精品解析：广东广州市番禺区大石中学2026-2027学年第一学期期中九年级数学试卷

2026学年第一学期大石中学初三级期中质量检测数学科（问卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程，根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程，据此即可判定求解，掌握一元二次方程的定义，化简为一般形式，是解题的关键． 【详解】解：A、当时，方程为是一元一次方程，该选项不合题意； B、方程整理为,是一元二次方程，该选项符合题意； C、方程整理为，是一元一次方程，该选项不合题意； D、方程的左边不是整式，方程不是一元二次方程，该选项不合题意； 故选：B． 2. 二次函数的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵是二次函数的顶点式， ∴顶点坐标为． 3. 已知是方程的一个根，则b的值是（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】将代入方程得，解之即可． 【详解】解：将代入方程得 解得b=-1． 故选：A． 【点睛】本题考查一元二次方程的解，理解方程的解是使方程成立的未知数的值是解题关键． 4. 如图，将绕点O顺时针旋转变为，则下列说法不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A、旋转前后图像全等，对应线段相等，即，选项说法正确，不符合题意； B、旋转前后图像全等，对应角相等，即，选项说法正确，不符合题意； C、对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，对应点，即，选项说法不正确，符合题意； D、对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，对应点，即，选项说法正确，不符合题意． 5. 用配方法解一元二次方程，则变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，使用配方法解方程，需将常数项移项后，方程两边加上一次项系数一半的平方，形成完全平方式即可． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 故选：D． 6. 过元旦了，全班同学每两个人互发一条祝福短信，共发了380条，设全班有x名同学，列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，设全班有x名同学，根据全班同学每两个人互发一条祝福短信，共发了380条，列出方程即可． 【详解】解：设全班有x名同学，则每个同学要发条信息， 根据题意得：， 故选：A． 7. 若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将A、B、C三点坐标代入反比例函数解析式，即求出的值，即可比较得出答案． 【详解】分别将A、B、C三点坐标代入反比例函数解析式得： 、、． 则． 故选B． 【点睛】本题考查比较反比例函数值．掌握反比例函数图象上的点的坐标满足其解析式是解答本题的关键． 8. 在平面直角坐标系中，对于二次函数，下列说法中错误的是（　　） A. y的最大值是1 B. 图象的顶点坐标为，对称轴为直线 C. 它的图象可以由向右平移两个单位长度，再向上平移1个单位长度得到 D. 当时，y随x的增大而减小． 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，二次函数图象与几何变换，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．根据函数解析式的性质判断各个选项中的说法是否正确即可． 【详解】解：二次函数，， ∴该函数的图象开口向下，对称轴为直线，顶点为，当时，y有最大值1，当时，y的值随x值的增大而减小，当时，y的值随x值的增大而增大； 故选项A、B的说法正确，D的说法错误； 根据平移的规律，的图象向右平移2个单位长度得到，再向上平移1个单位长度得到； 故选项C的说法正确， 故选：D． 9. 在同一平面直角坐标系内，一次函数与二次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】可求出一次函数与二次函数交于点，则可排除B、D；再根据一次函数经过的象限和二次函数的图象分别判断的符号，看是否一致即可得到答案． 【详解】解：在中，当时，， 在中，当时，， ∴一次函数与二次函数交于点，故B、D不符合题意； A选项中，一次函数的图象经过第一、二、四象限，则，二次函数的图象开口向上，与y轴交于正半轴，则，二者不一致，故此选项不符合题意； C选项中，一次函数的图象经过第一、二、三象限，则，二次函数的图象开口向上，与y轴交于正半轴，则，且对称轴在y轴左侧，则，即，二者一致，故此选项符合题意. 10. 如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点坐标为(-1，0)，其部分图象如图所示下列结论：①4ac＜b2；②方程ax2+bx+c=0的两个根是；③3a+c＞0；④当y＞0时，x的度值范围是-1＜x＜4；⑤当x<0时，y随x的增大而增大．其中正确的个数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】利用抛物线与x轴的交点个数可对①进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的一个交点坐标为（3，0），则可对②进行判断；由对称轴方程得到b=-2a，然后根据x=-1时函数值为0可得到3a+c=0，则可对③进行判断；根据抛物线在x轴上方所对应的自变量的范围可对④进行判断；根据二次函数的性质对⑤进行判断． 【详解】解：∵抛物线与x轴有2个交点， ∴b2-4ac＞0， ∴4ac＜b2，故①正确； ∵抛物线的对称轴为直线x=1， 而点（-1，0）关于直线x=1的对称点的坐标为（3，0）， ∴方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=-1，x2=3，故②正确； ∵=1，即b=2a， 而x=-1时，y=0，即a-b+c=0， ∴a+2a+c=0， 即3a+c=0，故③错误； ∵抛物线与x轴的两点坐标为（-1，0），（3，0）， ∴当y＞0时，x的取值范围是-1＜x＜3，故④错误； ∵抛物线的对称轴为直线x=1， ∴当x＜1时，y随x增大而增大， ∴当x＜0时，y随x增大而增大，故⑤正确； 所以其中结论正确的有①②⑤，共3个； 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定：△=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 方程的解是_____． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，灵活运用因式分解法解方程是解题的关键． 直接运用因式分解法求解即可． 【详解】解：， ， ， ， 所以该方程的解为：，． 12. 如图，点A是反比例函数y＝图象上的一个动点，过点A作AB⊥x轴，AC⊥y轴，垂足点分别为B、C，矩形ABOC的面积为4，则k＝________． 【答案】-4 【解析】 【详解】试题分析：由于点A是反比例函数y=上一点，矩形ABOC的面积S=|k|=4，则k的值为-4． 考点：反比例函数 13. 若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为 _____________． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，正确理解一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．根据一元二次方程根与系数的关系，得到，，再代入即得答案． 【详解】根据题意，得，， ． 故答案为：7． 14. 已知抛物线经过点，则代数式的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】将点代入抛物线解析式，得到的取值，再整体代入所求代数式计算 【详解】解：∵抛物线经过点， ∴将，代入解析式可得，， 整理得， ∴． 15. 如图，将绕点逆时针旋转，旋转角为，得到，这时点旋转后的对应点恰好在直线上，则_____．（填“”“”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，三角形的外角，根据三角形的外角的性质，得到，旋转得到，即可得出结果． 【详解】解：∵旋转， ∴， ∵点旋转后的对应点恰好在直线上， ∴是的一个外角， ∴， ∴； 故答案为： 16. 已知函数，设实数，，满足，，当取，，时，对应的函数值分别为，，．当的值最小时，则______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的最值问题，先整理出表示的二次函数，再配方取其最小值即可求解． 【详解】设实数，，满足，， ∴， ∴， ∴ ， ∴当时，取得最小值， 故答案为：3． 三、解答题：本题共9小题，共102分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了数学转化思想也考查了配方法解一元二次方程． （1）利用配方法得到，然后利用直接开平方法解方程； （2）先移项得到，然后利用因式分解法解方程． 【小问1详解】 解：， ∴， ∴， ∴， ∴，； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴或， ∴，． 18. 如图，点E是正方形的边上的一点，连接，将绕点A逆时针旋转，使得点E的对应点F落在边的延长线上．求证：． 【答案】证明：∵正方形， ，， 由旋转的性质得，， 在和中， ， ． 【解析】 【分析】根据正方形的性质得到，，根据旋转的性质得，，再利用全等三角形判定即可证明． 【详解】略 19. 已知二次函数，当时有最高点，且此函数的图象经过点． （1）求此二次函数的解析式； （2）当x为何值时，y随x的增大而减小? 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，求二次函数解析式，解题的关键是熟练掌握二次函数的顶点式． （1）利用待定系数法求出二次函数解析式； （2）根据二次函数的增减性进行解答即可． 【小问1详解】 解：二次函数，当时有最高点， ∴， ∵此函数的图象经过点， ∴， 解得：， ∴二次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：∵二次函数的对称轴为直线，， ∴当时，y随x的增大而减小． 20. 李师傅去年开了一家商店，今年1月份开始盈利，2月份盈利2400元，4月份的盈利达到3456元，且从2月到4月，每月盈利的平均增长率都相同． （1）求每月盈利的平均增长率； （2）按照这个平均增长率，预计5月份这家商店的盈利将达到多少元？ 【答案】（1）20%；（2）4147．2元． 【解析】 【详解】试题分析：（1）设该商店的月平均增长率为x，根据等量关系：2月份盈利额×（1+增长率）2=4月份的盈利额列出方程求解即可． （2）5月份盈利=4月份盈利×增长率． 试题解析：（1）设该商店的每月盈利的平均增长率为x，根据题意得： 2400（1+x）2=3456， 解得：x1=20%，x2=-2．2（舍去）． （2）由（1）知，该商店的每月盈利的平均增长率为20%，则5月份盈利为： 3456×（1+20%）=4147．2（元）． 答：（1）该商店的每月盈利的平均增长率为20%． （2）5月份盈利为4147．2元． 考点：一元二次方程的应用． 21. 如图，一次函数与反比例函数的图象相交于点、． （1）求反比例函数的表达式； （2）请直接写出关于x的不等式的解集． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）先求出点的坐标，再代入反比例函数解析式，利用待定系数法求解即可； （2）先求出点的坐标，再结合图象判断不等式解集即可． 【小问1详解】 解：把代入， 得， ， 把代入，得， 解得， ∴反比例函数的表达式为； 【小问2详解】 解：把代入，得，解得， ， 又， 结合图象可知，的解集为或． 22. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）设是方程的一个实数根，且满足，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的根及根的判别式，因式分解法解一元二次方程，由方程根的情况得到判别式的符号是解题的关键． （1）由方程根的情况可得到关于的不等式，可求得的取值范围； （2）根据一元二次方程解的定义得到，代入等式，整理后再解方程即可求得． 【小问1详解】 解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ， ； 【小问2详解】 解：∵是方程的一个根， ， 代入， 整理得， 解得，， ， ． 23. 如图，抛物线经过点，点，与y轴交于点C，抛物线的顶点为D． （1）求抛物线的解析式； （2）抛物线上是否存在点P，使的面积是面积的4倍，若存在，请直接写出点P的坐标：若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）存在，， 【解析】 【分析】（1）将点，点，代入抛物线得，求出的值，进而可得抛物线的解析式． （2）将解析式化成顶点式得，可得点坐标，将代入得，，可得点坐标，求出的值，根据可得，设，则，求出的值，进而可得点坐标． 【小问1详解】 解：∵抛物线过点，点， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为：． 【小问2详解】 解：存在． ∵， ∴， 将代入得，， ∴， 又∵B（2，-3）， ∴BC//x轴， ∴到线段的距离为1，， ∴， ∴， 设，由题意可知点P在直线BC上方， 则， 整理得，， 解得，或， ∴，， ∴存在点P，使的面积是面积的4倍，点P的坐标为，． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数顶点式，二次函数与三角形面积综合等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 24. 背景材料：某社区准备改造原半径为的水池中的喷泉设施（如图①），综合实践小组开展了优化设计方案的综合实践活动． 【建模分析】 如图②，该小组把喷泉最外侧水流抽象成抛物线，测量出如下数据：喷水口位置在水池中心点的正上方且竖直高度为，水流最高高度为，水流最高点距喷水管的水平距离为． 任务1：以水池中心点为原点，水平向右方向为轴正半轴，以喷水管竖直向上方向为轴正半轴，建立平面直角坐标系：求原喷泉水流右支抛物线的函数表达式，并计算喷泉水流到喷水管的最大水平距离． 【优化设计】 社区要求：为了使喷泉喷出的水流达到美观效果，要求喷出的水流所在抛物线最大高度与水平宽度的比接近黄金比． 如图③，该小组进一步提出优化设计，若优化后水流离喷水管最大水平距离为，喷水口的竖直高度为，喷出的水流的最高高度为． 任务2：求进一步优化后喷出的水流所在抛物线的函数表达式，并通过计算说明该小组所设计喷泉的是否达到美观效果． 【答案】（1）抛物线的函数表达式为，；喷泉水流到喷水管的最大水平距离为3米（2）优化后抛物线的函数表达式为，该小组所设计喷泉的达到美观效果 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，抛物线的顶点式，待定系数法求函数解析式，解题的关键是理解题意，掌握数形结合的数学思想． （1）假设抛物线的解析式为，利用待定系数法求函数解析式即可，然后根据函数解析式的性质求出抛物线与横轴的交点坐标即可； （2）设抛物线的解析式为，利用待定系数法求函数解析式即可，根据函数的性质求出抛物线与横轴的坐标，然后进行求比值即可． 【详解】解：（1）根据题意得，假设抛物线的解析式为， 将代入解析式得，， 解得， ∴抛物线的函数表达式为，； 当时，， 解得，（负值已舍） ∴喷泉水流到喷水管的最大水平距离为3米； （2）根据抛物线得，设抛物线的解析式为， 将代入解析式得， 解得，， ∵， ∴得， 解得（负值已舍去）， 代入①得， ∴优化后抛物线的函数表达式为， 当时，， 解得， ∴， ∴接近黄金比， ∴该小组所设计喷泉的达到美观效果． 25. 如图，已知抛物线与x轴交于、两点，与y轴相交于点C，直线经过点C，与x轴交于点D． （1）求该抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴上找一点Q，使的周长最小，求点Q的坐标； （3）点P是（1）中抛物线上的一个动点，设点P的横坐标为，是否存在是以为底的等腰三角形？若存在，求点P坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在； 【解析】 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）如图，点关于抛物线对称轴的对称点为点，连接交抛物线对称轴于点，则此时，的周长最小，即可求解； （3）设点，根据是以为底的等腰三角形，所以，则，求解即可得出t值，进而求解． 【小问1详解】 解：设抛物线的表达式为：， 对于一次函数， 当时，， ∴， 将点的坐标代入抛物线表达式得：，则， 即抛物线的表达式为： 【小问2详解】 解：如图，点关于抛物线对称轴的对称点为点，连接交抛物线对称轴于点，则此时，的周长最小， 理由：的周长为最小， 设直线的表达式为 把，代入得： ，解得 ∴直线的表达式为：， 由抛物线的表达式知，其对称轴为， 当时，，即点； 【小问3详解】 解：存在，理由： 设点 ∵直线与y轴的交点为D， 当时，， ∴， ∵是以为底的等腰三角形， ∴， ∴， ， ． ∵， ∴． 即P点的坐标为 【点睛】本题考查了二次函数的图象性质，待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，二次函数与一次函数图象上点的坐标特征，利用轴对称求最短路径，等腰三角形的性质，属二次函数综合题目，难度适中． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026学年第一学期大石中学初三级期中质量检测数学科（问卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 二次函数的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 已知是方程的一个根，则b的值是（ ） A. B. 1 C. D. 2 4. 如图，将绕点O顺时针旋转变为，则下列说法不正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 用配方法解一元二次方程，则变形正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 过元旦了，全班同学每两个人互发一条祝福短信，共发了380条，设全班有x名同学，列方程为（ ） A. B. C. D. 7. 若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 8. 在平面直角坐标系中，对于二次函数，下列说法中错误的是（　　） A. y的最大值是1 B. 图象的顶点坐标为，对称轴为直线 C. 它的图象可以由向右平移两个单位长度，再向上平移1个单位长度得到 D. 当时，y随x的增大而减小． 9. 在同一平面直角坐标系内，一次函数与二次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点坐标为(-1，0)，其部分图象如图所示下列结论：①4ac＜b2；②方程ax2+bx+c=0的两个根是；③3a+c＞0；④当y＞0时，x的度值范围是-1＜x＜4；⑤当x<0时，y随x的增大而增大．其中正确的个数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 方程的解是_____． 12. 如图，点A是反比例函数y＝图象上的一个动点，过点A作AB⊥x轴，AC⊥y轴，垂足点分别为B、C，矩形ABOC的面积为4，则k＝________． 13. 若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为 _____________． 14. 已知抛物线经过点，则代数式的值为_______． 15. 如图，将绕点逆时针旋转，旋转角为，得到，这时点旋转后的对应点恰好在直线上，则_____．（填“”“”或“”） 16. 已知函数，设实数，，满足，，当取，，时，对应的函数值分别为，，．当的值最小时，则______． 三、解答题：本题共9小题，共102分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 解下列方程： （1）； （2）． 18. 如图，点E是正方形的边上的一点，连接，将绕点A逆时针旋转，使得点E的对应点F落在边的延长线上．求证：． 19. 已知二次函数，当时有最高点，且此函数的图象经过点． （1）求此二次函数的解析式； （2）当x为何值时，y随x的增大而减小? 20. 李师傅去年开了一家商店，今年1月份开始盈利，2月份盈利2400元，4月份的盈利达到3456元，且从2月到4月，每月盈利的平均增长率都相同． （1）求每月盈利的平均增长率； （2）按照这个平均增长率，预计5月份这家商店的盈利将达到多少元？ 21. 如图，一次函数与反比例函数的图象相交于点、． （1）求反比例函数的表达式； （2）请直接写出关于x的不等式的解集． 22. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）设是方程的一个实数根，且满足，求的值． 23. 如图，抛物线经过点，点，与y轴交于点C，抛物线的顶点为D． （1）求抛物线的解析式； （2）抛物线上是否存在点P，使的面积是面积的4倍，若存在，请直接写出点P的坐标：若不存在，请说明理由． 24. 背景材料：某社区准备改造原半径为的水池中的喷泉设施（如图①），综合实践小组开展了优化设计方案的综合实践活动． 【建模分析】 如图②，该小组把喷泉最外侧水流抽象成抛物线，测量出如下数据：喷水口位置在水池中心点的正上方且竖直高度为，水流最高高度为，水流最高点距喷水管的水平距离为． 任务1：以水池中心点为原点，水平向右方向为轴正半轴，以喷水管竖直向上方向为轴正半轴，建立平面直角坐标系：求原喷泉水流右支抛物线的函数表达式，并计算喷泉水流到喷水管的最大水平距离． 【优化设计】 社区要求：为了使喷泉喷出的水流达到美观效果，要求喷出的水流所在抛物线最大高度与水平宽度的比接近黄金比． 如图③，该小组进一步提出优化设计，若优化后水流离喷水管最大水平距离为，喷水口的竖直高度为，喷出的水流的最高高度为． 任务2：求进一步优化后喷出的水流所在抛物线的函数表达式，并通过计算说明该小组所设计喷泉的是否达到美观效果． 25. 如图，已知抛物线与x轴交于、两点，与y轴相交于点C，直线经过点C，与x轴交于点D． （1）求该抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴上找一点Q，使的周长最小，求点Q的坐标； （3）点P是（1）中抛物线上的一个动点，设点P的横坐标为，是否存在是以为底的等腰三角形？若存在，求点P坐标，若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $