， ， ， ， ， ， ， ， ． ， ． ② 【分析】（1）由垂径定理可知，，连接，由圆周角定理可得，由等边对等角可得，进而根据三角形的内角和定理可得，最后由两直线平行同旁内角互补得，即可求解； （2）①连接，由切线的性质可得，由垂径定理可得，再根据等边对等角可得，进而可得，即可得证； ②由半圆（或直径）所对的圆周角是直角可得，再由，根据解直角三角形可得，继而可得，，过点作于点，则，由三线合一可得，根据相似三角形的性质可得，进而根据勾股定理求出，最后根据当点为线段与的交点时，取得最小值即可求解． 【详解】（1）略 （2）①略 ②解：是的直径， ，， ， ， ， ，，， ， ， ，， 如图2，过点作于点，则， 由（2）知， ， ，， ， ，即， ， ， ， 为上任意一点， 当点为线段与的交点时，取得最小值为． 题型2 定弦定角与隐圆 固定解题模型：一条定弦对定角，动点的轨迹是一段圆弧，先把这个圆补出来. 解题步骤：① 由定弦定角确定圆心与半径　② 判断圆心在弦的哪一侧　③ 把最值转化成圆心距加减半径. 核心数据：定弦对定角时，动点在过定弦两端点的圆上，定弦所对的圆周角不变. 1．（26-27九年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，⊙的半径为2，、是互相垂直的两条直径，点P是⊙上任意一点，过点P作于M，于N，点Q是的中点，点P沿着圆周从点D逆时针方向运动到点C的过程中，当度数取最大值时，线段的长为（     ） A．2 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】连接，利用矩形性质得出为定值1，确定点的轨迹是以为圆心、1为半径的圆，当与该圆相切时最大，利用勾股定理求解． 【详解】解：连接， ，，， 四边形为矩形， ， ∵为中点， ∴为矩形对角线的交点， ， 半径为2，即， ， 点在以为圆心，1为半径的圆上运动， 当与此圆相切时，度数最大， 此时， 在中，，， ． 2．点P为图形M上任意一点，过点P作直线l，垂足为Q，记的长度为d． 定义一：若d存在最大值，则称其为“图形M到直线l的限距离”，记作； 定义二：若d存在最小值，则称其为“图形M到直线l的基距离”，记作； (1)已知直线，平面内反比例函数在第一象限内的图象记作H，求． (2)已知直线，点，点是x轴上一个动点，的半径为，点C在上，若，求此时t的取值范围． (3)已知直线恒过定点，点恒在直线上，点是平面上一动点，记以点E为顶点，原点为对角线交点的正方形为图形K，若，求m的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】本题综合考察了函数图象的性质，最值问题，难度较大，综合运用函数图象，几何图形性质是解题的关键． （1）设直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，作直线的平行线：交反比例函数于点P，连接并延长交直线于点Q，过点P作轴于点M，先求b值，再确定，由，得到，从而求得； （2）设直线交x轴于点，交y轴于点，过点T作，当C、T、H三点共线时，圆T上的点到直线的距离最大，最大值为的长度，由，先求得，再求出，最后得到t的范围； （3）先由直线恒过定点，得到，即在直线上，因为，所以直线和正方形相交，分点F在上和点E在上两种情况，求出m的取值范围． 【详解】（1）解：设直线与x轴交于点A，与y轴交于点B， 则，， ∴，， 如图1，作直线的平行线：交反比例函数于点P，连接并延长交直线于点Q，过点P作轴于点M， 由题意得：与反比例函数只有一个交点，故， 整理得：， 则， 解得：（负值已舍去）， 则， 解得：， 故点， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故； （2）解：如图2，设直线交x轴于点，交y轴于点，过点T作， 当C、T、H三点共线时，圆T上的点到直线的距离最大，最大值为的长度， ∵，的半径为， ∴， 由，可知， ，， 在中， ∵， ∴， 则， 在中， ， ∵， ∴，即， 解得：或； （3）解：∵直线恒过定点， ∴， 整理得：， ∴且， 解得：且，即， ∴在直线上， ∵， ∴直线和正方形相交， ∵点， ∴点E在直线上运动； ①当点E所对顶点F在上时，如图3， 即点E、F关于原点对称， ，， ∵点F在上， ∴， 解得：， 当点E向上运动时，正方形的对角线变短，正方形变小，无交点， 故点E要向下运动， ∴； ②当点E运动到时，如图4， ， 将E点坐标代入的表达式得：， 解得：， 当点E向下运动时，正方形的对角线变短，正方形变小，无交点， 故点E要向上运动， ∴； 综上，或． 3．（25-26九年级上·江苏连云港·阶段检测）1471年，德国数学家米勒提出最大视角问题，这一问题一般描述的是：如图，已知点、是的边上的两个定点，点是边上的一个动点，当在何处时，最大？ 问题的答案是：当且仅当的外接圆与边相切于点时，最大．人们称这一命题为米勒定理．在足球比赛中，球员在双方球门前的不同位置起脚射门，对球门的威胁是不同的，触球点对球门的张角越大，射门的命中率就越高．如图为室内人制足球场示意图，设球场长大约为，宽大约为米，球门长大约为，在某场比赛中有一位球员欲在边线上的某点处射门，为使得张角最大，则大约为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的外切圆的应用，勾股定理的应用，根据题意得出当的外接圆相切时，最大，利用垂径定理，勾股定理和三角形外接圆的性质即可得出答案． 【详解】根据米勒定理可知，当的外切圆相切时，最大，如图，设的外接圆的圆心为，过点作，垂足分别为，连接，当与点重合时，最大 ∴四边形是矩形，则，即张角最大时，则 ∵宽大约为米，球门长大约为， 根据对称性可得， ∴， 在中， ∴ 即大约为 故选：C． 4．（2023·广西北海·二模）综合与实践 【问题提出】 （1）如图，在足球比赛场上，甲、乙两名队员互相配合向对方球门进攻，当甲带球冲到点时，乙已跟随冲到点，仅从射门角度大小考虑，甲是自己射门好，还是迅速将球回传给乙，让乙射门好？假设球员对球门的视角越大，足球越容易被踢进．请结合你所学知识，求证：． 【数学理解】 德国数学家米勒曾提出最大视角问题，对该问题的一般描述是：如图，已知点，是的边上的两个定点，是边上的一个动点，当且仅当的外接圆与边相切于点时，最大，人们称这一命题为米勒定理． 【问题解决】 （2）如图，已知点，的坐标分别是，，是轴正半轴上的一动点，当的外接圆与轴相切于点时，最大，当最大时，求点的坐标． 【答案】（）证明：∵ ∴， ∵， ∴； （）． 【分析】（）利用圆周角定理可得，再利用三角形外角性质即可得； （）连接，，过点作交轴于点，连接，可得，证明四边形是矩形，进而求得的长，进一步得出结果． 【详解】（）略 （）如图， 连接，，过点作交轴于点，连接， ∴，， ∵与轴相切， ∴轴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了圆周角定理的推论，垂径定理，圆的切线的性质，三角形外角性质，矩形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点的应用． 5．（22-23九年级上·山西吕梁·期末）阅读与思考：阅读下列材料，并完成相应的任务． 米勒定理 米勒（）是德国的数学家，是欧洲最有影响的数学家之一，米勒发表的《三角全书》，是使得三角学在欧洲取得独立地位的第一部系统性著作．下面是米勒定理（又称切割线定理）的证明过程 已知：如图1，与相切于点A，与相交于点B，C． 求证：． 证明：如图2，连接． ∵为的切线， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ……    任务： (1)请完成剩余的证明过程 (2)应用：如图3，是的切线，经过的圆心O，且，割线交于点D，E，，求的长． 【答案】(1) 剩余证明过程为： ∵， ∴， ∴， ∴； (2) 【分析】（1）根据提供的过程，继而证明，可得，再转化为； （2）连接，根据切割线定理得到，，将已知线段代入求出，再代入中，即可求出结果． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）可知：，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，圆的性质，根据题干中的材料，熟练掌握割线定理是解题的关键． 6．（2026·广东广州·二模）【阅读材料】德国数学家约翰内斯•米勒在1471年提出了一个有趣的问题：如图①，一根竖直悬挂的杆，在地面（直线l）上的哪个点P能让杆看起来最长（也就是最大）．这个最大视角问题是数学史上100个著名的极值问题之一．利用圆的知识，其实这个问题并不难解决．如图②，作过点A，B且与直线l相切于点C，当点P异于点C时，容易证明，所以当点P与点C重合时，最大，也就是说，当的外接圆与l相切时，最大． 【解决问题】 (1)请完成材料中的证明； (2)材料中的最大视角问题，设，点B到直线l的距离为b，当最大时，点P到所在直线的距离是多少？（用含a，b的代数式表示） (3)如图③，E是射线上的一点，，，C是的中点．把绕点C顺时针旋转得到，连接．求当最大时，的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）设与交于点D，连接，利用三角形外角得到角度的关系，再结合圆周角定理即可证明； （2）根据（1）中结论可知当点P与点C重合时，最大，再添加辅助线，得到，结合勾股定理求解即可； （3）先证明与全等，可得，添加辅助线证明，得到边成比例，再证明为等边三角形，利用边的关系求解即可． 【详解】（1）证明：∵与直线l相切于点C， ∴点C是与直线l的唯一公共点， ∴当点P异于点C时，点P在圆外， 设与交于点D，连接，如图， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：由题意可知，当点P与点C重合时，最大． 如图，设所在直线与l相交于点F，连接，过点O作于点E，如图， 则即为此时点P到所在直线的距离， ∵与直线l相切于点C， ∴， ∵，， ∴四边形为矩形， ∵， ∴， ∴，， ∴， 在中，， ∴； 即当最大时，点P到所在直线的距离是； （3）解：如图，延长到点F，使，连接，，如图， ∵，，， 在与中， ， ∴， ∴， 由旋转性质可知，，， ∴，， ∴， ∴， ∴当最大时，最大． 在左侧作，使得，连接， 则， ∴，， ∴， ∴，， ∴点F在过点G且与垂直的直线上运动， ∴当的外接圆与直线相切时，最大， ∵延长，交于点H，连接，如图， 设， ∵的外接圆与直线相切， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ， 又∵， ∴， ∴，即， ∵在中，，， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型3 动圆相切与米勒问题 固定解题模型：动圆与定直线相切，就是圆心到直线的距离等于半径这一临界；最大视角问题转化为过两定点且与定直线相切的圆. 解题步骤：① 设动圆圆心位置　② 写出圆心到直线的距离，令它等于半径　③ 解出临界值，再判合题意的那个. 核心数据：动圆与定直线相切时，圆心到直线的距离等于半径. 1．（2026·贵州·模拟预测）【问题情境】如图1，在足球比赛场上，甲带球奔向对方球门（虚线部分为的外接圆），当他带球冲到A点时，同伴乙和丙分别已冲到B点和C点，甲是自己射门好，还是将球传给乙或者丙，让乙或者丙射门好？ (1)【问题探究】对于这个问题，小明结合图1判断得出，根据“仅从射门角度考虑，球员对球门的视角越大，足球越容易被踢进”的经验，认为甲应该将球传给乙．以下给出了证明的部分过程，请继续完成证明过程： 如图2，设与圆交于点M，连接，设延长线交圆与点N，连接，则， ∵________，∴________，∴； ∵________，∴________，∴； ∴； (2)【问题应用】德国数学家米勒曾提出最大视角问题，并得到这样的结论：如图3，点A，B是平面内两个定点，C是直线l上的一个动点，当且仅当的外接圆与l相切于点C时，最大．请直接根据这一结论解决问题：如图4，在正方形中，E是上一点，连接，当取得最大值时，求的值； (3)【问题拓展】如图5，，点A，B是边上两点，，点C是边上一动点．若最大不超过，求的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2)； (3) 【分析】（1）利用圆周角定理和外角的性质即可得证； （2）过A、D两点的与相切，连接，的延长线交于点F，的延长线交于点H，设正方形边长为，半径为R，在中，利用勾股定理列式计算进行求解即可； （2）求出时的长，即可得出结果． 【详解】（1）解：设与圆交于点M，连接，设的延长线交圆与点N，连接， 则， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； ∴； （2）解：如图，过A、D两点的与相切，连接，的延长线交于点F，的延长线交于点H． ∴，， 设正方形边长为，半径为R． ∴，，． 同理（1），在中，， 即，解得． ∴． ∵，， ∴为的中位线，则， ∴； （3）解：当时，如图： 连接，则，， 过点作，则，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， 过点作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 由题意，可知越大，越短， ∴． 2．（25-26九年级上·湖南长沙·阶段检测）如果一个四边形的四个顶点在同一个圆上，我们就称这个四边形为圆内接四边形． (1)下列选项中，一定是圆内接四边形的是___________．（填序号） ①平行四边形；②菱形；③矩形；④正方形 (2)如图1，与轴交于点，与轴交于点，点在轴的正半轴上，点在轴负半轴上，若、、、四点共圆 ①设、、四边形的面积分别为、、，且满足：，试判断的形状，并说明理由． ②在①的条件下，求四边形的面积． (3)如图2，若等腰的外接圆为，半径为，平面上有两点、，分别与的三个顶点构成圆内接四边形（在的左侧，点在的右侧），求五边形面积的最大值． 【答案】(1)③④ (2)①等腰直角三角形， 如图∶， 设和面积分别为和 则： ， ∴， ∴为等腰直角三角形． ② (3) 【分析】本题主要考查了圆的内接四边形的性质、特殊角的三角函数值、圆周角定理、圆的综合等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）根据对角互补的四边形的四个顶点才能“四点共圆”，对给出的四边形是否对角互补进行判断即可； （2）①先对左右两边同时平方可得，设和面积分别为和，进而得到，即，进而完成解答；②先求得、，即，再利用特殊角的三角函数可得；再根据为等腰直角三角形的性质可得，，然后根据以及三角形的面积公式求解即可． （3）先说明是等腰直角三角形，易得；由，则当和面积都最大时，五边形的面积最大，即当为中点时，面积最大，为中点时，面积最大；如图：连接，连接交于，再求得的最大值为：，的最大值为，最后求和即可解答． 【详解】（1）解：∵只有对角互补的四边形的四个顶点才能“四点共圆”，非特殊平行四边形、菱形的对角不互补， ∴非特殊平行四边形、菱形的四个顶点不能构成“四点共圆”， ∵矩形、正方形的对角互补， ∴矩形、正方形的四个顶点构成“四点共圆”． 故答案为：③④． （2）解：①略 ②直线解析式为， ，， ∴， ∴，即， ， ， ∵为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴ ． （3）解：经过圆心， 是的直径， ， ，， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， 当和面积都最大时，五边形的面积最大， 当为中点时，面积最大，为中点时，面积最大， 如图：连接，连接交于， ，， ， ， 是的中位线， ， ， 的最大值为：， 的最大值为：， 的最大值为：． 3．（2020·陕西宝鸡·模拟预测）阅读材料：“最值问题”是数学中的一类较具挑战性的问题．其实，数学史上也有不少相关的故事，如下即为其中较为经典的一则：海伦是古希腊精通数学、物理的学者，相传有位将军曾向他请教一个问题﹣﹣如图1，从A点出发，到笔直的河岸l去饮马，然后再去B地，走什么样的路线最短呢？海伦轻松地给出了答案：作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交l于点P，则PA+PB＝A′B 的值最小． 解答问题： （1）如图2，⊙O的半径为2，点A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC＝60°，P是OB上一动点，求PA+PC的最小值； （2）如图3，已知菱形ABCD的边长为6，∠DAB＝60°．将此菱形放置于平面直角坐标系中，各顶点恰好在坐标轴上．现有一动点P从点A出发，以每秒2个单位的速度，沿A→C的方向，向点C运动．当到达点C后，立即以相同的速度返回，返回途中，当运动到x轴上某一点M时，立即以每秒1个单位的速度，沿M→B的方向，向点B运动．当到达点B时，整个运动停止． ①为使点P能在最短的时间内到达点B处，则点M的位置应如何确定？ ②在①的条件下，设点P的运动时间为t（s），△PAB的面积为S，在整个运动过程中，试求S与t之间的函数关系式，并指出自变量t的取值范围． 【答案】（1）PA+PC的最小值是2；（2）①点M的位置是（，0）时，用时最少；②S与t之间的函数关系式是当3＜t≤4时，S＝18﹣3t；当0＜t≤3时，S＝3t．当4＜t≤6时，S＝﹣3t+18． 【分析】（1）延长AO交圆O于M，连接CM交OB于P，连接AC，AP+PC＝PC+PM＝CM最小； （2）①根据运动速度不同以及运动距离，得出当PB⊥AB时，点P能在最短的时间内到达点B处； ②根据三角形的面积公式求出从A到C时，s与t的关系式和从C到（，0）以及到B的解析式． 【详解】解：（1）延长AO交圆O于M，连接CM交OB于P，连接AC， 则此时AP+PC＝PC+PM＝CM最小， ∵AM是直径，∠AOC＝60°， ∴∠ACM＝90°，∠AMC＝30°， ∴AC＝AM＝2，AM＝4，由勾股定理得：CM＝＝2． 答：PA+PC的最小值是2． （2）①根据动点P从点A出发，以每秒2个单位的速度，沿A→C的方向，向点C运动．当到达点C后，立即以相同的速度返回，返回途中，当运动到x轴上某一点M时，立即以每秒1个单位的速度，沿M→B的方向，向点B运动，即为使点P能在最短的时间内到达点B处， ∴当PB⊥AB时，根据垂线段最短得出此时符合题意， ∵菱形ABCD，AB＝6，∠DAB＝60°， ∴∠BAO＝30°，AB＝AD，AC⊥BD， ∴△ABD是等边三角形， ∴BD＝6，BO＝3，由勾股定理得：AO＝3， 在Rt△APB中，AB＝6，∠BAP＝30°，BP＝AP，由勾股定理得：AP＝4，BP＝2， ∴点M的位置是（，0）时，用时最少． ②当0＜t≤3时，AP＝2t， ∵菱形ABCD， ∴∠OAB＝30°， ∴OB＝AB＝3， 由勾股定理得：AO＝CO＝3， ∴S＝AP×BO＝×2t×3＝3t； ③当3＜t≤4时，AP＝6﹣（2t﹣6）＝12﹣2t， ∴S＝AP×BO＝×（12﹣2t）×3＝18﹣3t． 当4＜t≤6时， S＝AB×BP＝×6×[2﹣（t﹣4）]＝﹣3t+18， 答：S与t之间的函数关系式是当3＜t≤4时，S＝18﹣3t；当0＜t≤3时，S＝3t．当4＜t≤6时，S＝﹣3t+18． 【点睛】本题主要考查对含30度角的直角三角形，勾股定理，三角形的面积，轴对称-最短问题，圆周角定理等知识点的理解和掌握，能综合运用性质进行计算是解此题的关键． 4．（2026·浙江嘉兴·二模）已知，是圆的两条弦，，垂足为（点在优弧上，点在劣弧上），且． (1)如图，是直径，是圆心，且，求的半径； (2)如图，连结并延长至点，再连结，．若且，求的度数； (3)如图，若经过端点，点是弦上一点，点，在圆上．连结，，，满足．连结交于点，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（）借助垂径定理得半弦长，再在直角三角形里用勾股定理求出圆半径； （）设未知角为，结合角度倍数、圆周角性质列方程求出，再利用直角互余算出； （）构造以为圆心、为半径的辅助圆，结合垂径定理、相交弦定理建立线段关系式，化简推导出与的数量关系，再配方转化为二次函数形式，进而求出的最小值． 【详解】（1）解：连接， ∵且是直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴圆的半径是； （2）解：设，则， ∴， ∵， ∴， ∵ ， ∴， ∵ ， ∴， ∴ ， ∵， ∴； （3）解：以为圆心，的长为半径作圆，交的延长线于点， ， ，两点在上， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ， 当时，的最小值是． 5．（2026九年级·北京·专题练习）平面直角坐标系中，的半径为1．对于点和给出如下定义：若存在的弦，使得点关于直线的对称点在上，则称点是的关联点，称弦是点与的关联线段． (1)如图，在点，，中，点______是的关联点； (2)已知点，，若弦是点与的关联线段，则线段长的取值范围是______； (3)直线（）分别与轴，轴交于，两点，当线段上存在的关联点时，记这些点与的关联线段长的最大值为，若，直接写出的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据关联点定义，得到关联点需要满足到圆心 的距离小于 2，分别算出三点到 O 点的距离，对比距离 2 的大小，筛选出符合条件的关联点． （2）作出已知点关于关联线段的对称点，连接圆心与对称点并延长交圆得到最短、最长弦，结合已知点的坐标算出圆心到该点距离，求出关联线段长度的最小值与最大值，得到取值范围． （3）利用第（1）问结论，关联点在以 为圆心 2 为半径的圆内部，求出直线与坐标轴交点 、，算出线段 和该圆相切时的 值，结合圆 最长弦是直径为 2，恒成立，得到 的取值范围． 【详解】（1）解：由关联点的定义可得：若点是的关联点，即上存在点，使得点、能关于的某条弦所在的直线对称，的某条弦所在的直线是对称轴， 如图，点为上的一点，过点作的直径， ∴临界状态为：当对称轴为过点的的切线时，此时点、关于对称， ∴， ∴， ∴临界位置的点是在以点为圆心，以为半径的圆上的， ∵此时对称轴是的切线，不是的弦， ∴的关联点为以点为圆心，以为半径的圆内的点，并不包括圆上的点， ∴若点是的关联点，则， ∵，，， ∴，，， ∴点，为关联点，不是关联点． （2）解：作与关于弦对称，如图所示： ∴上的点是的关联点，关联线段为弦， 连接，并延长交于点，， ∴为最小值，为最大值， ∵点，， ∴， ∴，， ∴． （3）解：由（1）得：的关联点为以点为圆心，以为半径的圆内的点， ∴当线段上存在的关联点时，即要使线段与以点为圆心，以为半径的圆有两个交点， 当线段与以点为圆心，以为半径的圆相切时，切点为，连接，如图所示： ∴，， ∵直线的解析式为， 令，得；令，得，解得：， ∴，， ∵， ∴，， ∵，， ∴， ∴，解得：， ∴在中，， ∴， ∴当时，线段上存在的关联点， ∵中最长的弦为的直径，的直径为， ∴线段上存在的关联点与的关联线段一定小于等于 ∵记这些点与的关联线段长的最大值为， ∴， ∵， ∴也一定成立， 综上：即可使线段上存在的关联点，且关联线段长的最大值为满足． 6．（2026·浙江金华·三模）已知在平行四边形中，，，过、、三点的圆与边相切于点，圆心为． (1)如图，连接并延长交于点，连接，交于点，连接． ①求证：； ②求线段的长． (2)如图，、分别是、上的动点，且，求的最小值． 【答案】(1) ①证明：与边相切于点， ， 在中，， ， 即； ②； (2) 【分析】（1）①由圆的切线的性质可得，再结合平行线的性质证明即可； ②连接，过点作于点，由垂径定理可得，设，利用勾股定理列方程，求出，，利用角的正切值，得到，证明，得出，，再利用锐角三角函数求解即可； （2）延长到点，使得，连接、，连接并延长交于点，作于点，证明，得到，则，即当、、三点共线时，最小等于，由①可知，，从而求出，，即可得解． 【详解】（1）①证明：略 ②解：如图，连接，过点作于点， 由垂径定理可得， ，， 设，则， 在中，， ， 解得， ，， ， ， ， 平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：如图，延长到点，使得，连接、，连接并延长交于点，作于点， 平行四边形， ，， ， 又，， ， ， ， 当、、三点共线时，最小等于， 由①可知，， 四边形是矩形，， ， ，， ， 的最小值为． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $