精品解析：天津市河北区2025-2026学年高一上学期期中质量检测数学试题

河北区2025-2026学年度第一学期期中高一年级质量检测 数 学 一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列选项中描述正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 设命题：，则的否定为（ ） A. B. C. D. 4. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 下列函数中与是同一函数的为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 6. 下列命题为真命题是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，，则， 7. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数在上最大值为4，则实数k的值为（ ） A. B. 或 C. 3或 D. 或 9. 下列说法错误的是（ ） A. 的最小值是2 B. 的最小值是 C. 的最小值是2 D. 的最大值是 10. 已知函数为定义在上奇函数，且在区间上单调递增，在区间上单调递减，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共5个小题，每空4分，共20分.答案填在题中横线上. 11. 把集合用列举法表示出来_______________. 12. 函数定义域为__________. 13. 不等式的解集为__________. 14. 若两个正实数x，y满足，且恒成立，则实数m的取值范围是__________. 15. 了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水，实行“阶梯水价”.计算方法如下表： 每户每月用水量 水价 不超过的部分 3元/ 超过但不超过的部分 6元/ 超过的部分 9元/ 若某户居民本月交纳的水费为90元，则此户居民本月用水量为___________. 三、解答题：本大题共4个小题，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. 已知全集，集合，，. （1）当时，求，； （2）若是的充分条件，求实数m的取值范围. 17. 已知幂函数，且函数在上单增 （1）函数的解析式； （2）若，求实数的取值范围. 18. 已知函数，. （1）当时，求不等式的解集； （2）若函数在区间上不单调，求实数a的取值范围； （3）对任意实数x，不等式恒成立，求实数a的取值范围. 19. 已知函数，， （1）若，写出函数的单调区间，并证明其单调性； （2）若函数在上单调，且存在，使成立，求实数a的取值范围： （3）当时，函数的最大值为，求的解析式. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河北区2025-2026学年度第一学期期中高一年级质量检测 数 学 一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列选项中描述正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据各符号表示的集合的意义做出判定. 【详解】选项 A：   是圆周率 （无理数）的相反数，仍为无理数，但属于实数集 （实数包括所有有理数和无理数）.因此 ，故A错误； 选项 B：   表示有理数集，定义为可以表示为两个整数之比（分母非零）的数. 中，3 和 7 均为整数，且分母非零，因此属于有理数集.故B正确； 选项 C：   表示整数集，包括正整数、负整数和零, 是无理数，不是整数.因此 ，故C错误； 选项 D：   表示自然数集，在高中数学中通常定义为非负整数集（即 0,1, 2, 3, …），不包括负数.因此 ，故D错误. 故选：B. 2. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】交集  定义为同时属于集合  和  的所有元素组成的集合. 【详解】给定集合  和 ，同时属于  和  的元素只有 1 和 2，即 . 故选：D 3. 设命题：，则的否定为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 本题根据题意直接写出命题的否定即可. 【详解】解：因为命题：， 所以的否定：， 故选：B 【点睛】本题考查含有一个量词的命题的否定，是基础题. 4. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据充分必要条件的定义判断． 【详解】，但，不充分， 时，必要性满足，故是必要不充分条件． 故选：B． 5. 下列函数中与是同一函数的为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】要判断两个函数是否为同一函数，需满足两个条件：定义域相同且对应关系相同（即函数表达式等价） 【详解】选项 A，对于 ，定义域为 .对于，定义域为，因此和 的定义域均为R，且对应关系相同.两函数是同一函数，故A正确； 选项 B，，由 ，解得或，故定义域为. ，由且，即 ，故定义域为.两者定义域不同，不是同一函数.故B错误； 选项 C，对于，定义域为.对于，定义域为.两者定义域不同，不是同一函数.故C错误； 选项 D，对于，定义域为.对于，定义域为.两者定义域不同，不是同一函数.故D错误. 故选： A. 6. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，，则， 【答案】C 【解析】 【分析】利用基本不等式的基本性质，逐一分析各选项的真假：ABD可通过举反例否定，C可以利用作差法证明. 【详解】对于A：当  时，，则 ， 此时  成立，但  不成立（因为  不成立）. 因此，该命题不是真命题，故A错误； 对于B：取反例：设 ，，满足  计算：，， 则  不成立（实际 ). 因此，该命题不是真命题，故B错误； 对于C：由条件 ，得 ，，. 比较差：. 分子 （因为 ，)，分母 （因为 ，). 故，即 .因此，该命题是真命题，故C正确； 对于D：取反例：设 ，，满足 （因 ). 且 ，，满足 （因为 ). 但结论要求 且 ，而此处 ，不满足，所以该命题不是真命题，故D错误. 故选：C 7. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性排除CD；利用函数的单调性或者极限值判断AB. 【详解】对于CD：由函数为偶函数，偶函数的图象关于轴对称，故CD错误； 由时，，排除A； 当时，是单调增函数， 当时，可得，时，可得，B正确， 故选：B 8. 已知函数在上的最大值为4，则实数k的值为（ ） A. B. 或 C. 3或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】利用分类讨论方法，结合二次函数性质求解. 详解】当时，不符合题意； 所以该函数为二次函数，顶点横坐标为， 顶点位于，且在区间  内（因为 ). 顶点函数值： . 端点函数值： , . 二次函数在闭区间上的最大值出现在端点或顶点处. 需根据 的符号分情况讨论. 情况 1：（抛物线开口向下）， 此时顶点为最大值点，最大值在  处：, 解得：， 情况 2：（抛物线开口向上）， 此时顶点为最小值点，最大值在端点处， 比较端点值：,， 由于 ，有 ，故  最大值在  处：, 解得：. 综上，满足条件的解为 ： 或 . 故选：D 9. 下列说法错误的是（ ） A. 的最小值是2 B. 的最小值是 C. 的最小值是2 D. 的最大值是 【答案】C 【解析】 【分析】利用均值不等式求出最值判断A，D；利用二次函数求最值判断B；变形式子，分析取值情况判断C作答. 【详解】当时，，当且仅当，即时取等号，A正确； 当时，，当且仅当，即时取等号，D正确； ，而，则，当且仅当时取等号，B正确； ，因，有，， 则有，C不正确. 故选：C 10. 已知函数为定义在上的奇函数，且在区间上单调递增，在区间上单调递减，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意在上，在上，且，即可求解集. 【详解】由题设，易知在上，在上，且， 由，则或， 所以原不等式的解集为. 故选：C 二、填空题：本大题共5个小题，每空4分，共20分.答案填在题中横线上. 11. 把集合用列举法表示出来_______________. 【答案】 【解析】 【分析】 根据x为自然数及x的范围，即可列出x的所有取值，即可得答案. 【详解】因为且， 所以x的所有取值为4,5,6， 故答案为： 12. 函数的定义域为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据平方根内的表达式非负，分母不为零列不等式组求解. 【详解】函数的定义域需要满足以下条件： 平方根内的表达式非负：要求. 分母不为零：分母为，因此，即. 综合解得. 故答案为： 13. 不等式的解集为__________. 【答案】 【解析】 【分析】二次不等式的一般解法是先找到对应的二次方程的根，然后根据二次函数的图像（抛物线）来确定不等式的解集. 【详解】首先，解对应方程 . 通过因式分解：，得根  和 . 二次函数  的图象是开口向上的抛物线（二次项系数为正），与轴交点为  和 。 当抛物线在轴下方时，函数值小于零，即不等式成立. 由于开口向上，函数值在两根之间小于零，因此解集为 ， 用区间表示为 . 故答案为：. 14. 若两个正实数x，y满足，且恒成立，则实数m的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】先利用常数代换，使用基本不等式求得,再根据不等式恒成立的意义得到答案. 【详解】由已知，, 当且仅当时取等号，结合已知解得,符合题意，所以, 因为恒成立，所以,解得, 故答案为： 15. 为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水，实行“阶梯水价”.计算方法如下表： 每户每月用水量 水价 不超过的部分 3元/ 超过但不超过的部分 6元/ 超过的部分 9元/ 若某户居民本月交纳的水费为90元，则此户居民本月用水量为___________. 【答案】##20立方米 【解析】 【分析】根据题设条件可得水费与水价的关系式，根据该关系式可求用水量. 【详解】设用水量为立方米，水价为元， 则， 整理得到：， 当时，；时，； 故某户居民本月交纳的水费为90元，则用水量大于18立方米， 令，则（立方米）， 故答案为：. 三、解答题：本大题共4个小题，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. 已知全集，集合，，. （1）当时，求，； （2）若是充分条件，求实数m的取值范围. 【答案】（1）；或． （2） 【解析】 【分析】（1）利用集合的运算求解； （2）根据充分条件得到集合的包含关系，进而列出不等式组求解. 【小问1详解】 当时，. 因为， 所以； 因为或， 所以或． 【小问2详解】 因为是的充分条件， 所以， 所以，解得， 所以实数m的取值范围是． 17. 已知幂函数，且函数在上单增 （1）函数的解析式； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）幂函数，有，再由函数在上单调递增，解出的值，得函数的解析式； （2）由函数的奇偶性和单调性解不等式. 【小问1详解】 为幂函数，则有，解得或， 时，，在上单调递增，符合题意； 时，，在上单调递减，不合题意； 所以. 【小问2详解】 ，函数定义域为R，， 函数为偶函数，在上单调递减，在上单调递增， 若，有，解得， 所以实数的取值范围为. 18. 已知函数，. （1）当时，求不等式的解集； （2）若函数在区间上不单调，求实数a的取值范围； （3）对任意实数x，不等式恒成立，求实数a的取值范围. 【答案】（1）或 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用二次不等式的解法求解； （2）根据二次函数的性质列不等式组求解； （3）分类讨论，并利用不等式恒成立的意义，结合二次函数的性质求解. 【小问1详解】 （1）当时，， 不等式，， 解得或， 所以不等式的解集为或． 【小问2详解】 当时，区间上单调递减，不符合题意； 当时，函数在区间上不单调， 其对称轴需满足， 即，解得. 综上所述，实数a的取值范围是． 【小问3详解】 不等式恒成立，即不等式恒成立. 当时，恒成立； 当时，要使恒成立， 则需， 解得. 综上所述，实数a的取值范围是． 19. 已知函数，， （1）若，写出函数的单调区间，并证明其单调性； （2）若函数在上单调，且存在，使成立，求实数a的取值范围： （3）当时，函数的最大值为，求的解析式. 【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为，证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用函数单调性的定义判定并证明； （2）由题意先求出，进而求得，根据能成立的意义得到不等式求解； （3）分段写出函数的表达式，利用单调性，分类讨论求最大值． 【详解】（1）当时，， 的单调递增区间为，单调递减区间为． 证明：，，且， 则 ， 因为，，且， 所以，， 当，时，，得，即； 当，时，，得，即； 所以在上单调递增，在上单调递减． （2）当，时，， 易知的单调区间与的单调区间一致， 故由（1）知在上单调递增，在上单调递减， 因为函数在上单调， 所以，在上单调递增， 又存在，使成立， 所以， 即， 解得，或， 所以实数a的取值范围为． （3）由题意，得， 易知在区间上单调递增， ①当时，在上单调递增，在上单调递增，则； ②当时，上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，，， 当，即时，； 当，即时，； 综上所述，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $