重难点专题 切线的判定与性质（专项训练）数学新教材浙教版九年级下册
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内容正文：
重难点专题 切线的判定与性质
题型1 判定·有公共点：连半径证垂直
固定解题模型：要证某条直线是切线，先看它与圆有没有已知公共点；有，就连接圆心与该点，证这条半径垂直于直线.
解题步骤：① 找出直线与圆的公共点 ② 连接圆心与公共点得半径 ③ 用等腰、角平分或全等证出垂直.
核心数据：切线的判定定理——经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
1．（2026·江苏南通·中考真题）如图，是的直径，为上一点，过点作的切线，交的延长线于点，，垂足为．
(1)求证：平分．
(2)若，，求的长．
2．（26-27九年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，平分，与相切于点，连接，延长交于点．
(1)求证：是的切线；
(2)若的半径为4，，求的长．
3．（26-27九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，已知是的切线，切点为B，以点A为圆心，的长为半径画弧，交于点C，连接．求证：是的切线．
4．（25-26九年级上·山东临沂·期末）如图，在的边上取一点，以为圆心，为半径画，与边相切于点，，连接．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的半径．
5．（26-27九年级上·辽宁盘锦·阶段检测）如图，四边形内接于，为的直径，点为的中点，对角线，交于点，在DB上取一点F，使得．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长．
6．（26-27九年级下·全国·单元复习）如图，四边形内接于，，，的延长线交于点，点在上，且．求证：是的切线．
7．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，内接于，为的直径，延长至点F，连接，，求证：是的切线．
8．（2026九年级上·全国·专题练习）如图，点O在菱形的对角线上，与相切于点E．
(1)求证：是的切线；
(2)若，求的半径．
题型2 判定·无公共点：作垂线证半径
固定解题模型：直线与圆没有已知公共点时，过圆心作直线的垂线，只要垂线段长等于半径，直线就是切线.
解题步骤：① 过圆心向直线作垂线，垂足记作 H ② 求出 OH 的长 ③ 证 OH 等于半径.
核心数据：圆心到直线的距离 d 与半径 r 相等时，直线与圆相切.
1．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，是的弦，是的切线，．求证：是的切线．
2．（25-26九年级上·浙江宁波·期末）如图1，是的直径，，弦
(1)求证：是的切线；
(2)如图2，延长交于点，若，求长．
3．（26-27九年级上·江苏泰州·期中）如图，在中，，以为直径的交于点D，过点D作于点E．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长；
(3)在（2）的条件下，求圆心O到的距离．
4．（26-27九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，为直径，点C为上一点，平分，，垂足为H，交于点D．
(1)求证：直线是的切线．
(2)若，，求的直径．
5．（26-27九年级上·江苏盐城·阶段检测）如图，点在以为直径的上，平分，交的延长线于点，．
(1)求证：是的切线；
(2)若半径为，，求的长．
6．（23-24九年级上·河北邢台·期末）如图1，是等腰三角形，是底边的中点，腰与相切于点．
(1)求证：是的切线；
(2)如图2，与边交于点、点，连接、，作的平分线交于点，连接、．
①求证的形状，并说明理由；
②若，，求弦与劣弧围成的阴影的面积．
7．（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，在中，，O为的中点，与半圆O相切于点D．
(1)求证：是半圆O的切线；
(2)若，平分，点O与点P之间的距离是2，求半圆O的半径．
8．（2026九年级上·全国·专题练习）如图，在中，，O为上一点，以点O为圆心，长为半径作圆，过点C作的垂线，交的延长线于点D．若．求证：是的切线．
题型3 性质·见切线连半径，求角与线段
固定解题模型：题目给出切线，第一件事是连接圆心与切点，得到直角，再用直角三角形求角或求长.
解题步骤：① 连圆心与切点得 90 度 ② 找同弧圆周角或等腰三角形 ③ 在直角三角形里算角、算边.
核心数据：圆的切线垂直于过切点的半径；切线长相等时连圆心可平分两切线的夹角.
1．（26-27九年级上·重庆江北·阶段检测）如图，与相切于点，若，，则的半径长为（ ）
A．3 B． C．5 D．4
2．（26-27九年级上·江苏盐城·阶段检测）如图，两个同心圆的半径分别为和，弦与小圆相切于点，则＝________cm．
3．（26-27九年级上·江苏盐城·阶段检测）下列个说法中：①直径是弦；②平分弦的直径垂直于弦；③经过半径外端的直线是圆的切线；④相等的圆心角所对的弧相等．正确的有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
4．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，，分别与相切于A，B两点，，则（ ）
A． B． C． D．
5．（26-27九年级上·江苏南通·阶段检测）如图，与相切于点，连接并延长交于点，连接，若，则=____°．
6．（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，在中，，O为上一点，以点O为圆心作与直角边，分别相切于D，E两点，连接，，若的半径为2，则四边形的面积为_____．
7．（2026·浙江温州·模拟预测）如图，由圆盘和挂绳，组成挂饰，，分别与相切于点，．若，则的度数为_____．
题型4 性质·与圆周角、直径综合
固定解题模型：切线的直角与直径的直角配合用，把切线角转成圆周角，再转成弧或弦的关系.
解题步骤：① 连半径得切线的 90 度 ② 用直径所对圆周角也是 90 度 ③ 转化成同弧圆周角或等腰求值.
核心数据：弦切角等于它所夹弧对的圆周角；直径所对的圆周角是直角.
1．（26-27九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，内接于，平分交于点D，过点D作的切线，交的延长线于点E，连接．若要求的度数，只需要知道下列哪个角的度数（ ）
A． B． C． D．
2．（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，，是的切线，，为切点，，是圆上异于点，且在上的动点，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
3．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，的直径与弦相交，．过点D作的切线，与的延长线交于点P，且．求的度数．
4．（26-27九年级上·天津·期中）已知内接于，，，点是上一点．
(1)如图①，若为的直径，连接，求和的大小；
(2)如图②，若，过点作的切线，与的延长线交于点，求的大小．
5．（26-27九年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，是地球示意图，其中表示赤道，分别表示北回归线和南回归线，，点P表示无锡经开区的位置，纬度大约是北纬（）．冬至日正午时，太阳光线所在直线经过地心O，此时点P处的太阳高度角（即平行于的光线与的切线所成的锐角）的大小为（ ）
A． B． C． D．
6．（26-27九年级上·福建福州·阶段检测）为了测量一个光盘的直径，小明把直尺、光盘和三角尺按图所示放置于桌面上，发现光盘和直尺及三角尺斜边都相切，切点分别为B，C．设光盘圆心为O，量出后，小明通过计算求出了这张光盘的直径，请你写出小明的解题过程．
7．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在中，为直径，为弦，过点B的切线与的延长线相交于点C，且．求的度数．
题型5 判定与性质综合
固定解题模型：先判定再算长。判定解决是否相切，性质解决长度与角度，两问常共用一条辅助线.
解题步骤：① 连半径或作垂线完成判定 ② 用切线垂直与相似、勾股列式 ③ 设未知数解方程求长度.
核心数据：半径、切线长、圆心距构成直角三角形，满足勾股定理；切线长相等可设同一个字母.
1．（26-27九年级上·全国·课后作业）已知：内接于，过点A作直线．
(1)如图1，为的直径，要使为的切线，还需添加的一个条件是（只需写出两种情况）：①______；②______；
(2)如图2，是非直径的弦，，求证：是的切线；
(3)如图3，是非直径的弦，还是的切线吗？请说明理由．
2．（2026·江西鹰潭·三模）如图，在 中， ，平分 ，以为直径的交于点F ，延长交于点E，连接，，．
(1)求证∶与相切；
(2)若D为的中点，，求的长．
3．如图，在中，，平分交于点，点在边上，以为直径的恰好过点．
(1)求证：与相切．
(2)当时，求的长．
4．如图，是半圆的直径，点在的延长线上，切半圆于点，点在上，连接，，，．已知．
(1)求证：．
(2)若，，求半圆的直径．
5．如图，已知的直径为，于点A，与相交于点D，在上取一点E，使得．
(1)求证：是的切线．
(2)当，时，求的长度．
(3)填空：连接，当的度数为 时，四边形为正方形．
6．（26-27九年级上·辽宁盘锦·期中）如图，是的直径，点，是上的两点，且，过点C作的切线与的延长线交于点E，连接，．若，，求扇形（即阴影部分）的面积（结果保留）．
7．（2026·山东淄博·中考真题）某中学开展综合实践活动，同学们运用测量工具和所学知识进行工件测量．
【问题提出】
如图，某工件的截面是一个中间有圆孔的不规则图形．根据工件制作标准得知，是圆孔及轮廓圆弧所在圆的圆心，是圆弧与线段相切的切点，是圆弧与线段相切的切点，，，三点在同一条直线上．现需设计一个测量方案，以求得工件的截面面积．
【方案设计】
测量工具：刻度尺、量角器、游标卡尺．
操作步骤：同学们用刻度尺测量的长度，用量角器测量和的角度，用游标卡尺测量圆孔直径的长度．
【问题解决】
已知，，，圆孔直径为．（参考数据：，）
(1)求弧所在圆的半径；
(2)求阴影部分的面积．（结果精确到）
(3)如果不测量的长，其它测量数据不变，能否通过用刻度尺测量另外一条线段的长，求得工件的截面面积？如果能，写出该线段；如果不能，说明理由．
8．（26-27九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，点，分别在射线，上，，，，若与，，都相切，则的半径等于________．
9．（26-27九年级上·江苏泰州·阶段检测），分别与相切于，两点，点在上，不与点，重合．若，则的度数为（ ）
A． B．或 C． D．或
10．（26-27九年级上·江苏泰州·阶段检测）已知与相切于点A，，的半径为3．点B是上一点，且，则的长为________．
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重难点专题 切线的判定与性质
题型1 判定·有公共点：连半径证垂直
固定解题模型：要证某条直线是切线，先看它与圆有没有已知公共点；有，就连接圆心与该点，证这条半径垂直于直线.
解题步骤：① 找出直线与圆的公共点 ② 连接圆心与公共点得半径 ③ 用等腰、角平分或全等证出垂直.
核心数据：切线的判定定理——经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
1．（2026·江苏南通·中考真题）如图，是的直径，为上一点，过点作的切线，交的延长线于点，，垂足为．
(1)求证：平分．
(2)若，，求的长．
【答案】(1)证明：连接，
∵是的切线，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴平分．
(2)．
【分析】（1）连接，根据切线性质可知，再由可得，利用等角的余角相等即可得出结论．
（2）利用（1）的结论结合，求出，进而求出所对圆心角度数，由此得出结论．
【详解】（1）略
（2）∵，，
∴
又∵，，
∴，
∴，
∴的长．
2．（26-27九年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，平分，与相切于点，连接，延长交于点．
(1)求证：是的切线；
(2)若的半径为4，，求的长．
【答案】(1)过点作于，
切于D，
平分，，
，
是的切线；
(2)
【分析】（1）过点作于，切线的性质结合角平分线的性质，得到，即可得证；
（2）中，求出的长，切线长定理得到，设，在中，利用勾股定理进行求解即可．
【详解】（1）略
（2）解：的半径为4，，中，，
，是的切线，
∴，设，
在中，，
解得，
∴．
3．（26-27九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，已知是的切线，切点为B，以点A为圆心，的长为半径画弧，交于点C，连接．求证：是的切线．
【答案】证明：连接，，，
∵是的切线，切点为B，
∴，即，
∵以点A为圆心，的长为半径画弧，交于点C，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
即，且为半径，
∴是的切线．
【分析】连接，，，由切线的定义得出，即，证明，由全等三角形的性质得出，进而可得出是的切线．
【详解】略．
4．（25-26九年级上·山东临沂·期末）如图，在的边上取一点，以为圆心，为半径画，与边相切于点，，连接．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的半径．
【答案】(1)
证明：连接，
又是的切线，点是切点，
，即，
在和中，，
，
，
是半径，
是的切线；
(2)
【分析】本题主要考查了切线的性质与判定，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键．
（1）连接，由切线的性质可得，证明得到，由此即可证明是的切线；
（2）设的半径为，解求出，，则，再解求出，由勾股定理得，，解得，则的半径为．
【详解】（1）略
（2）解：设的半径为，
在中，，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得（负值舍去），
∴的半径为．
5．（26-27九年级上·辽宁盘锦·阶段检测）如图，四边形内接于，为的直径，点为的中点，对角线，交于点，在DB上取一点F，使得．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)证明：为的直径，
，，
，
点为的中点，
，
，
，
，，
，
，
，
，
是的切线；
(2)
【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角得，由等弧所对的圆周角相等得，再由等腰三角形三线合一知，从而说明，结论得证；
（2）由勾股定理可求的长，根据面积法即可求．
【详解】（1）略；
（2）解：，，，
，
，
，
，
6．（26-27九年级下·全国·单元复习）如图，四边形内接于，，，的延长线交于点，点在上，且．求证：是的切线．
【答案】证明：如图，连接，
，
是的直径，
，
．
，
．
∵，
∴，
，
，即．
为的半径，
是的切线．
【分析】连接，由，可得是的直径，可得，再结合三角形外角的性质及同弧所对的圆周角相等可得，即可证明结论．
【详解】略
7．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，内接于，为的直径，延长至点F，连接，，求证：是的切线．
【答案】证明：内接于，为的直径，
，
．
，
，
，即．
∵为的直径，
∴是的切线．
【分析】根据直径所对的圆周角为直角得出，根据直角三角形两锐角互余得出，根据，得出，即，根据切线的判定即可证明结论．
【详解】略
8．（2026九年级上·全国·专题练习）如图，点O在菱形的对角线上，与相切于点E．
(1)求证：是的切线；
(2)若，求的半径．
【答案】(1)证明：如图，连接，过点O作于点F．
∵四边形是菱形，
∴平分．
∵与相切于点E，
．
又，
，
∴是的半径，
∴是的切线．
(2)
【分析】（1）连接，过点O作于点F，根据菱形的性质，切线的性质以及角平分线的性质，推出，即可得证；
（2）连接交于点G，证明，得到，在中，利用勾股定理求出的长即可．
【详解】（1）略
（2）解：连接交于点G，如图，则，且G是的中点．
，
．
由（1）知，
．
又，
，
．
在中，，
由勾股定理，得，
即的半径为．
题型2 判定·无公共点：作垂线证半径
固定解题模型：直线与圆没有已知公共点时，过圆心作直线的垂线，只要垂线段长等于半径，直线就是切线.
解题步骤：① 过圆心向直线作垂线，垂足记作 H ② 求出 OH 的长 ③ 证 OH 等于半径.
核心数据：圆心到直线的距离 d 与半径 r 相等时，直线与圆相切.
1．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，是的弦，是的切线，．求证：是的切线．
【答案】证明：连接，如图：
∵是的切线，
∴，
在中，，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴是的切线．
【分析】连接，根据切线的性质可得，再通过证明，可得，即可证明．
【详解】略
2．（25-26九年级上·浙江宁波·期末）如图1，是的直径，，弦
(1)求证：是的切线；
(2)如图2，延长交于点，若，求长．
【答案】(1)
证明：连结．
弦
，即
是的切线；
(2)
【分析】此题考查了切线的判定，平行线分线段成比例定理，勾股定理等知识，熟练掌握切线的判定，平行线分线段成比例定理是关键．
（1）连结．证明，得到，根据切线的判定即可证明结论；
（2）证明，设 ，进一步由勾股定理即可求出答案．
【详解】（1）略
（2）解：
由（1）得：
设
在Rt中，
即：
解得：（舍负）
3．（26-27九年级上·江苏泰州·期中）如图，在中，，以为直径的交于点D，过点D作于点E．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长；
(3)在（2）的条件下，求圆心O到的距离．
【答案】(1)证明：连接、，
∵是的直径，
∴，即．
又，
∴，即D是的中点．
∵O是的中点，
∴是的中位线，
∴，
∵，
∴．
又是的半径，
∴是的切线；
(2)
(3)4
【分析】（1）连接、，根据圆周角定理得出，结合，得出，则是的中位线，即可得，结合，得出，即可证明是的切线；
（2）在中，根据勾股定理求出，再根据等面积法求解即可；
（3）过点O作于点H，根据三线合一得出，在中，是的中位线，即可解答；
【详解】（1）略
（2）解：∵，，
∴在中，．
∵，
∴，解得．
（3）解：过点O作于点H，
∵，
∴，
∵O是的中点，
∴在中，是的中位线，
∴．
∴圆心O到的距离为4．
4．（26-27九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，为直径，点C为上一点，平分，，垂足为H，交于点D．
(1)求证：直线是的切线．
(2)若，，求的直径．
【答案】(1)证明：如图，
连接，则：，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴ ，
∴，
∴，
∵点C为上一点，
∴直线是的切线．
(2)的直径为
【分析】（1）连接，则，即可得，根据角平分线性质得，等量代换即可得，再根据垂线定义得，进而得，等量代换即可得，进而可证明直线是的切线．
（2）连接，，根据勾股定理结合已知求出，再根据圆内接四边形性质、平角定义即可得，再根据等角的余角相等即可得，根据角平分线性质得，进而得，即可证明，，根据相似性质列式计算得，进而可计算出的直径．
【详解】（1）略
（2）解：如图，
连接，，则：，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵为直径，
∴，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
在中，，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的直径为．
5．（26-27九年级上·江苏盐城·阶段检测）如图，点在以为直径的上，平分，交的延长线于点，．
(1)求证：是的切线；
(2)若半径为，，求的长．
【答案】(1)证明：为的直径，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
为的半径，
是的切线；
(2)
【分析】（1）根据直径所对的圆周角是得到，再根据角平分线的定义证明，再根据等量代换得到，进而根据三角形内角和定理得到，即可得证结论；
（2）根据勾股定理得到，根据三角形等面积法得到，继而根据圆周角定理得到．
【详解】（1）略；
（2）解：∵的半径为，
，
，，
根据勾股定理可得：，
，
，
，
，
，
，
．
6．（23-24九年级上·河北邢台·期末）如图1，是等腰三角形，是底边的中点，腰与相切于点．
(1)求证：是的切线；
(2)如图2，与边交于点、点，连接、，作的平分线交于点，连接、．
①求证的形状，并说明理由；
②若，，求弦与劣弧围成的阴影的面积．
【答案】(1)过点作于点，连接、．
∵是等腰三角形，是底边中点，
∴，且平分．
∵与相切于，
∴．
∵，
∴．
∵是的半径，
∴也等于的半径，
∴是的切线．
(2)①是等腰直角三角形，证明如下：
∵是的直径
∴．
∵平分，
∴．
∴，
∴．
∴是等腰直角三角形．
②．
【分析】（1）过点作的垂线，记垂足为点H，因为与相切，所以到的距离等于半径，结合等腰三角形三线合一、角平分线的性质，证明到的距离等于半径即可．
（2）①因为是的直径，所以先由直径所对圆周角是直角确定为直角，再结合角平分线的条件得到弧和弧相等，所以对应弦，据此判断三角形形状．②先在中用勾股定理求长度，得到的半径，再结合角平分线定义求出度数，根据圆周角定理求出的度数，最后用扇形的面积减去的面积得到阴影部分面积．
【详解】（1）略．
（2）①略．
②连接，
∵在中，，，，
∴，
∴的半径．
∵平分，
∴，
∴．
∴扇形的面积：．
∵的面积：：
∴．
7．（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，在中，，O为的中点，与半圆O相切于点D．
(1)求证：是半圆O的切线；
(2)若，平分，点O与点P之间的距离是2，求半圆O的半径．
【答案】(1)证明：如答图，作于点E，连接，．
，O为的中点，
．
与半圆O相切于点D，
．
，
，
即为半径，
是半圆O的切线．
(2)半圆O的半径是3
【分析】（1）先根据等腰三角形的性质得，再根据切线的性质得，然后根据角平分线的性质定理得出，则此题可证；
（2）先说明是等边三角形，再求出，并根据直角三角形的性质求出，然后根据勾股定理求出，最后根据切线的性质，并仿照上述过程可解答．
【详解】（1）略
（2）解：，，
是等边三角形，
．
为的中点，
，平分．
平分，
．
在中，
，
，
．
与半圆O相切于点D，
．
，
，
，
．
故半圆O的半径是3．
8．（2026九年级上·全国·专题练习）如图，在中，，O为上一点，以点O为圆心，长为半径作圆，过点C作的垂线，交的延长线于点D．若．求证：是的切线．
【答案】证明：如图，过点O作于点E．
，
．
，
．
，
，
，
∴为的平分线．
，
，
∴为的半径，
∴是的切线．
【分析】过点O作于点E，证明为的平分线，得到，即可得证．
【详解】略
题型3 性质·见切线连半径，求角与线段
固定解题模型：题目给出切线，第一件事是连接圆心与切点，得到直角，再用直角三角形求角或求长.
解题步骤：① 连圆心与切点得 90 度 ② 找同弧圆周角或等腰三角形 ③ 在直角三角形里算角、算边.
核心数据：圆的切线垂直于过切点的半径；切线长相等时连圆心可平分两切线的夹角.
1．（26-27九年级上·重庆江北·阶段检测）如图，与相切于点，若，，则的半径长为（ ）
A．3 B． C．5 D．4
【答案】B
【分析】由切线的性质可得，在中，由勾股定理解直角三角形即可得解．
【详解】解：∵与相切于点，
∴，
∴在中，．
2．（26-27九年级上·江苏盐城·阶段检测）如图，两个同心圆的半径分别为和，弦与小圆相切于点，则＝________cm．
【答案】
【分析】此题考查了切线的性质以及勾股定理．解题的关键是掌握辅助线的作法．
首先连接由切线的性质，可得，由勾股定理可得的长．
【详解】
解：连接
∵弦与小圆相切于点，
∴，
∴在中，,
∴．
3．（26-27九年级上·江苏盐城·阶段检测）下列个说法中：①直径是弦；②平分弦的直径垂直于弦；③经过半径外端的直线是圆的切线；④相等的圆心角所对的弧相等．正确的有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】A
【分析】根据圆的相关定理逐一判断即可求解．
【详解】解：①直径是过圆心的弦，该选项说法正确；
②平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，该选项说法错误；
③经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，该选项说法错误；
④在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，该选项说法错误；
综上，正确的说法有个．
4．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，，分别与相切于A，B两点，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】连接、，由切线的性质可得，求出，再由圆周角定理即可得出结果．
【详解】解：如图，连接、，
∵，分别与相切于A，B两点，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴．
5．（26-27九年级上·江苏南通·阶段检测）如图，与相切于点，连接并延长交于点，连接，若，则=____°．
【答案】
【分析】如详解图，连接，利用圆周角定理、切线的性质、直角三角形的两锐角互余解答即可．
【详解】
解：连接，
与相切于点，
，
圆心角、圆周角同对，
，
．
6．（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，在中，，O为上一点，以点O为圆心作与直角边，分别相切于D，E两点，连接，，若的半径为2，则四边形的面积为_____．
【答案】4
【分析】由切线的性质得到，则可证明四边形是矩形，根据矩形的面积公式可得答案．
【详解】解：∵与直角边，分别相切于D，E两点，
∴，
又∵，
∴四边形是矩形，
∵，
∴．
7．（2026·浙江温州·模拟预测）如图，由圆盘和挂绳，组成挂饰，，分别与相切于点，．若，则的度数为_____．
【答案】
【分析】连接、，根据切线的性质可得，结合，即可求解．
【详解】解：如图，连接、，
，分别切于点，，
，
，
，即的度数为．
题型4 性质·与圆周角、直径综合
固定解题模型：切线的直角与直径的直角配合用，把切线角转成圆周角，再转成弧或弦的关系.
解题步骤：① 连半径得切线的 90 度 ② 用直径所对圆周角也是 90 度 ③ 转化成同弧圆周角或等腰求值.
核心数据：弦切角等于它所夹弧对的圆周角；直径所对的圆周角是直角.
1．（26-27九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，内接于，平分交于点D，过点D作的切线，交的延长线于点E，连接．若要求的度数，只需要知道下列哪个角的度数（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】连接、，由切线的性质可得，表示出，由等边对等角并结合三角形内角和定理可得，利用圆周角定理得出，最后再由角平分线的定义即可得出结果．
【详解】解：如图，连接、，
∵是的切线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴若要求的度数，只需要知道的度数．
2．（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，，是的切线，，为切点，，是圆上异于点，且在上的动点，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】连接，根据切线的性质和四边形的内角和为360度，求出的度数，再根据圆周角定理即可得出结果.
【详解】解：连接，如图，
∵，是的切线，，为切点，
∴，
∵，
∴，
∵是圆上异于点，且在上的动点，
∴.
3．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，的直径与弦相交，．过点D作的切线，与的延长线交于点P，且．求的度数．
【答案】
【分析】连接，由平行线的性质及切线的性质可求得的度数，从而求得的度数，再由圆周角定理即可求解．
【详解】解：如图，连接，
∵，
∴，
∵是的切线，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
4．（26-27九年级上·天津·期中）已知内接于，，，点是上一点．
(1)如图①，若为的直径，连接，求和的大小；
(2)如图②，若，过点作的切线，与的延长线交于点，求的大小．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）先利用等腰三角形性质和圆周角定理求出、，再结合直径所对圆周角为直角、同弧所对圆周角相等求解和．
（2）连接，先求出相关圆周角和圆心角的度数，再利用切线性质和直角三角形性质求解．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∵为的直径，
∴，
∵，
∴，
∴ ；
（2）解：连接，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵是的切线，
∴，即，
∴．
5．（26-27九年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，是地球示意图，其中表示赤道，分别表示北回归线和南回归线，，点P表示无锡经开区的位置，纬度大约是北纬（）．冬至日正午时，太阳光线所在直线经过地心O，此时点P处的太阳高度角（即平行于的光线与的切线所成的锐角）的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据切线的性质和直角三角形两锐角互余求出的度数，再由平行线的性质可得答案．
【详解】解：由切线的性质可得，
∵，
∴，
∵，
∴．
6．（26-27九年级上·福建福州·阶段检测）为了测量一个光盘的直径，小明把直尺、光盘和三角尺按图所示放置于桌面上，发现光盘和直尺及三角尺斜边都相切，切点分别为B，C．设光盘圆心为O，量出后，小明通过计算求出了这张光盘的直径，请你写出小明的解题过程．
【答案】
【分析】根据切线的性质，可得，，再利用全等三角形的性质求，最后根据勾股定理，计算即可．
【详解】解：如图，连接，，，
光盘和直尺及三角尺斜边都相切，切点分别为B，C．
，，
在和中，
，
，
，
，，
，
，
在中，，则，
，
直径为，
则这张光盘的直径为．
7．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在中，为直径，为弦，过点B的切线与的延长线相交于点C，且．求的度数．
【答案】
【分析】根据直径所对圆周角是直角得出，结合，得出是线段的垂直平分线，则，由是的切线得到，得出是等腰直角三角形，，再根据直角三角形的性质即可求解；
【详解】解：∵是的直径，点在圆上，
∴，即，
∵，
∴是线段的垂直平分线，
∴，
又∵是过点的切线，是直径，
∴，即，
∴是等腰直角三角形，，
在中，，，
∴．
题型5 判定与性质综合
固定解题模型：先判定再算长。判定解决是否相切，性质解决长度与角度，两问常共用一条辅助线.
解题步骤：① 连半径或作垂线完成判定 ② 用切线垂直与相似、勾股列式 ③ 设未知数解方程求长度.
核心数据：半径、切线长、圆心距构成直角三角形，满足勾股定理；切线长相等可设同一个字母.
1．（26-27九年级上·全国·课后作业）已知：内接于，过点A作直线．
(1)如图1，为的直径，要使为的切线，还需添加的一个条件是（只需写出两种情况）：①______；②______；
(2)如图2，是非直径的弦，，求证：是的切线；
(3)如图3，是非直径的弦，还是的切线吗？请说明理由．
【答案】(1)；（答案不唯一）
(2)证明：作直径，连接，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴是的切线；
(3)还是的切线．理由如下：
作直径，连接，
为的直径，
，
，
，
，
，
，
是的切线．
【分析】（1）根据切线的判断由可判断为的切线；当可推出，即可得出答案；
（2）作直径，连接，则，根据圆周角定理得，而，所以，则，根据切线的判定定理得到是的切线；
（3）作直径，连接，同理，根据切线的判定定理得到是的切线．
【详解】（1）解：当可判断为的切线；
当，
∵为直径，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴为的切线；
（2）略
（3）略
2．（2026·江西鹰潭·三模）如图，在 中， ，平分 ，以为直径的交于点F ，延长交于点E，连接，，．
(1)求证∶与相切；
(2)若D为的中点，，求的长．
【答案】(1)证明：如图，连接．
∵平分，
∴．
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
又∵，，
∴，
∴．
又∵是的半径，
∴是的切线．
(2)
【分析】（1）根据角平分线的定义以及平行线的性质得，再结合等边对等角，得，因为对顶角相等，故，即．又因为是的半径，即可证明是的切线．
（2）先得出，，再证明．结合，得出四边形是平行四边形，因为，所以，证明四边形是菱形，即，则，得，即可作答．
【详解】（1）略
（2）解：如（1）图，设交于点M．
∵D是的中点，且是的直径，
∴，．
∵，
∴，
∴．
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∴四边形是菱形，
∴，
即则，
∴，
∵，
则，
∴，
∴．
3．如图，在中，，平分交于点，点在边上，以为直径的恰好过点．
(1)求证：与相切．
(2)当时，求的长．
【答案】(1)
解：如图，连接，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
与相切．
(2)
【分析】（1）连接，证明即可；
（2）利用解直角三角形求解即可；
【详解】（1）略
（2）解：，
，
，
，，．
，
，
．
4．如图，是半圆的直径，点在的延长线上，切半圆于点，点在上，连接，，，．已知．
(1)求证：．
(2)若，，求半圆的直径．
【答案】(1)
连接，
切半圆于点，
，
是直径，
，
，
，
，
，
，，
，
；
(2)
5
【分析】本题考查切线的性质、相似三角形的判定与性质、解直角三角形、圆周角定理，熟练掌握相关性质定理是解题的关键．
（1）连接，根据切线的性质得到，根据圆周角定理得到，进而得到，从而得出结论；
（2）易证得，进而得到，从而求出半圆的直径．
【详解】（1）略
（2）解：，
，
，
在中，，
∴，
又，
∴，
，
，，
直径．
5．如图，已知的直径为，于点A，与相交于点D，在上取一点E，使得．
(1)求证：是的切线．
(2)当，时，求的长度．
(3)填空：连接，当的度数为 时，四边形为正方形．
【答案】(1)
证明：如图，连接，
∵，
∴，即：，
在与中，
，
∴，
∴，即，
又∵是的半径，
∴是的切线；
(2)
(3)
【分析】（1）连接，利用可证得，于是可得，则结论得证；
（2）先利用勾股定理求出，再由直径所对的圆周角是直角、三线合一及垂直于同一直线的两直线平行可得，然后根据平行线分线段成比例定理即可求出的长度；
（3）由可得，根据三角形的内角和定理及利用邻补角互补求角度可得，结合可证得四边形是矩形，然后由即可推出矩形为正方形．
【详解】（1）略
（2）解：在中，，，，
∴，
∵是直径，
∴，即：，
由（1）可得：，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即：的长度是；
（3）解：当的度数为时，四边形为正方形，理由如下：
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∵，
∴矩形为正方形．
【点睛】本题是圆的综合题，主要考查了切线的判定，等边对等角，全等三角形的判定与性质，正方形的判定，勾股定理，直径所对的圆周角是直角，三线合一，垂直于同一直线的两直线平行，平行线分线段成比例定理，三角形的内角和定理等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以综合运用是解题的关键．
6．（26-27九年级上·辽宁盘锦·期中）如图，是的直径，点，是上的两点，且，过点C作的切线与的延长线交于点E，连接，．若，，求扇形（即阴影部分）的面积（结果保留）．
【答案】
【分析】连接，先根据切线性质得到，进而得到的度数，进一步求出的度数，继而得到的度数，最后根据扇形的面积公式进行求解即可．
【详解】解：如图所示，连接．
与相切于点．
．
．
，
．
，
．
．
，
．
，
．
7．（2026·山东淄博·中考真题）某中学开展综合实践活动，同学们运用测量工具和所学知识进行工件测量．
【问题提出】
如图，某工件的截面是一个中间有圆孔的不规则图形．根据工件制作标准得知，是圆孔及轮廓圆弧所在圆的圆心，是圆弧与线段相切的切点，是圆弧与线段相切的切点，，，三点在同一条直线上．现需设计一个测量方案，以求得工件的截面面积．
【方案设计】
测量工具：刻度尺、量角器、游标卡尺．
操作步骤：同学们用刻度尺测量的长度，用量角器测量和的角度，用游标卡尺测量圆孔直径的长度．
【问题解决】
已知，，，圆孔直径为．（参考数据：，）
(1)求弧所在圆的半径；
(2)求阴影部分的面积．（结果精确到）
(3)如果不测量的长，其它测量数据不变，能否通过用刻度尺测量另外一条线段的长，求得工件的截面面积？如果能，写出该线段；如果不能，说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)能，测量或或、、的长
【分析】（1）连接，，由切线的性质得， ，由等腰三角形的判定及性质即可求解；
（2）由图形得即可求解；
（3）测量或或、、的长，情况：测量，，由同理可求；情况2：测量，由勾股定理求得；由情况同理可求；情形：测量、、的长，由（2）同理可求．
【详解】（1）解：连接，，
是圆孔及轮廓圆弧所在圆的圆心，是圆弧与线段相切的切点，是圆弧与线段相切的切点，，，三点在同一条直线上，
， ，
，
，
，
，
，
故弧所在圆的半径为；
（2）解：由（1）得，
，
，
，
，
；
（3）解：能，测量或或、、的长；
情况：测量，
由（1）（2）得：，，
设，则，，
，
，
解得（负值已舍），
，
由同理可求；
情况2：测量，
由勾股定理求得；
由情况同理可求；
情形况：测量、、的长
由（2）同理可求．
8．（26-27九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，点，分别在射线，上，，，，若与，，都相切，则的半径等于________．
【答案】或
【分析】根据与，，都相切，分在内部和在外部两种 情况求解．
【详解】解：与，，都相切，
点一定在的平分线上，
，
，，，
，
是直角三角形，，
当在内部时，如下图所示，切点分别为点、、，
设的半径为，则，
则，
，
解得：；
，，
四边形是正方形，
，
，
，
当在外部时，如下图所示，切点分别为点、、，
设的半径为，则，
则有，，
，
，
，
是的平分线，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
综上所述，的半径为或．
9．（26-27九年级上·江苏泰州·阶段检测），分别与相切于，两点，点在上，不与点，重合．若，则的度数为（ ）
A． B．或 C． D．或
【答案】B
【分析】连接，，根据切线性质得到，，先求出圆心角；分点在优弧、劣弧上两种情况，分别利用圆周角定理、圆内接四边形对角互补计算．
【详解】解：①当点在优弧上时，连接，，
，分别切于，，
，，
．
四边形内角和为，，
．
，
．
②当点在劣弧上时，连接，，在优弧上取一点，连接、，
由①得，
圆内接四边形对角互补，
．
的度数为或．
10．（26-27九年级上·江苏泰州·阶段检测）已知与相切于点A，，的半径为3．点B是上一点，且，则的长为________．
【答案】或
【分析】连接，先利用切线性质得到直角三角形，求出的长度，再利用勾股定理逆定理得到，推出，分点B的两种不同位置计算的长度即可．
【详解】解：连接，，
∵与相切于点，
∴，
∵半径为，，
∴在中，，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
①当点与点在同侧时，如图，
过作于，
可得四边形是矩形，
∴，，
∴，
在中，；
②当点与点在异侧时，过作交延长线于，如图
同理可得，，
∴，
在中，；
因此的长为或．
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