精品解析：广东深圳市南山实验教育集团麒麟中学2026-2027学年九年级上学期期中数学试卷

2026-2027学年第一学期九年级期中学业质量监测 数学 说明： 1．答题前，考生务必在答题卡指定位置用黑色字迹的钢笔或签字笔填写考试信息，并粘贴条形码． 2．用黑色字迹的钢笔或签字笔在指定区域内作答．如需改动，先划掉原来的答案，再写新答案；作答选择题时，用2B铅笔把对应题目答案的信息点框涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案．不按照以上要求作答，视为无效． 第一部分 选择题 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 中国古建筑精妙绝伦，擎檐柱是木结构建筑用以支撑屋面出檐的柱子，多用于重檐或重檐带平座的建筑物上，用来支撑挑出较长的屋檐及角梁翼角等．如图是一根擎檐柱的结构图，它是由一根圆柱形柱子中间挖去一个柱体后形成的，它的左视图是（ ） A. B. C. D. 2. 下列关于的方程中，一定属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 小麦种子在相同条件下的发芽试验，结果如表所示： 每批粒数n 100 300 400 600 1000 2000 3000 发芽的粒数m 96 282 382 567 949 1902 2850 发芽频率 0.960 0.940 0.955 0.945 0.949 0.951 0.950 则估计小麦发芽的概率是（ ） A. B. C. D. 4. 一幢5层楼房只有一个窗户亮着一盏灯，一棵小树和一根电线杆在窗口灯光下的影子如图所示，则亮着灯的窗口是（ ） A. 1号 B. 2号 C. 3号 D. 4号 5. 如图，矩形的顶点E，F分别在菱形的边和对角线上，连接、．若，则的长为（ ） A. 5 B. 4 C. D. 6. 如图，A、B、C、D、E、F、G均在方格纸的格点上，将点C与D、E、F、G中一点连结，交线段于点P，若使点P能够把线段分成两部分，则这个点可以是（ ） A. D B. E C. F D. G 7. 在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，有公共顶点的正方形和正方形如图摆放，其中点G恰在边的三等分点（），连结，相交于点．则为（ ） A. B. C. D. 第二部分 非选择题 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9. 若，则的值为_________． 10. 已知一元二次方程的两根分别为，，则的值为___________． 11. 如图，矩形中，，，将矩形绕点旋转得到矩形，若恰好经过点，则的长为______． 12. 在《几何原本》中，形如的方程的图解法是：以和b为两直角边作，再在斜边上截取，则的长就是所求方程的正根，若关于x的一元二次方程，构造如图的，其中，连接，若，则m的值为________． 13. 如图，，，是边上一点，，，连接，点在上，连接，以所在的直线为轴将翻折，翻折后点的对应点恰好落在边上，当时，________． 三、解答题（本大题共7小题，共61分） 14. 下面是小华同学的数学小论文，请认真阅读，并完成下面的任务． 平均数法解一元二次方程 在解一元二次方程时，发现有这样一种解法： 如：解方程． 解：原方程可变形，得① ∴② ∴ ∴ 解得， 因为在①中3是1和5的平均数，所以将该解法称为平均数法． 任务： （1）小论文中，由①到②用到了________________公式（用文字表述）； （2）用平均数法解方程的两个解分别是________，________； （3）请用平均数法解方程：． 15. 在平面直角坐标系内，三个顶点的坐标分别为、、（正方形网格中每个小正方形的边长均是1个单位长度）． （1）画出向下平移4个单位长度得到的，点的坐标是________； （2）以点B为位似中心，在指定网格的范围中画出，使与位似，且位似比为，点的坐标是________； （3）根据图形，与是关于某一点Q为位似中心的位似图形，点Q的坐标为________，面积比为________． 16. 某校开展“逐梦科技强国”主题活动．调查小组对活动中模型设计水平进行调查，随机抽取全校部分学生的模型设计成绩（成绩为百分制，用表示），将其分成四组，A：，B：，C：，D：．其中C组的成绩为：80，81，82，82，83，84，84，84，85，85，86，86，86，87，87，88，88，89，89，89．绘制不完整的统计图如下． 根据以上信息解决下列问题： （1）本次共抽取了 个学生的模型设计成绩，成绩的中位数是 分，在扇形统计图中，C组对应圆心角的度数为 ； （2）将条形统计图补充完整； （3）已知该校共1200名学生，请估计全校模型设计成绩不低于80分的人数； （4）学校决定从模型设计成绩优秀的甲、乙、丙、丁四位同学中随机选择两位同学作经验交流，请用画树状图或列表的方法求出所选的两位同学恰为甲和丙的概率． 17. 第二届世界人形机器人运动会于2026年8月22日至26日在北京举办，运动会吉祥物智宝以“科技人文潮流”为主题进行设计，将潮玩的情绪价值与机器人科技的硬核特质深度融合．近月来，吉祥物智宝玩偶在各大电商平台上热销．请根据下列素材，完成任务． 素材1 某电商平台数据显示，智宝玩偶8月份销量为20万件，10月份销量已增至24.2万件． 素材2 某店铺以每件60元的价格购进智宝玩偶，当售价为80元/件时，日销量为48件． 素材3 市场调查发现，售价每降低1元，日销量可增加4件，为借助运动会热度尽快减少库存，商家决定降价促销． 问题解决： （1）任务1：求该电商平台智宝玩偶8月到10月销量的月平均增长率． （2）任务2：为使每日销售利润等于1020元，则每件智宝玩偶实际售价应定为多少元？ 18. 如图，在中，点D为线段上任意一点． （1）尺规作图：作线段的垂直平分线，分别交，于点E，F，连接，；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的基础上，线段与交于点G，已知________（请从“①平分；②”这两个条件中选取一个作为已知条件，填序号即可）．求证：四边形是菱形； （3）在（1）（2）的条件下，若，，求菱形的边长． 19. 综合与实践 【问题背景】某科研小组通过观察粒子发射实验，发现粒子发射后仅受重力和空气阻力的影响，它的运动轨迹呈抛物线形状，现对相关问题进行研究． 【数据收集】如图1，以粒子发射器的发射口O处为原点建立平面直角坐标系，粒子运动到与点O的水平距离为时达到最高点，最大高度为，运动的粒子会落在与O点水平距离为的挡板上A处（挡板的厚度忽略不计）；若研究者将粒子发射器的发射口从O点水平向右平移到B处，粒子运动轨迹不变，此时的粒子仍可以达到A处（A不是抛物线的最高点）． 【问题解决】 （1）求发射口平移前粒子运动轨迹的解析式； （2）求t的值； 【拓展应用】 （3）如图2，将粒子发射器的发射口沿y轴竖直向上平移到E点，粒子发射器发射的粒子束的上沿抛物线的关系式为，粒子束的下沿抛物线的关系式为（其中h为点B的高度）．现在挡板上设置长为的红色带（C点在D点的上方），若保持挡板的位置不变，请问是否需要左右移动粒子发射器的发射口，使发射的粒子束恰好将红色带覆盖？若需要，请求出移动方向和距离；若不需要，请说明理由． 20. 定义：四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似（不全等），就把这条对角线叫做这个四边形的“相似对角线”． （1）如图1，的三个顶点均在正方形网格中的格点上． ①判断：对角线________（填“是”或“否”）四边形的“相似对角线”； ②若四边形是以为“相似对角线”的四边形，请只用无刻度的直尺，在图1中找出满足条件的点E（找出1个即可），并画出这个四边形； （2）如图2，在四边形中，，，对角线平分．请问对角线是四边形的“相似对角线”吗？请说明理由； （3）如图3，已知是四边形的“相似对角线”，，平分．连接，若的面积为，求的长； （4）如图4，在（2）的条件下，若，，在边上取一点E，使，过点E作交于点F．将绕点A旋转，连接、，当所在的直线垂直于时，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年第一学期九年级期中学业质量监测 数学 说明： 1．答题前，考生务必在答题卡指定位置用黑色字迹的钢笔或签字笔填写考试信息，并粘贴条形码． 2．用黑色字迹的钢笔或签字笔在指定区域内作答．如需改动，先划掉原来的答案，再写新答案；作答选择题时，用2B铅笔把对应题目答案的信息点框涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案．不按照以上要求作答，视为无效． 第一部分 选择题 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 中国古建筑精妙绝伦，擎檐柱是木结构建筑用以支撑屋面出檐的柱子，多用于重檐或重檐带平座的建筑物上，用来支撑挑出较长的屋檐及角梁翼角等．如图是一根擎檐柱的结构图，它是由一根圆柱形柱子中间挖去一个柱体后形成的，它的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据几何体找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的或看不到的棱都应表现在左视图中，看得见的用实线，看不见的用虚线． 【详解】解：从左面看，是一个长方形，并且中间的凹槽看不见，要用虚线表示， ∵中间部分挖掉后，可以看到的长度比未挖去的部分短， ∴左视图是由上窄下宽的两个长方形组成， 故左视图如答案D所示． 2. 下列关于的方程中，一定属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的概念， 根据一元二次方程的定义求解即可，熟练掌握其概念是解决此题的关键． 【详解】A、该方程的未知数的二次项系数是，当时不是一元二次方程，故本选项错误，不符合题意； B、该方程符合一元二次方程的定义，故本选项正确，符合题意； C、该方程是分式方程，不是一元二次方程，故本选项错误，不符合题意； D、该方程有两个未知数，该方程不是一元二次方程，故本选项错误，不符合题意； 故选：B． 3. 小麦种子在相同条件下的发芽试验，结果如表所示： 每批粒数n 100 300 400 600 1000 2000 3000 发芽的粒数m 96 282 382 567 949 1902 2850 发芽频率 0.960 0.940 0.955 0.945 0.949 0.951 0.950 则估计小麦发芽的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率，掌握相关知识是解决问题的关键．大量重复试验时，事件发生的频率逐渐稳定在概率附近． 【详解】解：根据表中的发芽的频率，当试验次数的增多时，发芽的频率越来越稳定在左右， ∴估计小麦发芽的概率是． 故选：A． 4. 一幢5层楼房只有一个窗户亮着一盏灯，一棵小树和一根电线杆在窗口灯光下的影子如图所示，则亮着灯的窗口是（ ） A. 1号 B. 2号 C. 3号 D. 4号 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中心投影，关键是正确确定投影中心位置．根据中心投影的意义，画出图形即可确定亮灯窗口． 【详解】解：如图所示，亮灯窗口为3楼窗口； 故答案为：C． 5. 如图，矩形的顶点E，F分别在菱形的边和对角线上，连接、．若，则的长为（ ） A. 5 B. 4 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握菱形和矩形的性质是解题的关键． 连接，由题意可知，由四边形为菱形，可证得，即可求得． 【详解】解：连接， ∵四边形为矩形， ∴， ∵四边形为菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 6. 如图，A、B、C、D、E、F、G均在方格纸的格点上，将点C与D、E、F、G中一点连结，交线段于点P，若使点P能够把线段分成两部分，则这个点可以是（ ） A. D B. E C. F D. G 【答案】C 【解析】 【分析】借助网格表示出相关线段的长度，然后借助平行线得出相似三角形，利用相似三角形的性质即可得出结论． 【详解】解：如图，连接，连接交于点P， 设方格纸的边长为1，，， ∴， 由图可得，， ∴， ∴， 可得到，满足条件； 同理，将点C与D连接，与不平行，也不能得到，不满足条件； 同理，将点C与E连接，与不平行，也不能得到，不满足条件； 同理，将点C与G连接，，得到，不满足条件． 7. 在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：的对称轴是直线， A．由一次函数图象可知，由二次函数图象可知，符号矛盾． B．由一次函数图象可知，，由二次函数图象可知，，即，符号一致． C．由一次函数图象可知，，由二次函数图象可知，，即，符号矛盾． D．由一次函数图象可知，由二次函数图象可知，符号矛盾． 8. 如图，有公共顶点的正方形和正方形如图摆放，其中点G恰在边的三等分点（），连结，相交于点．则为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，则，根据正方形的性质以及勾股定理表示出相关线段的长度，根据正方形的性质得出相等的角，证明，得出对应线段成比例，然后表示出相关线段，即可求出比值． 【详解】解：设，则，正方形的边长为， ∴由勾股定理得，， 由正方形性质得，又， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴， 故． 第二部分 非选择题 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9. 若，则的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查比例的性质，根据比例的性质，将比例式转化为等积式，再代入已知条件进行计算，即可求解． 【详解】解：， ． ． 故答案为：． 10. 已知一元二次方程的两根分别为，，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程根与系数的关系，分式的加法运算． 由根与系数的关系可求得和的值，然后代入计算即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两根分别为，， ∴，， ∴， 故答案为：． 11. 如图，矩形中，，，将矩形绕点旋转得到矩形，若恰好经过点，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，矩形的判定的性质以，勾股定理，掌握知识点的应用是解题的关键． 由矩形性质可知，，又旋转可知，，，然后通过勾股定理和线段和差即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， 由旋转性质可知，，，， ∴， ∴， 故答案为：． 12. 在《几何原本》中，形如的方程的图解法是：以和b为两直角边作，再在斜边上截取，则的长就是所求方程的正根，若关于x的一元二次方程，构造如图的，其中，连接，若，则m的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意，，，利用勾股定理求出的长，根据两个三角形的面积之比推出，则可得到，据此求解即可． 【详解】解：由题意，，， ∴由勾股定理得． ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴ ∴，即， ∵， ∴． 13. 如图，，，是边上一点，，，连接，点在上，连接，以所在的直线为轴将翻折，翻折后点的对应点恰好落在边上，当时，________． 【答案】 【解析】 【分析】由翻折的轴对称性质得到相等的线段，再由判定是等腰直角三角形；把角与等腰的底角一起化到中，用等角对等边求出，由勾股定理定出；最后作斜边上的高，在直角三角形中用勾股定理求出，即可得到所求的比值． 【详解】解：由、得． 由翻折知点与点关于直线对称． ∴，． ∵，点在线段上． ∴． ∵． ∴是等腰直角三角形． ∴，． ∵，点在上． ∴． ∵． ∴． ∴． ∵． ∴． ∴． ∴，即． ∴． 连接，作于点（如图）． 由的面积得． ∵． ∴． ∵． ∴． ∴． ∵，． ∴． ∴． ∵． ∴． ∵． ∴． ∴． ∴． 【点睛】考查翻折的轴对称性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理与三角形面积；关键是把与等腰的底角一起化到中，由得到，再作斜边上的高，用两次勾股把与联系起来． 三、解答题（本大题共7小题，共61分） 14. 下面是小华同学的数学小论文，请认真阅读，并完成下面的任务． 平均数法解一元二次方程 在解一元二次方程时，发现有这样一种解法： 如：解方程． 解：原方程可变形，得① ∴② ∴ ∴ 解得， 因为在①中3是1和5的平均数，所以将该解法称为平均数法． 任务： （1）小论文中，由①到②用到了________________公式（用文字表述）； （2）用平均数法解方程的两个解分别是________，________； （3）请用平均数法解方程：． 【答案】（1）平方差 （2）， （3）， 【解析】 【小问1详解】 小论文中，由①到②用到了平方差公式 【小问2详解】 原方程变形为： ，． 【小问3详解】 ， 原方程变形为：， ∴， ∴， ∴， ∴，． 15. 在平面直角坐标系内，三个顶点的坐标分别为、、（正方形网格中每个小正方形的边长均是1个单位长度）． （1）画出向下平移4个单位长度得到的，点的坐标是________； （2）以点B为位似中心，在指定网格的范围中画出，使与位似，且位似比为，点的坐标是________； （3）根据图形，与是关于某一点Q为位似中心的位似图形，点Q的坐标为________，面积比为________． 【答案】（1）； （2）； （3），． 【解析】 【分析】（1）找到每个顶点的对称点，然后连接即可，根据图形得到点的坐标； （2）找到每个顶点的对应点，然后连接即可，根据图形得到点的坐标； （3）对应顶点连线的交点即为对称中心，得到坐标，面积比等于相似比的平方． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，连接并延长，确定位似中心． 通过网格可得点Q的坐标为， 与的位似比为对应边的长度比，位似比为， 根据相似图形面积比等于相似比的平方，可得二者的面积比的值为． 16. 某校开展“逐梦科技强国”主题活动．调查小组对活动中模型设计水平进行调查，随机抽取全校部分学生的模型设计成绩（成绩为百分制，用表示），将其分成四组，A：，B：，C：，D：．其中C组的成绩为：80，81，82，82，83，84，84，84，85，85，86，86，86，87，87，88，88，89，89，89．绘制不完整的统计图如下． 根据以上信息解决下列问题： （1）本次共抽取了 个学生的模型设计成绩，成绩的中位数是 分，在扇形统计图中，C组对应圆心角的度数为 ； （2）将条形统计图补充完整； （3）已知该校共1200名学生，请估计全校模型设计成绩不低于80分的人数； （4）学校决定从模型设计成绩优秀的甲、乙、丙、丁四位同学中随机选择两位同学作经验交流，请用画树状图或列表的方法求出所选的两位同学恰为甲和丙的概率． 【答案】（1）50，83.5， （2）见解析 （3）720人 （4） 【解析】 【分析】（1）由D组学生人数除以其百分比可求出抽取的学生人数，进而可求出B组学生人数，再根据中位数的定义和频数直方图即可求解； （2）根据（1）所得B组学生人数补全频数分布直方图即可； （3）用1200乘以成绩不低于80分的人数占比即可； （4）画出树状图，根据树状图解答即可． 【小问1详解】 解：， ∴本次共抽取了50名学生的模型设计成绩， ∴B组学生人数为人， ∵成绩由低到高排列，中位数为第25和第26个数据的平均数， ∴中位数分， C组对应圆心角的度数为； 【小问2详解】 解：补全频数分布直方图如下： 【小问3详解】 解：（人）， 答：估计全校1200名学生的模型设计成绩不低于80分的人数为720人； 【小问4详解】 解：画树状图如下： 由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中所选两位同学恰为甲和丙的结果有2种， ∴所选的两位同学恰为甲和丙的概率为． 17. 第二届世界人形机器人运动会于2026年8月22日至26日在北京举办，运动会吉祥物智宝以“科技人文潮流”为主题进行设计，将潮玩的情绪价值与机器人科技的硬核特质深度融合．近月来，吉祥物智宝玩偶在各大电商平台上热销．请根据下列素材，完成任务． 素材1 某电商平台数据显示，智宝玩偶8月份销量为20万件，10月份销量已增至24.2万件． 素材2 某店铺以每件60元的价格购进智宝玩偶，当售价为80元/件时，日销量为48件． 素材3 市场调查发现，售价每降低1元，日销量可增加4件，为借助运动会热度尽快减少库存，商家决定降价促销． 问题解决： （1）任务1：求该电商平台智宝玩偶8月到10月销量的月平均增长率． （2）任务2：为使每日销售利润等于1020元，则每件智宝玩偶实际售价应定为多少元？ 【答案】（1）月平均增长率为 （2）每件智宝玩偶实际售价应定为75元 【解析】 【分析】（1）根据平均增长率问题列方程求解即可； （2）设每件智宝玩偶实际售价应定为y元，根据利润乘以数量等于总利润列方程求解即可． 【小问1详解】 解：设该电商平台智宝玩偶8月到10月销量的月平均增长率为x， 由题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：该电商平台智宝玩偶8月到10月销量的月平均增长率为； 【小问2详解】 解：设每件智宝玩偶实际售价应定为y元， 由题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：每件智宝玩偶实际售价应定为75元． 18. 如图，在中，点D为线段上任意一点． （1）尺规作图：作线段的垂直平分线，分别交，于点E，F，连接，；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的基础上，线段与交于点G，已知________（请从“①平分；②”这两个条件中选取一个作为已知条件，填序号即可）．求证：四边形是菱形； （3）在（1）（2）的条件下，若，，求菱形的边长． 【答案】（1） （2）选①平分； 证明：由垂直平分线性质得，． ∴ ∵平分， ∴， ∴ ∴， 同理可证， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴平行四边形是菱形． 选②． 证明：由垂直平分线性质得，． ∵ ∴； ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴ ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴平行四边形是菱形． （3） 【解析】 【分析】（1）根据垂直平分线的尺规作图方法进行作图即可； （2）利用一组邻边相等的平行四边形是菱形证明即可； （3）设菱形边长为x．由得，根据对应边成比例列方程即可 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：设菱形边长为x， ∵， ∴， ， 解得． 19. 综合与实践 【问题背景】某科研小组通过观察粒子发射实验，发现粒子发射后仅受重力和空气阻力的影响，它的运动轨迹呈抛物线形状，现对相关问题进行研究． 【数据收集】如图1，以粒子发射器的发射口O处为原点建立平面直角坐标系，粒子运动到与点O的水平距离为时达到最高点，最大高度为，运动的粒子会落在与O点水平距离为的挡板上A处（挡板的厚度忽略不计）；若研究者将粒子发射器的发射口从O点水平向右平移到B处，粒子运动轨迹不变，此时的粒子仍可以达到A处（A不是抛物线的最高点）． 【问题解决】 （1）求发射口平移前粒子运动轨迹的解析式； （2）求t的值； 【拓展应用】 （3）如图2，将粒子发射器的发射口沿y轴竖直向上平移到E点，粒子发射器发射的粒子束的上沿抛物线的关系式为，粒子束的下沿抛物线的关系式为（其中h为点B的高度）．现在挡板上设置长为的红色带（C点在D点的上方），若保持挡板的位置不变，请问是否需要左右移动粒子发射器的发射口，使发射的粒子束恰好将红色带覆盖？若需要，请求出移动方向和距离；若不需要，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）需要，粒子发射器需向右移动 【解析】 【分析】（1）待定系数法求二次函数解析式即可； （2）发射口向右平移后，轨迹为，代入得求得符合实际意义的值即可； （3）设发射口向右移动，则挡板处粒子束的厚度为，要恰好覆盖长的红色带，需满足，求解方程即可． 【小问1详解】 解：设粒子运动轨迹为， 将代入得， 解得． ∴发射口平移前粒子运动轨迹的解析式为； 【小问2详解】 解：当时，， ∴， 发射口向右平移后，轨迹为， 代入得， 解得或4； ∵， ∴； 【小问3详解】 解：设发射口向右移动， 则挡板处粒子束的厚度为， 要恰好覆盖长的红色带，需满足， 即， 解得或， 会使发射口越过挡板，不符合实际位置要求， 故粒子发射器需向右移动． 20. 定义：四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似（不全等），就把这条对角线叫做这个四边形的“相似对角线”． （1）如图1，的三个顶点均在正方形网格中的格点上． ①判断：对角线________（填“是”或“否”）四边形的“相似对角线”； ②若四边形是以为“相似对角线”的四边形，请只用无刻度的直尺，在图1中找出满足条件的点E（找出1个即可），并画出这个四边形； （2）如图2，在四边形中，，，对角线平分．请问对角线是四边形的“相似对角线”吗？请说明理由； （3）如图3，已知是四边形的“相似对角线”，，平分．连接，若的面积为，求的长； （4）如图4，在（2）的条件下，若，，在边上取一点E，使，过点E作交于点F．将绕点A旋转，连接、，当所在的直线垂直于时，求的长． 【答案】（1）①是； ②（画出1个即可） （2）是四边形的“相似对角线”；理由如下： ∵，对角线平分， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴且不全等， ∴对角线是四边形的“相似对角线”； （3） （4）或． 【解析】 【分析】（1）①根据“相似对角线”的定义判断即可； ②在格点中先运用勾股定理求出、、，再分情况求出或，然后根据或的长作图； （2）先判断出，再证明即可得出结论； （3）作于点M，根据相似三角形的性质可得，再利用锐角三角函数得，从而得出，即可解决问题； （4）先由得出，，再分两种情况，①延长交于点H，易得，再求出，再根据相似三角形的性质列比例式，即可求出；②设交于点G，易得，再求出，再根据相似三角形的性质列比例式，即可求出． 【小问1详解】 解：①由网格得，，且、， ∴与三边对应成比例，即， ∵与不全等， ∴是“相似对角线”； ②由题意得：，，，， ∵四边形是以为“相似对角线”的四边形； 当时，或， ∴或， ∴或， ∴或； 故点、即为所求； 当时，或， ∴或， ∴或， 解得：或， 故点、即为所求（画出1个即可）； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，作于点M， ∵，平分， ∴． 又∵是四边形的“相似对角线”， ∴， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问4详解】 解：∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴，且， ∴， ∴，， 分以下两种情况： 第一种情况，如图，延长交于点H， 由题意得：， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴； 第二种情况，如图，设交于点G， 由题意得：， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴，即， 解得：， 综上所述，的长为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $