专题07 切线的性质与判定九大题型专项训练（题型专练）数学新教材苏科版九年级上册

专题07 切线的性质与判定九大题型专项训练 （题型突破·举一反三） 题型01 有关切线的说法辨析 题型02 判断或补全使直线为切线的条件 题型03 证明某直线是圆的切线（连半径证垂直） 题型04 证明某直线是圆的切线（作垂直证半径） 题型05 利用切线的性质求线段长度 题型06 利用切线的性质求角度大小 题型07 利用切线的性质证明 题型08 切线的判定与性质的综合运用 题型09 过圆外一点作圆的切线 ▌题型01 有关切线的说法辨析 1. 切线定义：直线和圆有唯一公共点，这条直线叫做圆的切线。 2. 切线判定核心要点： · 切线与圆只有一个交点； · 圆心到直线的距离等于半径； · 直线过半径外端，并且垂直于这条半径。 3. 易错辨析点： · 和圆有一个交点≠只垂直半径（必须同时满足过半径外端）； · 垂直于半径的直线不一定是切线（不一定过半径外端点）； · 切线不是和半径只相交于一点的任意直线。 【典例1】如图，点在上，点在外，以下条件不能判定是切线的是（    ） A． B． C． D．与的交点是中点 【答案】D 【分析】本题考查切线的判定，勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，熟练掌握切线的判定是解题的关键．根据切线的判定分别对各个选项进行判断，即可得出结论． 【详解】 解：A、， ， ， 点B在上， 是的半径， 是切线； B、， ， ， ， ， 点B在上， 是的半径， 是切线； C、， 是直角三角形，， ， 点B在上， 是的半径， 是切线； D、与的交点是中点， 不能证出， 因此不能判定是切线； 故选：D． 【变式1-1】（25-26九年级上·江苏南京·阶段检测）下列命题中，是真命题的为（    ） A．三点确定一个圆 B．同弦所对的圆周角相等 C．对角互补的四边形四点共圆 D．垂直于半径的直线是圆的切线 【答案】C 【分析】本题主要考查真假命题的判定，圆的性质，圆周角定理，四点共圆的判定以及切线的判定，根据这些知识一一判定即可得出答案． 【详解】解：．不共线的三点确定一个圆，原命题是假命题，故该选项不符合题意； ．在同圆或等圆中，同弦所对的圆周角相等，原命题是假命题，故该选项不符合题意； ．对角互补的四边形四点共圆，原命题是真命题，故该选项符合题意； ．经过半径的外端并且垂直于半径的直线是圆的切线，原命题是假命题，故该选项不符合题意； 故选：C． 【变式1-2】（24-25九年级上·江苏徐州·阶段检测）下列说法中，正确的是（ ） A．垂直于半径的直线一定是这个圆的切线 B．在同圆中，同弦或等弦所对的圆周角相等 C．三角形有且只有一个内切圆 D．三角形的内心到三角形的个顶点的距离相等 【答案】C 【分析】此题考查了圆的切线的定义，三角形的内心的概念，要求学生对这些概念熟练掌握．根据切线的定义判断选项A；根据同弦或等弦所对的圆周角判断选项B；根据三角形的内切圆的圆心是三个内角平分线的交点判断选项C；根据三角形的内心的性质判断选项D． 【详解】解：A、经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线； B、在同圆中，同弦或等弦所对的圆周角相等或互补，则不一定相等； C、三角形的内切圆的圆心是三个内角平分线的交点，而交点只有一个； D、三角形的内心是三个内角平分线的交点，到三边的距离相等．由此可见只有选项C是正确的． 故选：C． 【变式1-3】如图，是⊙O的直径，交⊙O于点，于点，下列说法不正确的是（    ） A．若，则是⊙O的切线 B．若，则是⊙O的切线 C．若，则是⊙O的切线 D．若是⊙O的切线，则 【答案】A 【分析】根据AB=AC，连接AD，利用圆周角定理以及等腰三角形的性质可以得到点D是BC的中点，OD是△ABC的中位线，OD∥AC，然后由DE⊥AC，得到∠ODE=90°，可以证明DE是⊙O的切线，可判断B选项正确； 若DE是⊙O的切线，同上法倒推可证明AB=AC，可判断D选项正确； 根据CD=BD，AO=BO，得到OD是△ABC的中位线，同上可以证明DE是⊙O的切线，可判断C选项正确； 若，没有理由可证明DE是⊙O的切线． 【详解】解：当AB=AC时，如图：连接AD， ∵AB是⊙O的直径， ∴AD⊥BC， ∴CD=BD， ∵AO=BO， ∴OD是△ABC的中位线， ∴OD∥AC， ∵DE⊥AC， ∴DE⊥OD， ∴DE是⊙O的切线，所以B选项正确； 当DE是⊙O的切线时，如图：连接AD， ∵DE是⊙O的切线， ∴DE⊥OD， ∵DE⊥AC， ∴OD∥AC， ∴OD是△ABC的中位线， ∴CD∥BD， ∵AB是⊙O的直径， ∴AD⊥BC， ∴AD是线段BC的垂直平分线， ∴AB=AC，所以D选项正确； 当CD=BD时，又AO=BO， ∴OD是△ABC的中位线， ∴OD∥AC， ∵DE⊥AC， ∴DE⊥OD， ∴DE是⊙O的切线，所以C选项正确． 若，没有理由证明DE是⊙O的切线，所以A选项错误． 故选：A． 【点睛】本题考查了切线的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键． ▌题型02 判断或补全使直线为切线的条件 1. 切线两个判定等价条件，二选一补齐条件： ①已知直线过圆上一点：补充条件：直线垂直于该点处的半径； ②不知道直线是否过圆上点：补充条件：圆心到直线的距离等于圆的半径。 2. 做题思路：看已有条件，缺哪个条件就补哪个； 3. 常见坑：只写垂直，忘记 “过半径外端”；或只写过点，缺少垂直。 【典例2】 如图，和直线，直线在同一平面内，是的直径，直线是的切线，直线经过点，下列条件不能判定直线与相切的是 （        ） A． B． C．与只有一个公共点 D．点到上某点的距离等于半径 【答案】D 【分析】本题考查了切线的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握切线的判定方法是解题的关键．根据切线的判定定理“经过半径的外端且垂直于这条半径的直线”或“圆心到直线的距离等于半径”逐项进行判断即可． 【详解】解：是的直径，且是的切线 又 直线与相切 故选项A、B可以判定，不符合题意； C、根据圆的切线的定义，可知与圆仅有一个公共点的直线是切线，选项C可以判定，不符合题意； D、根据与圆心的距离等于半径的直线为圆的切线，选项D不可判定，符合题意； 故选：D． 【变式1-1】（25-26九年级上·安徽铜陵·期中）如图，以的边为直径作交于点，连接，过点作于点．若要使是的切线，则下列补充的条件不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查切线的判定，根据切线的判定方法，结合各选项中给出的条件，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、， ， ∵， ， ， ， ， ， ∵是的半径， 是的切线，故本选项不符合题意； B、∵，是的半径， 是的切线，故本选项不符合题意； C、、，， 是△的中位线， ， ， ， ∵是的半径， 是的切线，故本选项不符合题意； D、当时，不能证明是的切线，故本选项符合题意； 故选：D． 【变式1-2】在下图中，是的直径，要使得直线是的切线，需要添加的一个条件是________．（写一个条件即可） 【答案】∠ABT=∠ATB=45°（答案不唯一） 【分析】根据切线的判定条件，只需要得到∠BAT=90°即可求解，因此只需要添加条件：∠ABT=∠ATB=45°即可． 【详解】解：添加条件：∠ABT=∠ATB=45°， ∵∠ABT=∠ATB=45°， ∴∠BAT=90°， 又∵AB是圆O的直径， ∴AT是圆O的切线， 故答案为：∠ABT=∠ATB=45°（答案不唯一）． 【点睛】本题主要考查了圆切线的判定，三角形内角和定理，熟知圆切线的判定条件是解题的关键． 【变式1-3】（2025九年级·全国·专题练习）如图，CD是的直径，BD是的弦，延长DC到点A，使．有下列三个条件：①；②；③．其中只需添加一个条件就能使AB成为的切线的是________（填序号）． 【答案】①②③ 【分析】分析题意，连接，若使是的切线，只需证明即可；若添加条件①，由是的直径得到结合，只要证明即可；根据是的一个外角得知，推理可得是等边三角形，至此可判断①的正误；对于②，若，则是等边三角形，，继而可以求得的度数，从而可以作出判断；对于③，根据得到，由三角形内角和定理可得，结合得到，接下来可以得到的度数，从而完成解答． 【详解】解：如图，连接． 是的直径， ． ， ． ①， ， ． 又， 是等边三角形， ， ， ， 是的切线． ∴①正确； ②，， 是等边三角形， ． ， ， ， 是的切线． ∴②正确； ③， ． ， ． ， ． ， ， ， 是的切线． ∴③正确； 综上所述，能使成为的切线的是①②③． 故答案为：①②③． 【点睛】本题考查了切线的判定，掌握经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线是解题的关键． ▌题型03 证明某直线是圆的切线（连半径证垂直） 1. 固定套路：连半径，证垂直 ①连接圆心和直线与圆的交点（得到半径）； ②证明这条半径和待证直线夹角为； ③由 “经过半径外端并且垂直于半径的直线是圆的切线” 得证。 2. 证垂直常用手段：互余、全等、平行线垂直转换、等腰三角形三线合一、角度推导、勾股逆定理。 【典例3】如图，，是的直径，交于D，于M点． 求证：与相切．    【答案】 证明：连接 ，    ∵ ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵交于D， ∴是的半径， ∴与相切． 【分析】连接 ，根据等腰三角形的性质可得，，从而可证，根据平行线的性质可得，即可得出结论． 【详解】略 【点睛】本题考查等腰三角形的性质、平行线的判定与性质、切线的判定，根据平行线的判定与性质得出是解题的关键． 【变式1-1】如图，已知为的直径，点为圆上一点，垂直于过点的直线，交于点E，垂足为点，平分．求证：是的切线． 【答案】见详解 【分析】本题主要考查了切线的判定，圆周角定理等知识，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 连接，根据角平分线的定义有，根据圆周角定理有，可得，进而有，进而可得，则有半径，问题得证． 【详解】解：连接，如图， ∵平分， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是半径 ∴是的切线； 【变式1-2】如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BAD＝90°，AC是对角线．点E在BC的延长线上，且∠CED＝∠BAC．判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由． 【分析】先根据圆周角定理证明BD是⊙O的直径，得∠BCD＝90°，再由三角形外角的性质和圆周角定理可得∠BDE＝90°，可得DE是⊙O的切线． 【详解】解：相切． 理由是：连接BD，如图， ∵四边形ABCD内接于⊙O，∠BAD＝90°， ∴BD是⊙O的直径，即点O在BD上． ∴∠BCD＝90°． ∴∠CED+∠CDE＝90°． ∵∠CED＝∠BAC． 又∵∠BAC＝∠BDC， ∴∠BDC+∠CDE＝90°，即∠BDE＝90°． ∴DE⊥OD于点D． ∴DE是⊙O的切线． 【点睛】此题主要考查了直线与圆的位置关系，圆周角定理，垂径定理，切线的判定，熟练掌握切线的判定定理是解本题的关键． 【变式1-3】如图，为的直径，点C和点D是上的两点，连接，，交的延长线于点E．求证：是的切线； 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了切线的判定，圆周角定理等知识，熟练掌握切线的判定，全等三角形的判定和性质，圆周角定理等知识是解题的关键．连接，证得，可得，从而得到，进而得到利用切线的判定定理即可求证； 【详解】证明：连接，如图， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线． ▌题型04 证明某直线是圆的切线（作垂直证半径） 1. 固定套路：作垂直，证半径 ①过圆心向这条直线作垂线，垂足记为； ②证明垂线段的长度等于圆的半径； ③由 “圆心到直线距离等于半径，则直线是圆切线” 得证。 2. 区分题型 3 和 4：有交点连半径；无交点作垂线。 【典例4】如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D．求证：AC是⊙O的切线． 【分析】过点O作OE⊥AC于点E，连接OD，OA，根据切线的性质得出AB⊥OD，根据等腰三角形三线合一的性质得出AO是∠BAC的平分线，根据角平分线的性质得出OE＝OD，从而证得结论． 【详解】证明：过点O作OE⊥AC于点E，连接OD，OA， ∵AB与⊙O相切于点D， ∴AB⊥OD， ∵△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点， ∴AO是∠BAC的平分线， ∴OE＝OD，即OE是⊙O的半径， ∵圆心到直线的距离等于半径， ∴AC是⊙O的切线． 【点睛】本题考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键． 【变式1-1】 如图，O为正方形ABCD对角线AC上一点，以O为圆心，OA长为半径的⊙O与BC相切于点M．求证：CD与⊙O相切． 【分析】利用正方形的性质得出AC平分角∠BCD，再利用角平分线的性质得出OM＝ON，即可得出答案． 【详解】证明：如图所示，连接OM，过点O作ON⊥CD于点N， ∵⊙O与BC相切于点M， ∴OM⊥BC， 又∵ON⊥CD，O为正方形ABCD对角线AC上一点， ∴OM＝ON， ∴ON为⊙O的半径， ∴CD与⊙O相切． 【点睛】此题主要考查了正方形的性质以及角平分线的性质，得出OM＝ON是解题关键． 【变式1-2】如图，中，，为的角平分线，以点O为圆心，为半径作与线段交于点D．求证：为的切线； 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行的判定和性质，角平分线的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．过O作于H，根据角平分线的性质得到，根据切线的判定定理即可得到结论 【详解】证明：过O作于H， ∵， ∴， ∵为的角平分线，， ∴， 即为的半径， ∵， ∴为的切线； 【变式1-3】如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，E为AB上的一点，DE＝DC，以D为圆心，DB长为半径作⊙D，AB＝5，EB＝3． （1）求证：AC是⊙D的切线； （2）求线段AC的长． 【分析】（1）过点D作DF⊥AC于F，求出BD＝DF等于半径，得出AC是⊙D的切线． （2）先证明△BDE≌△DCF（HL），根据全等三角形对应边相等及切线的性质的AB＝AF，得出AB+EB＝AC． 【详解】证明：（1）过点D作DF⊥AC于F； ∵AB为⊙D的切线， ∴∠B＝90° ∴AB⊥BC ∵AD平分∠BAC，DF⊥AC ∴BD＝DF ∴AC与⊙D相切； （2）在△BDE和△DCF中； ∵BD＝DF，DE＝DC， ∴Rt△BDE≌Rt△DCF（HL）， ∴EB＝FC． ∵AB＝AF， ∴AB+EB＝AF+FC， 即AB+EB＝AC， ∴AC＝5+3＝8． 【点睛】本题考查的是切线的判定、角平分线的性质定理、全等三角形的判定与性质；熟练掌握切线的判定方法，证明三角形全等得出EB=FC是解决问题（2）的关键． ▌题型05 利用切线的性质求线段长度 1. 切线性质：圆的切线垂直于过切点的半径。看到切线，立刻连接圆心与切点，得到直角。 2. 常用工具： · 勾股定理（出现直角三角形最常用）； · 等腰、全等三角形转化边长。 3. 做题关键：见切线→连切点半径→构造直角三角形计算线段。 【典例5】如图，直线与相切于点，线段，是的两条弦，且；若的半径为，，则弦的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接并延长，交于点，连接，根据切线的性质和平行线的性质可知，由垂径定理可知，利用勾股定理求出，再利用勾股定理求出的长度即可． 【详解】解：如下图所示，连接并延长，交于点，连接， 直线与相切于点， ， ， ， ， ， 的半径为， ， ， ， ． 【变式1-1】 如图，E为的直角边上一点，以为半径的半圆与斜边相切于点D．已知，，则的半径的长为（　　） A．3.5 B．3 C．2.5 D．2 【答案】B 【分析】连接，，设的半径的长为r，证明得到，由勾股定理求出长，由勾股定理列出关于r的方程，即可求解． 【详解】解：连接，，设的半径的长为r， ∵与半圆相切于D， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴， ∴的半径的长为3． 【变式1-2】如图，在等腰中，，延长AC到D，，G为上一点，以为直径的⊙与斜边相切于点P，与的延长线段交于点F，若的长为，则的长是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，设半径为r，结合可知，所以，，因为是的切线，所以，结合是等腰直角三角形，可得，因此是等腰直角三角形，得到与的关系．结合第一步得到的与r的关系，代入的长度列方程求解r．最后根据勾股定理计算的长度． 【详解】解：连接， 设的半径为， 因为是直径，为圆心， 所以， ， ． 是等腰直角三角形，，， 到圆心的距离为：． 是的切线， ，， 为等腰直角三角形， ． ， 解得． ，． ． 【变式1-3】如图，在四边形中，，，以D为圆心，为半径的弧恰好与相切，切点为E，若， ，则的长为_____．    【答案】 【分析】连接、，根据切线的判定可证是的切线，再根据切线长定理可得，，由切线的性质可得，再由平行线的性质与等腰三角形的判定可得，可得，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：连接、， ∵，是的半径， ∴是的切线， ∵是的切线， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 故答案为：．    【点睛】本题考查切线的判定与性质、切线长定理、平行线的性质、等腰三角形的判定、勾股定理，熟练掌握切线的判定与性质和切线长定理是解题的关键． ▌题型06 利用切线的性质求角度大小 1. 核心：切线⊥过切点半径，得到角。 2. 配套角度工具： · 圆周角定理：同弧圆周角等于圆心角一半； · 直径所对圆周角是直角； · 三角形内角和、外角定理； · 切线长定理衍生：圆外一点和圆心连线平分两条切线夹角。 3. 思路：由切线得到直角，结合已知角，利用圆中角度模型推导未知角。 【典例6】如图，、是的两条切线，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形的内角和可求得度数，再根据四边形的内角和，可求得的度数． 【详解】解：连接， ∵，， ∴， ∴， 又∵、是的两条切线， ∴， ∴． 【变式1-1】如图所示，是的直径，切于点，线段交于点，连接，若，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据切线的性质可得，利用三角形内角和定理求出的度数，最后根据圆周角定理即可求出的度数. 【详解】解：切于点， ， ， ， ， 与分别是所对的圆周角和圆心角， ． 【变式1-2】如图，为的切线，交于点，为上一点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，根据切线的性质得到，利用直角三角形两锐角互余求出，再根据圆周角定理求解即可． 【详解】解：连接， ∵为⊙的切线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵与分别是所对的圆周角和圆心角， ∴． 【变式1-3】如图所示，线段是的一条直径，，过点作的切线交的延长线于点，则等于______． 【答案】/50度 【分析】连接，先利用切线的性质得，再根据圆周角定理得，然后利用互余计算的度数． 【详解】解：连接，如图所示， 为的切线， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，比连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系，也考查了圆周角定理． ▌题型07 利用切线的性质证明 1. 基础性质：切线⊥过切点半径；切线长相等、切线长夹角被圆心与外点连线平分。 2. 常考证明类型：证明线段相等、角相等、两直线平行 / 垂直。 3. 思路： ①遇切线先连接圆心‑切点，得到直角； ②结合全等、圆周角、等腰三角形完成推导； 4. 注意：性质题，条件是已经是切线，不要重复证明切线。 【典例7】如图，BD是的直径，是的弦，过点A的切线交的延长线于点C，．求证：．    【答案】证明见解析 【分析】根据是的直径，得，是的切线，得出，由得，根据即可证：． 【详解】证明：∵BD是的直径， ∴． ∵AC是的切线， ∴． ∴ ∵， ∴． 在和中， ∴． 【点睛】本题考查切线的性质，圆周角定理的推论，全等三角形的判定与性质，熟练掌握直径所对的圆周角是直角和切线的性质是解题的关键． 【变式1-1】如图所示，是的直径，点为线段上一点（不与，重合），作，交于点，垂足为点，作直径，过点的切线交的延长线于点，于点，连接试证明： (1)是的角平分线； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据等角的余角相等证明即可； （2）欲证明，只要证明≌即可． 【详解】（1）， ， 是的切线，， ， ，， ， 平分． （2）连接． 是直径， ， ，， ， ， ，， ≌， ． 解法二：连接． ， 平行， ， ， ，， ． 【点睛】本题考查切线的性质、角平分线的判定、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，属于中考常考题型． 【变式1-2】如图，点A、B、C在O上，直线与O相切于点A． (1)试问：与有怎样的大小关系？证明你的结论； (2)如果我们把形如这样的角称为“弦切角”，请你用文字表述你在（1）中得出的结论． 【答案】(1)，理由见详解； (2)弦切角等于其两边所夹弧所对的圆周角． 【分析】（1）连接并延长交O于点D，连接，由圆周角定理利出，由切线的性质得出，得出，进而则可得出结论； （2）由弦切角和对应的圆周角的关系，直=直接写出结论即可． 【详解】（1）解：，理由如下： 连接并延长交O于点D，连接， ∵是O的直径， ∴，即： ∵直线与O相切于点A． ∴，即：， ∴， ∵， ∴； （2）解：由题意得：弦切角等于其两边所夹弧所对的圆周角． 【点睛】本题考查了切线的性质，弦切角的定义，圆周角定理，理解弦切角的概念和圆周角定理的推论是解题的关键． 【变式1-3】已知：如图，点是外一点，过点分别作的切线、，切点为点、，连接，过点作交于点，过点作于. （1）求证：四边形是矩形； （2）若，的半径为，试证明四边形的周长等于. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【详解】试题分析： （1）由PA是的切线可得∠OAP=90°，结合OD∥AP可得∠O=90°，再结合DC⊥AP即可得到四边形OACD矩形了； （2）如图，连接OB，由四边形AOCD是矩形结合的半径为可得DC=OA=OB=，由OD∥AP可得∠BDO=∠P=45°，由PB是的切线可得∠OBD=90°，由此可得BD=OB=r，则OD==AC，这样即可由OA+AC+DC+OD求得四边形OACD的周长为. 试题解析： （1）∵ 是的切线，切点为， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 又∵ ， ∴四边形是矩形； （2）如图，连接OB， 由（1）得，四边形是矩形， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵ 是的切线， ∴ ， ∴ ， ∴ , 在中，由勾股定理得：， ∴四边形的周长. ▌题型08 切线的判定与性质的综合运用 1. 两类考点混合：先证明切线（连半径证垂直 / 作垂直证半径），再利用切线性质算边、算角、做证明。 2. 做题顺序： · 第一小问常考：证明切线； · 第二小问常考：借助切线带来的直角，勾股求边长或者求角度。 3. 重要模型：切线 + 直径、切线 + 弦、切线长模型，综合圆周角定理。 【典例8】如图，为的直径，为上一点，，交于，且，连接． (1)求证：是的切线； (2)为上一点，连接，若，，，求的半径． 【答案】(1) 证明：如下图所示，连接， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的切线； (2)． 【分析】连接，根据圆周角定理可得，根据等腰三角形的性质可得，从而可证，即可得是的切线； 延长交于点，根据平行线的性质可证，根据垂径定理可得，利用勾股定理可求，在根据勾股定理 即可求出圆的半径． 【详解】（1）略 （2）解：如下图所示，延长交于点， ， ， ， ， 设， 则， ， ， 解得：． 【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，切线的性质和判定，平行线的性质和判定，等腰三角形的性质和判定的应用，解决本题的关键是作辅助线构造直角三角形，利用勾股定理求半径的长 ． 【变式1-1】（2026·宁夏·中考真题）如图，内接于，是直径，．点是上一点且与点位于两侧，，过点作交的延长线于，连接． (1)求的度数； (2)求证：是的切线． 【答案】(1) (2)证明：如图所示，连接， ， ， ． ， ． ， ， ， ，即， 又是的半径， 是的切线． 【分析】（1）连接，根据同弧所对的圆周角相等得到的度数，再根据等弧所对的圆周角相等得到，据此可求出的度数，再根据直径所对的圆周角是直角得到的度数，据此可得答案； （2）连接，根据（1）所求可得的度数，则可求出的度数，再求出的度数，进而求出的度数，再由切线的判定定理可证明结论． 【详解】（1）解：如图所示，连接， ，， ； ， ． 是的直径， ， ； （2）略 【变式1-2】如图，是的直径，，分别切于点、，分别交，于点、，平分． (1)求证：是的切线； (2)若，求的半径． 【答案】(1) 证明：过点作于点， 切于点A， ， 又平分， ， 为的半径， 是的半径，且， 是的切线； (2)的半径是6． 【分析】本题考查了切线的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理，解题关键是在证切线的问题中，一般先连接切点和圆心，再证明垂直；同时熟记切线垂直于经过切点的半径． （1）过点作于点，先根据切线的性质得到，再根据角平分线的性质可得，由是的半径，且，即可作出判断； （2）过点D作于点F，先根据切线的性质得到从而可证得四边形是矩形，根据矩形的性质可得从而可得的长，再根据切线的性质求得的长，在中，根据勾股定理即可求得的长，进而即可得解． 【详解】（1）略 （2）解：过点D作于点F， ，分别切于点A，B， ， 四边形是矩形， ， 又， ， ，，分别切于点A，B，E， ， ， 在中， ， ， ， 即的半径是6． 【变式1-3】（2026·甘肃兰州·中考真题）如图，是的直径，是的切线，为延长线上一点，延长交于点，，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)证明：连接， 是的直径，是的切线， ， ， ，， ， ， ， 四边形中，， ， ， 是的半径， 是的切线； (2) 【分析】（1）连接，根据切线的性质得，根据四边形的内角和是及，，可得，进而即可证明结论； （2）根据证明，得，根据勾股定理求出，进而根据勾股定理建立方程即可求得的半径． 【详解】（1）略 （2）解：， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， 中，， 在中，， 即， 解得， 即的半径为． ▌题型09 过圆外一点作圆的切线 1. 结论：过圆外一点，可以作两条圆的切线；圆上一点只能作 1 条切线；圆内点不能作切线。 2. 尺规作图原理： 以圆外点与圆心的连线为直径作圆，两圆交点就是切点，连接圆外点与切点，即为切线。原理：直径所对圆周角为直角，满足半径⊥切线。 3. 切线长定理：两条切线长度相等；该点和圆心连线，平分两条切线夹角，垂直平分两切点连线。 【典例9】（25-26九年级上·江苏无锡·期中）我们知道，过圆外一点可以作两条直线与圆相切．如图，点P为外一点． (1)请过点P作的切线，，切点分别为A，B；（尺规作图，保留作图痕迹） (2)求证：，是的切线． 【答案】(1) 如图所示：、即为所求； (2) 证明：连接，，如图， ∵为⊙的直径， ∴； ∴，， 又∵点A，B在⊙O上， ∴，是⊙O的半径，且， ∴，是⊙O的切线（经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线）． 【分析】本题考查尺规作图（作圆的切线）与切线的证明，核心是掌握线段垂直平分线的尺规作法、圆周角定理的推论及切线的判定定理，通过构造辅助圆将切线问题转化为直角问题解决． （1）作法：①连接，作线段的垂直平分线，交于点M；②以M为圆心，以为半径作⊙M，与⊙O交于两点A和B；③作直线，直线，则直线和直线是⊙O的两条切线； （2）利用圆周角定理的推论（直径所对圆周角为直角）证明半径与直线垂直，再结合切线判定定理完成证明． 【详解】（1）略 （2）略 【变式1-1】（23-24九年级上·江苏扬州·期中）请按下列要求作图．    (1)如图1，在方格纸中，点A在圆上，仅用无刻度直尺过点A画出圆的切线； (2)如图2，已知，点Q在外，用尺规作上所有过点Q的切线．（保留作图痕迹） 【答案】(1) 解：如图，直线即为所求：    (2) 解：所有过点Q的切线为切线，切线，如图所示：    【分析】本题考查了切线的性质，过圆外一点作圆的切线（尺规作图）以及方格作图： （1）根据方格的特征，因为，，，得是直径，，即得，据此作图即可； （2）连接，再作线段的垂直平分线，交于一点，即为点，以点为圆心，为半径，相交于点A，点B，连接，，因为为直径，，即为切线，切线，即可作答． 正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】（1）略 （2）略 【变式1-2】（23-24九年级上·江苏盐城·期中）如图，在中，，以为直径的交边于点，连接，过点作． (1)请用无刻度的直尺和圆规作图：过点作的切线，交于点；（不写作法，保留作图痕迹，标明字母） (2)在（1）的条件下，若，求的长． 【答案】(1) 如图直线即为所求直线； (2) 【分析】本题考查作圆的切线和全等三角形判定与性质： （1）以点B为圆心，适当长为半径，画弧分别交于点M、的延长线于点N，再分别以点M和点N为圆心，大于，的长为半径，画弧，分别相交于点G和点H，连接并延长交于一点，即为点F，此时是的垂直平分线，结合，即可作答； （2）由，，可得，而点D在以为直径的圆上，为的切线，可得，证明，即可作答． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点D在以为直径的圆上， ∴， ∴， ∵为的切线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【变式1-3】（25-26九年级上·江苏镇江·阶段检测）古希腊数学家毕达哥拉斯认为：“一切平面图形中最美的是圆”．皮皮决定研究一下圆． (1)如图1，点A在圆上，在方格纸中，仅用无刻度直尺过点A画出圆的切线； (2)在图2中尺规作图：过圆外一点E作的切线，切点为D，保留作图痕迹； (3)如图3，在（2）的前提下，是的一条半径，且垂直于，交于点，连接交于，已知． ①求证：； ②若，求长． 【答案】(1) 解：如图，直线即为所求： (2) 解：如图所示， (3)①证明：如图所示，连接， ∵是切线 ∴， ∵， ∴， ∵是半径， ∴，且（对顶角相等）， ∴， ∴； ② 【分析】本题考查尺规作图，切线的基本性质，勾股定理，熟练掌握切线的基本性质是解题关键； （1）根据方格的特征，因为，，，得是直径，，即得，据此作图即可； （2）如图所示，连接，并以为直径作圆，交于点D，运用直径所对角是直角即可求出点的位置； （3）①根据切线的性质可得，根据，可得，结合圆的基础知识可得，再根据对顶角相等，即可求解；②根据可求出的长，设，则，在中，根据即可求解． 【详解】（1）略 （2）①连接，分别以点O，E为圆心，以大于为半径画弧，交于点； ②连接交于点，以为圆心，以为半径画圆，交于点； ③在中，是直径， ∴，即， ∴为圆O的切线， ∴点即为所求点的位置； （3）①略 ②已知，， ∴，， 设，则， ∴在中，， ∴， 解得，， ∴长为． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 切线的性质与判定九大题型专项训练 （题型突破·举一反三） 题型01 有关切线的说法辨析 题型02 判断或补全使直线为切线的条件 题型03 证明某直线是圆的切线（连半径证垂直） 题型04 证明某直线是圆的切线（作垂直证半径） 题型05 利用切线的性质求线段长度 题型06 利用切线的性质求角度大小 题型07 利用切线的性质证明 题型08 切线的判定与性质的综合运用 题型09 过圆外一点作圆的切线 ▌题型01 有关切线的说法辨析 1. 切线定义：直线和圆有唯一公共点，这条直线叫做圆的切线。 2. 切线判定核心要点： · 切线与圆只有一个交点； · 圆心到直线的距离等于半径； · 直线过半径外端，并且垂直于这条半径。 3. 易错辨析点： · 和圆有一个交点≠只垂直半径（必须同时满足过半径外端）； · 垂直于半径的直线不一定是切线（不一定过半径外端点）； · 切线不是和半径只相交于一点的任意直线。 【典例1】如图，点在上，点在外，以下条件不能判定是切线的是（    ） A． B． C． D．与的交点是中点 【变式1-1】（25-26九年级上·江苏南京·阶段检测）下列命题中，是真命题的为（    ） A．三点确定一个圆 B．同弦所对的圆周角相等 C．对角互补的四边形四点共圆 D．垂直于半径的直线是圆的切线 【变式1-2】（24-25九年级上·江苏徐州·阶段检测）下列说法中，正确的是（ ） A．垂直于半径的直线一定是这个圆的切线 B．在同圆中，同弦或等弦所对的圆周角相等 C．三角形有且只有一个内切圆 D．三角形的内心到三角形的个顶点的距离相等 【变式1-3】如图，是⊙O的直径，交⊙O于点，于点，下列说法不正确的是（    ） A．若，则是⊙O的切线 B．若，则是⊙O的切线 C．若，则是⊙O的切线 D．若是⊙O的切线，则 ▌题型02 判断或补全使直线为切线的条件 1. 切线两个判定等价条件，二选一补齐条件： ①已知直线过圆上一点：补充条件：直线垂直于该点处的半径； ②不知道直线是否过圆上点：补充条件：圆心到直线的距离等于圆的半径。 2. 做题思路：看已有条件，缺哪个条件就补哪个； 3. 常见坑：只写垂直，忘记 “过半径外端”；或只写过点，缺少垂直。 【典例2】 如图，和直线，直线在同一平面内，是的直径，直线是的切线，直线经过点，下列条件不能判定直线与相切的是 （        ） A． B． C．与只有一个公共点 D．点到上某点的距离等于半径 【变式1-1】（25-26九年级上·安徽铜陵·期中）如图，以的边为直径作交于点，连接，过点作于点．若要使是的切线，则下列补充的条件不正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】在下图中，是的直径，要使得直线是的切线，需要添加的一个条件是________．（写一个条件即可） 【变式1-3】（2025九年级·全国·专题练习）如图，CD是的直径，BD是的弦，延长DC到点A，使．有下列三个条件：①；②；③．其中只需添加一个条件就能使AB成为的切线的是________（填序号）． ▌题型03 证明某直线是圆的切线（连半径证垂直） 1. 固定套路：连半径，证垂直 ①连接圆心和直线与圆的交点（得到半径）； ②证明这条半径和待证直线夹角为； ③由 “经过半径外端并且垂直于半径的直线是圆的切线” 得证。 2. 证垂直常用手段：互余、全等、平行线垂直转换、等腰三角形三线合一、角度推导、勾股逆定理。 【典例3】如图，，是的直径，交于D，于M点． 求证：与相切．    【变式1-1】如图，已知为的直径，点为圆上一点，垂直于过点的直线，交于点E，垂足为点，平分．求证：是的切线． 【变式1-2】如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BAD＝90°，AC是对角线．点E在BC的延长线上，且∠CED＝∠BAC．判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由． 【变式1-3】如图，为的直径，点C和点D是上的两点，连接，，交的延长线于点E．求证：是的切线； ▌题型04 证明某直线是圆的切线（作垂直证半径） 1. 固定套路：作垂直，证半径 ①过圆心向这条直线作垂线，垂足记为； ②证明垂线段的长度等于圆的半径； ③由 “圆心到直线距离等于半径，则直线是圆切线” 得证。 2. 区分题型 3 和 4：有交点连半径；无交点作垂线。 【典例4】如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D．求证：AC是⊙O的切线． 【变式1-1】 如图，O为正方形ABCD对角线AC上一点，以O为圆心，OA长为半径的⊙O与BC相切于点M．求证：CD与⊙O相切． 【变式1-2】如图，中，，为的角平分线，以点O为圆心，为半径作与线段交于点D．求证：为的切线； 【变式1-3】如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，E为AB上的一点，DE＝DC，以D为圆心，DB长为半径作⊙D，AB＝5，EB＝3． （1）求证：AC是⊙D的切线； （2）求线段AC的长． ▌题型05 利用切线的性质求线段长度 1. 切线性质：圆的切线垂直于过切点的半径。看到切线，立刻连接圆心与切点，得到直角。 2. 常用工具： · 勾股定理（出现直角三角形最常用）； · 等腰、全等三角形转化边长。 3. 做题关键：见切线→连切点半径→构造直角三角形计算线段。 【典例5】如图，直线与相切于点，线段，是的两条弦，且；若的半径为，，则弦的长为（     ） A． B． C． D． 【变式1-1】 如图，E为的直角边上一点，以为半径的半圆与斜边相切于点D．已知，，则的半径的长为（　　） A．3.5 B．3 C．2.5 D．2 【变式1-2】如图，在等腰中，，延长AC到D，，G为上一点，以为直径的⊙与斜边相切于点P，与的延长线段交于点F，若的长为，则的长是（     ） A． B． C． D． 【变式1-3】如图，在四边形中，，，以D为圆心，为半径的弧恰好与相切，切点为E，若， ，则的长为_____．    ▌题型06 利用切线的性质求角度大小 1. 核心：切线⊥过切点半径，得到角。 2. 配套角度工具： · 圆周角定理：同弧圆周角等于圆心角一半； · 直径所对圆周角是直角； · 三角形内角和、外角定理； · 切线长定理衍生：圆外一点和圆心连线平分两条切线夹角。 3. 思路：由切线得到直角，结合已知角，利用圆中角度模型推导未知角。 【典例6】如图，、是的两条切线，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式1-1】如图所示，是的直径，切于点，线段交于点，连接，若，则等于（     ） A． B． C． D． 【变式1-2】如图，为的切线，交于点，为上一点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】如图所示，线段是的一条直径，，过点作的切线交的延长线于点，则等于______． ▌题型07 利用切线的性质证明 1. 基础性质：切线⊥过切点半径；切线长相等、切线长夹角被圆心与外点连线平分。 2. 常考证明类型：证明线段相等、角相等、两直线平行 / 垂直。 3. 思路： ①遇切线先连接圆心‑切点，得到直角； ②结合全等、圆周角、等腰三角形完成推导； 4. 注意：性质题，条件是已经是切线，不要重复证明切线。 【典例7】如图，BD是的直径，是的弦，过点A的切线交的延长线于点C，．求证：．    【变式1-1】如图所示，是的直径，点为线段上一点（不与，重合），作，交于点，垂足为点，作直径，过点的切线交的延长线于点，于点，连接试证明： (1)是的角平分线； (2)． 【变式1-2】如图，点A、B、C在O上，直线与O相切于点A． (1)试问：与有怎样的大小关系？证明你的结论； (2)如果我们把形如这样的角称为“弦切角”，请你用文字表述你在（1）中得出的结论． 【变式1-3】已知：如图，点是外一点，过点分别作的切线、，切点为点、，连接，过点作交于点，过点作于. （1）求证：四边形是矩形； （2）若，的半径为，试证明四边形的周长等于. ▌题型08 切线的判定与性质的综合运用 1. 两类考点混合：先证明切线（连半径证垂直 / 作垂直证半径），再利用切线性质算边、算角、做证明。 2. 做题顺序： · 第一小问常考：证明切线； · 第二小问常考：借助切线带来的直角，勾股求边长或者求角度。 3. 重要模型：切线 + 直径、切线 + 弦、切线长模型，综合圆周角定理。 【典例8】如图，为的直径，为上一点，，交于，且，连接． (1)求证：是的切线； (2)为上一点，连接，若，，，求的半径． 【变式1-1】（2026·宁夏·中考真题）如图，内接于，是直径，．点是上一点且与点位于两侧，，过点作交的延长线于，连接． (1)求的度数； (2)求证：是的切线． 【变式1-2】如图，是的直径，，分别切于点、，分别交，于点、，平分． (1)求证：是的切线； (2)若，求的半径． 【变式1-3】（2026·甘肃兰州·中考真题）如图，是的直径，是的切线，为延长线上一点，延长交于点，，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． ▌题型09 过圆外一点作圆的切线 1. 结论：过圆外一点，可以作两条圆的切线；圆上一点只能作 1 条切线；圆内点不能作切线。 2. 尺规作图原理： 以圆外点与圆心的连线为直径作圆，两圆交点就是切点，连接圆外点与切点，即为切线。原理：直径所对圆周角为直角，满足半径⊥切线。 3. 切线长定理：两条切线长度相等；该点和圆心连线，平分两条切线夹角，垂直平分两切点连线。 【典例9】（25-26九年级上·江苏无锡·期中）我们知道，过圆外一点可以作两条直线与圆相切．如图，点P为外一点． (1)请过点P作的切线，，切点分别为A，B；（尺规作图，保留作图痕迹） (2)求证：，是的切线． 【变式1-1】（23-24九年级上·江苏扬州·期中）请按下列要求作图．    (1)如图1，在方格纸中，点A在圆上，仅用无刻度直尺过点A画出圆的切线； (2)如图2，已知，点Q在外，用尺规作上所有过点Q的切线．（保留作图痕迹） 【变式1-2】（23-24九年级上·江苏盐城·期中）如图，在中，，以为直径的交边于点，连接，过点作． (1)请用无刻度的直尺和圆规作图：过点作的切线，交于点；（不写作法，保留作图痕迹，标明字母） (2)在（1）的条件下，若，求的长． 【变式1-3】（25-26九年级上·江苏镇江·阶段检测）古希腊数学家毕达哥拉斯认为：“一切平面图形中最美的是圆”．皮皮决定研究一下圆． (1)如图1，点A在圆上，在方格纸中，仅用无刻度直尺过点A画出圆的切线； (2)在图2中尺规作图：过圆外一点E作的切线，切点为D，保留作图痕迹； (3)如图3，在（2）的前提下，是的一条半径，且垂直于，交于点，连接交于，已知． ①求证：； ②若，求长． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 切线的性质与判定九大题型专项训练 （题型突破·举一反三） 题型01 有关切线的说法辨析 题型02 判断或补全使直线为切线的条件 题型03 证明某直线是圆的切线（连半径证垂直） 题型04 证明某直线是圆的切线（作垂直证半径） 题型05 利用切线的性质求线段长度 题型06 利用切线的性质求角度大小 题型07 利用切线的性质证明 题型08 切线的判定与性质的综合运用 题型09 过圆外一点作圆的切线 ▌题型01 有关切线的说法辨析 【典例1】【答案】D 【变式1-1】【答案】C 【变式1-2】【答案】C 【变式1-3】【答案】A ▌题型02 判断或补全使直线为切线的条件 【典例2】 【答案】D 【变式1-1】【答案】D 【变式1-2】【答案】∠ABT=∠ATB=45°（答案不唯一） 【变式1-3】【答案】①②③ ▌题型03 证明某直线是圆的切线（连半径证垂直） 【典例3】 【答案】 证明：连接 ，    ∵ ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵交于D， ∴是的半径， ∴与相切． 【分析】连接 ，根据等腰三角形的性质可得，，从而可证，根据平行线的性质可得，即可得出结论． 【详解】略 【点睛】本题考查等腰三角形的性质、平行线的判定与性质、切线的判定，根据平行线的判定与性质得出是解题的关键． 【变式1-1】 【答案】见详解 【分析】本题主要考查了切线的判定，圆周角定理等知识，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 连接，根据角平分线的定义有，根据圆周角定理有，可得，进而有，进而可得，则有半径，问题得证． 【详解】解：连接，如图， ∵平分， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是半径 ∴是的切线； 【变式1-2】 【分析】先根据圆周角定理证明BD是⊙O的直径，得∠BCD＝90°，再由三角形外角的性质和圆周角定理可得∠BDE＝90°，可得DE是⊙O的切线． 【详解】解：相切． 理由是：连接BD，如图， ∵四边形ABCD内接于⊙O，∠BAD＝90°， ∴BD是⊙O的直径，即点O在BD上． ∴∠BCD＝90°． ∴∠CED+∠CDE＝90°． ∵∠CED＝∠BAC． 又∵∠BAC＝∠BDC， ∴∠BDC+∠CDE＝90°，即∠BDE＝90°． ∴DE⊥OD于点D． ∴DE是⊙O的切线． 【点睛】此题主要考查了直线与圆的位置关系，圆周角定理，垂径定理，切线的判定，熟练掌握切线的判定定理是解本题的关键． 【变式1-3】 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了切线的判定，圆周角定理等知识，熟练掌握切线的判定，全等三角形的判定和性质，圆周角定理等知识是解题的关键．连接，证得，可得，从而得到，进而得到利用切线的判定定理即可求证； 【详解】证明：连接，如图， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线． ▌题型04 证明某直线是圆的切线（作垂直证半径） 【典例4】 【分析】过点O作OE⊥AC于点E，连接OD，OA，根据切线的性质得出AB⊥OD，根据等腰三角形三线合一的性质得出AO是∠BAC的平分线，根据角平分线的性质得出OE＝OD，从而证得结论． 【详解】证明：过点O作OE⊥AC于点E，连接OD，OA， ∵AB与⊙O相切于点D， ∴AB⊥OD， ∵△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点， ∴AO是∠BAC的平分线， ∴OE＝OD，即OE是⊙O的半径， ∵圆心到直线的距离等于半径， ∴AC是⊙O的切线． 【点睛】本题考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键． 【变式1-1】 【分析】利用正方形的性质得出AC平分角∠BCD，再利用角平分线的性质得出OM＝ON，即可得出答案． 【详解】证明：如图所示，连接OM，过点O作ON⊥CD于点N， ∵⊙O与BC相切于点M， ∴OM⊥BC， 又∵ON⊥CD，O为正方形ABCD对角线AC上一点， ∴OM＝ON， ∴ON为⊙O的半径， ∴CD与⊙O相切． 【点睛】此题主要考查了正方形的性质以及角平分线的性质，得出OM＝ON是解题关键． 【变式1-2】 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行的判定和性质，角平分线的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．过O作于H，根据角平分线的性质得到，根据切线的判定定理即可得到结论 【详解】证明：过O作于H， ∵， ∴， ∵为的角平分线，， ∴， 即为的半径， ∵， ∴为的切线； 【变式1-3】 【分析】（1）过点D作DF⊥AC于F，求出BD＝DF等于半径，得出AC是⊙D的切线． （2）先证明△BDE≌△DCF（HL），根据全等三角形对应边相等及切线的性质的AB＝AF，得出AB+EB＝AC． 【详解】证明：（1）过点D作DF⊥AC于F； ∵AB为⊙D的切线， ∴∠B＝90° ∴AB⊥BC ∵AD平分∠BAC，DF⊥AC ∴BD＝DF ∴AC与⊙D相切； （2）在△BDE和△DCF中； ∵BD＝DF，DE＝DC， ∴Rt△BDE≌Rt△DCF（HL）， ∴EB＝FC． ∵AB＝AF， ∴AB+EB＝AF+FC， 即AB+EB＝AC， ∴AC＝5+3＝8． 【点睛】本题考查的是切线的判定、角平分线的性质定理、全等三角形的判定与性质；熟练掌握切线的判定方法，证明三角形全等得出EB=FC是解决问题（2）的关键． ▌题型05 利用切线的性质求线段长度 【典例5】【答案】C 【变式1-1】 【答案】B 【变式1-2】【答案】D 【变式1-3】【答案】 ▌题型06 利用切线的性质求角度大小 【典例6】【答案】C 【变式1-1】【答案】D 【变式1-2】【答案】B 【变式1-3】【答案】/50度 ▌题型07 利用切线的性质证明 【典例7】    【答案】证明见解析 【分析】根据是的直径，得，是的切线，得出，由得，根据即可证：． 【详解】证明：∵BD是的直径， ∴． ∵AC是的切线， ∴． ∴ ∵， ∴． 在和中， ∴． 【点睛】本题考查切线的性质，圆周角定理的推论，全等三角形的判定与性质，熟练掌握直径所对的圆周角是直角和切线的性质是解题的关键． 【变式1-1】 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据等角的余角相等证明即可； （2）欲证明，只要证明≌即可． 【详解】（1）， ， 是的切线，， ， ，， ， 平分． （2）连接． 是直径， ， ，， ， ， ，， ≌， ． 解法二：连接． ， 平行， ， ， ，， ． 【点睛】本题考查切线的性质、角平分线的判定、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，属于中考常考题型． 【变式1-2】 【答案】(1)，理由见详解； (2)弦切角等于其两边所夹弧所对的圆周角． 【分析】（1）连接并延长交O于点D，连接，由圆周角定理利出，由切线的性质得出，得出，进而则可得出结论； （2）由弦切角和对应的圆周角的关系，直=直接写出结论即可． 【详解】（1）解：，理由如下： 连接并延长交O于点D，连接， ∵是O的直径， ∴，即： ∵直线与O相切于点A． ∴，即：， ∴， ∵， ∴； （2）解：由题意得：弦切角等于其两边所夹弧所对的圆周角． 【点睛】本题考查了切线的性质，弦切角的定义，圆周角定理，理解弦切角的概念和圆周角定理的推论是解题的关键． 【变式1-3】 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【详解】试题分析： （1）由PA是的切线可得∠OAP=90°，结合OD∥AP可得∠O=90°，再结合DC⊥AP即可得到四边形OACD矩形了； （2）如图，连接OB，由四边形AOCD是矩形结合的半径为可得DC=OA=OB=，由OD∥AP可得∠BDO=∠P=45°，由PB是的切线可得∠OBD=90°，由此可得BD=OB=r，则OD==AC，这样即可由OA+AC+DC+OD求得四边形OACD的周长为. 试题解析： （1）∵ 是的切线，切点为， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 又∵ ， ∴四边形是矩形； （2）如图，连接OB， 由（1）得，四边形是矩形， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵ 是的切线， ∴ ， ∴ ， ∴ , 在中，由勾股定理得：， ∴四边形的周长. ▌题型08 切线的判定与性质的综合运用 【典例8】 【答案】(1) 证明：如下图所示，连接， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的切线； (2)． 【分析】连接，根据圆周角定理可得，根据等腰三角形的性质可得，从而可证，即可得是的切线； 延长交于点，根据平行线的性质可证，根据垂径定理可得，利用勾股定理可求，在根据勾股定理 即可求出圆的半径． 【详解】（1）略 （2）解：如下图所示，延长交于点， ， ， ， ， 设， 则， ， ， 解得：． 【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，切线的性质和判定，平行线的性质和判定，等腰三角形的性质和判定的应用，解决本题的关键是作辅助线构造直角三角形，利用勾股定理求半径的长 ． 【变式1-1】 【答案】(1) (2)证明：如图所示，连接， ， ， ． ， ． ， ， ， ，即， 又是的半径， 是的切线． 【分析】（1）连接，根据同弧所对的圆周角相等得到的度数，再根据等弧所对的圆周角相等得到，据此可求出的度数，再根据直径所对的圆周角是直角得到的度数，据此可得答案； （2）连接，根据（1）所求可得的度数，则可求出的度数，再求出的度数，进而求出的度数，再由切线的判定定理可证明结论． 【详解】（1）解：如图所示，连接， ，， ； ， ． 是的直径， ， ； （2）略 【变式1-2】 【答案】(1) 证明：过点作于点， 切于点A， ， 又平分， ， 为的半径， 是的半径，且， 是的切线； (2)的半径是6． 【分析】本题考查了切线的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理，解题关键是在证切线的问题中，一般先连接切点和圆心，再证明垂直；同时熟记切线垂直于经过切点的半径． （1）过点作于点，先根据切线的性质得到，再根据角平分线的性质可得，由是的半径，且，即可作出判断； （2）过点D作于点F，先根据切线的性质得到从而可证得四边形是矩形，根据矩形的性质可得从而可得的长，再根据切线的性质求得的长，在中，根据勾股定理即可求得的长，进而即可得解． 【详解】（1）略 （2）解：过点D作于点F， ，分别切于点A，B， ， 四边形是矩形， ， 又， ， ，，分别切于点A，B，E， ， ， 在中， ， ， ， 即的半径是6． 【变式1-3】 【答案】(1)证明：连接， 是的直径，是的切线， ， ， ，， ， ， ， 四边形中，， ， ， 是的半径， 是的切线； (2) 【分析】（1）连接，根据切线的性质得，根据四边形的内角和是及，，可得，进而即可证明结论； （2）根据证明，得，根据勾股定理求出，进而根据勾股定理建立方程即可求得的半径． 【详解】（1）略 （2）解：， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， 中，， 在中，， 即， 解得， 即的半径为． ▌题型09 过圆外一点作圆的切线 【典例9】 【答案】(1) 如图所示：、即为所求； (2) 证明：连接，，如图， ∵为⊙的直径， ∴； ∴，， 又∵点A，B在⊙O上， ∴，是⊙O的半径，且， ∴，是⊙O的切线（经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线）． 【分析】本题考查尺规作图（作圆的切线）与切线的证明，核心是掌握线段垂直平分线的尺规作法、圆周角定理的推论及切线的判定定理，通过构造辅助圆将切线问题转化为直角问题解决． （1）作法：①连接，作线段的垂直平分线，交于点M；②以M为圆心，以为半径作⊙M，与⊙O交于两点A和B；③作直线，直线，则直线和直线是⊙O的两条切线； （2）利用圆周角定理的推论（直径所对圆周角为直角）证明半径与直线垂直，再结合切线判定定理完成证明． 【详解】（1）略 （2）略 【变式1-1】    【答案】(1) 解：如图，直线即为所求：    (2) 解：所有过点Q的切线为切线，切线，如图所示：    【分析】本题考查了切线的性质，过圆外一点作圆的切线（尺规作图）以及方格作图： （1）根据方格的特征，因为，，，得是直径，，即得，据此作图即可； （2）连接，再作线段的垂直平分线，交于一点，即为点，以点为圆心，为半径，相交于点A，点B，连接，，因为为直径，，即为切线，切线，即可作答． 正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】（1）略 （2）略 【变式1-2】 【答案】(1) 如图直线即为所求直线； (2) 【分析】本题考查作圆的切线和全等三角形判定与性质： （1）以点B为圆心，适当长为半径，画弧分别交于点M、的延长线于点N，再分别以点M和点N为圆心，大于，的长为半径，画弧，分别相交于点G和点H，连接并延长交于一点，即为点F，此时是的垂直平分线，结合，即可作答； （2）由，，可得，而点D在以为直径的圆上，为的切线，可得，证明，即可作答． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点D在以为直径的圆上， ∴， ∴， ∵为的切线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【变式1-3】 【答案】(1) 解：如图，直线即为所求： (2) 解：如图所示， (3)①证明：如图所示，连接， ∵是切线 ∴， ∵， ∴， ∵是半径， ∴，且（对顶角相等）， ∴， ∴； ② 【分析】本题考查尺规作图，切线的基本性质，勾股定理，熟练掌握切线的基本性质是解题关键； （1）根据方格的特征，因为，，，得是直径，，即得，据此作图即可； （2）如图所示，连接，并以为直径作圆，交于点D，运用直径所对角是直角即可求出点的位置； （3）①根据切线的性质可得，根据，可得，结合圆的基础知识可得，再根据对顶角相等，即可求解；②根据可求出的长，设，则，在中，根据即可求解． 【详解】（1）略 （2）①连接，分别以点O，E为圆心，以大于为半径画弧，交于点； ②连接交于点，以为圆心，以为半径画圆，交于点； ③在中，是直径， ∴，即， ∴为圆O的切线， ∴点即为所求点的位置； （3）①略 ②已知，， ∴，， 设，则， ∴在中，， ∴， 解得，， ∴长为． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $