重难点专题 直线与圆的位置关系（专项训练）数学新教材浙教版九年级下册
|
2份
|
57页
|
15人阅读
|
0人下载
内容正文：
重难点专题 直线与圆的位置关系
题型1 判断直线与圆的位置关系
固定解题模型：判断直线与圆的位置关系，只看圆心到直线的距离 d 与半径 r 的大小关系.
解题步骤：① 找出圆心和半径 ② 求圆心到这条直线的距离 d ③ 比较 d 与 r，写出相交、相切或相离.
核心数据：d＜r 时相交，有两个公共点；d＝r 时相切，有一个公共点；d＞r 时相离，没有公共点.
1．（25-26九年级上·山西朔州·阶段检测）怀仁市，因晋王李克用与辽太祖耶律阿保机会盟于云州东城，易袍马约为兄弟，取怀想仁人及《论语》“怀德里仁”之意而命名．如图是以“仁”设计的艺术字，若将“仁”字每一笔画抽象为直线，背景抽象为圆，则图中直线与圆的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定
2．（2024·浙江宁波·二模）已知的直径为，点到直线的距离为，则与的位置关系是（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．相切或相交
3．（25-26九年级上·浙江·单元复习）已知的半径为3，P为所在平面内某直线l上一点，，则过点P的直线与的公共点个数为（ ）
A．1或2 B．2 C．0 D．1
4．（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，若的半径为1，点到某条直线的距离为2，则这条直线可能是（ ）
A．直线 B．直线 C．直线 D．直线
5．（2024·上海·模拟预测）如图，在梯形中，，，，，如果以为直径的圆与梯形各边共有3个公共点（C，D两点除外），那么长的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．（25-26九年级上·浙江·期末）的最大弦长为，若圆心到直线的距离为，则直线与_______．
7．（26-27九年级上·全国·单元测试）如图，内接于，过点作直线，已知，根据弦的位置变化，试探究直线与的位置关系．
甲：如图①，当弦过点时，与相切．
乙：如图②，当弦不过点时，也与相切．
你认为________的判断正确．
题型2 求 d 或 r 的取值范围
固定解题模型：把题目给的位置关系直接翻译成 d 与 r 的不等式，解出来就是取值范围.
解题步骤：① 由相交、相切、相离写出对应的不等号 ② 用已知量和参数把 d 表示出来 ③ 解不等式，注意端点能不能取到.
核心数据：有两个公共点用 d＜r，有公共点用 d≤r，没有公共点用 d＞r，只有一个公共点用 d＝r.
1．（25-26九年级上·浙江金华·阶段检测）已知直线l与相离，圆心O到直线l的距离为3，则的半径可能是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．（2025九年级上·浙江·专题练习）在中，，，，若以为圆心的圆与斜边有且只有一个公共点，则该圆半径的取值范围为______ ．
3．（2025·浙江金华·模拟预测）如图，在中，，点是的中点，以为圆心，长为半径作圆． 若与线段有两个交点，则满足的条件是__________．
4．（2026·河北·三模）如图1，O为菱形对角线上一点，以点O为圆心，为半径的圆与菱形相邻两边的交点分别为点E、F．
(1)若的半径为3，，求劣弧的长．
(2)如图2，若与相切于点M．则与的位置关系是________；
(3)在（2）的基础上，若，，求的半径．
5．（2025九年级上·全国·专题练习）已知的斜边，直角边，以点为圆心作．
(1)当半径为________时，直线与相切；
(2)当与线段只有一个公共点时，半径的取值范围为________；
(3)当与线段没有公共点时，半径的取值范围为__________．
6．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在中，，点O在边上，的半径为2．当x在什么范围内取值时，所在的直线分别与相交、相切、相离？
7．（26-27九年级上·全国·课后作业）在同一平面内，已知点O到直线l的距离为5，以点O为圆心，r为半径画圆．
(1)当_____时，上有且只有一个点到直线l的距离等于3；
(2)当______时，上有且只有三个点到直线l的距离等于3；
(3)随着r的变化，上到直线l的距离等于3的点的个数如何变化？并求出相对应的r的值或取值范围．
题型3 相切的临界与动圆平移
固定解题模型：动圆、动直线与已知直线相切，就是圆心到这条直线的距离恰好等于半径的那个临界位置.
解题步骤：① 用含参数的式子表示圆心到直线的距离 ② 令 d＝r 求出临界值 ③ 按公共点个数的变化方向取合题意的那个.
核心数据：与直线只有一个公共点就是相切，此时 d＝r；线段与圆有唯一公共点，还要单独考虑端点落在圆内的情况.
1．（26-27九年级上·北京东城·期中）如图，已知，圆心在射线上运动，圆的半径为2，且与始终有两个公共点，则当圆与射线仅有一个公共点时，的长为（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25九年级上·河北唐山·期末）如图，在直线上有相距5cm的两点和（点在点的右侧），以为圆心作半径为1cm的圆，过点作直线．将以的速度向右移动（点始终在直线上），则与直线在______秒时相切．
3．（2026·广东广州·二模）如图，的半径，直线，垂足为，且交于，两点，，若沿所在直线平移后与相切，则平移的距离是________．
4．（26-27九年级上·山东东营·阶段检测）如图，点P在第二象限内，与y轴相切于点C，其中点，与轴相交于点，则点的坐标________．
5．（25-26九年级上·江苏泰州·期中）在中，，，，以边上一点为圆心，为半径作．
(1)如图1，若与边、都相切，求的值；
(2)若与边相切，与边只有一个公共点，求的取值范围；
(3)若，且与边、有3个公共点，直接写出的取值范围．
6．（26-27九年级上·江苏南京·阶段检测）在中，，，．
(1)若以点C为圆心，长为半径画，则直线与的位置关系___________；
(2)若直线与半径为r的相切，求r的值．
(3)若线段与半径为r的有唯一公共点，则r的取值范围为______________．
题型4 坐标平面、新定义与图形运动
固定解题模型：坐标系里先把圆心坐标和半径找出来，再算圆心到直线的距离，最后与半径比大小.
解题步骤：① 写出圆心坐标与半径 ② 求圆心到直线的距离 ③ 与半径比较，或把 d＝r 当作相切条件列式.
核心数据：圆心到直线的垂线段长就是最短距离；新定义题先把定义翻译成距离，再按 d 与 r 分类.
1．（26-27九年级上·全国·期末）平面直角坐标系中，点M的坐标为，以2为半径画，则以下结论正确的是（ ）
A．与x轴相交，与y轴相切 B．与x轴相切，与y轴相离
C．与x轴相离，与y轴相离 D．与x轴相离，与y轴相切
2．（24-25九年级上·河北邯郸·期中）如图，在平面直角坐标系中，半径为2的圆心坐标是，将沿轴正方向平移，使与轴相切，则平移的距离为（ ）
A．1 B．1或5 C．3 D．5
3．（23-24九年级下·北京·阶段检测）在平面直角坐标系中，A、B为平面内不重合的两个点，若Q到A、B两点的距离相等，则称点Q是线段的“似中点”．
(1)已知，，在点、、、中，线段的“似中点”是点___________：
(2)直线与x轴交于点M，与y轴交于点N．
①求在坐标轴上的线段的“似中点”；
②若的半径为2，圆心P为，上存在线段的“似中点”，请直接写出t的取值范围．
4．（26-27九年级上·江苏无锡·阶段检测）在平面直角坐标系中的图形，，给出如下定义：为图形上任意一点，为图形上任意一点，如果，两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形，间的“距离”，记作．特别地，若图形，有公共点，规定．
(1)如图 ， 的半径为 ，
点 ，，则 _______，_______．
已知直线 ： 与 的“距离”， 求 的值．
(2)如图，已知点 ，，， 的圆心为 ，半径为 ，若，请直接写出 的取值范围．
5．（2026·四川乐山·二模）设边长为的正方形的中心在直线上，它的一组对边垂直于直线，半径为的的圆心在直线上运动，点、间距离为．如图1，当时，在运动过程中，通过观察，由与、之间关系，可得与正方形的公共点个数如下：
、、之间关系
公共点的个数
0
1
2
1
0
则与正方形的公共点个数可能是：、、
(1)如图2，当时，根据与、之间关系，将与正方形的公共点个数填入下表：
、、之间关系
公共点的个数
(2)如图3，当与正方形有5个公共点时，请说明；
(3)当时，请根据与、之间关系，直接写出与正方形的公共点可能的个数．
、、之间关系
公共点的个数
0
1
2
4
题型5 操作探究与实际情境
固定解题模型：操作题先按折叠、摆放把图中的相等线段和直角找齐，位置关系往往落在某个距离与半径相等上.
解题步骤：① 读操作过程，标出折叠或摆放带来的等量 ② 算出圆心到目标直线的距离 ③ 与半径比较得出结论，再回到线段计算.
核心数据：折叠前后对应线段相等、对应角相等；三角尺的直角与量角器的半圆，都是现成的垂直关系.
1．（2022年福建省厦门市海沧区中考模拟数学试题）已知矩形，
图1 图2
(1)如图1，若点B，D在以O为圆心，为半径的圆上，，求证：；
(2)如图2，点E，F分别在边上，若点D，点C关于直线对称的点分别为点B和点P，判断直线与过A，E，F三点的圆的位置关系，并说明理由
2．（25-26九年级上·河南濮阳·期末）如图1，点为上一点，且于点．
(1)下列说法正确的是（ ）
A．与相离 B．与相切
C．与相交 D．以上说法均不正确
(2)过点作的切线，切点为，且点与点不重合（保留作图痕迹，简单写出作图方法）；
(3)如图2，在图1的基础上，连接并延长交于点和点，过点作，交的延长线于点，交于点，连接．若四边形是平行四边形，且，求的长．
3．（26-27九年级上·全国·单元复习）抖空竹在我国有着悠久的历史，是国家级非物质文化遗产之一．如图①，小丽玩抖空竹游戏时发现可以将其某时刻的情形抽象成数学问题，如图②，，分别与相切于点C，D，延长，交于点P．若，的半径为，则图中弧的长为（ ）
A． B． C． D．
4．（2026·河北沧州·模拟预测）综合与实践
【情境】综合与实践课上，嘉嘉和淇淇利用量角器、三角尺进行操作探究活动，其中，．
【操作】嘉嘉和淇淇尝试用不同的方式摆放量角器和三角尺．
如图1，嘉嘉的操作如下：
将三角尺放置在量角器上，点与圆心重合，已知这把三角尺的直角边和量角器外弧所在圆的半径相等，点是斜边与量角器外弧所在圆的交点，点的对应刻度为．
如图2，淇淇的操作如下：
将斜边为的三角尺叠放在量角器上，且，点，恰好落在量角器的外弧所在圆上，点的对应刻度为，与外弧交于点．
【探究】根据以上两人的操作，解决下列问题．
（1）在图1中，求点对应量角器的刻度；
（2）若将图1的三角尺绕点顺时针旋转，能否使得与量角器外弧所在的圆相切？____（填“能”或“不能”）；
（3）在图2中，判断所在直线与量角器外弧（即半圆）所在的圆的位置关系，并说明理由；
【拓展】（4）直接写出的长．
5．（24-25九年级上·江西南昌·阶段检测）课本再现
我们在学习直线和圆的位置关系时，教材中定义了切线，即直线和圆有唯一公共点时，这条直线叫做圆的切线，这个唯一公共点叫做切点．如图1，直线，垂足为，点在上，请说明直线是的切线；
知识应用
如图2，、、、均在上，连接外一点与上一点，并延长交于点，，垂足为，连接交于点，若的半径为4，，．
（1）求证：是的切线；
（2）求线段和弧的长．
6．（2025·河北石家庄·三模）如图1，边长为6的正方形纸片上，有一个圆，圆心在正方形的中心．
操作：①将纸片对折，然后打开，得到折痕，折痕与圆交于点E，F，如图2；
②再将纸片折叠、使点B，C分别落在边上，然后打开后，折痕恰好经过点F，连接、与圆交于点G，如图3，，（注：）
发现：直线与圆的位置关系是_________．
探究：（1）求的长；
（2）求线段的长．
拓展：连接，直接写出的值．
1 / 10
学科网（北京）股份有限公司
$
重难点专题 直线与圆的位置关系
题型1 判断直线与圆的位置关系
固定解题模型：判断直线与圆的位置关系，只看圆心到直线的距离 d 与半径 r 的大小关系.
解题步骤：① 找出圆心和半径 ② 求圆心到这条直线的距离 d ③ 比较 d 与 r，写出相交、相切或相离.
核心数据：d＜r 时相交，有两个公共点；d＝r 时相切，有一个公共点；d＞r 时相离，没有公共点.
1．（25-26九年级上·山西朔州·阶段检测）怀仁市，因晋王李克用与辽太祖耶律阿保机会盟于云州东城，易袍马约为兄弟，取怀想仁人及《论语》“怀德里仁”之意而命名．如图是以“仁”设计的艺术字，若将“仁”字每一笔画抽象为直线，背景抽象为圆，则图中直线与圆的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定
【答案】A
【分析】本题考查直线与圆的位置关系，熟记直线与圆的位置关系是解决问题的关键
通过观察发现，“仁”字每一笔画所在直线与背景圆均有公共点，由直线与圆的位置关系直接判断即可得到答案．
【详解】解：通过观察发现，“仁”字每一笔画所在直线与背景圆均有公共点，则图中直线与圆的位置关系是相交，
故选：A．
2．（2024·浙江宁波·二模）已知的直径为，点到直线的距离为，则与的位置关系是（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．相切或相交
【答案】A
【分析】本题考查直线与圆的位置关系，根据点到直线的距离与半径之间的大小关系，进行判断即可．
【详解】解：∵的直径为，点到直线的距离为，
∴的半径为，
∵，
∴与的位置关系是相离；
故选A．
3．（25-26九年级上·浙江·单元复习）已知的半径为3，P为所在平面内某直线l上一点，，则过点P的直线与的公共点个数为（ ）
A．1或2 B．2 C．0 D．1
【答案】A
【分析】本题考查了直线与圆的位置关系．根据圆心到直线的距离d与半径R的关系判断直线与圆的位置关系，由于P在直线l上且，故，从而直线l与圆相切或相交，公共点个数为1或2，据此进行分析，即可作答．
【详解】解：∵P在直线l上且，
∴ 圆心O到直线l的距离，
∵的半径，
∴，
∴ 直线l与相切或相交，
∴公共点个数为1或2，
故选：A
4．（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，若的半径为1，点到某条直线的距离为2，则这条直线可能是（ ）
A．直线 B．直线 C．直线 D．直线
【答案】A
【分析】本题主要考查了直线与圆的位置关系，当圆心到直线的距离大于半径时，直线与圆相离，当圆心到直线的距离等于半径时，直线与圆相切，当圆心到直线的距离小于半径时，直线与圆相交，据此可得答案．
【详解】解：∵的半径为1，圆心O到一条直线的距离为2，即，
∴与该直线相离，
∴这条直线可能是，
故选：A．
5．（2024·上海·模拟预测）如图，在梯形中，，，，，如果以为直径的圆与梯形各边共有3个公共点（C，D两点除外），那么长的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】考查了直线和圆的位置关系与数量之间的联系．此题首先能够根据公共点的个数得到直线和圆的位置关系；再进一步计算出相切时圆心到直线的距离，从而根据直线和圆的位置关系与数量之间的联系，得到答案．
【详解】解：根据题意，得圆必须和直线相交，设直线和圆相切于点E，
连接，则，，
又∵，
∴此时．
根据梯形的中位线定理，得 ，
∴，
∴，
∴直线要和圆相交，则．
故选D．
6．（25-26九年级上·浙江·期末）的最大弦长为，若圆心到直线的距离为，则直线与_______．
【答案】相离
【分析】本题考查直线和圆的位置关系，清楚与 的大小与直线和圆的位置关系的对应关系是解题关键．根据与 的大小关系，即可判断．
【详解】∵的最大弦长为，即的直径为，
∴的半径，
∵，即，
∴直线与相离．
故答案为：相离．
7．（26-27九年级上·全国·单元测试）如图，内接于，过点作直线，已知，根据弦的位置变化，试探究直线与的位置关系．
甲：如图①，当弦过点时，与相切．
乙：如图②，当弦不过点时，也与相切．
你认为________的判断正确．
【答案】甲、乙
【分析】甲：根据直径推出，推出，根据切线判定推出即可；
乙：作直径，连接，推出，求出，根据切线的判定推出即可．
【详解】解：甲：∵是的直径，
，
，
，
，
，
是半径，
是的切线；
乙：作直径，连接，
∴（在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等），
，
，
是的直径，
，
，
，
，
是半径，
是的切线；
∴甲、乙的判断都正确．
题型2 求 d 或 r 的取值范围
固定解题模型：把题目给的位置关系直接翻译成 d 与 r 的不等式，解出来就是取值范围.
解题步骤：① 由相交、相切、相离写出对应的不等号 ② 用已知量和参数把 d 表示出来 ③ 解不等式，注意端点能不能取到.
核心数据：有两个公共点用 d＜r，有公共点用 d≤r，没有公共点用 d＞r，只有一个公共点用 d＝r.
1．（25-26九年级上·浙江金华·阶段检测）已知直线l与相离，圆心O到直线l的距离为3，则的半径可能是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【分析】本题考查直线与圆的位置关系，解题的关键是掌握直线与圆相离的条件：圆心到直线的距离大于圆的半径．
根据直线与圆相离的条件，结合已知的圆心到直线的距离，确定半径的取值范围，再判断选项．
【详解】解：∵直线l与相离，
∴圆心到直线的距离半径，
已知，
∴．
观察选项中只有A．，满足条件．
故选：A．
2．（2025九年级上·浙江·专题练习）在中，，，，若以为圆心的圆与斜边有且只有一个公共点，则该圆半径的取值范围为______ ．
【答案】或
【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，勾股定理；分直线与圆相交和相切两种情况解答即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键．
【详解】解：在中，∵，，，
∴，
∵，，
∴当时，可知以为圆心的圆与斜边有且只有一个公共点；
过点作于点，如图，
可知当时，以为圆心的圆与斜边相切，此时圆与斜边有且只有一个公共点，
∵，
∴，
解得，即；
综上，当以为圆心的圆与斜边有且只有一个公共点时，该圆半径的取值范围为或，
故答案为：或．
3．（2025·浙江金华·模拟预测）如图，在中，，点是的中点，以为圆心，长为半径作圆． 若与线段有两个交点，则满足的条件是__________．
【答案】且
【分析】本题主要考查了直线与圆的位置，相似三角形的判定与性质，勾股定理，垂径定理等知识点，解题的关键是注意临界状态的分析．
当恰好经过点C时，利用求解；当与相切时，此时与线段只有一个交点，由是的垂直平分线，得到；当恰好经过点A时，根据勾股定理求解即可．
【详解】解：当恰好经过点C时，符合题意，如图：
此时
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，点是的中点，
∴，
∴，
∴；
当与相切时，此时与线段只有一个交点，
∴，
∴是的垂直平分线，
∴；
当恰好经过点A时，符合题意，如图：
过点作于点E，
∴，
∴，，
∴，
∴与线段有两个交点，满足的条件是且，
故答案为：且．
4．（2026·河北·三模）如图1，O为菱形对角线上一点，以点O为圆心，为半径的圆与菱形相邻两边的交点分别为点E、F．
(1)若的半径为3，，求劣弧的长．
(2)如图2，若与相切于点M．则与的位置关系是________；
(3)在（2）的基础上，若，，求的半径．
【答案】(1)
(2)相切
(3)3
【分析】（1）由菱形的性质和证是等边三角形，再证出，最后由弧长公式计算即可；
（2）连接，作于点N，由菱形的性质证出 ，根据切线的判定即可得答案；
（3）设的半径为r，根据勾股定理得，计算即可．
【详解】（1）解：四边形是菱形，
，
，
是等边三角形，
，
，
是等边三角形，
，
劣弧的长=；
（2）解：如下图，连接，作于点N，
与相切于点M，
，
四边形是菱形，
平分，
，
，
是的半径，
又，
与相切；
（3）解：设的半径为r，则，
，
，
，
，解得：，
的半径为3．
5．（2025九年级上·全国·专题练习）已知的斜边，直角边，以点为圆心作．
(1)当半径为________时，直线与相切；
(2)当与线段只有一个公共点时，半径的取值范围为________；
(3)当与线段没有公共点时，半径的取值范围为__________．
【答案】(1)；
(2)或；
(3)或．
【分析】（）如图作于，求出的值即可判断；
（）当与线段只有一个公共点时，半径的取值范围为或 ；
（）当与线段没有公共点时，半径的取值范围为或，
本题考查直线与圆的位置关系，勾股定理，等面积法，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】（1）如图作于，
在中，，，，
∴由勾股定理得，
∵，
∴，
∴当半径时，直线与相切，
故答案为：；
（2）观察图形可知，
当与线段只有一个公共点时，半径的取值范围为或 ，
故答案为：或；
（3）观察图形可知，
当与线段没有公共点时，半径的取值范围为或，
故答案为：或．
6．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在中，，点O在边上，的半径为2．当x在什么范围内取值时，所在的直线分别与相交、相切、相离？
【答案】当时，所在直线与相离；当时，所在直线与相切；当时，所在直线与相交．
【分析】过点O作于点D，求出的长，当圆心到直线的距离大于半径时，该直线与圆相离，当圆心到直线的距离等于半径时，该直线与圆相切，当圆心到直线的距离小于半径时，该直线与圆相交，据此可得答案．
【详解】解：如图，过点O作于点D．
，
．
若所在直线与相离，则，即，
解得；
若所在直线与相切，则，即，
解得；
若所在直线与相交，则，即，
解得．
综上所述，当时，所在直线与相离；当时，所在直线与相切；当时，所在直线与相交．
7．（26-27九年级上·全国·课后作业）在同一平面内，已知点O到直线l的距离为5，以点O为圆心，r为半径画圆．
(1)当_____时，上有且只有一个点到直线l的距离等于3；
(2)当______时，上有且只有三个点到直线l的距离等于3；
(3)随着r的变化，上到直线l的距离等于3的点的个数如何变化？并求出相对应的r的值或取值范围．
【答案】(1)2
(2)8
(3)当时，上没有点到直线l的距离等于3．当时，上有且只有1个点到直线l的距离等于3．当时，上有且只有2个点到直线l的距离等于3．当时，上有且只有3个点到直线l的距离等于3．当时，上有且只有4个点到直线l的距离等于3
【分析】根据圆心到直线的距离即可求解．
【详解】（1）解：点O到直线l的距离为5，
则上有且只有一个点到直线l的距离等于3时，；
（2）解：点O到直线l的距离为5，
则上有且只有三个点到直线l的距离等于3时，；
（3）解：当时，上没有点到直线l的距离等于3；
当时，上有且只有1个点到直线l的距离等于3；
当时，上有且只有2个点到直线l的距离等于3；
当时，上有且只有3个点到直线l的距离等于3；
当时，上有且只有4个点到直线l的距离等于3．
题型3 相切的临界与动圆平移
固定解题模型：动圆、动直线与已知直线相切，就是圆心到这条直线的距离恰好等于半径的那个临界位置.
解题步骤：① 用含参数的式子表示圆心到直线的距离 ② 令 d＝r 求出临界值 ③ 按公共点个数的变化方向取合题意的那个.
核心数据：与直线只有一个公共点就是相切，此时 d＝r；线段与圆有唯一公共点，还要单独考虑端点落在圆内的情况.
1．（26-27九年级上·北京东城·期中）如图，已知，圆心在射线上运动，圆的半径为2，且与始终有两个公共点，则当圆与射线仅有一个公共点时，的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：连接圆心和切点，则，
∵，
则为等腰直角三角形，
∴．
2．（24-25九年级上·河北唐山·期末）如图，在直线上有相距5cm的两点和（点在点的右侧），以为圆心作半径为1cm的圆，过点作直线．将以的速度向右移动（点始终在直线上），则与直线在______秒时相切．
【答案】2或3
【分析】本题考查了切线的判定与性质：圆的切线垂直于经过切点的半径；经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，当圆心到直线的距离等于圆的半径，则直线与圆相切．熟练掌握切线的判定与性质是解题的关键．根据切线的判定方法，当点到的距离为时，与相切，然后计算出圆向右移动的距离，然后计算出对应的时间．
【详解】解：当点到的距离为时，与相切，
开始时点到的距离为5，
当圆向右移动或时，点到的距离为，此时与相切，
或，
即与直线在2秒或3秒时相切．
故答案为：2或3．
3．（2026·广东广州·二模）如图，的半径，直线，垂足为，且交于，两点，，若沿所在直线平移后与相切，则平移的距离是________．
【答案】或
【分析】连接，利用垂径定理可得，再由勾股定理可得，然后分两种情况解答即可．
【详解】解：连接，
∵直线，，
∴，
在中，，
∴，
∵直线l沿所在直线平移后与相切，
∴直线l应垂直于过点C的直径，垂足为直径的两个端点，
∴当直线向下平移时，直线l沿所在直线移动的距离为；
当直线向上平移时，直线l沿所在直线移动的距离为；
综上所述，平移的距离是或．
4．（26-27九年级上·山东东营·阶段检测）如图，点P在第二象限内，与y轴相切于点C，其中点，与轴相交于点，则点的坐标________．
【答案】/
【详解】解：如图，连接，，过点P作，
∵与y轴相切于点C，
∴轴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴．
∴．
∴点的坐标为．
5．（25-26九年级上·江苏泰州·期中）在中，，，，以边上一点为圆心，为半径作．
(1)如图1，若与边、都相切，求的值；
(2)若与边相切，与边只有一个公共点，求的取值范围；
(3)若，且与边、有3个公共点，直接写出的取值范围．
【答案】(1)
(2)或
(3)或
【分析】（1）设与边、分别相切于点，通过切线性质可得四边形为正方形，后得到，再利用相似三角形性质即可得到本题答案．
（2）根据题意可知与边相切，此时与只有一个公共点；当与边相切，且经过点时，此时设与切点为，设，根据勾股定理可得，再利用相似三角形性质和判定可求出的值，继而得到本题答案．
（3）分情况讨论，当与边切于点时，利用相似三角形性质和判定求出的值；当与边切于点时，利用相似三角形性质和判定求出的值；当经过点时，过点作，利用相似三角形性质和判定求出的值，继而得到本题答案．
【详解】（1）解：设与边、分别相切于点，连接，如图所示：
，
∵与边、分别相切于点，
∴，，
∵，
∴四边形为矩形，
∵，
∴四边形为正方形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，即：，
解得：；
（2）解：若与边相切，则与边只有一个公共点，
∵与边相切，
∴由（1）知，可取；
当与边相切且经过点时，
设与边相切于点，连接，如图：
，
则，
∵，，，
∴，
∴，
∵与边相切于点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即：，
解得：，
∵当点与点重合时，与边相切于点，与边只有一个公共点，
∴，
∵若与边相切，与边只有一个公共点，
∴，
综上所述：或；
（3）解：∵，，，
∴，
∵，
∴当点为中点时，经过三点，
∴符合，且与边、有3个公共点，此时，
当与边切于点时，连接，如图：
，
则，
∵与边切于点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
即：，解得：，
∵与边、有3个公共点，
∴的取值范围为：；
当与边切于点时，连接，如图：
，
则，
∵与边切于点时，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即：，
∴，
当经过点时，连接，过点作于点，如图：
，
则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即：，
∴，，
∴，
∵
∴，
∴或，
∵与边、有3个公共点，
∴的取值范围为：，
综上，与边、有3个公共点，的取值范围为或．
6．（26-27九年级上·江苏南京·阶段检测）在中，，，．
(1)若以点C为圆心，长为半径画，则直线与的位置关系___________；
(2)若直线与半径为r的相切，求r的值．
(3)若线段与半径为r的有唯一公共点，则r的取值范围为______________．
【答案】(1)相离
(2)
(3)或
【分析】先通过面积法求出点C到直线AB的距离，再结合直线与圆的位置关系判定前两问；第三问分相切、线段与圆仅有一个交点两类讨论．
【详解】（1）解：在中，，，，
由勾股定理得：，
过点作于点，
由三角形面积公式，，
∴，即圆心到直线的距离.
当时，
∵，
∴直线与相离；
（2）解：∵直线与相切，
∴；
（3）解：分两种情况讨论：
①当与直线相切时，切点在线段上，线段与有唯一公共点，此时；
②当与直线相交时，若线段与仅有一个公共点，则需直线与圆的两个交点中仅一个在线段上，
∵，，
当时，点在上，另一交点在线段上，有2个公共点，不符合；
当时，点在内，点在上或圆外，仅一个交点在线段上，符合；
当时，点、均在内，无公共点，不符合，
综上所述，的取值范围为或．
题型4 坐标平面、新定义与图形运动
固定解题模型：坐标系里先把圆心坐标和半径找出来，再算圆心到直线的距离，最后与半径比大小.
解题步骤：① 写出圆心坐标与半径 ② 求圆心到直线的距离 ③ 与半径比较，或把 d＝r 当作相切条件列式.
核心数据：圆心到直线的垂线段长就是最短距离；新定义题先把定义翻译成距离，再按 d 与 r 分类.
1．（26-27九年级上·全国·期末）平面直角坐标系中，点M的坐标为，以2为半径画，则以下结论正确的是（ ）
A．与x轴相交，与y轴相切 B．与x轴相切，与y轴相离
C．与x轴相离，与y轴相离 D．与x轴相离，与y轴相切
【答案】D
【分析】根据点M坐标判断点到坐标轴的距离，由圆与直线的位置关系即可解答．
【详解】解：点M的坐标为，
点M到x轴的距离为3，到y轴的距离为2，
的半径为2，
圆心M到x轴的距离大于半径，到y轴的距离等于半径，
与x轴相离，与y轴相切．
2．（24-25九年级上·河北邯郸·期中）如图，在平面直角坐标系中，半径为2的圆心坐标是，将沿轴正方向平移，使与轴相切，则平移的距离为（ ）
A．1 B．1或5 C．3 D．5
【答案】B
【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，解题的关键是了解当圆与直线相切时，点到圆心的距离等于圆的半径，注意分类讨论．
分圆心在轴的左侧和轴的右侧两种情况，根据半径等于圆心到直线的距离写出答案即可．
【详解】解：当位于轴的左侧且与轴相切时，此时圆心到轴的距离是，的坐标为，所以平移的距离为；
当位于轴的右侧且与轴相切时，此时圆心到轴的距离是，的坐标为，所以平移的距离为．
故选：B．
3．（23-24九年级下·北京·阶段检测）在平面直角坐标系中，A、B为平面内不重合的两个点，若Q到A、B两点的距离相等，则称点Q是线段的“似中点”．
(1)已知，，在点、、、中，线段的“似中点”是点___________：
(2)直线与x轴交于点M，与y轴交于点N．
①求在坐标轴上的线段的“似中点”；
②若的半径为2，圆心P为，上存在线段的“似中点”，请直接写出t的取值范围．
【答案】(1)E，G
(2)①或
②
【分析】（1）分别求出各点到点A，B的距离，根据定义判断即可；
（2）①先求出点，，再根据勾股定理求出，可求出，可确定“似中点”的位置，分两种情况求出坐标即可；②作出图形，G，K分别是，与垂直平分线相切的切点，连接，，则，，则，，再求出线段长，然后根据直角三角形的性质求出，，即可得出答案．
【详解】（1）解：∵点，，，
∴，，
∴，
∴点D不是线段的“似中点”；
∵点，
∴，，
∴，
∴点E是线段的“似中点”；
∵点，
∴，，
∴，
∴点F不是线段的“似中点”；
∵点，
∴，，
∴，
∴点G是线段的“似中点”．
故答案为：E，G；
（2）解：①直线，当时，；当时，，
∴点，，
∴，，
∴，，
所求的点H是的垂直平分线l与坐标轴的交点，如图所示．
∴，．
当“似中点”在x轴上时，，则；
当“似中点”在y轴上时，，则．
所以，；
②如图所示，G，K分别是，与垂直平分线相切的切点，连接，，则，，则，．
∵，，的半径为2，，
∴，，
∴，，
∴当时，上存在线段的“似中点”．
【点睛】本题主要考查了新定义的理解，两点之间的距离公式，圆的切线的性质，勾股定理，含直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质定理，理解“到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”是解题的关键．
4．（26-27九年级上·江苏无锡·阶段检测）在平面直角坐标系中的图形，，给出如下定义：为图形上任意一点，为图形上任意一点，如果，两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形，间的“距离”，记作．特别地，若图形，有公共点，规定．
(1)如图 ， 的半径为 ，
点 ，，则 _______，_______．
已知直线 ： 与 的“距离”， 求 的值．
(2)如图，已知点 ，，， 的圆心为 ，半径为 ，若，请直接写出 的取值范围．
【答案】(1)①1；3；②
(2)或或
【分析】（1）①根据图形M，N间的“距离”的定义即可解决问题；
②设直线l交x轴，y轴于点P，Q，作于H，交于G，根据与的“距离”，构建方程即可解决问题；
（2）设交x轴于E，与y轴交于点F，求出直线的解析式为，再求出，，得出，然后分四种情形分别求解即可解决问题．
【详解】（1）解：①如图1中，连接交于点E，设交y轴于点F，
由题意：；
∵，
∴，
；
②如图，设直线l交x轴，y轴于点P，Q，作于H，交于G，
把代入得：，
把代入得：，解得：，
∴，，
，，，
，
，
直线l：与的“距离”，
，
．
（2）解：如图，设交x轴于E，与y轴交于点F，
设直线的解析式为：，把，代入得：
，
解得：，
∴直线的解析式为，
把代入得：，
把代入得：，解得：，
∴，，
∴，
∵，
∴，
，，
当时，满足条件，
当时，满足条件，
假设满足条件，过点作于点H，则，
∴为等腰直角三角形，
∴，
，
，
，
观察图象可知：当时，满足条件，
假设满足条件，过点作于G，
同理可得：为等腰直角三角形，
∴，
，
，
，
综上，m的取值范围为是或或．
5．（2026·四川乐山·二模）设边长为的正方形的中心在直线上，它的一组对边垂直于直线，半径为的的圆心在直线上运动，点、间距离为．如图1，当时，在运动过程中，通过观察，由与、之间关系，可得与正方形的公共点个数如下：
、、之间关系
公共点的个数
0
1
2
1
0
则与正方形的公共点个数可能是：、、
(1)如图2，当时，根据与、之间关系，将与正方形的公共点个数填入下表：
、、之间关系
公共点的个数
(2)如图3，当与正方形有5个公共点时，请说明；
(3)当时，请根据与、之间关系，直接写出与正方形的公共点可能的个数．
【答案】(1)0，1，2，4
(2)解：连接，由题得，，，
，化简得．
(3)0个、1个、2个、3个、4个、6个、8个
【分析】（1）当时，的直径等于正方形的边长，此时会出现与正方形相离，与正方形一边相切，相交，与正方形四边相切，四种情况，故可确定与正方形的交点个数；
（2）如图③，当与正方形有5个公共点时，连接，用a、r表示的各边长，在中，由勾股定理求a、r的关系；
（3）结合（2）中结论，画出与正方形的大致位置关系，进而可得答案．
【详解】（1）解：根据题意，填表如下：
、、之间关系
公共点的个数
0
1
2
4
（2）略
（3）解：当时，如图，与正方形的位置关系大致有：
故与正方形的公共点可能的个数有0个、1个、2个、3个、4个、6个、8个．
题型5 操作探究与实际情境
固定解题模型：操作题先按折叠、摆放把图中的相等线段和直角找齐，位置关系往往落在某个距离与半径相等上.
解题步骤：① 读操作过程，标出折叠或摆放带来的等量 ② 算出圆心到目标直线的距离 ③ 与半径比较得出结论，再回到线段计算.
核心数据：折叠前后对应线段相等、对应角相等；三角尺的直角与量角器的半圆，都是现成的垂直关系.
1．（2022年福建省厦门市海沧区中考模拟数学试题）已知矩形，
图1 图2
(1)如图1，若点B，D在以O为圆心，为半径的圆上，，求证：；
(2)如图2，点E，F分别在边上，若点D，点C关于直线对称的点分别为点B和点P，判断直线与过A，E，F三点的圆的位置关系，并说明理由
【答案】(1)
证明：∵四边形是矩形，
∴，
∵点B，D在上，
∴是的直径，O是中点，
，
，
，
，
是等边三角形，
，，
，，
；
(2)
相交，理由：如图，连接，
∵点B，D关于直线对称，
∴直线垂直平分；
∴，，
，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形
∴垂直平分，
在上取点O，连接，
经过点，，
，
点在上，
点，关于直线对称，
，，
，
，
，
，
点，，三点共线；
，
，
，，
，
，，
，
，点在上；
直线与有两个交点；
直线与相交；
【分析】（1）先证明 是 的外接圆，再证明 是 的直径， 再证明 为等边三角形，得 ，得，，便可得出结论；
（2）设过 三点的圆为 ，连接 ，过点 作 于点 ，由对称性质得 过点 ， 再由 ， 根据直线与圆的位置关系得出结论；
【详解】（1）略
（2）略
【点睛】本题考查了矩形的性质，直线与圆的位置关系，圆周角定理，轴对称的性质，关键是综合应用这些知识解题
2．（25-26九年级上·河南濮阳·期末）如图1，点为上一点，且于点．
(1)下列说法正确的是（ ）
A．与相离 B．与相切
C．与相交 D．以上说法均不正确
(2)过点作的切线，切点为，且点与点不重合（保留作图痕迹，简单写出作图方法）；
(3)如图2，在图1的基础上，连接并延长交于点和点，过点作，交的延长线于点，交于点，连接．若四边形是平行四边形，且，求的长．
【答案】(1)B
(2)
以点P为圆心，的长为半径作圆交于点B，点B即为所求：
(3)2
【分析】（1）根据切线的定义进行判断即可；
（2）以点P为圆心，的长为半径作圆交于点B，证明得，即可得为的切线；
（3）连接，证明四边形是菱形，进而可得是等边三角形，则，，根据含30度角的直角三角形的性质得，由勾股定理求出，则，，再根据含30度角的直角三角形的性质得，然后根据求解即可．
【详解】（1）解：∵点为上一点，且于点，
∴是半径，是的切线，
∴与相切，
故选：B；
（2）解：在和中，
，
∴，
∴，
∴，
又∵为半径，
∴为的切线；
（3）解：如图，连接，
∵四边形是平行四边形，，
∴四边形是菱形，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，即，
∴，，
∴，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了切线的定义及切线的判定，全等三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质等知识．
3．（26-27九年级上·全国·单元复习）抖空竹在我国有着悠久的历史，是国家级非物质文化遗产之一．如图①，小丽玩抖空竹游戏时发现可以将其某时刻的情形抽象成数学问题，如图②，，分别与相切于点C，D，延长，交于点P．若，的半径为，则图中弧的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】连接，利用切线的性质得到，根据四边形的内角和求得，再利用弧长公式求得答案．
【详解】解：连接，如图所示：
∵分别与相切于点C，D，
∴，
∵，，
∴，
∴．
4．（2026·河北沧州·模拟预测）综合与实践
【情境】综合与实践课上，嘉嘉和淇淇利用量角器、三角尺进行操作探究活动，其中，．
【操作】嘉嘉和淇淇尝试用不同的方式摆放量角器和三角尺．
如图1，嘉嘉的操作如下：
将三角尺放置在量角器上，点与圆心重合，已知这把三角尺的直角边和量角器外弧所在圆的半径相等，点是斜边与量角器外弧所在圆的交点，点的对应刻度为．
如图2，淇淇的操作如下：
将斜边为的三角尺叠放在量角器上，且，点，恰好落在量角器的外弧所在圆上，点的对应刻度为，与外弧交于点．
【探究】根据以上两人的操作，解决下列问题．
（1）在图1中，求点对应量角器的刻度；
（2）若将图1的三角尺绕点顺时针旋转，能否使得与量角器外弧所在的圆相切？____（填“能”或“不能”）；
（3）在图2中，判断所在直线与量角器外弧（即半圆）所在的圆的位置关系，并说明理由；
【拓展】（4）直接写出的长．
【答案】（1）；
（2）不能；
（3）如图2，连接，
∵点的对应刻度为，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵点B在量角器外弧上，
∴所在直线与量角器外弧（即半圆）所在的圆相切；
（4）
【分析】本题考查圆心角与它所对弧关系，等边三角形的判定和性质，三角形内角和定理，垂径定理，解直角三角形，求扇形弧长等．作出辅助线，结合图形求解是解题关键．
（1）如图1，连接，由，，推出是等边三角形，得到，由B点的对应刻度为，即可求出D点的对应刻度；
（2）过点O作于点E，然后由正弦函数得出，即可判断；
（3）如图2，连接，求得，根据切线的判定可得结论；
（4）如图2，连接，设与交于点F，由等边三角形的判定和性质得出，然后利用解三角形求解即可．
【详解】解：（1）连接，如图1，
在中，
∵，，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵B点的对应刻度为，
∴D点的对应刻度是；
（2）将三角尺绕点O顺时针旋转，不能使得与量角器外弧所在圆相切，理由如下：
过点O作于点E，如图1所示：
∵，
∴，
∴O到的距离小于圆的半径，
∴将三角尺绕点O顺时针旋转，不能使得与量角器外弧所在圆相切；
（3） 略
（4）连接，设与交于点F，如图2所示：
∵，
∴，
∴，又，
∵，，
∴为等边三角形，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的长为：．
5．（24-25九年级上·江西南昌·阶段检测）课本再现
我们在学习直线和圆的位置关系时，教材中定义了切线，即直线和圆有唯一公共点时，这条直线叫做圆的切线，这个唯一公共点叫做切点．如图1，直线，垂足为，点在上，请说明直线是的切线；
知识应用
如图2，、、、均在上，连接外一点与上一点，并延长交于点，，垂足为，连接交于点，若的半径为4，，．
（1）求证：是的切线；
（2）求线段和弧的长．
【答案】
课本再现：证明：设直线l与另一交点为点M，
∴，
∴，
∵直线，
∴，
∴，
∴直线l，
∵，都过点O，
∴根据垂线的性质可得与重合，即点A与点M重合，
∴直线l与只有一个交点，
∴直线是的切线．
知识应用：（1）证明：如图，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
∵
∴，
∴，
∴，
∴是的切线；
（2），
【分析】课本再现：设直线l与另一交点为点M，由得到，从而直线l，根据垂线的性质可得点A与点M重合，即直线l与只有一个交点，根据切线的定义得到直线是的切线；
知识应用：（1）连接，先求出，再由直角三角形两锐角互余和对顶角相等求出，由等腰三角形得性质得，进而可证是的切线；
（2）先证明点D，O，B三点共线，得到，由30度角的性质得，根据可求出；求出，然后根据弧长公式弧的长．
【详解】课本再现：略
知识应用：
（1）略
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点D，O，B三点共线，
∴．
∵，，
∴，
，
∴，
∴．
∵，
∴弧的长为．
【点睛】本题考查了切线证明与判定，等腰三角形的性质，勾股定理，求弧长，熟练掌握切线的判定方法和弧长公式是解答本题的关键．
6．（2025·河北石家庄·三模）如图1，边长为6的正方形纸片上，有一个圆，圆心在正方形的中心．
操作：①将纸片对折，然后打开，得到折痕，折痕与圆交于点E，F，如图2；
②再将纸片折叠、使点B，C分别落在边上，然后打开后，折痕恰好经过点F，连接、与圆交于点G，如图3，，（注：）
发现：直线与圆的位置关系是_________．
探究：（1）求的长；
（2）求线段的长．
拓展：连接，直接写出的值．
【答案】发现：相切；探究：（1）；（2）；拓展：．
【分析】本题主要考查了正方形与折叠问题，矩形的性质与判定，切线的性质与判定，解直角三角形，勾股定理，求弧长，熟练掌握相关知识是解题的关键．
发现：由折叠的性质可得，则可证明为中间圆的直径，再由折叠的性质可得，则可证明，据此根据切线的判定定理可得结论；
探究：（1）取中点O，连接，则点O为圆心，求出，由圆周角定理得到．由折叠的性质可得，证明四边形是矩形，得到，解直角三角形得到，则．据此根据弧长公式求解即可；
（2）连接，如图所示，则，进而可得，由勾股定理得到．解直角三角形即可求出．
拓展：如图，作于点H．则，解直角三角形可得，，进而可求出，同理可证明四边形是矩形，则，进而可求出，则，即可得到．
【详解】解：发现：由折叠的性质可得，
∴一定经过正方形的中心，
∴为中间圆的直径，
由折叠的性质可得，
∵，
∴，
∴与圆相切；
探究：（1）如图，取中点O，连接，则点O为圆心，
是切线，
，即，
，
∴
∴．
由折叠的性质可得，
∵四边形是正方形，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
，
∴．
的长为：．
（2）连接，如图所示，
∵是的直径，
∴，
∴，
，
∴．
，即．
．
拓展：如图，作于点H．则，
∴，
∴，
∴
∵，
∴，
同理可证明四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
1 / 10
学科网（北京）股份有限公司
$
资源预览图
