精品解析：天津市河北区2026-2027学年高一上学期11月期中质量检测数学试题

天津市河北区2026—2027学年上学期 高一期中质量检测 数学科考卷 一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，，，则（ ）． A. B. C. D. 2. 已知 ，，则 p 是 q 的（　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知命题：存在一个四边形，它的两条对角线互相垂直，下列说法正确的是（ ） A. 是真命题，其否定为假命题 B. 是假命题，其否定为真命题 C. 是真命题，其否定为真命题 D. 是假命题，其否定为假命题 4. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 5. 下列说法错误的是（　） A. 定义在上的函数满足，则 B. 函数的值域为 C. 函数与函数是同一函数 D. 定义在上的函数f(x)满足，若，则 6. 命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 7. 已知正数x，y满足，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数满足对定义域内任意实数，都有成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 已知定义域为的函数满足：对任意，都有，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 10. 已知关于x的不等式的解集为，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分.答案填在题中横线上. 11. 已知幂函数的定义域是，则______． 12. 已知函数的定义域为，则的定义域为______. 13. 已知函数是奇函数，则＝____. 14. 如图，某厂有许多形状为直角三角形的铁皮边角料，为了降低损耗，现要从这些边角料上截取矩形铁片加以利用.已知，设，则截取的矩形铁片的最大面积为____. 15. 已知表示不超过的最大整数，例如，.已知函数 ，，则的值域为____. 三、解答题：本大题共4个小题，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. 已知集合，. （1）求，； （2）若集合，且，求实数的取值范围. 17. 已知关于的不等式解集为． （1）当时，求集合； （2）当时，求集合； （3）若集合中恰有两个整数，求实数的取值范围． 18. 若定义在 上的函数 对任意的 ，都有 成立，且当 时，.设 . （1）求 ； （2）求证： 为奇函数； （3）求证： 是 上的增函数； （4）若，解不等式 . 19. 已知二次函数 满足：，且该函数的最小值为 1. （1）求此二次函数 的解析式； （2）若对于任意的 ，总存在 ，使得 ，求 的取值范围. （3）若函数 的定义域为 ，是否存在这样的两个实数 ,，使得函数 的值域也为 A？若存在，求出 ，，的值；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天津市河北区2026—2027学年上学期 高一期中质量检测 数学科考卷 一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，，，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】按照补集交集的定义求解即可. 【详解】因为，，所以． 故选：． 2. 已知 ，，则 p 是 q 的（　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】分别求解、对应的不等式解集，通过集合的相等关系判断与的逻辑条件类型. 【详解】由可得，解得， 记对应的集合为； 由，得，解得， 记对应的集合为； 因为集合，即成立当且仅当成立，因此是的充要条件. 3. 已知命题：存在一个四边形，它的两条对角线互相垂直，下列说法正确的是（ ） A. 是真命题，其否定为假命题 B. 是假命题，其否定为真命题 C. 是真命题，其否定为真命题 D. 是假命题，其否定为假命题 【答案】A 【解析】 【分析】由菱形的对角线互相垂直即可判断 【详解】命题：存在一个四边形，它的两条对角线互相垂直， 所以：任意一个四边形，它的两条对角线不垂直， 因为菱形的对角线互相垂直，所以命题是真命题，其否定为假命题， 故选：A. 4. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的解析式确定图象. 【详解】由题可得，，解得， 所以函数的定义域为， 又因为， 所以函数为奇函数，排除选项A； 当时，，所以，排除选项B； 当时，，所以，排除选项C,D正确； 故选:D. 5. 下列说法错误的是（　） A. 定义在上的函数满足，则 B. 函数的值域为 C. 函数与函数是同一函数 D. 定义在上的函数f(x)满足，若，则 【答案】C 【解析】 【分析】对于A，用替换后联立方程组消元即可求解；对于B，根据，利用不等式性质即可求解；对于C，考虑与的定义域是否相同即可判断；对于D，代入求出，再代入即可求解． 【详解】对于A，因为①，用替换，得②， 由①②解得，故A正确； 对于B，因为，所以，故B正确； 对于C，定义域为，定义域为， 所以两函数的定义域不同，不是同一函数，故C错误； 对于D，因为，令，得， 又，所以， 再令，则，解得，故D正确． 6. 命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出的最小值，然后根据集合的包含关系可得. 【详解】当时，，所以， 所以命题“，”为真命题的充要条件是， 所以充分不必要条件是的真子集. 故选：C 7. 已知正数x，y满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对A，利用基本不等式即可判断；对B，利用“1”的代换，结合基本不等式即可判断；对C，利用基本不等式即可判断；对D，表达为的函数，取当  接近  时，表达式趋近于 ，可否的D. 【详解】对于A：因为，则， 当且仅当，即，时取等号，故A错误； 对于B：， 当且仅当，即，时取等号，故B错误； 对于C：因为，则， 当且仅当，即，时取等号，故C正确； 对于D：代入 ，得 ， 当  接近  时，表达式趋近于 ，超过 ，因此D错误. 故选：C. 8. 已知函数满足对定义域内任意实数，都有成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据分段函数的单调性建立不等式组解出即可. 【详解】因为函数对定义域内任意实数，都有， 所以函数在定义域上单调递增， 当时，函数为开口向下， 对称轴为的抛物线， 此时若函数要在上单调递增，则， 当时，函数， 若函数要在单调递增，则， 根据分段函数的单调性可得： ， 解得：， 故选：B. 9. 已知定义域为的函数满足：对任意，都有，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件，得在上单调递增，从而有，解出不等式，即可求解. 【详解】因为，且， 所以两边同时除以，得到， 又，则在上单调递增，又，则， 由，得到， 即或，所以， 则，解得，又或， 所以或，故D正确. 故选：D. 10. 已知关于x的不等式的解集为，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，结合二次函数的性质可得则是的两个不等实根，且， 解不等式和方程组求出范围后即可判断各选项. 【详解】设，若不等式的解集为， 则是的两个不等实根，且. 所以，解得， 因此 所以ABC错误，D正确. 二、填空题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分.答案填在题中横线上. 11. 已知幂函数的定义域是，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据幂函数的系数为，求出的值，再结合幂函数的定义域进行检验即可. 【详解】因为函数为幂函数，则，即， 解得或， 当时，函数的定义域为，合乎题意； 当时，函数的定义域为，舍去. 综上所述，. 故答案为: 12. 已知函数的定义域为，则的定义域为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据函数性质可知，，计算解出. 【详解】已知函数的定义域为，所以中， 综上定义域为：，取并集解得； 故答案为: 13. 已知函数是奇函数，则＝____. 【答案】 【解析】 【详解】由题意可得，， 又函数为奇函数，所以，所以，解得， 所以. 14. 如图，某厂有许多形状为直角三角形的铁皮边角料，为了降低损耗，现要从这些边角料上截取矩形铁片加以利用.已知，设，则截取的矩形铁片的最大面积为____. 【答案】 【解析】 【详解】设矩形铁片的面积为，因为，所以，解得， 所以，则， 当且仅当，即时等号成立， 即截取的矩形铁片的最大面积为. 15. 已知表示不超过的最大整数，例如，.已知函数 ，，则的值域为____. 【答案】 【解析】 【分析】先对函数中的分式分离常数，再结合给定的定义域分区间求解分式的取值范围，最后依据取整函数的定义确定函数的值域. 【详解】首先对函数内的分式进行分离常数变形：， 当时，，可得，所以， 得，此时的可能取值为、 当时，，得，所以， 此时的取值恒为. 综上，的所有可能取值为，故其值域为. 三、解答题：本大题共4个小题，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. 已知集合，. （1）求，； （2）若集合，且，求实数的取值范围. 【答案】（1），或； （2） 【解析】 【分析】（1）利用交集、补集和并集定义即可计算； （2）由可得，分和两种情况讨论即可求解． 【小问1详解】 由于，故或， 因此，或． 【小问2详解】 因为，所以， 当时，，此时不满足题意， 当时，，则，解得， 综上，的取值范围是． 17. 已知关于的不等式解集为． （1）当时，求集合； （2）当时，求集合； （3）若集合中恰有两个整数，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）当时，； 当时，或； 当时，； 当时，； 当时，； （3） 【解析】 【分析】（1）利用一元二次不等式的解法求解即可； （2）对参数分类讨论，利用一元二次不等式的解法求解即可， （3）结合（2）分类讨论，结合已知可求实数的取值范围． 【小问1详解】 当时，不等式为，所以， 所以，解得， 所以； 【小问2详解】 由，得， 当时，不等式为，解得，所以； 当时，解不等式得或，所以或； 当时，，解不等式得，所以； 当时，不等式无解，所以； 当时，，解不等式得，所以； 综上所述：当时，； 当时，或； 当时，； 当时，； 当时，； 【小问3详解】 当时，，集合中整数多于两个，不符合题意； 当时，或，集合中整数多于两个，不符合题意； 当时，，集合中没有整数，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，， 由集合中恰有两个整数，得，解得. 所以实数的取值范围为． 18. 若定义在 上的函数 对任意的 ，都有 成立，且当 时，.设 . （1）求 ； （2）求证： 为奇函数； （3）求证： 是 上的增函数； （4）若，解不等式 . 【答案】（1） （2）由，定义域为R，得， ，即. 令，，得，故， 即，所以为奇函数. （3）任取且，则，由题设当时， 故， 从而，即，故是上的增函数. （4） 【解析】 【小问1详解】 令，代入，得，故. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【小问4详解】 由，得. 由（3）知为增函数，又，故也是上的增函数. ，， 即，，解得. 19. 已知二次函数 满足：，且该函数的最小值为 1. （1）求此二次函数 的解析式； （2）若对于任意的 ，总存在 ，使得 ，求 的取值范围. （3）若函数 的定义域为 ，是否存在这样的两个实数 ,，使得函数 的值域也为 A？若存在，求出 ，，的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）对称轴为，最小值，设顶点式，可求解； （2）由“任意—存在”型条件，转化为在上的最大值小于在上的最大值；对按的符号，分类讨论求最大值. （3）按区间与对称轴的位置关系分三类：，，，分别列方程求解，再检验是否满足. 【小问1详解】 由，知对称轴为. 又最小值为，设. 代入，得，解得. 故. 【小问2详解】 . 当时，，， 故在上的最大值为. 对任意，总存在使 等价于：，即. 设，. 当时，任取，则 . 由得，故，又，所以， 即在上递增，最大值为. 由得，与矛盾，无解. 当时，. 在上递减，在上递增， （i）若，即，则在上递增，最大值为. 由得，与矛盾. （ii）若，即①，则在上递减，在上递增， 最大值为. 当即时②，得③，则由①②③可知⑤； 当即时④，由得⑤，则由①④⑤可知⑥； 由⑤⑥可知. （iii）若，即，则在上递减，最大值为. 由得，故. 综上，的取值范围是. 【小问3详解】 在上递减，在上递增，，，. （1）若，则在上递减，值域为， 故， ， 两式相减得. 由，得. 代入，即，得，，与矛盾，舍去. （2）若，则在上递增，值域为， 故， 即，是方程的两个根，解得或. 两根均不满足且，舍去. （3）若，则在上的最小值为. 由值域为，得. 此时，. 值域最大值为. 根据二次函数对称性质知 当时，由得，解得（舍去）； 当时，则，与矛盾. 综上，存在，，使得定义域上的值域也为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $