专题01 切线与内切圆（压轴题专项训练）数学新教材浙教版九年级下册

专题01 切线与内切圆（压轴题专项训练）数学新教材浙教版九年级下册 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 1 题型与解法归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 2 题型一、切线判定——证明直线与圆相切及线段计算 2 题型二、角平分线与切线互推——切线证明与线段求值 3 题型三、切线性质——已知切线求角度、半径与线段长 4 题型四、弦切角与切割线定理——阅读理解证明与应用 6 题型五、切线长定理——圆外切四边形边长与周长计算 9 题型六、三角形内切圆——面积法求半径与内心判定 10 题型七、三角形内心——外接圆中的角度线段与定值探究 11 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 14 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 本专题处理圆的切线相关问题，证明切线时，有公共点就连半径证垂直，无公共点则作垂线证半径；已知切线要连接圆心与切点得到直角，结合直角三角形进行计算。遇到角平分线、切线长综合题型利用等角、等线段转化条件，阅读类拓展定理需读懂材料再迁移运用，求解内切圆半径多用面积法，内心相关问题依托角平分线性质分析角度，圆外切四边形可借助对边和相等快速处理边长计算。 学生高频易错点主要有如下几种情形： 1. 证切线时对着圆外的点硬连半径，把"连半径证垂直"和"作垂直证半径"用反； 2. 已知切线却不去连半径，白白丢掉直角，后面的相似与三角函数无从下手； 3. 切线长定理只记住"两条切线长相等"，忘了圆心与圆外点的连线平分夹角、垂直平分切点弦； 4. 外切四边形只背"对边和相等"，不会用切线长把每条边拆成两段来列方程； 题型与解法归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、切线判定——证明直线与圆相切及线段计算 典例1（25-26九年级上·浙江·单元复习）如图，C是线段上一点，以为直径作，D是上一点，连接并延长，交的切线于点E，已知，． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 解题模板 1．判"有无公共点"：已知点在圆上，就连半径证垂直；公共点不明，就过圆心作垂线证它等于半径； 2．证垂直常用五条：等腰三角形三线合一、直径所对圆周角是直角、直角三角形的两锐角互余、切线的垂线与另一条切线平行、全等或相似导角； 3．判定与性质不能混用：已知切线只能用"垂直"，要证切线必须新证出"垂直"，切忌把结论当条件反推． 变式1-1（24-25九年级上·浙江宁波·阶段检测）为的直径，弦于点，过点作，交的延长线于点，连接． (1)求证：为的切线； (2)如果，求的半径长． 变式1-2（2025九年级上·浙江·专题练习）如图1，在的内接四边形中，，连接，．过点C作的平行线，分别与，的延长线交于点E，F． (1)求证：是的切线． (2)如图2，若是的直径，，，求的长． 变式1-3（2026·江苏南京·三模）如图，在四边形中，．过点的与相切于点与交于点． (1)连接，求证：四边形是矩形； (2)求证：； (3)若，则的长为__________． 题型二、角平分线与切线互推——切线证明与线段求值 典例2（2026·浙江宁波·一模）如图，在中，，平分交于点，点在边上，以为直径的恰好过点． (1)求证：与相切． (2)当时，求的长． 解题模板 1．角平分线上的点到角两边距离相等：圆心落在角平分线上时，到两边的垂线段同时是半径，两边同时相切； 2．反过来，两条切线所成的角被圆心与圆外点的连线平分，切线长相等，切点弦被这条连线垂直平分； 3．"平分＋相切"同时出现，先在图中找等腰三角形，等角转化一步到位，再用相似或勾股算长度． 变式2-1（24-25九年级上·浙江宁波·期末）如图，是的角平分线，过点的圆与相切，与边分别交于点．若，，，则的长为___． 变式2-2（2026·浙江杭州·二模）如图，是内接三角形，的角平分线交于点，交于点，连接、，过点作交的延长线于点． (1)若，，求的半径． (2)求证：为的切线． (3)求证：． 变式2-3（2026·浙江杭州·二模）如图①，在中，（），点D在上，平分，为的外接圆． (1)求证：． (2)求证：为的切线． (3)过点B作的切线，切点为E，如图②，连接，，，若，求的值． 题型三、切线性质——已知切线求角度、半径与线段长 典例3（2025·浙江绍兴·一模）如图，在中，直径，，是的切线，点为切点． (1)如图1，求证：； (2)如图2，线段交于点，连结，若，求的长； (3)如图3，线段交于点，连结，若，求的长． 解题模板 1．见到切线第一件事是连半径得直角，这个直角是勾股定理、锐角三角函数、相似三角形的共同入口； 2．求线段长：先设未知数，把切点、垂足、圆外点组成的直角三角形三边用同一个字母表示，再列勾股方程； 3．求角度或比值：优先找弦切角、圆周角、圆心角之间的等量关系，把角集中到一个三角形里，避免多次换算． 变式3-1（2026·天津和平·一模）已知分别与相切于点，为半径，连接． (1)如图①，延长与相交于点，若，垂足为点，，求的度数； (2)如图②，延长与相交于点，若，，，求的半径． 变式3-2（2024·浙江温州·模拟预测）如图，在中，，O是斜边上一点，以O为圆心，以为半径的圆与边相切于D点，交于E点，F是下半圆弧上的中点，连结交于点G．已知． (1)证明：． (2)求的半径和的长． (3)是上一点，连结，若直线与四边形的某一边所在的直线垂直，请求出所有满足条件时的的长． 变式3-3（2026·浙江温州·二模）如图，内接于，为直径，与相切于点B，，作交于点E． (1)求证：． (2)作于点F，于点G．若，求的值． 题型四、弦切角与切割线定理——阅读理解证明与应用 典例4阅读与思考 下面是小陈同学的数学笔记，请认真阅读并完成相应的任务． 弦切角 【概念理解】 我们把顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫作弦切角（也就是切线与弦所夹的角，切点为弦切角的顶点）． 如图1，的边与相切于点是的一条弦，则是弦切角．   【问题解决】 如图2，锐角是的弦切角，与相切于点，点是优弧上的任意一点，连接，则． 证明：如图2，连接并延长，交于点，连接． 与相切于点，是的半径， （依据）． ． ．．．．．． 任务：    (1)【问题解决】中证明过程中的“依据”是指___________． (2)补全【问题解决】中的证明过程． (3)拓展：如图3，内接于．过点作的切线，与的延长线交于点．若，，直接写出的长． 解题模板 1．弦切角等于它所夹弧对的圆周角；两个弦切角所夹的弧相等，则这两个弦切角相等； 2．切割线定理：切线长的平方等于这点到割线两交点距离的积；两条割线则交叉相乘相等； 3．阅读探究题按"读懂材料给出的结论—仿照材料的思路补证—把结论代入计算"三步走，已给结论直接用，不重复证明． 变式4-1（2025·浙江杭州·一模）【定理学习】欧几里得在《几何原本》中提出切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线（圆外一点引出一条与圆有两个交点的直线叫割线），切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项． 【定理证明】（1）如图①，点为外一点，与相切于点，割线与圆相交于两点，求证：（提示：连结，并延长交于点，连结）． 【解决问题】（2）如图②，是的切线，连结交于点的半径为．若，求的值． 变式4-2阅读以下材料，并按要求完成相应的任务 切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到与圆交点的两条线段长的比例中项． 证明过程如下： 如图1：已知：点P是外一点，是切线，F是切点，是割线，点A，B是它与的交点，求证： 证明：连接并延长交于C，连接， ∵是的切线，（依据________________________________) ∵是的直径，（依据_______________________________)    又∵（依据_____________________________________) . . . . . . 任务： (1)完成材料证明部分中的“依据”，填入空格． (2)把证明过程补充完整． (3)定理应用： 已知为的切线，T是切点，是的割线，交于D，为的直径，，求的长． 变式4-3在学习切线长定理时我们发现：过圆外一点引圆的切线，该点到切点之间的两条切线长相等．小南对此进行了深入探究，过圆外一点引圆的切线和割线（直线与圆相交，则这条直线为圆的割线），发现切线长的平方等于这点到割线与圆交点的两条线段长的乘积． (1)用直尺和圆规完成以下基本操作：过点作的切线交延长线于，连接；（不写作法，只保留作图痕迹） (2)完成下列证明过程： 为的切线， ①_____（圆的切线垂直于过切点的半径） ， 即． ②_____， ． 又， ． ， ③_____，（圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半） ， ， ④_____ 即． 在探索过程中，我们还发现，即圆的弦切角等于所对的⑤______． 题型五、切线长定理——圆外切四边形边长与周长计算 典例5如图，四边形是的外切四边形，切点分别为，，，．连接． (1)若，则的长为___________； (2)求证． 解题模板 1．从圆外一点引两条切线，切线长相等，且圆心与该点的连线平分两切线的夹角、垂直平分切点弦； 2．外切四边形的两组对边之和相等，理由是把每条边按切点拆成两段切线长再相加； 3．多切线问题设切线长为未知数，三条边分别写成两段之和，联立方程组，比硬算线段更省力． 变式5-1如图，的外切四边形中相邻的三条边，周长为32，则__________． 变式5-2如图，四边形是的外切四边形，且，，则四边形的周长为________． 变式5-3（23-24九年级下·浙江宁波·自主招生）已知、为圆的两条切线，连接交圆于点，若，，，则__________． 题型六、三角形内切圆——面积法求半径与内心判定 典例6与三角形各边都相切的圆称为三角形的内切圆，与四边形各边都相切的圆称为四边形的内切圆．任意三角形都同时拥有内切圆和外接圆，而只有部分四边形才同时拥有内切圆和外接圆． (1)如图1，已知两条直角边分别为6和8，则的内切圆半径为_______． (2)如图2，在中，，是边上的中线，，求的外接圆圆心P与内切圆圆心Q之间的距离． (3)如图3，已知四边形同时拥有内切圆和外接圆，它的内切圆与，，，分别相切于点E，F，G，H，连接，，，． ①设，，，的面积分别为，求证：； ②若，，，求内切圆的半径r及的长． 解题模板 1．内切圆半径的通法：把三角形拆成三个以 r 为高的小三角形，由面积相等得 r＝2S÷(a＋b＋c)； 2．直角三角形另有 r＝(a＋b－c)÷2，比面积法快；已知三边求 r 时优先用这一条； 3．切点分边：顶点到两个切点的距离相等，把三边写成 x＋y、y＋z、z＋x 解方程组，可反求各段长． 变式6-1如图，点在同一条直线上，分别是与的平分线，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，矩形的面积为，求内切圆的半径． 变式6-2（25-26九年级上·浙江温州·自主招生）如图，与交于点A、B，的弦切于E，交于F，的延长线交于G，射线交于M、N，连接、．求证：点E为的内心． 变式6-3（26-27九年级上·浙江杭州·自主招生）在中，内心为I，关于边的对称点为X，关于边的对称点为Y，且线段平分．若，，则_______． 题型七、三角形内心——外接圆中的角度线段与定值探究 典例7是的内接三角形，是的内心，连接交于点，连接、，根据内心的定义，我们很容易证明，根据题设回答以下问题． (1)如图，若关于的对称点恰巧落在上，连接、，则的度数是________． (2)如图，若点、、在一条直线上，且，，求的内心和外心之间的距离． (3)如图，在（）的条件下，是弦弦长线上的一个动点，连接交于点，若，是否为定值，若是定值，请求出这个定值；若不是定值，请说明理由． 解题模板 1．内心是三条角平分线的交点，到三边距离相等；张角公式 ∠BIC＝90°＋∠A，一半的角在外面加 90°； 2．角平分线与外接圆的交点（弧的中点）到三个顶点距离相等，是内心题的"金点"，连它必出等腰； 3．内心、外心、垂心要分清：内心靠角平分线，外心靠垂直平分线，垂心靠高，条件里出现哪条线就用哪个心． 变式7-1圆O是的外接圆，I是的内心，请回答以下问题：    (1)如图1，连接、，当时，则________； (2)如图2，延长，分别交圆O于点F、G，连接并延长交于点D，交圆O于点E，求证：； (3)如图，连接，当，且时，，试求y关于x的函数解析式． 变式7-2（26-27九年级上·江苏盐城·阶段检测）已知为的外接圆，点E是的内心，的延长线交于点F，交于点D．如图，为的直径，若，，则的长为（     ） A．2 B． C．1 D． 变式7-3（2025·湖南长沙·一模）如图1，内接于，点E为的内心，连接并延长交于点D，交于点F，连接． (1)若，求的度数． (2)如图2，连接，若，求的长． (3)如图3，连接，若的半径为4，弦，设，求y与x之间的函数关系式及y的最大值． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 压轴1如图，点为外一定点，连接，作以为直径的，与交于两点和，根据切线的判断，直线和是的两条切线．由得，，，即切线长定理．上述过程中，可以判定的依据是（   ） A．三边分别相等的两个三角形全等 B．两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等 C．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 D．斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等 压轴2（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，在四边形中，，，与四边形各边都相切，连接，若的半径为2，，则的值是（　　）． A． B． C． D． 压轴3（26-27九年级上·浙江杭州·自主招生）在直角中，，，为边BC上一点，为的内心（内心是指内切圆的圆心），F为的内心，若，则（） A．3 B． C． D． 压轴4（24-25九年级上·浙江宁波·阶段检测）如图，在中，是直径，且，点是上一点，点是的中点， 于点，过点的切线交的延长线于点，连接，分别交、于点、，连接，，．关于下列结论：①；②；③点是的外心；④点是的内心；⑤若，则． 其中正确结论的个数为（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 压轴5（23-24九年级上·江苏泰州·开学考试）如图，，半径为2的与角的两边相切，点P是上任意一点，过点P向角的两边作垂线，垂足分别为E，F，设，则t的取值范围是_______． 压轴6（25-26九年级上·江苏徐州·期末）如图，在矩形中，是的中点，若是直径，是直线上任意一点，与相切于点，，当最大时，的长为___________． 压轴7阅读与思考 圆形，是一个看来简单，实际上是十分奇妙的形状．古希腊的毕达哥拉斯学派认为：“一切图形中最美的是球形，一切平面图形中最美的是圆形．”中华民族自古也有以“圆合”为美的心理习惯，认为圆形有圆满、周全的含义，有完美、和谐的意象．早在2000多年前，“科圣”墨子在《墨经》中就有“圆，一中同长也”的记载．与圆有关的定理有很多，弦切角定理就是其中之一．其内容为弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆周角度数．（顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角．）具体来说，如果一条直线与圆相切于某一点，并且过该点的另一条直线（弦）与圆相交，那么这两条直线所夹的角就是一个弦切角． 如图，直线与相切于点，任取上不与点重合的点，则和是弦与切线所成的弦切角． 下面是励志小组对于此定理探究的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务． 证明：如图1，与相切于点．当圆心在弦上时，容易得到，，所以弦切角． 如图2，与相切于点．当圆心在的外部时，过点作直径交于点，连接DF． 是直径， ，（__________） …… 请你认真阅读以上内容，完成下列任务： 任务一：写出上述证明过程中空缺处依据的定理是__________； 任务二：请结合图2补全上述证明过程； 任务三：如图3，是的直径，点C在上，延长至D使得，过点C作的切线交于H．若，，则的半径为__________． 压轴8工地上放置的大型水管，为防止滑动，用直角三角形木塞固定，如图，是水管及木塞的横截面示意图，水管与地面的接触点为，已知，，切于点，，，则这根水管的直径为______．    压轴9（25-26九年级上·河南濮阳·阶段检测）如图，点在上，点，分别在线段和上，和是的两条切线，，．若，则的度数为________    压轴10（23-24九年级下·浙江·自主招生）如图，在中，，，，为上一点，以为直径的交于，作的中垂线与边相交于点，连接、． (1)求证：为的切线； (2)若以、、为顶点的三角形与相似，求的值． 压轴11（24-25九年级上·浙江台州·期末）如图，菱形的三个顶点A，B，D在上． (1)①如图1，求证：圆心O在直线上； ②如图1，若，求证：是的切线． (2)如图2，延长交于点E，若，求的度数． (3)如图3，延长交于点E，过点D作于点F，若的面积为a，的面积为b，请用含有a，b的式子表示菱形的面积． 压轴12（2025·浙江·模拟预测）已知，是的内接三角形，，与关于直线对称，与交于点E． 探究一：如图1，连接并延长交于点M，交于点N．请判断下列结论是否正确．（在相应括号中，正确的打“√”，错误的打“×”） ①（ ）； ②（ ）； ③是的切线（ ）． 探究二：连接并延长，交于点F、J，交、分别于点G、H． （1）如图2，若． ①求的度数； ②试猜想与有怎样的数量关系？并说明理由． （2）如图3，若，求证：E、G、C三点在同一直线上． 压轴13（25-26九年级下·河南商丘·阶段检测）如图，已知四边形中，，以为直径作与边相切于点E． (1)如图1，连接，求证：； (2)如图2，连接，交于点M，若，求的长． 压轴14（2026·安徽芜湖·三模）菱形中，为的外接圆，是的切线． (1)如图1，求证：为等边三角形． (2)如图2．点E为边的中点，点F在上，连接交于G，若，，求的长． 压轴15我们知道，与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，则三角形可以称为圆的外切三角形．如图，与的三边，，分别相切于点，，则叫做的外切三角形，以此类推，各边都和圆相切的四边形称为圆外切四边形． 如图，与四边形的边，，，分别相切于点G，F，E，H，则四边形叫做的外切四边形． (1)如图2，试探究圆的外切四边形的两组对边，与，之间的数量关系，猜想：______选填“＞”“＜”或“=”） (2)利用图2证明你的猜想（写出已知，求证和证明过程）． 压轴16（2026·上海静安·三模）探究与应用： 在研究平面几何时，要把握图形与图形之间的位置关系以及对应关系．请你对下面这个图形展开了综合性研究，已知直角三角形 ， ， ， ，在 边上有一点H． 【定理探究】：定理是我们解决几何问题的起点，定理的条件和结论交换之后的真假往往也很关键．在发现定理的过程中，我们往往可以从特殊值出发，猜测一般化的规律． (1)小张同学发现，点B在以 为直径圆上，由此他得出结论：“若一个三角形一条边上的中线长等于该边长的一半，则这个三角形是直角三角形”这个命题是“直角三角形斜边上中线长等于斜边长的一半．”的_________，这个结论成立是__________．（     ） A．逆命题，必然事件         B．逆命题，不可能事件         C．同义命题， 必然事件 (2)三角形内切圆的圆心是三角形（     ） A．内角平分线的交点         B．中线的交点                 C．各边垂直平分线的交点 【位置关系】：与圆有关的位置关系是平面几何问题的重要模块，也是现实工程测量的重要依据． (3)当 和 的内切圆半径相等时，求： 的长； (4)下列说法正确的是（     ）（多选题） A．点H可能在 和 的内切圆上 B． 和 的内切圆可能相切 C． 和 的内切圆的圆心距可能为6      D．除直线外，同时与 和 的内切圆相切的直线最多有3条 压轴17（24-25九年级上·浙江宁波·期中）如图1，是的内接三角形，是的内心，连接并延长交于点、交于点，连接、、，已知，． (1)求证：是等腰三角形； (2)求证：； (3)如图2，若为的直径，求线段的长度； (4)若，求线段的长度． 压轴18（23-24九年级下·浙江宁波·自主招生）如图，在中，，是垂心，是外心，延长交于，于． (1)求证：． (2)证明：，，，四点共圆． (3)若，求． 压轴19（2025·吉林长春·一模）【问题】如图1，为的一条弦，点C在弦所对的优弧上运动时，根据圆周角性质，我们知道的度数不变．受动脑筋的小芳猜想，如果平面内线段的长度已知，的大小确定，那么点C是不是在某个确定的圆上运动呢？ 【探究】为了解决这个问题，小芳先从一个特殊的例子开始研究．如图2，若，线段上方一点C满足，为了画出点C所在的圆，小芳以为底边构造了一个等腰，再以点O为圆心，为半径画圆，则点C在上．后来小芳通过逆向思维及合情推理，得出一个一般性的结论．即：若线段的长度已知，的大小确定，则点C一定在某一个确定的圆上，即定弦定角必定圆，我们把这样的几何模型称之为“定弦定角”模型． 【应用】 (1)若，平面内一点C满足，则点C所在圆上劣弧的长度为_______． (2)如图3，已知正方形，以为腰向正方形内部作等腰，其中，过点E作于点F，若点P是的内心． ①求的度数； ②在①的基础上，若，连接，直接写出的最小值________． 压轴20（24-25九年级上·浙江台州·阶段检测）如图，已知的直径为，于点A，与相交于点D，在上取一点E，使得． (1)求证：是的切线． (2)当，时，求的长度． (3)填空：连接，当的度数为　　时，四边形为正方形． 压轴21（24-25九年级上·浙江宁波·期末）如图1，中，，，，以为直径的交于点D，M是的中点，连接． (1)求证：是的切线； (2)如图2，过点B作的平行线交于点E． ①求的长； ②如图3，点P在线段上，连接并延长交于点Q，连接，当时，求的值． 压轴22（2024·浙江金华·二模）如图，内接于，点在直径的延长线上，且，连结，．    (1)求证：是的切线． (2)若的半径为，． ①当时，求． ②求证：． 压轴23（2025·浙江温州·模拟预测）如图，在四边形中，，的平分线交于，过三点的圆交于，且恰好是圆的切线，是上一点，连接． (1)求的度数； (2)当是圆的直径， ①求证：四边形是平行四边形； ②若是的中点，，求的长． 压轴24（2026·浙江·模拟预测）如图，锐角内接于，平分，交于点D，交于点E，平分，连接并延长交于点G． (1)若，求，的度数． (2)求证：是的切线． (3)若平分，，，求的长． 压轴25（2026·辽宁抚顺·模拟预测）如图，是的直径，是弦，是延长线上的一点，是的切线，是切点，是上的一个点，连接与交于点，且． (1)求证：； (2)连接，取的中点，连接，若，，求的长． 压轴26（2026·山东德州·二模）如图，在中，，是上一点，以为圆心，为半径作圆，圆分别交、于、，与相切于点． (1)设，则________；（用含的代数式表示） (2)求证：； (3)若，，求的值． 压轴27（23-24九年级上·浙江金华·阶段检测）如图1，以为直径的与相切于点，点在左侧圆弧上，弦交于点，连接，．点关于的对称点为，直线交于点，交于点． (1)求证：； (2)当点在上，连接交于点，若，求的值； (3)当点在射线上，，以点，，，为顶点的四边形中有一组对边平行时，求的长． 压轴28阅读：《几何原本》是古希腊数学家欧几里得所著的一部数学著作，它是欧洲数学的基础，总结了平面几何五大公设，被广泛地认为是历史上学习数学几何部分最成功的教科书．下面是其中的切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．即，如图1，，是的切线，直线为的割线，则．下面是切割线定理的证明过程（不完整）： 证明：如图1所示，连接，连接并延长交于点，连接、． 是的切线，是的半径， ． 是的直径， （____________）． ． ∴____________， （____________）， ∴____________， ， ， ． ． 任务： (1)请在上面横线上补充证明过程，在括号内补充推理的依据； (2)如图2，已知是的直径，是的切线，为切点，割线与于点，且满足，，求的长． 压轴29（2024·浙江杭州·二模）如图，在中，，，以C为圆心，为半径作圆．点D为上的动点，、分别切圆C于点P、点Q，连接，分别交和于点E、F，取的中点M． (1)当时，求劣弧的度数； (2)当时，求的长； (3)连接，． ①证明：． ②在点D的运动过程中，是否存在最小值？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由． 压轴30综合实践：探索三角形内心的性质 定义回顾：三角形三条角平分线的交点称为三角形的内心． 性质应用： （1）在中，，I是的内心，则 ． （2）在中，，则内切圆的半径为____． 性质拓展： （3）刘徽是魏晋时期我国伟大的数学家，是中国古典数学理论的奠基者之一．他在注解《九章算术》时，十分重视一题多解，其中最典型的就是给出直角三角形内切圆直径的多种表达形式．如图1，已知，在中，，的长分别表示为a，b，c，内切圆的直径为d． ①在下列表达式中（A）；（B），选择一个正确的表达式，并证明这个表达式的正确性． 我选________（填“A”或“B”） ②如图2，若，过的内心O，作一直线分别交，于M，N，当的面积最小时，求的长． 压轴31综合实践：探索三角形内心的性质 定义回顾：三角形三条角平分线的交点称为三角形的内心． 性质应用： （1）在中，，I是的内心，则 °； （2）在中，，，则内切圆的半径为 ； 性质拓展： （3）刘徽是魏晋时期我国伟大的数学家，是中国古典数学理论的奠基者之一．他在注解《九章算术》时，十分重视一题多解，其中最典型的是勾股容方和勾股容圆公式的推导，他给出了直角三角形内切圆直径d的多种表达形式．如等．（其中a、b为直角三角形的两条直角边长，c为斜边长） 已知，，，，的长分别表示为a，b，c． ①如图1，若半径为r，且始终在的内部（含三角形的边界）． 试证明：； ②如图2，若，，过的内心O，作一直线分别交，于M，N，当四边形的面积最大时，求的长． 压轴32（26-27九年级上·浙江杭州·自主招生）如图，已知的外心为，内心为，，点为中点，与交于，与交于，且，，是圆的切线，点是中点，连接，．证明：． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 切线与内切圆（压轴题专项训练）数学新教材浙教版九年级下册 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 1 题型与解法归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 2 题型一、切线判定——证明直线与圆相切及线段计算 2 题型二、角平分线与切线互推——切线证明与线段求值 8 题型三、切线性质——已知切线求角度、半径与线段长 18 题型四、弦切角与切割线定理——阅读理解证明与应用 28 题型五、切线长定理——圆外切四边形边长与周长计算 36 题型六、三角形内切圆——面积法求半径与内心判定 41 题型七、三角形内心——外接圆中的角度线段与定值探究 52 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 63 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 本专题处理圆的切线相关问题，证明切线时，有公共点就连半径证垂直，无公共点则作垂线证半径；已知切线要连接圆心与切点得到直角，结合直角三角形进行计算。遇到角平分线、切线长综合题型利用等角、等线段转化条件，阅读类拓展定理需读懂材料再迁移运用，求解内切圆半径多用面积法，内心相关问题依托角平分线性质分析角度，圆外切四边形可借助对边和相等快速处理边长计算。 学生高频易错点主要有如下几种情形： 1. 证切线时对着圆外的点硬连半径，把"连半径证垂直"和"作垂直证半径"用反； 2. 已知切线却不去连半径，白白丢掉直角，后面的相似与三角函数无从下手； 3. 切线长定理只记住"两条切线长相等"，忘了圆心与圆外点的连线平分夹角、垂直平分切点弦； 4. 外切四边形只背"对边和相等"，不会用切线长把每条边拆成两段来列方程； 题型与解法归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、切线判定——证明直线与圆相切及线段计算 典例1（25-26九年级上·浙江·单元复习）如图，C是线段上一点，以为直径作，D是上一点，连接并延长，交的切线于点E，已知，． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 【答案】(1) 证明：如图所示，连接， 为的直径， ， ， ， 又， ， ， 又， ， ， ， ， 为半径， 是的切线； (2)6 【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角得出，根据已知条件证明，得出，进而得出，即可得证； （2）根据得出，根据切线长定理得出，进而勾股定理，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：， ， 是的切线， ， 设， 在中，， ， 解得：， 即． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，直角所对的圆周角是直角，勾股定理，切线的判定，切线长定理，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 解题模板 1．判"有无公共点"：已知点在圆上，就连半径证垂直；公共点不明，就过圆心作垂线证它等于半径； 2．证垂直常用五条：等腰三角形三线合一、直径所对圆周角是直角、直角三角形的两锐角互余、切线的垂线与另一条切线平行、全等或相似导角； 3．判定与性质不能混用：已知切线只能用"垂直"，要证切线必须新证出"垂直"，切忌把结论当条件反推． 变式1-1（24-25九年级上·浙江宁波·阶段检测）为的直径，弦于点，过点作，交的延长线于点，连接． (1)求证：为的切线； (2)如果，求的半径长． 【答案】(1) 证明：∵，， ∴， 又∵为的直径， ∴为的切线； (2) 【分析】（）由，可得，据此即可求证； （）由垂径定理可得，，即得，由可得，，进而得到，即得，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵为的直径，弦于点， ∴，，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的半径长为． 【点睛】本题考查了平行线的性质，切线的判定，圆周角定理，垂径定理，解直角三角形，掌握以上知识点是解题的关键． 变式1-2（2025九年级上·浙江·专题练习）如图1，在的内接四边形中，，连接，．过点C作的平行线，分别与，的延长线交于点E，F． (1)求证：是的切线． (2)如图2，若是的直径，，，求的长． 【答案】(1) 证明：连接， ， ∴， ， ， ， 是的半径， 是的切线． (2) 【分析】（1）连接，由圆的基本性质得，根据平行线的性质得到，根据切线的判定定理即可得证． （2）连接，由圆的基本性质得，根据圆周角定理得到，根据平行线的性质得到，求得，根据全等三角形的性质得到，，根据勾股定理得到，即可求解． 【详解】（1）略． （2）解：连接， ， ， ， ， ，， 是的直径， ， ， ， ， ， ， ， （）， ，， ∴． 【点睛】本题是圆的综合题，考查了切线的判定，平行线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，圆周角定理，正确地作出辅助线是解题的关键． 变式1-3（2026·江苏南京·三模）如图，在四边形中，．过点的与相切于点与交于点． (1)连接，求证：四边形是矩形； (2)求证：； (3)若，则的长为__________． 【答案】(1)证明：连接． ， 为直径． ． ∵， ． ∴ 四边形是矩形． (2)证明：四边形是矩形， ． ． 与相切， ，即． ， ， ， ． ． (3) 【分析】（1）连接，由题意易得为直径，然后根据圆的基本性质及平行线的性质可得，进而问题可求证； （2）由（1）可知，则根据切线的性质可得，然后可得，进而根据相似三角形的性质可进行求证； （3）由勾股定理可得，然后根据（2）可得，进而根据勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：在中，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴． 题型二、角平分线与切线互推——切线证明与线段求值 典例2（2026·浙江宁波·一模）如图，在中，，平分交于点，点在边上，以为直径的恰好过点． (1)求证：与相切． (2)当时，求的长． 【答案】(1) 解：如图，连接， 平分， ， ， ， ， ， ， ， 与相切． (2) 【分析】（1）连接，证明即可； （2）利用解直角三角形求解即可； 【详解】（1）略 （2）解：， ， ， ，，． ， ， ． 解题模板 1．角平分线上的点到角两边距离相等：圆心落在角平分线上时，到两边的垂线段同时是半径，两边同时相切； 2．反过来，两条切线所成的角被圆心与圆外点的连线平分，切线长相等，切点弦被这条连线垂直平分； 3．"平分＋相切"同时出现，先在图中找等腰三角形，等角转化一步到位，再用相似或勾股算长度． 变式2-1（24-25九年级上·浙江宁波·期末）如图，是的角平分线，过点的圆与相切，与边分别交于点．若，，，则的长为___． 【答案】 【分析】本题考查切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，作圆O的直径，连接，证明，同理，连接，，是的角平分线，是的切线，得，证明，对应边成比例得，证明，求出，再证明，求出，进而可得BC． 【详解】解：如图，作圆O的直径，连接， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， ∵， ∴， 同理，， 连接， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 三、解答题 变式2-2（2026·浙江杭州·二模）如图，是内接三角形，的角平分线交于点，交于点，连接、，过点作交的延长线于点． (1)若，，求的半径． (2)求证：为的切线． (3)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）连接，，过点O作于点H，利用圆周角定理求得，利用等腰三角形的性质得到，再利用直角三角形的边角关系定理解答即可得出结论； （2）连接并延长，交于点G，利用角平分线的定义，垂径定理得到，利用平行线的性质得到，再利用圆的切线的判定定理解答即可得出结论； （3）利用圆周角定理，平行线的性质和相似三角形的判定与性质得到和，再利用等式的性质解答即可． 【详解】（1）解：如图，连接，，过点O作于点H， ∵是的角平分线，， ∴， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵，， ∴． ∵， ∴． ∴的半径为； （2）证明：如图，连接并延长，交于点G， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵为的半径， ∴为的切线； （3）证明：∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 变式2-3（2026·浙江杭州·二模）如图①，在中，（），点D在上，平分，为的外接圆． (1)求证：． (2)求证：为的切线． (3)过点B作的切线，切点为E，如图②，连接，，，若，求的值． 【答案】(1)证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵是和的公共角， ∴； (2)证明：连接、， ∵弧所对的圆心角为，所对圆周角为， ∴． ∵（都是半径）， ∴， 结合（1）知， ∴，即， 又∵是的半径， ∴是的切线． (3) 【分析】（1）先证明，进而可证； （2）连接、，先求出，然后可求出，进而可证为的切线； （3）连接并延长交于点F，由得，可证．在中，求出，进而可证．证明得．设，，则，代入求出，然后代入化简即可． 【详解】（1）略； （2）略； （3）解：如图，连接并延长交于点F， 由（1）， ∴，即． ∵， ∴， ∴． 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵、都是的切线， ∴， ∴． ∵切于， ∴， ∴． ∵是直径， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， 又∵公共， ∴， ∴． 设，，则， 代入得：， 整理为， 解得（负值舍去）， ∴． 题型三、切线性质——已知切线求角度、半径与线段长 典例3（2025·浙江绍兴·一模）如图，在中，直径，，是的切线，点为切点． (1)如图1，求证：； (2)如图2，线段交于点，连结，若，求的长； (3)如图3，线段交于点，连结，若，求的长． 【答案】(1) 证明：∵是的直径，， ∴是的切线． 又∵是的切线， ∴． (2)3 (3) 【分析】（1）由是的直径，且，可知是的切线．根据切线长定理可得． （2）连结， 根据可得，则，又由及可得，进而可得，根据三角函数可求出，进而可得． （3）连结，，，，易得，则可得．由同角的余角相等可得，又由圆周角定理及可得，进而可得．易得，则可求得，再根据勾股定理求出的长为，再根据，求出的长，进而可得的长． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连结， ∵，，， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴， ∴， ∴． （3）解：如图，连结，，，， ∵，且， ∴． ∴， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴，且， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理，勾股定理，相似三角形的判定和性质以及三角函数．熟练掌握以上知识，正确的作出辅助线是解题的关键． 解题模板 1．见到切线第一件事是连半径得直角，这个直角是勾股定理、锐角三角函数、相似三角形的共同入口； 2．求线段长：先设未知数，把切点、垂足、圆外点组成的直角三角形三边用同一个字母表示，再列勾股方程； 3．求角度或比值：优先找弦切角、圆周角、圆心角之间的等量关系，把角集中到一个三角形里，避免多次换算． 变式3-1（2026·天津和平·一模）已知分别与相切于点，为半径，连接． (1)如图①，延长与相交于点，若，垂足为点，，求的度数； (2)如图②，延长与相交于点，若，，，求的半径． 【答案】(1) (2) 【分析】（）连接，由垂径定理可得，即得，得到，又由切线的性质得，再根据四边形内角和解答即可求解； （）过点作于，连接，由切线长定理可得，即可得，进而由矩形的性质得，再利用解答即可求解． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵分别与相切于点， ∴，， ∴， ∵ ∴； （2）解：如图，过点作于，连接， ∵分别与相切于点， ∴，，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， 解得， ∴的半径为． 【点睛】本题考查了垂径定理，弧、弦、圆心角的关系，切线的性质，切线长定理，矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． 变式3-2（2024·浙江温州·模拟预测）如图，在中，，O是斜边上一点，以O为圆心，以为半径的圆与边相切于D点，交于E点，F是下半圆弧上的中点，连结交于点G．已知． (1)证明：． (2)求的半径和的长． (3)是上一点，连结，若直线与四边形的某一边所在的直线垂直，请求出所有满足条件时的的长． 【答案】(1) 证明：如图，连结，， ∵与相切于D， ∴， ∴． ∵F是下半圆弧上的中点， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴． (2)， (3)，或 【分析】（1）连结，，由与相切可得，由F是下半圆弧上的中点可得，进而推出，从而得证； （2）设的半径为r，则，，，．在中，根据勾股定理即可列出方程，求解得到r，再根据即可求出，进而即可解答； （3）分三种情况讨论：①；②；③．分别求解即可解答． 【详解】（1）略 （2）设的半径为r， ∵， ∴， ∵， ∴， ， ∴． ∵在中，， 即，解得， ∴，， ∴， ∵ ∴， ∴． （3）①如图，当M为与相交的点时，则， 连结， ∵是直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴． ②如图，设与的交点为N，当为直径时，， 由①可知， ∵， ∴在中，． ③如图，当时，记垂足为H，连结，，，， ∵F是下半圆弧上的中点， ∴， ∴， ∵，即 ∴， ∴， ∴ ∴，即， ∴． ∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∵，即， ∴． ∵在中，， ∴在中，， ∴． 综上所述，直线与四边形的某一边所在的直线垂直时，的长度为，或． 【点睛】本题考查圆的综合知识，包括切线的性质，圆周角定理，垂径定理，还考查了解直角三角形，勾股定理，相似三角形的判定及性质等．综合运用相关知识，正确作出辅助线，运用分类讨论思想是解题的关键． 变式3-3（2026·浙江温州·二模）如图，内接于，为直径，与相切于点B，，作交于点E． (1)求证：． (2)作于点F，于点G．若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据直径所对的圆周角可知，再根据相切可知，即可判定全等三角形； （2）证明，根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）证明：∵为直径， ∴． ∵为直径，与相切于点， ∴． ∵， ∴． 在和中， ∴； （2）解：设， ∵， ∴，． ∴． ∵，， ∴， ∴，． ∵，过圆心， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型四、弦切角与切割线定理——阅读理解证明与应用 典例4阅读与思考 下面是小陈同学的数学笔记，请认真阅读并完成相应的任务． 弦切角 【概念理解】 我们把顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫作弦切角（也就是切线与弦所夹的角，切点为弦切角的顶点）． 如图1，的边与相切于点是的一条弦，则是弦切角．   【问题解决】 如图2，锐角是的弦切角，与相切于点，点是优弧上的任意一点，连接，则． 证明：如图2，连接并延长，交于点，连接． 与相切于点，是的半径， （依据）． ． ．．．．．． 任务：    (1)【问题解决】中证明过程中的“依据”是指___________． (2)补全【问题解决】中的证明过程． (3)拓展：如图3，内接于．过点作的切线，与的延长线交于点．若，，直接写出的长． 【答案】(1)圆的切线垂直于过切点的半径 (2)见解析 (3)6 【分析】（1）根据前后逻辑关系可以发现【问题解决】中证明过程中的“依据”是指切线的性质，即圆的切线垂直于过切点的半径． （2）由得到，再由为直径，得到，则，由圆周角定理可得，即可证明； （3）锐角是的弦切角，同理根据【问题解决】中结论得到，证明，得到，把，，代入解得，最后根据求解即可 【详解】（1）中证明过程中的“依据”是指切线的性质，即圆的切线垂直于过切点的半径． （2）解： 证明：如图2，连接并延长，交于点，连接． 与相切于点，是的半径， （依据）． ． ∴， ∵为直径， ∴， ∴， ∴， 由圆周角定理可得， ∴； （3）解锐角是的弦切角，同理根据【问题解决】中结论得到， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 解题模板 1．弦切角等于它所夹弧对的圆周角；两个弦切角所夹的弧相等，则这两个弦切角相等； 2．切割线定理：切线长的平方等于这点到割线两交点距离的积；两条割线则交叉相乘相等； 3．阅读探究题按"读懂材料给出的结论—仿照材料的思路补证—把结论代入计算"三步走，已给结论直接用，不重复证明． 变式4-1（2025·浙江杭州·一模）【定理学习】欧几里得在《几何原本》中提出切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线（圆外一点引出一条与圆有两个交点的直线叫割线），切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项． 【定理证明】（1）如图①，点为外一点，与相切于点，割线与圆相交于两点，求证：（提示：连结，并延长交于点，连结）． 【解决问题】（2）如图②，是的切线，连结交于点的半径为．若，求的值． 【答案】 （1）证明： 连接，并延长交于点，连接， ∵与相切于点， ∴， 即， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ，即； （2）的值为 【分析】本题考查圆周角定理，相似三角形的判定和性质，切线的性质，掌握构造相似三角形，并应用相似三角形的性质得到线段之间的关系是解题的关键. （1）根据切线可得到，根据直径得到，可推出，再由同弧对应的圆周角相等得到，然后证明得到结论 （2）延长交于点， 连结， ，可以得到，由（1）的结论代入可得到关于的方程，解方程即可求出的值. 【详解】（1）略 （2）如图， 延长交于点， 连结， ， ∵的半径为，， ， 由（1）可知， ， ， 整理得 ， 解得或(舍去)， ∴的值为. 变式4-2阅读以下材料，并按要求完成相应的任务 切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到与圆交点的两条线段长的比例中项． 证明过程如下： 如图1：已知：点P是外一点，是切线，F是切点，是割线，点A，B是它与的交点，求证： 证明：连接并延长交于C，连接， ∵是的切线，（依据________________________________) ∵是的直径，（依据_______________________________)    又∵（依据_____________________________________) . . . . . . 任务： (1)完成材料证明部分中的“依据”，填入空格． (2)把证明过程补充完整． (3)定理应用： 已知为的切线，T是切点，是的割线，交于D，为的直径，，求的长． 【答案】(1)切线的性质定理；直径所对的圆周角是直角；同弧所对的圆周角相等 (2)见解析 (3) 【分析】（1）利用圆周角定理推论、切线性质找等角即可解答； （2）先构造相似三角形，再根据相似三角形对应边成比例解答即可； （3）设，如图：连接，先证，再根据相似三角形的性质列式求得x，然后再利用切割线定理求y长度即可． 【详解】（1）证明：连接并延长交与C，连接， ∵是的切线， （依据：切线的性质定理) ∵是的直径， （依据：直径所对的圆周角是直角)    又∵（依据：同弧所对的圆周角相等) ………… 故答案为：切线的性质定理；直径所对的圆周角是直角；同弧所对的圆周角相等． （2）证明：连接并延长交与C，连接， ∵是的切线， （依据：切线的性质定理) ∵是的直径， （依据：直径所对的圆周角是直角)    又∵（依据：同弧所对的圆周角相等) 又∵ ∴      ． （3）解：设，如图：连接， ∵ ∴， ∴，即，解得：或（舍去） 由切割线定理，由勾股定理可得： ，解得， ∴. 【点睛】本题综合考查了阅读理解能力、圆周角定理、切线的性质定理、切线长定理、相似三角形的判定与性质等知识点，从阅读材料中提取有用信息是解答本题的关键． 变式4-3在学习切线长定理时我们发现：过圆外一点引圆的切线，该点到切点之间的两条切线长相等．小南对此进行了深入探究，过圆外一点引圆的切线和割线（直线与圆相交，则这条直线为圆的割线），发现切线长的平方等于这点到割线与圆交点的两条线段长的乘积． (1)用直尺和圆规完成以下基本操作：过点作的切线交延长线于，连接；（不写作法，只保留作图痕迹） (2)完成下列证明过程： 为的切线， ①_____（圆的切线垂直于过切点的半径） ， 即． ②_____， ． 又， ． ， ③_____，（圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半） ， ， ④_____ 即． 在探索过程中，我们还发现，即圆的弦切角等于所对的⑤______． 【答案】(1) 如图，即为所求， (2)①，②，③，④，⑤圆周角 【分析】此题考查了切线判定和性质、圆周角定理、相似三角形的判定和性质等知识． （1）过点C作射线的垂线交延长线于，连接即可； （2）证明，，得到，证明，则，即可得到．再根据证明过程得到圆的弦切角等于所对的圆周角． 【详解】（1）略 （2）证明：为的切线， （圆的切线垂直于过切点的半径） ， 即． ， ． 又， ． ， ，（圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半） ， ， 即． 在探索过程中，我们还发现，即圆的弦切角等于所对的圆周角． 故答案为：①，②，③，④，⑤圆周角． 题型五、切线长定理——圆外切四边形边长与周长计算 典例5如图，四边形是的外切四边形，切点分别为，，，．连接． (1)若，则的长为___________； (2)求证． 【答案】(1)3 (2) 证明：∵，，， ∴， ∴， 同理可得，，， ∴ ， 又∵， ∴． 【分析】本题考查了内切圆的定义和性质，全等三角形的判定和性质． （1）连接，，，，根据内切圆的定义得，，，，，进而得，，，，，，则，，再由得，即可得出结论； （2）由证明得，同理可得，，，进而可推出，再由可得结论． 【详解】（1）解：如图，连接，，，， ∵四边形是的外切四边形，切点分别为，，，， ∴，，，，， ∴，，，， 设，， ∴，， ∴， ∴，即， 故答案为：3； （2）略 解题模板 1．从圆外一点引两条切线，切线长相等，且圆心与该点的连线平分两切线的夹角、垂直平分切点弦； 2．外切四边形的两组对边之和相等，理由是把每条边按切点拆成两段切线长再相加； 3．多切线问题设切线长为未知数，三条边分别写成两段之和，联立方程组，比硬算线段更省力． 变式5-1如图，的外切四边形中相邻的三条边，周长为32，则__________． 【答案】8 【分析】本题主要考查了四边形的内切圆的性质、比例的应用等知识点，掌握圆的外切四边形的对边之和相等是解题的关键． 利用圆的外切四边形的性质得到，设、、，则，即，接着利用四边形的周长为32列方程求解即可． 【详解】解：如图， ∵的外切四边形， ∴， ∴， ∵， ∴设、、，则，即， ∵四边形的周长为32， ∴，解得：， ∴． 故答案为：8． 变式5-2如图，四边形是的外切四边形，且，，则四边形的周长为________． 【答案】46 【分析】根据切线长定理得到，从而得到，根据四边形的周长公式计算，即可得到答案． 【详解】解：如图所示， 四边形是的外切四边形， ， ， 四边形的周长， 故答案为：46． 【点睛】本题考查的是切线长定理，掌握从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等是解题的关键． 三、解答题 变式5-3（23-24九年级下·浙江宁波·自主招生）已知、为圆的两条切线，连接交圆于点，若，，，则__________． 【答案】 【分析】连接，，，作，设，证是等边三角形，得出，证，，得出，得出是直径，再利用勾股定理列方程求出，即可． 【详解】解：连接，，，过点A作作于F，设， 同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍，， ， ， 是等边三角形， ，， ，是的切线， ，，， ， ， ， ， ， ， ， 同理可证：， 得出：， ， ，， ， 是直径， ， ，，， ，， ， ， ， ， (负值已舍去）， ． 【点睛】本题考查了切线的性质，等边三角形的判定与性质，切线长定理，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，勾股定理，解一元二次方程等知识．作辅助线构造相似三角形是解题的关键． 题型六、三角形内切圆——面积法求半径与内心判定 典例6与三角形各边都相切的圆称为三角形的内切圆，与四边形各边都相切的圆称为四边形的内切圆．任意三角形都同时拥有内切圆和外接圆，而只有部分四边形才同时拥有内切圆和外接圆． (1)如图1，已知两条直角边分别为6和8，则的内切圆半径为_______． (2)如图2，在中，，是边上的中线，，求的外接圆圆心P与内切圆圆心Q之间的距离． (3)如图3，已知四边形同时拥有内切圆和外接圆，它的内切圆与，，，分别相切于点E，F，G，H，连接，，，． ①设，，，的面积分别为，求证：； ②若，，，求内切圆的半径r及的长． 【答案】(1)2 (2)5 (3)①证明：如图3，连接， ∵四边形的内切圆与，，，分别相切于点E，F，G，H， ∴，，，，，，，，， ∴， 即， 设， 则，，，， ∴，， ∴； ②，的长为 【分析】（1）设的内切圆与分别相切于点，连接、、、、、，根据勾股定理可得，根据三角形面积公式可得，根据三角形内切圆的性质得到，，，，再利用等积法列出关于长的方程，即可求解； （2）过点作于点，连接、、，根据三线合一性质得到，平分，根据勾股定理可得，根据外接圆圆心的性质可得，点在直线上，设，在中利用勾股定理列出方程，求出的长；根据内切圆圆心的性质可得平分，平分，进而证明，得到，，设，在中利用勾股定理列出方程，求出的长，再利用线段的和差求出的长，即可解答； （3）①连接，根据切线长定理得到，，，，进而证出，再利用三角形的面积公式即可证明结论；②先证明得到，同理可得，，，根据四边形拥有外接圆得到，，通过证明，得到，在利用勾股定理列出方程，求出的值，进而利用勾股定理求出长，再证明即可求出的长． 【详解】（1）解：如图1，设的内切圆与分别相切于点，连接、、、、、， 根据题意，，，， ∴，， ∵的内切圆与的切点分别为， ∴，，，， ∵， ∴， 即， 解得， 即的内切圆半径为2； （2）解：如图2，过点作于点，连接、、， ∵，是边上的中线， ∴，平分， ∴，是的垂直平分线， ∴， ∵点是的外接圆圆心， ∴点在的垂直平分线上，， ∴点在直线上， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∵点是的内切圆圆心， ∴平分，平分， ∴， ∵平分，平分， ∴点在上， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴， 即的外接圆圆心P与内切圆圆心Q之间的距离为5； （3）①略 ②解：由①得，， 又∵， ∴， ∴， 同理可得：，，， ∵四边形拥有外接圆， ∴，， ∴，， 即，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得（负值已舍去）， ∴， ∴， 同理可证：， ∴，即， 解得； 综上，内切圆的半径，的长为． 解题模板 1．内切圆半径的通法：把三角形拆成三个以 r 为高的小三角形，由面积相等得 r＝2S÷(a＋b＋c)； 2．直角三角形另有 r＝(a＋b－c)÷2，比面积法快；已知三边求 r 时优先用这一条； 3．切点分边：顶点到两个切点的距离相等，把三边写成 x＋y、y＋z、z＋x 解方程组，可反求各段长． 变式6-1如图，点在同一条直线上，分别是与的平分线，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，矩形的面积为，求内切圆的半径． 【答案】(1)证明：∵分别是与的平分线， ∴，， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴四边形是矩形； (2)内切圆的半径为． 【分析】（1）利用角平分线的定义求得，，根据平角的定义得到，求得，据此可证明四边形是矩形； （2）找到内切圆与的切点，连接，利用等积法，直角三角形的性质结合勾股定理求得，，据此计算，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：如图，设的内切圆半径为，， 圆O为的内切圆，切点分别为G、E、F，连接，连接， 则，，． ∴， ∵，即， ∴，， ∵矩形的面积为， ∴的面积为， ∴，， 即，， ∴（负值已舍），， ∴内切圆的半径为． 【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心，直角三角形的性质和勾股定理，矩形的判定，熟记各图形的性质并准确识图是解题的关键． 变式6-2（25-26九年级上·浙江温州·自主招生）如图，与交于点A、B，的弦切于E，交于F，的延长线交于G，射线交于M、N，连接、．求证：点E为的内心． 【答案】 证明：连接，延长，交于点P，连接，如图所示： ∵弦切于E， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 同理可得， 连接，如图所示： ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴，即， ∵，， ∴， ∴，即， ∴，即， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴是的角平分线，是的角平分线， ∴点E为的内心． 【分析】本题主要考查切线的性质、相似三角形的性质与判定、圆的性质及等腰三角形的性质，熟练掌握切线的性质、相似三角形的性质与判定、圆的性质及等腰三角形的性质是解题的关键；根据切割线定理及相似三角形的性质可得，，则有，然后可得是的角平分线，是的角平分线，进而问题可求证． 【详解】略 变式6-3（26-27九年级上·浙江杭州·自主招生）在中，内心为I，关于边的对称点为X，关于边的对称点为Y，且线段平分．若，，则_______． 【答案】7 【分析】由轴对称的性质得到，设与相交于点，过点C作于点D，求出，，根据勾股定理即可求出答案． 【详解】解：由轴对称的性质可知，， ∴ ∵在中，内心为I， ∴ ∴，， ∴， ∵， ∴且平分， 设与相交于点， 则， ∵线段平分， ∴为的中点，即， 在中， ∴ ∵， ∴， ∴，     过点C作于点D， 在中，，， ∴，， ∵， ∴， 在中，. 三、解答题 题型七、三角形内心——外接圆中的角度线段与定值探究 典例7是的内接三角形，是的内心，连接交于点，连接、，根据内心的定义，我们很容易证明，根据题设回答以下问题． (1)如图，若关于的对称点恰巧落在上，连接、，则的度数是________． (2)如图，若点、、在一条直线上，且，，求的内心和外心之间的距离． (3)如图，在（）的条件下，是弦弦长线上的一个动点，连接交于点，若，是否为定值，若是定值，请求出这个定值；若不是定值，请说明理由． 【答案】(1)； (2)的内心和外心之间的距离； (3)为定值， 【分析】（）根据题意得，又四边形是圆内接四边形，则，再通过即可求解； （）连接，过作于点，过作于点，设与交于点，则，再通过垂径定理得，设半径为，则，又是的内心，则，通过，求出，最后由线段和差即可求解； （）连接，，，，，设与交于点，证明是等边三角形，，在中，由勾股定理得，求出，，然后根据圆内接四边形和邻补角定义得出，然后证明，最后根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵关于的对称点恰巧落在圆上， ∴， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）解：如图，连接，过作于点，过作于点，设与交于点， ∵点、、在一条直线上， ∴， ∴，， ∴由勾股定理得：， 设半径为， 由勾股定理定理：， ∴， ∴， ∴， ∵是的内心， ∴， ∴， ∴， ∴的内心和外心之间的距离； （3）解：为定值，，理由， 如图，连接，，，，，设与交于点， 由（）得：， ∵是的内心， ∴平分， ∴， ∴， ∴，， ∴是等边三角形，， ∴，，， ∴， ∴在中，由勾股定理得：， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为定值，． 【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，圆内接四边形的性质，三角形的内心和外心，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 解题模板 1．内心是三条角平分线的交点，到三边距离相等；张角公式 ∠BIC＝90°＋∠A，一半的角在外面加 90°； 2．角平分线与外接圆的交点（弧的中点）到三个顶点距离相等，是内心题的"金点"，连它必出等腰； 3．内心、外心、垂心要分清：内心靠角平分线，外心靠垂直平分线，垂心靠高，条件里出现哪条线就用哪个心． 变式7-1圆O是的外接圆，I是的内心，请回答以下问题：    (1)如图1，连接、，当时，则________； (2)如图2，延长，分别交圆O于点F、G，连接并延长交于点D，交圆O于点E，求证：； (3)如图，连接，当，且时，，试求y关于x的函数解析式． 【答案】(1)120 (2) 证明：设与交于点，如图，   是的内心， 平分，平分，平分， ，，， ， ． ． ，， ， ， ； (3) 【分析】（1）利用三角形的内心为三个内角平分线的交点的性质得到，，再利用三角形的内角和定理解答即可； （2）设与交于点，利用（1）的方法得到，利用圆周角定理，角平分线的定义和三角形的外角性质解答即可得出，则可得结论； （3）连接，利用三角形的内心的性质和三角形的外角的性质，圆周角定理和等式的性质得到，则，利用垂径定理可得，则；利用相似三角形的判定与性质求得．则；利用相似三角形的判定与性质得到，则可求结论． 【详解】（1）解：是的内心， 平分，平分， ，， ，， ， ． 故答案为：120； （2）略 （3）解：连接，如图，   是的内心， 平分，平分， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ． ，， ， ， ， ． ． ，， ， ， ． ， 关于的函数解析式为． 【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理，三角形的内心的性质，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，三角形的内角和定理及外角性质，熟练掌握三角形的内心的性质是解题的关键． 变式7-2（26-27九年级上·江苏盐城·阶段检测）已知为的外接圆，点E是的内心，的延长线交于点F，交于点D．如图，为的直径，若，，则的长为（     ） A．2 B． C．1 D． 【答案】B 【分析】连接，，，根据内心的性质可知平分，结合为直径，利用垂径定理可得且，在中利用勾股定理求出，进而得到的长，在中求出的长，利用圆周角定理和三角形外角性质证明，进而求出的长，最后根据求解． 【详解】解：连接，，， ∵点E是的内心， ∴平分，平分， ∵为的直径， ∴，，， ∴在中，， ∴， 在中，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 二、填空题 变式7-3（2025·湖南长沙·一模）如图1，内接于，点E为的内心，连接并延长交于点D，交于点F，连接． (1)若，求的度数． (2)如图2，连接，若，求的长． (3)如图3，连接，若的半径为4，弦，设，求y与x之间的函数关系式及y的最大值． 【答案】(1) (2) (3)，y的最大值 【分析】本题考查三角形的内心，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，垂径定理； （1）由点E为的内心，可得和是的角平分线，则，，再根据圆周角定理得到，即可得到，最后根据求解； （2）由，，可得，得到，则，，再证明，得到，代入解方程即可； （3）连接交于，连接，过作于，先利用垂径定理求出，则，再根据，得到， ，代入后整理得到，再根据二次函数的性质求最大值即可． 【详解】（1）解：∵点E为的内心， ∴和是的角平分线， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得； （3）解：连接交于，连接，过作于， ∵， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由（2）得， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 整理得， ∵， ∴当即与重合时，最大． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 压轴1如图，点为外一定点，连接，作以为直径的，与交于两点和，根据切线的判断，直线和是的两条切线．由得，，，即切线长定理．上述过程中，可以判定的依据是（   ） A．三边分别相等的两个三角形全等 B．两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等 C．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 D．斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的判定，圆的切线的性质与判定，切线长定理，熟练掌握这些性质与判定是解题的关键．题中已判定出直线和是的两条切线，可得，则在与，利用，，即可判定，其判定依据为：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，即可解决． 【详解】解：∵题中判定出直线和是的两条切线， ∴， 在与， ， ∴， 判定依据为：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等， 故选：D． 二、填空题 压轴2（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，在四边形中，，，与四边形各边都相切，连接，若的半径为2，，则的值是（　　）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设切点依次为点E、F、G、H，连接，，，，，，，，分别过点A、D作的垂线，垂足为M、N，由切线长定理可以推出，．根据内切圆半径与多边形面积和周长之间关系可以算出，梯形的高为4，使用勾股定理和矩形的性质算出下底，，最后使用勾股定理算出的值． 【详解】解：如图，设切点依次为点E、F、G、H，连接，，，，，，，，分别过点A、D作的垂线，垂足为M、N，设半径为， 与四边形各边都相切，由切线长定理可知，，，，， ∴， ， ， ∵， ∴， 由切线的性质可知，，，，， ∴， ， ， ， ， ∵在四边形中，，， ∴四边形是等腰梯形， 设梯形的高为h， 则，即， 解得，， ∵，， ∴， 在直角中，， 同理，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴ ， ∵， ∴，解得，， ∴， 在直角中，． 故选：B． 【点睛】本题考查切线的性质，切线长定理，矩形的判定与性质，梯形的性质和勾股定理，熟练掌握切线相关的定理是解题关键． 压轴3（26-27九年级上·浙江杭州·自主招生）在直角中，，，为边BC上一点，为的内心（内心是指内切圆的圆心），F为的内心，若，则（） A．3 B． C． D． 【答案】D 【分析】设分别与相切于点，连接，则，根据切线长定理求出，，得出，然后求出，，代入整理可得答案． 【详解】解：如图，设分别与相切于点，连接，则， ∵， ∴点M在线段上． 由切线长定理得，， ∵， ∴， ∴， 同理可得，， ∴， ∴． ∵，， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 二、填空题 压轴4（24-25九年级上·浙江宁波·阶段检测）如图，在中，是直径，且，点是上一点，点是的中点， 于点，过点的切线交的延长线于点，连接，分别交、于点、，连接，，．关于下列结论：①；②；③点是的外心；④点是的内心；⑤若，则． 其中正确结论的个数为（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】①用反证法即可判断结论①；②通过证明即可判断结论②；③通过证明即可判断结论③；④说明与不一定相等，即可判断结论④；⑤证明是等边三角形，求出即可判断结论⑤． 【详解】解：设，则， ∵， ∴， 即：、是的三等分点， 这显然不符合题意，故结论①错误； 如图，连接， ， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故结论②正确； ∵是直径， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴点是的外心，故结论③正确； ∵与不一定相等， ∴与不一定相等， ∴点不一定是的内心，故结论④错误； ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∵， ∴， ∴点P是的内心， ， ∴，故结论⑤错误； 综上所述，正确的结论有：，共个， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了反证法，圆周角定理，切线的性质，直角三角形的两个锐角互余，等边对等角，直径所对的圆周角是直角，三角形外心内心的性质，等边三角形的判定，解直角三角形等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以综合运用是解题的关键． 压轴5（23-24九年级上·江苏泰州·开学考试）如图，，半径为2的与角的两边相切，点P是上任意一点，过点P向角的两边作垂线，垂足分别为E，F，设，则t的取值范围是_______． 【答案】 【分析】本题考查了切线的性质，含度角的直角三角形的性质，勾股定理等知识；设半径为2的与角的两边相切于、，连接，，延长交于，求得，根据直角三角形的性质得到，求得，得到，如图，延长交于，根据直角三角形的性质得到，，求得，当与相切于点且点在圆心的右侧时，有最大值，连接，则四边形是正方形，根据正方形的性质得到，求得；如图，当与相切于点且点在圆心的，左侧时，有最小值，同理可得，于是得到结论． 【详解】解：设半径为2的与角的两边相切于，，如图，连接，，延长交于， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 如图，延长交于， ，， ， ， ， ，， ， ， 当与相切于点且点在圆心的右侧时，有最大值， 连接，则四边形是正方形， ，， (； 如图，当与相切于点且点在圆心的左侧时，有最小值， 同理可得； 故的取值范围是， 故答案为：． 压轴6（25-26九年级上·江苏徐州·期末）如图，在矩形中，是的中点，若是直径，是直线上任意一点，与相切于点，，当最大时，的长为___________． 【答案】 【分析】连接，延长交的延长线于点，过点作于点，由矩形的性质得到，，根据勾股定理求出，由切线的性质推出，判定，得到，从而推出，由，推出当最大时，，得到点与点重合，证得，推出，，进而求出，，最后利用三角形面积公式，即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接，延长交的延长线于点，过点作于点， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴在中，， ∵与相切于点，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴当最大时，最大， ∵， ∴当最小时，最大，最大， ∴当最大时，， 此时，点与点重合， ∵， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴当最大时，的长为， 故答案为：． 【点睛】本题考查切线的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，矩形的性质，解直角三角形，三角形的面积，关键是判定当最大时，，由三角形面积公式得到． 压轴7阅读与思考 圆形，是一个看来简单，实际上是十分奇妙的形状．古希腊的毕达哥拉斯学派认为：“一切图形中最美的是球形，一切平面图形中最美的是圆形．”中华民族自古也有以“圆合”为美的心理习惯，认为圆形有圆满、周全的含义，有完美、和谐的意象．早在2000多年前，“科圣”墨子在《墨经》中就有“圆，一中同长也”的记载．与圆有关的定理有很多，弦切角定理就是其中之一．其内容为弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆周角度数．（顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角．）具体来说，如果一条直线与圆相切于某一点，并且过该点的另一条直线（弦）与圆相交，那么这两条直线所夹的角就是一个弦切角． 如图，直线与相切于点，任取上不与点重合的点，则和是弦与切线所成的弦切角． 下面是励志小组对于此定理探究的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务． 证明：如图1，与相切于点．当圆心在弦上时，容易得到，，所以弦切角． 如图2，与相切于点．当圆心在的外部时，过点作直径交于点，连接DF． 是直径， ，（__________） …… 请你认真阅读以上内容，完成下列任务： 任务一：写出上述证明过程中空缺处依据的定理是__________； 任务二：请结合图2补全上述证明过程； 任务三：如图3，是的直径，点C在上，延长至D使得，过点C作的切线交于H．若，，则的半径为__________． 【答案】任务一：直径所对的圆周角是直角； 任务二： 如图2，与相切于点．当圆心在的外部时，过点作直径交于点，连接DF． 是直径， ，（直径所对的圆周角是直角） 与相切于点， ， ， ， 又和是弧所对的圆周角， ， ． 任务三：3 【分析】本题考查切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握切线的性质，圆周角定理，是解题的关键： 任务一：根据直径所对的圆周角是直角进行作答即可； 任务二：根据切线的性质，同角的余角相等以及同弧所对的圆周角相等，即可得出结论； 任务三：圆周角定理，结合中垂线的判定和性质，推出，三线合一，得到，证明，求出的长，进而得到的长即可． 【详解】任务一：依据是直径所对的圆周角是直角． 任务二：略 任务三：∵是直径， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵是切线， ∴由任务二可知：， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即：， ∴， ∴， ∴的半径为3． 压轴8工地上放置的大型水管，为防止滑动，用直角三角形木塞固定，如图，是水管及木塞的横截面示意图，水管与地面的接触点为，已知，，切于点，，，则这根水管的直径为______．    【答案】 【分析】本题考查了切线的性质，相似三角形的判定与性质，连接，，过作于，由切于点，切于点，则，则有，证明，设的半径为，根据相似三角形的性质即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，，过作于，    ∵切于点，切于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设的半径为，则，得， 则直径为， 故答案为：． 压轴9（25-26九年级上·河南濮阳·阶段检测）如图，点在上，点，分别在线段和上，和是的两条切线，，．若，则的度数为________    【答案】 【分析】先利用切线长定理得出，再利用等边对等角得到，然后利用三角形内角和定理求得，再证明，结合三角形内角和定理与平角的意义，证得即可． 【详解】解：∵和是的两条切线， ∴， ∴， ∵， ∴， 又，， ∴， ∴，， 又， ∴， 又， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理的应用，全等的性质和综合（），等边对等角，应用切线长求解，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 压轴10（23-24九年级下·浙江·自主招生）如图，在中，，，，为上一点，以为直径的交于，作的中垂线与边相交于点，连接、． (1)求证：为的切线； (2)若以、、为顶点的三角形与相似，求的值． 【答案】(1) 证明：如下图所示，连接、， 在中，， 又为的中垂线， ，， ， ， ， ， 为的切线； (2)或． 【分析】连接、，根据直角三角形的性质可知，根据线段的垂直平分线可知，，从而可得，可证，所以可证结论成立； 若以、、为顶点的三角形与相似，则有和两种情况，所以本题要分两种情况进行讨论，根据相似三角形对应边成比例得到比例关系，利用比例关系求出的值． 【详解】（1）略 （2） 解：设半径为， 当时，， ， ， 是的直径， ， ， 又， ， ， ， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， 又， 代入， 可得：， 得， ， 当时，， ， ， ． 综上，的值为或． 【点睛】本题主要考查了圆的基本性质、切线的判定与性质、相似三角形的判定与性质、线段的垂直平分线的性质．解决本题的关键是运用分类讨论的思想解决问题，根据以、、为顶点的三角形与相似，需要分和两种情况进行讨论． 压轴11（24-25九年级上·浙江台州·期末）如图，菱形的三个顶点A，B，D在上． (1)①如图1，求证：圆心O在直线上； ②如图1，若，求证：是的切线． (2)如图2，延长交于点E，若，求的度数． (3)如图3，延长交于点E，过点D作于点F，若的面积为a，的面积为b，请用含有a，b的式子表示菱形的面积． 【答案】(1) 证明：①如图1，连接，，过作于，于， ，， 四边形是菱形， ，平分， ， ，， ， ， 平分， 平分， 点在直线上； ②如图1，连接， 四边形是菱形， ， ， ， 由①知：， ， ， ， 半径， 是的切线； (2) (3) 【分析】（1）①如图1，连接，，过作于，于，由垂径定理得到，，由菱形的性质推出，平分，得到，判定，得到，即可证明点在直线上； ②如图1，连接，由平行线的性质推出，求出，求出，由等腰三角形额性质得到，求出，即可证明是的切线； （2）如图2，由平行线的性质推出，得到，由圆心角、弧、弦的关系定理推出，，即可求出的度数，于是得到； （3）如图3，过作于，于，判定四边形是矩形，得到，判定，得到△的面积△的面积，由圆周角定理得到，因此，判定，得到△的面积△的面积，又，求出△的面积，即可得到菱形的面积． 【详解】（1）略 （2）如图2， ， ， 四边形是菱形， ∥，， ， ， ， ， ， 的度数， 的度数， ； （3）如图3，过作于，于， 四边形是菱形， ，， 四边形是矩形， ， ， ， ，， ， △的面积△的面积， ， ， ， ， ， △的面积△的面积， ， 四边形的面积， △的面积四边形的面积△的面积， 菱形的面积． 【点睛】本题考查圆的综合题，关键是熟练掌握角平分线的性质，菱形的性质，切线的判定方法，全等三角形的判定和性质，圆的有关性质． 压轴12（2025·浙江·模拟预测）已知，是的内接三角形，，与关于直线对称，与交于点E． 探究一：如图1，连接并延长交于点M，交于点N．请判断下列结论是否正确．（在相应括号中，正确的打“√”，错误的打“×”） ①（ ）； ②（ ）； ③是的切线（ ）． 探究二：连接并延长，交于点F、J，交、分别于点G、H． （1）如图2，若． ①求的度数； ②试猜想与有怎样的数量关系？并说明理由． （2）如图3，若，求证：E、G、C三点在同一直线上． 【答案】探究一：（1）①√；②√；③√；探究二：（1）①； ②．理由如下： 如图，连接、、、， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵与关于直线对称， ∴． ∴， ∴； （2）如图，连接、、， ∵与关于直线对称， ∴，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴． ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴E、G、C三点在同一直线上． 【分析】探究一：①利用垂径定理解答即可； ②利用轴对称的性质，圆内接四边形的性质和等腰三角形的判定定理解答即可； ③连接连接、，利用圆周角定理，轴对称的性质，同圆的半径相等的性质，等腰三角形的性质和圆的切线的判定定理解答即可； 探究二：（1）①利用垂径定理和直角三角形的边角关系定理求得，再利用轴对称的性质解答即可； ②连接、、、，，利用圆周角定理求得，得到，再利用等边三角形的判定定理和轴对称的性质解答即可得出结论； （2）连接、、， 利用轴对称的性质，平行线的性质和等腰三角形的判定定理得到，得到四边形是平行四边形，则；利用全等三角形的判定与性质得到，则，利用相似三角形的判定与性质得到，则，利用平行公理解答即可得出结论． 【详解】解：探究一：①∵， ∴， ∵为直径， ∴， ∴． ∴①的结论正确． 故答案为：√； ②∵与关于直线对称， ∴， ∵四边形为圆的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∴②的结论正确． 故答案为：√； ③如图，连接、， ∵为的直径， ∴， ∴． ∵， ∴， ∵与关于直线对称， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为的半径， ∴是的切线． ∴③的结论正确． 故答案为：√； 探究二：（1）①∵， ∴，， ∵与关于直线对称， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， ∵与关于直线对称， ∴； ②略． （2）略． 【点睛】本题考查了垂径定理，轴对称的性质，圆内接四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，圆周角定理，圆的切线的判定定理，解直角三角形的应用，等边三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，掌握相关知识点是解题关键． 压轴13（25-26九年级下·河南商丘·阶段检测）如图，已知四边形中，，以为直径作与边相切于点E． (1)如图1，连接，求证：； (2)如图2，连接，交于点M，若，求的长． 【答案】(1) 证明：∵ 且点B在上， ∴是的切线，且， 又∵与边相切， ∴， ∴， 又， ∴， 即． (2) 【分析】（1）根据已知条件得到是的切线，根据切线的性质得到，然后结合，即可得到结论． （2）连接，证明三角形是等边三角形，再推出，从而解直角三角形得到长即可． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接， ∵，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是含有角的直角三角形， ∴． 压轴14（2026·安徽芜湖·三模）菱形中，为的外接圆，是的切线． (1)如图1，求证：为等边三角形． (2)如图2．点E为边的中点，点F在上，连接交于G，若，，求的长． 【答案】(1)证明：如图1，连接，连接并延长交于E，连接， ∵为的直径， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 为等边三角形； (2)9 【分析】（1）连接，连接并延长交于E，连接，由切线的性质和直径所对的圆周角是直角可证明，则可证明，由菱形的性质得到，，则可证明，进而可证明，则为等边三角形； （2）设交于H，证明，得到，再证明，得到，则可得到． 【详解】（1）略 （2）解：如图，设交于H， 由（1）得为等边三角形， ∴，； ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ， ∵点E为边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ． 压轴15我们知道，与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，则三角形可以称为圆的外切三角形．如图，与的三边，，分别相切于点，，则叫做的外切三角形，以此类推，各边都和圆相切的四边形称为圆外切四边形． 如图，与四边形的边，，，分别相切于点G，F，E，H，则四边形叫做的外切四边形． (1)如图2，试探究圆的外切四边形的两组对边，与，之间的数量关系，猜想：______选填“＞”“＜”或“=”） (2)利用图2证明你的猜想（写出已知，求证和证明过程）． 【答案】(1) (2) 已知：四边形的四边，，，都于相切于G，F，E，H， 求证：， 证明：，和相切， ， 同理：，，， ， 即： 【分析】此题主要考查了新定义圆的外切四边形，切线长定理，理解和掌握圆外切四边形的定义是解本题的关键． （1）根据圆外切四边形的定义猜想得出结论； （2）根据切线长定理即可得出结论； 【详解】（1）解：与四边形的边，，，分别相切于点G，F，E，H， 猜想， （2）略 压轴16（2026·上海静安·三模）探究与应用： 在研究平面几何时，要把握图形与图形之间的位置关系以及对应关系．请你对下面这个图形展开了综合性研究，已知直角三角形 ， ， ， ，在 边上有一点H． 【定理探究】：定理是我们解决几何问题的起点，定理的条件和结论交换之后的真假往往也很关键．在发现定理的过程中，我们往往可以从特殊值出发，猜测一般化的规律． (1)小张同学发现，点B在以 为直径圆上，由此他得出结论：“若一个三角形一条边上的中线长等于该边长的一半，则这个三角形是直角三角形”这个命题是“直角三角形斜边上中线长等于斜边长的一半．”的_________，这个结论成立是__________．（     ） A．逆命题，必然事件         B．逆命题，不可能事件         C．同义命题， 必然事件 (2)三角形内切圆的圆心是三角形（     ） A．内角平分线的交点         B．中线的交点                 C．各边垂直平分线的交点 【位置关系】：与圆有关的位置关系是平面几何问题的重要模块，也是现实工程测量的重要依据． (3)当 和 的内切圆半径相等时，求： 的长； (4)下列说法正确的是（     ）（多选题） A．点H可能在 和 的内切圆上 B． 和 的内切圆可能相切 C． 和 的内切圆的圆心距可能为6      D．除直线外，同时与 和 的内切圆相切的直线最多有3条 【答案】(1)A (2)A (3) (4) 【分析】本题考查了三角形的内切圆与内心，也考查了勾股定理的运用，掌握圆的性质是做题的关键． （1）根据圆的性质得到相关结论． （2）根据三角形内切圆的定义得到三角形内切圆的圆心是三角形的内心． （3）利用三角形的内切圆半径公式分别表示出 和 的内切圆半径，进而求解 的长． （4）根据三角形内切圆的性质求解． 【详解】（1）原定理“直角三角形斜边上中线长等于斜边长的一半”的逆命题是“若一个三角形一条边上的中线长等于该边长的一半，则这个三角形是直角三角形”．根据圆的性质，若中线等于边的一半，则该点在以该边为直径的圆上，因此三角形为直角三角形，结论是必然事件．所以A选项是正确的． （2）三角形内切圆的圆心是三角形的内心，即内角平分线的交点(到三边距离相等)．中线交点是重心，垂直平分线交点是外心．所以A选项是正确的． （3）已知在直角三角形 中， ， ， ， 则 ， 设 ，则 ， 由题意知 是直角三角形，其内切圆半径为， 因为，所以， 由题意知 的面积为， 的半周长， 其内切圆半径为，即， 令，化简得方程 ，解得（ 时 不存在，舍去），因此． （4）对于选项A，点H在 上， 的内切圆在三角形内部，H到内切圆圆心的距离需等于半径，但只有当H与B重合时成立(此时 不存在)，故A错误． 对于选项B，设 内切圆的圆心为， 内切圆的圆心为，移动 上的H点时，随 大小变化、随 大小变化，当两个内切圆都与相切与同一点时，两圆可能相切，B正确． 对于选项C，设 内切圆的圆心为， 内切圆的圆心为，到 的距离相等，到 的距离相等，当H靠近B时，靠近B，偏大；当H靠近C时，靠近C，偏大；当H在中间某位置时， 圆心距可取到中间值6，C正确． 对于选项D，如图所示： 两圆公切线共4条，其中为一条，除外最多有3条公切线，D正确． 压轴17（24-25九年级上·浙江宁波·期中）如图1，是的内接三角形，是的内心，连接并延长交于点、交于点，连接、、，已知，． (1)求证：是等腰三角形； (2)求证：； (3)如图2，若为的直径，求线段的长度； (4)若，求线段的长度． 【答案】(1) 证明：∵是的内接三角形，是的内心， ∴，． ∵， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴，即是等腰三角形； (2) 证明：由（1）可知， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； (3) (4) 【分析】（1）由三角形内心的性质得出，．根据圆周角定理的推论得出，从而得出，最后根据三角形外角性质可求出，即可证是等腰三角形； （2）证明，得出，结合（1）即得出； （3）由直径所对圆周角为直角结合勾股定理可得，．由是的内心，易证，即得出，代入数据即得出．再证明，即得出，即，代入数据即可求出的长； （4）过点B作于点G，连接，根据含30度角的直角三角形的性质结合勾股定理可求出．再证明四边形为菱形，即得出，，从而可求出．结合（3）知，，即得出，，从而即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：∵为的直径， ∴， ∴，． ∵是的内心， ∴， ∴， ∴，即， ∴． ∵，， ∴，， ∴， ∴，即， ∴，即， ∴， ∴， 解得：； （4）解：如图，过点B作于点G，连接， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴． ∵， ∴，， ∴． ∵是的内心，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴和都为等边三角形， ∴， ∴四边形为菱形， ∴，， ∴． 由（3）可知，， ∴，即，， ∴，， ∴，， ∴， 解得：（舍去负值，且验算正确）． 【点睛】本题考查三角形外接圆和内切圆的性质，圆周角定理及其推论，三角形相似的判定和性质，勾股定理，菱形的判定和性质等知识，掌握三角形相似的判定定理和性质定理是解题关键． 压轴18（23-24九年级下·浙江宁波·自主招生）如图，在中，，是垂心，是外心，延长交于，于． (1)求证：． (2)证明：，，，四点共圆． (3)若，求． 【答案】(1) 证明：以为圆心，为半径作圆，连接，延长交圆于点，连接，，，，，延长交于点，延长交于点N，如图所示： 是直径， ∴， ，， 为垂心， ，，， ，， 是平行四边形， ， ∵，O为外心， ∴， ∵， ∴为的中位线， ∴， ∴， 即； (2) 证明：连接，，，，延长交于点，延长交于点N，如图所示： ， ∴， 为垂心， ，，， ∴， ∴， ∴， ， 、、、四点共圆； (3) 【分析】（1）以为圆心，为半径作圆，连接，延长交圆于点，连接，，，，，延长交于点，延长交于点N，由垂心，得到垂直关系，得到证明四边形是平行四边形，根据中位线性质得出，从而得到结果； （2）先求出，再结合，证明，得到四点共圆； （3）以为圆心，为半径作圆，连接，延长交圆于点，连接，，，，，延长交于点，延长交于点N，设，用表示出的各边，利用勾股定理，得到一元二次方程，利用求根公式求方程的根，得到结果． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：以为圆心，为半径作圆，连接，延长交圆于点，连接，，，，，延长交于点，延长交于点N，如图所示： 设， ， ， ∵，， ， 在直角中，， ，， 根据解析（1）可知：四边形为平行四边形， ∴，， 在直角中，， 即：， 在直角中，， 即：， ， ， 在中，， 即：， ， 或（舍去）， ． 【点睛】本题考查了圆的综合应用，涉及到直角三角形勾股定理的应用，圆周角、圆心角、平行四边形的性质的应用，四点共圆的判定，解直角三角形，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 压轴19（2025·吉林长春·一模）【问题】如图1，为的一条弦，点C在弦所对的优弧上运动时，根据圆周角性质，我们知道的度数不变．受动脑筋的小芳猜想，如果平面内线段的长度已知，的大小确定，那么点C是不是在某个确定的圆上运动呢？ 【探究】为了解决这个问题，小芳先从一个特殊的例子开始研究．如图2，若，线段上方一点C满足，为了画出点C所在的圆，小芳以为底边构造了一个等腰，再以点O为圆心，为半径画圆，则点C在上．后来小芳通过逆向思维及合情推理，得出一个一般性的结论．即：若线段的长度已知，的大小确定，则点C一定在某一个确定的圆上，即定弦定角必定圆，我们把这样的几何模型称之为“定弦定角”模型． 【应用】 (1)若，平面内一点C满足，则点C所在圆上劣弧的长度为_______． (2)如图3，已知正方形，以为腰向正方形内部作等腰，其中，过点E作于点F，若点P是的内心． ①求的度数； ②在①的基础上，若，连接，直接写出的最小值________． 【答案】(1)； (2)①；②PC的最小值为． 【分析】（1）由“定弦定角”模型，作出图形，如图，过作，求得，进而求得，根据可求得，根据即可求出劣弧的长度； （2）①根据已知条件可得，证明，即可求得； ②如图，作的外接圆，圆，连接，过作交的延长线于点，由题意的由“定弦定角”模型，可知，，作出的外接圆，圆，设圆的半径为，则的最小值即为，根据勾股定理即可求得，，从而求得最小值． 【详解】（1）由“定弦定角”模型，作出图形，如图，过作， ，， ， ， ，， ， ， ∴劣弧的长为 故答案为：； （2）①， ， ， 点是的内心， 平分， ， ， ， ， ； ②如图，作的外接圆，圆，连接，过作交的延长线于点， 由题意的由“定弦定角”模型，可知，， 作出的外接圆，圆心为，设圆的半径为，则的最小值即为， ， 设优弧所对的圆心角优角为， 则， ， ， ， ， ， ，四边形是正方形， ∴， ， ， ∵， ， ， ， ． 的最小值为． 【点睛】本题考查了“定弦定角”模型，圆周角定理，解直角三角形，线段最短距离，勾股定理正方形的性质，三角形全等的性质与判定，理解题意作出图形是解题的关键． 压轴20（24-25九年级上·浙江台州·阶段检测）如图，已知的直径为，于点A，与相交于点D，在上取一点E，使得． (1)求证：是的切线． (2)当，时，求的长度． (3)填空：连接，当的度数为　　时，四边形为正方形． 【答案】(1) 证明：如图，连接， ∵， ∴，即：， 在与中， ， ∴， ∴，即， 又∵是的半径， ∴是的切线； (2) (3) 【分析】（1）连接，利用可证得，于是可得，则结论得证； （2）先利用勾股定理求出，再由直径所对的圆周角是直角、三线合一及垂直于同一直线的两直线平行可得，然后根据平行线分线段成比例定理即可求出的长度； （3）由可得，根据三角形的内角和定理及利用邻补角互补求角度可得，结合可证得四边形是矩形，然后由即可推出矩形为正方形． 【详解】（1）略 （2）解：在中，，，， ∴， ∵是直径， ∴，即：， 由（1）可得：， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即：的长度是； （3）解：当的度数为时，四边形为正方形，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴矩形为正方形． 【点睛】本题是圆的综合题，主要考查了切线的判定，等边对等角，全等三角形的判定与性质，正方形的判定，勾股定理，直径所对的圆周角是直角，三线合一，垂直于同一直线的两直线平行，平行线分线段成比例定理，三角形的内角和定理等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以综合运用是解题的关键． 压轴21（24-25九年级上·浙江宁波·期末）如图1，中，，，，以为直径的交于点D，M是的中点，连接． (1)求证：是的切线； (2)如图2，过点B作的平行线交于点E． ①求的长； ②如图3，点P在线段上，连接并延长交于点Q，连接，当时，求的值． 【答案】(1)证明：以为直径的交于点D，M是的中点，如图1，连接、、， ， ， ， ， ， ， ， ∵是的半径， ∴是的切线； (2)①7；② 【分析】（1）连接、、，利用圆周角定理，直角三角形性质，以及等腰三角形性质得到再利用等量代换得到，即可证明是的切线； （2）①连接，利用勾股定理求出，利用解直角三角形得到，由（1）可知，结合等腰三角形性质和等量代换得到，再结合等腰三角形性质得到，最后根据 求解，即可解题； ②过点D作于H，连接，结合题意得到，利用解直角三角形得到，，进而得到，， 连接，证明，利用相似三角形性质求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：①在中，，，，如图2， 连接， 由勾股定理得：， ∵为的直径 ∴， ∵， ∴， 则， 解得， ， ， 由（1）可知， ∴， ∴， ∴， ， ， ； ②过点D作于H，连结，，， ∵， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， ， 连接， ， ， ， ， ， ． 压轴22（2024·浙江金华·二模）如图，内接于，点在直径的延长线上，且，连结，．    (1)求证：是的切线． (2)若的半径为，． ①当时，求． ②求证：． 【答案】(1) 证明：连接、，    ∵是直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴=，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即：， ∵是半径，. ∴是的切线． (2)①， ②证明：∵， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵在中，，在中，，， ∴，即， ∵， ∴，即：， ∴，即， ∴， ∴， ∴． 【分析】（1）根据容易证明，结合，证明，再由即可证明结论， （2）①利用，可得，，由此计算即可得出；②证明，可得，结合可得，再由可得，而，进而可得，，代入计算即可证明结论． 【详解】（1）略 （2）①∵，， ∴． ∴， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ∴， ∵， ∴． ②略 【点睛】本题考查了圆与三角形综合，涉及了切线性质和判断、圆周角定理，相似三角形的判定与性质、解三角形等知识点，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线、利用解三角形求解线段是解题的关键． 压轴23（2025·浙江温州·模拟预测）如图，在四边形中，，的平分线交于，过三点的圆交于，且恰好是圆的切线，是上一点，连接． (1)求的度数； (2)当是圆的直径， ①求证：四边形是平行四边形； ②若是的中点，，求的长． 【答案】(1) (2)①证明：连接， ∵，是圆的直径， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2） 【分析】（1）连接，证明是直径，从而可证，求出，然后根据等弧所对的圆周角相等即可求解； （2）①连接，求出可证，再证明可得，从而可证四边形是平行四边形； ②延长相较于点H，先求出，，再求出，证明得，代入数据即可求解． 【详解】（1）解：连接， ∵， ∴是直径． ∵是圆的切线， ∴． ∵的平分线交于， ∴， ∴， ∵， ∴ （2）①略 ②解：延长相较于点H， ∵， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴． ∵是的中点， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰直角三角形的判定与性质，切线的性质，平平行四边形的判定，等角对等边，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质，相似三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解答本题的关键． 压轴24（2026·浙江·模拟预测）如图，锐角内接于，平分，交于点D，交于点E，平分，连接并延长交于点G． (1)若，求，的度数． (2)求证：是的切线． (3)若平分，，，求的长． 【答案】(1)； (2)证明：设，则． ∴ ， ∴， ∵平分， ∴， ∴． ∴ ， ∴， ∴是的切线． (3) 【分析】（1）连接，根据角平分线定义，以及圆周角定理推出，，进而即可求出，； （2）设，则，类比（1）推出，，结合角平分线定义进而推出，再根据分析证明即可； （3）利用角平分线定义推出，结合切线性质，以及等角的余角相等推出，以及，设，则 ，证明，利用相似三角形性质求出值，再证明，结合相似三角形性质分析求解，即可解题． 【详解】（1）解：连接， ∵，平分， ∴ ，， ∴． （2）略 （3）解：∵平分，平分， ∴，， ∵ ，， 又 ， ∴， 又∵是的切线，， ∴， ∴ ， ∵，，设，则 ， ∵，， ∴． ∴， ∴， 解得， ∴， ，， ∵ ， ∴， ∴． ∴ ， ∴ ， 即． 压轴25（2026·辽宁抚顺·模拟预测）如图，是的直径，是弦，是延长线上的一点，是的切线，是切点，是上的一个点，连接与交于点，且． (1)求证：； (2)连接，取的中点，连接，若，，求的长． 【答案】(1)证明：如图1，连接，， ∵为的切线， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴， ∴，即， ∴； (2) 【分析】（1）如图1，连接，，由、，根据等边对等角结合对顶角相等，等量代换可得，再说明，进而得到，最后根据圆心角和弧的关系即可解答； （2）如图2，过作于点，设的半径为，则，利用勾股定理列方程可求得的值，证明可得，再求出，，进而求得，最后利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：如图2，过作于点， 设的半径为，则， 在中，由勾股定理得， ∴，解得， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为中点， ∴， ∴，， ∴， 在中，由勾股定理得． 压轴26（2026·山东德州·二模）如图，在中，，是上一点，以为圆心，为半径作圆，圆分别交、于、，与相切于点． (1)设，则________；（用含的代数式表示） (2)求证：； (3)若，，求的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）由切线，从而推出，得到，根据得到，因此，即可解答； （2）连接，由为直径得到，从而根据，，得到，根据相似三角形的性质即可证明； （3）设的半径为，在中，根据得到，解得，从而得到，在中，求得，根据（2）可得，得到．连接，由为直径得到，因此，从而，在中，解直角三角形得到，即可解答． 【详解】（1）解∶与相切于点， ， ， ∴， ． ． ， ， ， ∴， ∴． （2）证明：连接， 为直径， ， ∴， ∵， ， ， ． （3）解：设的半径为，则，， ∵在中，， ，解得， 经检验，是该方程的解， ∴，， ∴， ∴在中，， 由（2）可得， ∴． 连接， 为直径， ， ∴， ． ∴， ， ， ∴在中，． 即． 压轴27（23-24九年级上·浙江金华·阶段检测）如图1，以为直径的与相切于点，点在左侧圆弧上，弦交于点，连接，．点关于的对称点为，直线交于点，交于点． (1)求证：； (2)当点在上，连接交于点，若，求的值； (3)当点在射线上，，以点，，，为顶点的四边形中有一组对边平行时，求的长． 【答案】(1) 证明：如图，设与相交于点M， ∵与相切于点A， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵点A关于的对称点为E， ∴，， ∴， ∴， ∴； (2)的值为； (3)满足条件的的长为或或或． 【分析】（1）设与相交于点M，由与相切于点A，得到，证明，由点A关于的对称点为E，得到，据此即可证明； （2）过F点作于点K，连接，证明得到，再证明得到；最后根据及得到和，最后根据平行线分线段成比例求解． （3）分四种情形：如图1中，当时，如图2中，当时，如图3中，当时，如图4中，当时，分别求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：过F点作于点K，连接，如下图所示： 由同弧所对的圆周角相等可知：， ∵为的直径，且，由垂径定理可知：， ∴， ∵点A关于的对称点为E， ∴， ∴，即， ∴， 由同弧所对的圆周角相等可知：，且， ∴，   ∴， ∵， ∴． ∵，， ∴， ∴，设， ∵点A关于的对称点为E， ，，， 又， ∴，   ∴． ∵， ∴， ∴； （3）解：分类讨论如下： 如图1中，当时，连接，，设，则， ∵， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ∵， ， ， ； 如图2中，当时，连接，设交点． 设， ∵， ， ， ，， ， ， ， ，， 是等腰直角三角形， ， ，， ； 如图3中，当时，连接，， 设， ， ∵， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 如图4中，当时，连接，，． 设， ∵， ， ， ， ， ， 由， ， ， ， ， ， ． 综上所述，满足条件的的长为或或或． 【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，切线的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等，综合运用以上知识是解题的关键． 压轴28阅读：《几何原本》是古希腊数学家欧几里得所著的一部数学著作，它是欧洲数学的基础，总结了平面几何五大公设，被广泛地认为是历史上学习数学几何部分最成功的教科书．下面是其中的切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．即，如图1，，是的切线，直线为的割线，则．下面是切割线定理的证明过程（不完整）： 证明：如图1所示，连接，连接并延长交于点，连接、． 是的切线，是的半径， ． 是的直径， （____________）． ． ∴____________， （____________）， ∴____________， ， ， ． ． 任务： (1)请在上面横线上补充证明过程，在括号内补充推理的依据； (2)如图2，已知是的直径，是的切线，为切点，割线与于点，且满足，，求的长． 【答案】(1) 证明：连接，连接并延长交于点，连接、． 是的切线，是的半径， ． 是的直径， （直径所对的圆周角相等）， ， ． ， ． ， ， （相似三角形的对应边成比例）， ． (2)． 【分析】本题主要考查了切线性质、圆周角定理、相似三角形的判定与性质； （1）根据圆周角定理、等角的余角相等、等量代换、相似三角形的性质等补充证明过程； （2）先根据已知和割线定理求得，，，则，再根据切线性质和勾股定理求得；利用圆周角定理和相似三角形的判定证明，则，进而求得即可求解． 【详解】（1）略 （2）图3中，连接，， ， 设，，，则， 是的切线，是割线， 由割线定理得，则， 解得（负值舍去）， ，，，则， 是的直径，是的切线， ， ； ，， ∴，则， ， ． 压轴29（2024·浙江杭州·二模）如图，在中，，，以C为圆心，为半径作圆．点D为上的动点，、分别切圆C于点P、点Q，连接，分别交和于点E、F，取的中点M． (1)当时，求劣弧的度数； (2)当时，求的长； (3)连接，． ①证明：． ②在点D的运动过程中，是否存在最小值？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3) ①证明：连接，，，如图所示： 根据解析（2）可知：垂直平分， ∵点M为的中点， ∴点M在上， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②存在，最小值为6 【分析】（1）由切线连接半径，从已知角逐步往目标角推理得出角度即可； （2）由切线长连接，过点D作于点G，根据已知条件证明C、D在线段的垂直平分线上，证明平分， 根据角平分线的性质得出，根据勾股定理得出，根据等积法求出即可； （3）①由切线长推出经过中点M，此时垂直平分，故而得证与目标线段相关的两三角形相似，最后利用相似对应边成比例得证； ②证明，得出，证明，得出，证明，求出，说明点M在以为直径的圆上运动，取的中点H，当B、M、H三点共线时，最短，根据勾股定理求出最小值即可． 【详解】（1）解：如图，连接、． ∵、分别切圆C于点P、点Q， ∴， ∵， ∴ ∴劣弧为； （2）解：连接，过点D作于点G，如图所示： ∵、分别切圆C于点P、点Q， ∴， ∵， ∴C、D在线段的垂直平分线上， ∴， ∵， ∴平分， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， 解得：； （3）解：①略 ②由①可得，C、D、M三点共线，且， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 根据①可得：， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴为定值， ∵， ∴点M在以为直径的圆上运动， 取的中点H，当B、M、H三点共线时，最短， ∵， ∴， ∴， 即的最小值为6． 【点睛】本题主要考查了切线的性质，切线长定理，三角形相似的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，垂直平分线的判定，四边形内角和，圆周角定理，解题的关键是作出辅助线熟练掌握相关的判定和性质． 压轴30综合实践：探索三角形内心的性质 定义回顾：三角形三条角平分线的交点称为三角形的内心． 性质应用： （1）在中，，I是的内心，则 ． （2）在中，，则内切圆的半径为____． 性质拓展： （3）刘徽是魏晋时期我国伟大的数学家，是中国古典数学理论的奠基者之一．他在注解《九章算术》时，十分重视一题多解，其中最典型的就是给出直角三角形内切圆直径的多种表达形式．如图1，已知，在中，，的长分别表示为a，b，c，内切圆的直径为d． ①在下列表达式中（A）；（B），选择一个正确的表达式，并证明这个表达式的正确性． 我选________（填“A”或“B”） ②如图2，若，过的内心O，作一直线分别交，于M，N，当的面积最小时，求的长． 【答案】（1）；（2）；（3）①B；② 【分析】（）由三角形内角和定理得，再根据内心的定义得，进而即可求解； （）作的内切圆，分别与、、相切于、、，连结，，，，，，等腰三角形的面积可通过作高求得，这样得到关于半径的方程，解方程即可； （3）①同理（2）得，则有，然后可得，进而根据完全平方公式可进行求解；②过点M作于点G，连接，过点O分别作，则有，然后可得设，，进而可得，最后根据二次函数的性质及三角函数可进行求解． 【详解】解：（）如图， ∵在中，， ∴． ∵点是的内心， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：作的内切圆，分别与、、相切于、、，连结，，，，，， 则，，， 是内心， ， ， ． 、、三点共线， ， 设内切圆半径为， ，， ， ，则， 又， ，则内切圆的半径为． 故答案为：． （3）①如图，作的内切圆，分别与、、相切于、、，连结，，，，，， 同理（2）得， ， ∵，， ∴，即， ∴， ， ， ∴ ， ∴， ∴， 故B正确， 故答案为：B； ②过点M作于点G，连接，过点O分别作，如图所示： ∵点O为内心， ∴是的角平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴，， 由①知， ∴， ∴的内切圆半径为，即， 设， ∴， ∴， ∴， 整理得：， 当点N与点B重合时，过点M作于点H，如图， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 令， ∵， ∴， ∵，且对称轴为， ∴当时，有最大值， ∴当时，的面积有最小值，最小值为； ∴，， ∴， ∴ 【点睛】本题考查了三角形的内心，切线长定理，勾股定理及三角函数，掌握以上知识点是解题的关键． 压轴31综合实践：探索三角形内心的性质 定义回顾：三角形三条角平分线的交点称为三角形的内心． 性质应用： （1）在中，，I是的内心，则 °； （2）在中，，，则内切圆的半径为 ； 性质拓展： （3）刘徽是魏晋时期我国伟大的数学家，是中国古典数学理论的奠基者之一．他在注解《九章算术》时，十分重视一题多解，其中最典型的是勾股容方和勾股容圆公式的推导，他给出了直角三角形内切圆直径d的多种表达形式．如等．（其中a、b为直角三角形的两条直角边长，c为斜边长） 已知，，，，的长分别表示为a，b，c． ①如图1，若半径为r，且始终在的内部（含三角形的边界）． 试证明：； ②如图2，若，，过的内心O，作一直线分别交，于M，N，当四边形的面积最大时，求的长． 【答案】（1）140；（2）； （3）①如图3，设是的内切圆，半径为，切点分别为D、E、F，连接、、， 则，，，， ∴四边形是正方形， ∴， ∵、、均与相切， ∴，，，，，， ∴， ∵， ∴ ， ∵半径为r，且始终在的内部（含三角形的边界）， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； ② 【分析】（1）由三角形内角和定理得，再根据内心的定义得：、分别平分、，则，，再利用三角形内角和定理即可求得答案； （2）过点A作于D，设内切圆的圆心为I，连接，，，利用面积法建立关于半径的方程，解方程即可； （3）①设是的内切圆，半径为，切点分别为D、E、F，连接、、，先得出，再利用代数式恒等变形及不等式性质即可证得结论； ②过点M作于点G，连接，过点O分别作，，则，设，，利用三角形面积得出，最后根据二次函数的性质及三角函数可进行求解． 【详解】（1）解：如图1，在中，， 则， ∵I是的内心， ∴、分别平分、， ∴，， ∴， 故答案为：140； （2）如图2，过点A作于D，设内切圆的圆心为I，连接，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 设内切圆的半径为r， 则， ∴， 解得：， 故答案为：； （3）① 略 ②如图4，过点M作于点G，连接，过点O分别作，， ∵点O为内心， ∴是的角平分线，，， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， 由①知， ∴，即， 设，， ∴， ∴， ∴， 整理得：， 当点N与点B重合时，过点M作于点H，如图5， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 令， ∵， ∴， ∵，且对称轴为， ∴当时，t有最大值， ∴当x时，的面积有最小值，最小值为； ∴，，， ∴， 在中，由勾股定理得：． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理的应用，用勾股定理解三角形，应用切线长定理求解，三角形内心有关应用，相似三角形的判定与性质综合，解直角三角形的相关计算等知识点，解题关键是熟练掌握勾股定理以及全等三角形的判定与性质． 压轴32（26-27九年级上·浙江杭州·自主招生）如图，已知的外心为，内心为，，点为中点，与交于，与交于，且，，是圆的切线，点是中点，连接，．证明：． 【答案】证明：如图，在上取点，使， ∵点为的内心，， ∴平分，平分，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图，连接、、、、、，过点作于点， ∴， ∴， ∵点为的内心，点为的外心， ∴平分，， ∴， ∵，是圆的切线， ∴，， ∴垂直平分， ∴，且与的交点为的中点， 又∵点为中点， ∴点在上，即交于点 ∴， ∵在中，对着圆心角和圆周角， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， 又∵点是中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵在中，对着圆心角和圆周角，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【分析】如图，在上取点，使，证明得，证明得，推出，继而得到，如图，连接、、、、、，过点作于点，推出，，得，证明得，再证明得，，继而得到，根据得，根据圆周角定理得，推出，再证明即可得证． 【详解】略． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $