第17章 因式分解专项练习 2026--2027学年人教版八年级数学上册

因式分解专项练习 人教版八年级上册 一、方法回顾 因式分解就三步：先看有没有公因式可提，再看能不能套公式，最后检查有没有分解彻底。 常用方法 ① 提公因式法：ma + mb + mc = m(a + b + c)。公因式要提尽，不要漏项。 ② 公式法：平方差 a² - b² = (a+b)(a-b)；完全平方 a² ± 2ab + b² = (a±b)²。 ③ 十字相乘法：x² + (p+q)x + pq = (x+p)(x+q)。 注意：因式分解一定要分解到每个因式都不能再分为止。 二、分层练习 （一）基础过关 1. 分解因式：3a² - 6ab + 3a 原式 = 3a(a - 2b + 1)。先提公因式 3a，注意最后一项 3a 提完后剩下 1，不要漏掉。 2. 分解因式：x² - 9 原式 = (x + 3)(x - 3)。平方差公式：a² - b² = (a+b)(a-b)。 3. 分解因式：4x² - 12x + 9 原式 = (2x - 3)²。完全平方公式：a² - 2ab + b² = (a-b)²，这里 a=2x，b=3。 4. 分解因式：2x³ - 8x 原式 = 2x(x² - 4) = 2x(x + 2)(x - 2)。先提公因式 2x，再用平方差公式分解到不能再分。 5. 分解因式：a³ - 2a²b + ab² 原式 = a(a² - 2ab + b²) = a(a - b)²。先提公因式 a，再用完全平方公式。 6. 分解因式：(x + y)² - 4(x + y) + 4 把 (x+y) 看作一个整体，原式 = [(x+y) - 2]² = (x + y - 2)²。整体思想是这道题的关键。 7. 分解因式：x² - 5x - 24 原式 = (x - 8)(x + 3)。十字相乘：-8 × 3 = -24，-8 + 3 = -5。 8. 分解因式：2x² - 7x + 3 原式 = (2x - 1)(x - 3)。十字相乘：2×(-3) + (-1)×1 = -7，常数项 (-1)×(-3) = 3。 （二）中档提升 9. 分解因式：x⁴ - 16 原式 = (x² + 4)(x² - 4) = (x² + 4)(x + 2)(x - 2)。连续用两次平方差公式，分解要彻底。 10. 分解因式：a² - 2ab + b² - c² 原式 = (a - b)² - c² = (a - b + c)(a - b - c)。前三项一组用完全平方，再和第四项用平方差。 11. 分解因式：(x² + 4)² - 16x² 原式 = (x² + 4 + 4x)(x² + 4 - 4x) = (x + 2)²(x - 2)²。先用平方差，两个因式再分别用完全平方。 12. 已知 a + b = 5，ab = 3，求 a²b + ab² 的值。 a²b + ab² = ab(a + b) = 3 × 5 = 15。先因式分解再整体代入，比分别求 a、b 简单得多。 13. 利用因式分解计算：2026² - 2025 × 2027 原式 = 2026² - (2026 - 1)(2026 + 1) = 2026² - (2026² - 1) = 1。平方差公式在计算里的妙用。 14. 分解因式：x² - 2xy + y² - 2x + 2y + 1 原式 = (x - y)² - 2(x - y) + 1 = [(x - y) - 1]² = (x - y - 1)²。把 (x-y) 看作整体，用完全平方公式。 （三）压轴挑战 15. 已知 a、b、c 是△ABC 的三边，且满足 a² + b² + c² - ab - bc - ca = 0，试判断△ABC 的形状。 等式两边乘 2：2a² + 2b² + 2c² - 2ab - 2bc - 2ca = 0。分组：(a-b)² + (b-c)² + (c-a)² = 0。三个非负数之和为 0，只能都为 0，所以 a = b = c。△ABC 是等边三角形。 16. 分解因式：x³ + x²y - xy² - y³ 分组分解：原式 = (x³ + x²y) - (xy² + y³) = x²(x + y) - y²(x + y) = (x + y)(x² - y²) = (x + y)²(x - y)。 17. 两位同学将一个二次三项式分解因式，一位同学因看错了一次项系数而分解成 2(x-1)(x-9)，另一位同学因看错了常数项而分解成 2(x-2)(x-4)，求原多项式并分解因式。 设原多项式为 2x² + bx + c。第一位同学看错 b 但 c 是对的：2(x-1)(x-9) = 2x² - 20x + 18，所以 c = 18。第二位同学看错 c 但 b 是对的：2(x-2)(x-4) = 2x² - 12x + 16，所以 b = -12。原多项式 = 2x² - 12x + 18 = 2(x² - 6x + 9) = 2(x - 3)²。 学科网（北京）股份有限公司 $ 因式分解专项练习 人教版八年级上册 一、方法回顾 因式分解就三步：先看有没有公因式可提，再看能不能套公式，最后检查有没有分解彻底。 常用方法 ① 提公因式法：ma + mb + mc = m(a + b + c)。公因式要提尽，不要漏项。 ② 公式法：平方差 a² - b² = (a+b)(a-b)；完全平方 a² ± 2ab + b² = (a±b)²。 ③ 十字相乘法：x² + (p+q)x + pq = (x+p)(x+q)。 注意：因式分解一定要分解到每个因式都不能再分为止。 二、分层练习 （一）基础过关 1. 分解因式：3a² - 6ab + 3a 2. 分解因式：x² - 9 3. 分解因式：4x² - 12x + 9 4. 分解因式：2x³ - 8x 5. 分解因式：a³ - 2a²b + ab² 6. 分解因式：(x + y)² - 4(x + y) + 4 7. 分解因式：x² - 5x - 24 8. 分解因式：2x² - 7x + 3 （二）中档提升 9. 分解因式：x⁴ - 16 10. 分解因式：a² - 2ab + b² - c² 11. 分解因式：(x² + 4)² - 16x² 12. 已知 a + b = 5，ab = 3，求 a²b + ab² 的值。 13. 利用因式分解计算：2026² - 2025 × 2027 14. 分解因式：x² - 2xy + y² - 2x + 2y + 1 （三）压轴挑战 15. 已知 a、b、c 是△ABC 的三边，且满足 a² + b² + c² - ab - bc - ca = 0，试判断△ABC 的形状。 16. 分解因式：x³ + x²y - xy² - y³ 17. 两位同学将一个二次三项式分解因式，一位同学因看错了一次项系数而分解成 2(x-1)(x-9)，另一位同学因看错了常数项而分解成 2(x-2)(x-4)，求原多项式并分解因式。 学科网（北京）股份有限公司 $