数学一模模拟·必刷卷01（全国一卷通用）学易金卷：2027年高考第一次模拟考试

学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2027年高考第一次模拟考试 数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027年高考第一次模拟考试 高三数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知一组数据为，则这组数据的分位数是（　　） A．3 B．4 C．4.5 D．5 2．已知，则（ ） A． B． C． D．40 3．（热点）集合，，则（    ） A． B． C． D． 4．已知向量，，则向量与的夹角的正切值等于（   ） A．1 B． C． D．2 5．曲线在点处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 6．已知抛物线：的焦点为，抛物线上有一点，过点的直线交抛物线的准线于点，若，，则（    ） A． B． C．1 D．2 7．（新情景）鬼工球，又称同心球，要求制作者使用一整块完整的材料，将其雕成每层均同球心的数层可自由转动的空心球，空心球的球面厚度不计.为保证鬼工球的每一层均可以自由转动，要求其从最内层起，每层与其外一层球面的间距构成首项为､公差为的等差数列，若一个鬼工球最外层与最内层的半径之差为，则该鬼工球的层数为（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 8．（改编题）已知函数在处有最小值，最小值小于，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．为了解某种疫苗注射后血样指标的变化情况，将该疫苗给实验小猴注射，已知实验小猴的血样指标服从正态分布，则（若，则（    ） A． B． C． D． 10．如图，四棱台中，底面是边长为4的菱形，，，则（    ） A． B．平面 C．若，则该四棱台的体积为 D．平面 11．（新考法）如图，有一组圆都内切于点，圆，设直线与圆在第二象限的交点为，若，则下列结论正确的是（   ） A．圆的圆心都在直线上 B．圆的方程为 C．若，则圆与轴有交点 D．设直线与圆在第二象限的交点为，则 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知双曲线的渐近线方程为，则的离心率为___________. 13．已知函数，若存在唯一的使得，则ω的最小值为___________． 14．一个盒子中有2个红球，3个白球．从中随机取一个球，观察其颜色后放回，并同时放入与其颜色相同的1个球，再从中不放回地取2个球，若取到的两个球中红球的个数为，则___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 如图，在四棱锥中，，，，是边长为4的等边三角形，平面平面． (1)证明：； (2)点在线段上，且，求平面与平面夹角的余弦值． 16．（15分） 在中，，． (1)求； (2)若，点在边上，且，求的面积． 17．（15分） 甲、乙、丙、丁四人进行一场乒乓球比赛，具体赛制为：首先四人抽签两两对阵，胜者进入“胜区”，败者进入“败区”；接下来，“胜区”的两人对阵，胜者进入最后决赛；“败区”的两人对阵，败者直接淘汰出局并获得第四名；紧接着“败区”的胜者和“胜区”的“败者”对阵，胜者晋级到决赛，败者获得第三名；最后，剩下的两人进行决赛，胜者获得冠军，败者获得第二名．已知甲对阵乙、丙、丁时甲获胜的概率均为，乙对阵丙、丁时乙获胜的概率均为，丙与丁对阵时，相互之间获胜的可能性相同，且不同对阵结果相互独立．经过抽签，第一轮由甲对阵乙，丙对阵丁． (1)求丙获得第四名的概率； (2)求甲获得冠军的概率； (3)求乙参与对阵的比赛场数恰为3的概率． 18．（17分） 已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且过点和. (1)求椭圆的方程； (2)不经过原点的直线与椭圆交于，两点，点为椭圆上一点. （i）若直线经过椭圆的右焦点，且，求直线的方程； （ii）已知直线，，，的斜率都存在，分别记为，，，，若，求的值. 19．（17分） 取名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔的不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理．该定理表明：对于满足一定条件的图象连续不间断的函数，在其定义域内存在一点，使得，则称为函数的一个“不动点”． (1)求函数的不动点； (2)若定义在上的函数的图象绕原点逆时针旋转之后不变，是函数的一个“不动点”，证明：； (3)设常数，函数，满足，，． ，对于任意实数，证明：函数存在唯一的不动点． / 学科网（北京）股份有限公司 $■■■■ ■■■■ 2027年高考第一次模拟考试 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 n 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 好 题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 巢 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 一、 选择题（每小题5分，共40分） 1[A][B][C][D] 5[A][B][C][D] 2[A]B][C][D] 6[A[B][C][D] 3[A][B][C][D] 7[A][B][C][D] 双阙 4[A][B][C][D] 8[A][B][C][D] 二、选择题（全部选对的得6分， 部分选对的得部分分，有选错的得0 分，共18分) 9[A][B][C][D] 10[A]B][C][D] 11[A][B][C][D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12 妇 13 14 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效： 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分) D 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页） 2027年高考第一次模拟考试 数学·全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知一组数据为，则这组数据的分位数是（　　） A．3 B．4 C．4.5 D．5 1．【答案】C 【解析】数据从小到大排序为：，共8个，则， 则这组数据的分位数是：. 故选：C. 2．已知，则（ ） A． B． C． D．40 2．【答案】B 【解析】，则， 所以； 所以， 故选：B. 3．（热点）集合，，则（    ） A． B． C． D． 3．【答案】D 【解析】由于， ， 故，， 因此． 故选：D. 4．已知向量，，则向量与的夹角的正切值等于（   ） A．1 B． C． D．2 4．【答案】C 【解析】设向量与的夹角为， 因为，，所以， 所以，故. 故选：C. 5．曲线在点处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 5．【答案】D 【解析】由已知， 则， 即切线斜率， 又， 所以切线方程为， 即， 故选：D. 6．已知抛物线：的焦点为，抛物线上有一点，过点的直线交抛物线的准线于点，若，，则（    ） A． B． C．1 D．2 6．【答案】D 【解析】如图，过作于， 由抛物线的定义知，又，则， 设，则，因为， 则， 所以，由于轴， 所以，则， 则，所以，则. 故选：D. 7．（新情景）鬼工球，又称同心球，要求制作者使用一整块完整的材料，将其雕成每层均同球心的数层可自由转动的空心球，空心球的球面厚度不计.为保证鬼工球的每一层均可以自由转动，要求其从最内层起，每层与其外一层球面的间距构成首项为､公差为的等差数列，若一个鬼工球最外层与最内层的半径之差为，则该鬼工球的层数为（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 7．【答案】C 【解析】已知每层与其外一层球面的间距构成首项、公差的等差数列.设该鬼工球的层数为， 由于最外层与最内层的半径之差就是这个等差数列的前项和，即. 根据等差数列前项和公式， 将，，代入可得： ，即 得到，（因为层数为正整数，所以舍去）. 该鬼工球的层数为11. 故选：C. 8．（改编题）已知函数在处有最小值，最小值小于，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．【答案】C 【解析】函数的定义域为，且， 由于函数在有最小值，则函数在取极小值，则， 所以， 即， 当时，对任意的恒成立，，不合乎题意； 当时，由可得，由可得, 此时函数的减区间为，增区间为，此时函数在处取得极小值，即最小值，合乎题意； 当时，由可得，由可得， 此时函数的减区间为，增区间为，此时函数在处取得极大值，不合乎题意. 所以，由题意可得，则，解得， 因此，. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．为了解某种疫苗注射后血样指标的变化情况，将该疫苗给实验小猴注射，已知实验小猴的血样指标服从正态分布，则（若，则（    ） A． B． C． D． 9．【答案】BC 【解析】由题意有，，故A错误； ，故B正确； ，故C正确； ，故D错误. 故选：BC. 10．如图，四棱台中，底面是边长为4的菱形，，，则（    ） A． B．平面 C．若，则该四棱台的体积为 D．平面 10．【答案】ABD 【解析】连结，交于点，连结， 由四棱台，得平面平面， 又平面平面，平面面， 所以 ，A正确； 因为，所以， 因为为的中点，所以， 所以四边形为平行四边形， 故，又平面平面，所以平面，B正确； 取的中点，连结， 由四棱台得，， 所以四边形为平行四边形， 所以， 所以，所以， 因为，又，所以，因为 ，所以， 又平面，所以平面，D正确； 因为，所以， 易得菱形的面积， 由四棱台且， 可得， 四棱台的体积： ，C错误. 故选：ABD. 11．（新考法）如图，有一组圆都内切于点，圆，设直线与圆在第二象限的交点为，若，则下列结论正确的是（   ） A．圆的圆心都在直线上 B．圆的方程为 C．若，则圆与轴有交点 D．设直线与圆在第二象限的交点为，则 11．【答案】ABC 【解析】圆的圆心，直线的方程为，即， 由两圆内切连心线必过切点，得圆的圆心都在直线上，即圆的圆心都在直线上，故A正确； 显然，设点，则，而， 解得，，因此圆的圆心，半径为， 圆的方程为， 则圆的方程为，故B正确； 圆的圆心为，半径， 圆心到轴的距离为， 由两边平方得， ，，而 所以当时，圆与轴有交点，C选项正确. 在中，令，得点的纵坐标为，因此，故D错误． 故选：ABC. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知双曲线的渐近线方程为，则的离心率为___________. 12．【答案】 【解析】由题意得，双曲线的渐近线方程为， 又其渐近线方程为，则， 则， 则的离心率为. 故答案为：. 13．已知函数，若存在唯一的使得，则ω的最小值为___________． 13．【答案】 【解析】对于函数，因为，所以， 所以，所以， 又存在唯一的使得， 则存在唯一的整数，使得， 所以，所以， 又，所以，故时，，所以ω的最小值为. 故答案为：. 14．一个盒子中有2个红球，3个白球．从中随机取一个球，观察其颜色后放回，并同时放入与其颜色相同的1个球，再从中不放回地取2个球，若取到的两个球中红球的个数为，则___________． 14．【答案】 【解析】设“第1次取出的球为红球”为事件，则，，的可能取值为0，1，2． ， ， ． 所以． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 如图，在四棱锥中，，，，是边长为4的等边三角形，平面平面． (1)证明：； (2)点在线段上，且，求平面与平面夹角的余弦值． 15．（13分） 【解析】（1）证明：取中点为，连接， 是边长为4的等边三角形，， 又平面平面，平面平面，平面， 又，，是平行四边形，，又， ，又平面且， 平面，又平面，. （2） 以为坐标原点，分别以的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系， ，，，，， 因，所以，所以， 由题意可知，平面平面，故平面的法向量为， 向量，， 设平面的法向量为， 则，令，解得，， 即， 设平面与平面的夹角为，则. 16．（15分） 在中，，． (1)求； (2)若，点在边上，且，求的面积． 16．（15分） 【解析】（1）在中，，， 则 ． 因为中，，所以． （2）在中，，，得． 在中，由正弦定理：， 因为，所以， 则，， 在中，由正弦定理：， 所以． 17．（15分） 甲、乙、丙、丁四人进行一场乒乓球比赛，具体赛制为：首先四人抽签两两对阵，胜者进入“胜区”，败者进入“败区”；接下来，“胜区”的两人对阵，胜者进入最后决赛；“败区”的两人对阵，败者直接淘汰出局并获得第四名；紧接着“败区”的胜者和“胜区”的“败者”对阵，胜者晋级到决赛，败者获得第三名；最后，剩下的两人进行决赛，胜者获得冠军，败者获得第二名．已知甲对阵乙、丙、丁时甲获胜的概率均为，乙对阵丙、丁时乙获胜的概率均为，丙与丁对阵时，相互之间获胜的可能性相同，且不同对阵结果相互独立．经过抽签，第一轮由甲对阵乙，丙对阵丁． (1)求丙获得第四名的概率； (2)求甲获得冠军的概率； (3)求乙参与对阵的比赛场数恰为3的概率． 17．（15分） 【解析】（1）丙获得第四名，则丙与丁对阵丙败，且丙在败区对阵仍败. 记丙获得第四名的事件为，丙与丁对阵丙败为事件，丙进入败区后与甲对阵为事件， 丙进入败区后与乙对阵为事件，丙在败区落败为事件， 则. （2）记甲获得冠军的事件为，甲在第场比赛中获胜为， 甲获得冠军，则甲参加的比赛结果有三种情况： 情况1：三场全胜，； 情况2：第一场胜第二场负第三场胜第四场胜， ； 情况3：第一场负第二场胜第三场胜第四场胜， ； 所以， 即甲获得冠军的概率为. （3）记乙参与对阵的比赛场数为随机变量，乙在第场比赛中获胜为，乙对阵甲为事件， 乙参与对阵的比赛场数恰为3可分为三种情况： 情况1：乙连胜两场，第三场进入决赛不用考虑胜败，概率为； 情况2：乙第一场胜第二场败第三场败，概率为 ； 情况3：乙第一场败第二场胜第三场败，概率为 ； 所以． 所以乙参与对阵的比赛场数恰为3的概率为. 18．（17分） 已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且过点和. (1)求椭圆的方程； (2)不经过原点的直线与椭圆交于，两点，点为椭圆上一点. （i）若直线经过椭圆的右焦点，且，求直线的方程； （ii）已知直线，，，的斜率都存在，分别记为，，，，若，求的值. 18．（17分） 【解析】（1）设椭圆的方程为（，，） 由题意，，解得，， 所以椭圆：； （2）（i）由椭圆的方程可得，即. 直线不过原点，所以斜率不为0，设直线：，， 由，得. 由得，，. 所以点，则，即， ，. 所以直线的方程为. （ii）设，则，即. 若，则， 所以设直线：，，. 由得， 即. 则，， 得，. 所以， ， 所以． 19．（17分） 取名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔的不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理．该定理表明：对于满足一定条件的图象连续不间断的函数，在其定义域内存在一点，使得，则称为函数的一个“不动点”． (1)求函数的不动点； (2)若定义在上的函数的图象绕原点逆时针旋转之后不变，是函数的一个“不动点”，证明：； (3)设常数，函数，满足，，． ，对于任意实数，证明：函数存在唯一的不动点． 19．（17分） 【解析】（1）设函数的不动点为，则，解得， 所以函数的不动点为. （2）证明：记函数的图象为，是函数的一个“不动点”， 函数的图象绕原点逆时针旋转之后不变，即，则， 同理， ，由及函数的定义， 得，所以. （3）证明：函数存在唯一的不动点等价于函数在R上存在唯一零点， 在中，令，得， 则，当时，， 于是存在，使得；， 当时，，于是存在，使得， 因此存在，使得； 假设存在实数，使得，不妨令，由已知得， 由均为的零点，得， 因此，而，则与已知矛盾，即假设是错的， 则函数在R上存在唯一零点，所以函数存在唯一的不动点. / 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027年高考第一次模拟考试 数学·参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 C B D C D D C C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 BC ABD ABC 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 【解析】（1）证明：取中点为，连接， 是边长为4的等边三角形，， 又平面平面，平面平面，平面， 又，，是平行四边形，，又， ，又平面且， 平面，又平面，.（5分） （2） 以为坐标原点，分别以的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系， ，，，，， 因，所以，所以， 由题意可知，平面平面，故平面的法向量为， 向量，， 设平面的法向量为， 则，令，解得，， 即， 设平面与平面的夹角为，则.（13分） 16．（15分） 【解析】（1）在中，，， 则 ．（2分） 因为中，，所以．（5分） （2）在中，，，得． 在中，由正弦定理：， 因为，所以，（8分） 则，， 在中，由正弦定理：， 所以．（15分） 17．（15分） 【解析】（1）丙获得第四名，则丙与丁对阵丙败，且丙在败区对阵仍败. 记丙获得第四名的事件为，丙与丁对阵丙败为事件，丙进入败区后与甲对阵为事件， 丙进入败区后与乙对阵为事件，丙在败区落败为事件， 则.（4分） （2）记甲获得冠军的事件为，甲在第场比赛中获胜为， 甲获得冠军，则甲参加的比赛结果有三种情况： 情况1：三场全胜，； 情况2：第一场胜第二场负第三场胜第四场胜， ；（7分） 情况3：第一场负第二场胜第三场胜第四场胜， ； 所以， 即甲获得冠军的概率为.（9分） （3）记乙参与对阵的比赛场数为随机变量，乙在第场比赛中获胜为，乙对阵甲为事件， 乙参与对阵的比赛场数恰为3可分为三种情况： 情况1：乙连胜两场，第三场进入决赛不用考虑胜败，概率为； 情况2：乙第一场胜第二场败第三场败，概率为 ；（13分） 情况3：乙第一场败第二场胜第三场败，概率为 ； 所以． 所以乙参与对阵的比赛场数恰为3的概率为.（15分） 18．（17分） 【解析】（1）设椭圆的方程为（，，） 由题意，，解得，， 所以椭圆：；（3分） （2）（i）由椭圆的方程可得，即. 直线不过原点，所以斜率不为0，设直线：，， 由，得. 由得，，.（5分） 所以点，则，即， ，. 所以直线的方程为.（8分） （ii）设，则，即. 若，则， 所以设直线：，，. 由得， 即. 则，， 得， .（13分） 所以， ， 所以．（17分） 19．（17分） 【解析】（1）设函数的不动点为，则，解得， 所以函数的不动点为.（3分） （2）证明：记函数的图象为，是函数的一个“不动点”， 函数的图象绕原点逆时针旋转之后不变，即，则，（5分） 同理， ，由及函数的定义， 得，所以.（8分） （3）证明：函数存在唯一的不动点等价于函数在R上存在唯一零点， 在中，令，得， 则，当时，， 于是存在，使得；， 当时，，于是存在，使得， 因此存在，使得；（13分） 假设存在实数，使得，不妨令，由已知得， 由均为的零点，得， 因此，而，则与已知矛盾，即假设是错的， 则函数在R上存在唯一零点，所以函数存在唯一的不动点.（17分） 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2027年高考第一次模拟考试 高三数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知一组数据为，则这组数据的分位数是（　　） A．3 B．4 C．4.5 D．5 2．已知，则（ ） A． B． C． D．40 3．（热点）集合，，则（    ） A． B． C． D． 4．已知向量，，则向量与的夹角的正切值等于（   ） A．1 B． C． D．2 5．曲线在点处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 6．已知抛物线：的焦点为，抛物线上有一点，过点的直线交抛物线的准线于点，若，，则（    ） A． B． C．1 D．2 7．（新情景）鬼工球，又称同心球，要求制作者使用一整块完整的材料，将其雕成每层均同球心的数层可自由转动的空心球，空心球的球面厚度不计.为保证鬼工球的每一层均可以自由转动，要求其从最内层起，每层与其外一层球面的间距构成首项为､公差为的等差数列，若一个鬼工球最外层与最内层的半径之差为，则该鬼工球的层数为（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 8．（改编题）已知函数在处有最小值，最小值小于，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．为了解某种疫苗注射后血样指标的变化情况，将该疫苗给实验小猴注射，已知实验小猴的血样指标服从正态分布，则（若，则（    ） A． B． C． D． 10．如图，四棱台中，底面是边长为4的菱形，，，则（    ） A． B．平面 C．若，则该四棱台的体积为 D．平面 11．（新考法）如图，有一组圆都内切于点，圆，设直线与圆在第二象限的交点为，若，则下列结论正确的是（   ） A．圆的圆心都在直线上 B．圆的方程为 C．若，则圆与轴有交点 D．设直线与圆在第二象限的交点为，则 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知双曲线的渐近线方程为，则的离心率为___________. 13．已知函数，若存在唯一的使得，则ω的最小值为___________． 14．一个盒子中有2个红球，3个白球．从中随机取一个球，观察其颜色后放回，并同时放入与其颜色相同的1个球，再从中不放回地取2个球，若取到的两个球中红球的个数为，则___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 如图，在四棱锥中，，，，是边长为4的等边三角形，平面平面． (1)证明：； (2)点在线段上，且，求平面与平面夹角的余弦值． 16．（15分） 在中，，． (1)求； (2)若，点在边上，且，求的面积． 17．（15分） 甲、乙、丙、丁四人进行一场乒乓球比赛，具体赛制为：首先四人抽签两两对阵，胜者进入“胜区”，败者进入“败区”；接下来，“胜区”的两人对阵，胜者进入最后决赛；“败区”的两人对阵，败者直接淘汰出局并获得第四名；紧接着“败区”的胜者和“胜区”的“败者”对阵，胜者晋级到决赛，败者获得第三名；最后，剩下的两人进行决赛，胜者获得冠军，败者获得第二名．已知甲对阵乙、丙、丁时甲获胜的概率均为，乙对阵丙、丁时乙获胜的概率均为，丙与丁对阵时，相互之间获胜的可能性相同，且不同对阵结果相互独立．经过抽签，第一轮由甲对阵乙，丙对阵丁． (1)求丙获得第四名的概率； (2)求甲获得冠军的概率； (3)求乙参与对阵的比赛场数恰为3的概率． 18．（17分） 已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且过点和. (1)求椭圆的方程； (2)不经过原点的直线与椭圆交于，两点，点为椭圆上一点. （i）若直线经过椭圆的右焦点，且，求直线的方程； （ii）已知直线，，，的斜率都存在，分别记为，，，，若，求的值. 19．（17分） 取名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔的不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理．该定理表明：对于满足一定条件的图象连续不间断的函数，在其定义域内存在一点，使得，则称为函数的一个“不动点”． (1)求函数的不动点； (2)若定义在上的函数的图象绕原点逆时针旋转之后不变，是函数的一个“不动点”，证明：； (3)设常数，函数，满足，，． ，对于任意实数，证明：函数存在唯一的不动点． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $