第17章 数学活动(十)个位数字是5的两位数平方的规律&数学活动(十一)利用因式分解生成密码-【勤径学升】2026-2027学年八年级上册数学同步练测(人教版)

第十七章因式分解 数学活动（十） 个位数字是5的两位数平方的规律 [答案P25] 阅读与思考 请你仔细阅读下列材料，并完成相应的任务。 老师布置了一道规律探索题，如下： 观察下列各式：152=225,252=625,352=1225… 个位数字是5的两位数平方后，末尾的两个数有什么规律？为什么？ 小丽的思考如下： 假设个位数字是5的两位数的十位数字为a,则这个两位数可以表示为10a+5,这个两位数的平方为(10a+5)2=①，由此可知 个位数字是5的两位数平方后末尾的两个数是②. 【任务一】补全上面小丽的解答过程：① :② 【任务二】小丽继续探究发现，个位数字是5的两位数平方后，除了末尾两个数有规律外，其他数位上的数 也有规律，并且与原两位数的十位数字有关，探索过程如下： 152=100×1×2+25=225; 252=100×2×3+25=625; 352=100×3×4+25=1225; … (1)请直接写出：752= =5625. (2)请用代数式表示小丽发现的这一规律： (3)试证明个位数字是5的两位数的平方是25的倍数 【任务三】观察：14×16=224,24×26=624,34×36=1224….类比任务二，用代数式表示你发现的规律： 见此图标目园微信扫码准题轻松解练出好成绩 97 同步练测 八年级数学（上册） 数学活动（十一） 利用因式分解生成密码 [答案P25] 1.在日常生活中，经常会用到密码，有一种利用“因式分解”法生成的密码，方便记忆.如将x2-9因式分解 的结果为(x-3)(x+3),取个人年龄作为x的值，当x=13时，x-3=10,x+3=16,由此可以得到数字密码 1016.小旭按这种方式将x3-x因式分解后，取自己的年龄14设置了一个密码，他设置的密码可能是 () A.141414 B.141315 C.131413 D.151415 2.综合与实践 【主题】利用因式分解生成密码. 【背景】人类使用密码的历史悠久，利用因式分解生成密码的步骤如下：先将确定的多项式分解因式，再 对因式赋值生成正整数或0的因式码，将因式码按从小到大的顺序排列就可以形成密码. 【操作】 步骤一：分解因式：x2y2-9y2=y2(x2-9)=y2(x+3)(x-3); 步骤二：取x=8,y=4,则有y=4,y=4,x+3=11,x-3=5,其中04,04,11,05分别为因式码； 步骤三：将这四个因式码按从小到大的顺序排列，形成密码04040511. 注意：字母的取值不同，所得的密码也不同：若所得的因式码为1，则形成密码时，表示为01，以此类推， 【理解】 (1)已知多项式x2-y2,当取x=26,y=20时，则生成的密码是 (2)已知多项式x(x2-6x+9),当x=12时，用上述方法生成的密码是一个六位数，则生成的密码 是 【拓展】 (3)已知多项式x4-y,用上述方法生成密码，若密码的前两个因式码为05,07，则第三个因式码为 (4)若多项式x3-x2y-xy2+y,用上述方法生成密码时，已知当取x,y某一组值时，生成的密码是 040408.请写出满足条件的x和y,并说明理由. 98 见此图标目园微信扫码准题轻松解练出好成绩章末核心考点训练 1.D2.B3.-a54.105.k8 6.解：(1)1 (2)3×9m×27m=31, .3x32mx33m=31+5m=31, .1+5m=11,解得m=2. (3)由题可知a=25=(25)1=321,b=3=(34)1=81", c=533=(53)1=1251,d=62=(62)11=361. 32<36<81<125, .321<361<811<12511 .∴.a<d<b<c. 7.C8.A9.D10.D11.6m212.3a2+(-1)".2b 13.17 14解：()原式=4xga"-(分）广a260=266 46=2 (2)原式=2x2+x-6+(-4x2+6)=2x2-4x2+x-6+6= -2x2+x. 15.解：A=(x-3)(x-6),B=(x-2)(x-7), ∴A-B=(x-3)(x-6)-(x-2)(x-7)=(x2-3x-6x+18)- (x2-2x-7x+14)=x2-9x+18-x2+9x-14=4>0, .A>B. 16.B17.-8 18.解：(1)原式=(x3y2-x2y-x2y+x3y2)÷x2y=(2x3y2-2x2y)÷ x2y=2xy-2. (2)原式=x2-y+2xy-2y2-(x2-2y+y-2y2)=x2-y+ 2xy-2y2-x2+2xy-xy+2y2=2xy. 当x=m0=1,y=2时，原式=2×1×2=4. 19.解：(1)a+b (2)S△ArC的值为32.解析S△AFC=S△AFE+SE方形FGBE+ Sac-(a-++2-(o）=- 26s 2a3.当a=8时，SAMc= 1 2x64=32. 第十七章因式分解 17.1用提公因式法分解因式 基础达标练) 1.C2.A3.A4.B5.y(x-5) 6.解：(1)原式=8ab(3a2c2-b). (2)原式=(a-b)(a-b+3). (3)原式=9a2(x-y)2+3a(x-y)3=3a(x-y)2(3a+x-y). 7.D8.A9.-ay 10.解：原式=(b-1)(a-c-1). 当a=1,b=2,c=3时，原式=(2-1)×(1-3-1)=-3. 11.解：(1)提公因式法2 (2)(1+x)202四 (3)原式=(1+x)[1+x+x(x+1)+…+x(x+1)n-1] 参考答案及解析 =(1+x)2[1+x+x(x+1)+…+x(x+1)-2] … =(1+x)n+1 17.2用公式法分解因式 课时1运用平方差公式分解因式 基础达标练) 1.B2.C3.4x(x+2)(x-2) 4.解：(1)原式=(a+2b)(a-2b). (2)原式=[(2a-b)+(a+b)][(2a-b)-(a+b)]=3a(a-2b). (3)原式=(x-y)(a2-4b2)=(x-y)(a+2b)(a-2b). 5.A6.C7.40518.-2 9.解：m-n-9=0, ∴.m-n=9, ∴.m2-n2-18n=(m+n)(m-n)-18n=9(m+n)-18n=9m+ 9n-18n=9m-9n=9(m-n)=9x9=81. 10.解：(1)(4×5+1)2=(20×11+1)2-(20×11)2 (2)第n个等式：(4n+1)2=[4n×(2n+1)+1]2-[4n× (2n+1)]2. 证明：：左边=16n2+8n+1, 右边=(8n2+4n+1)2-(8n2+4n)2=(8n2+4n+1+8n2+ 4n)(8m2+4n+1-8n2-4n)=16n2+8n+1, 左边=右边，.等式成立 课时2运用完全平方公式分解因式 基础达标练 1.D2.(1)9(2)±43.D4.D5.b(a-2)2 6.解：(1)原式=(2a)2-2·2a·3+32=(2a-3)2. (2)原式=2y(x2-4x+4)=2y(x-2)2. 7.D8.D9.(x-y+1)(x-y-1) 10.解：(1)令x-y=M, 则原式=1+2M+M2=(1+M)2 将“M”还原，可以得到原式=(1+x-y)2. (2)令a2-4a=B, 则原式=(B+1)(B+7)+9=B2+8B+16=(B+4)2. 将“B”还原，可以得到原式=(a2-4a+4)2=(a-2)4 数学活动（十）个位数字是5的两位数平方的规律 解：【任务-】①100a2+100a+25②25 【任务二】(1)100×7×8+25 (2)(10a+5)2=100a(a+1)+25 (3)(10a+5)2=100a(a+1)+25=25[4a(a+1)+1]. a是1到9的整数，.4a(a+1)+1是整数， .(10a+5)2是25的倍数. 【任务三】(10a+4)(10a+6)=100a(a+1)+24 数学活动（十一）利用因式分解生成密码 1.B 2.解：(1)0646 (2)090912 (3)37 (4)原式=x2(x-y)-y2(x-y)=(x-y)(x2-y2)=(x-y)(x y）(x+y)=(x-y)2(x+y). 040408对应x-y=4,x+y=8, 可得x=6,y=2. ·25·