浙江宁波市2026-2027学年高三第一学期高考模拟考试数学试卷

绝密女启用前 宁波市2026学年第一学期高考模拟考试 高三数学试卷 本试卷共4页，19小题，满分150分。考试用时120分钟。 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡 上，写在本试卷上无效 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 选择题部分（共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 1.h+V2园= A.1 B.√2 C.5 D.1+√2 2.“a=1”是“x>0,x+a2”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.全集U={1,2,3,4},集合M满足{4}Mc{1,3,4},CM∈{2,4，则M= A.4 B.{1,4 C.3,4 D.{1,3,4) 4.在宁波某景点的正东方向200√2km处有一台风中心，它正向西北方向移动，移动速度 的大小为50km/h,距台风中心250km以内的地区都将受到影响.若台风中心的这种移动 趋势不变，该景点受到此次台风影响的持续时间为 A.4小时 B.5小时 C.6小时 D.7小时 5.两个线性相关变量x与y的统计数据如下表： 2 3 5 6 y 1.6 3.0 5.6 5.8 由一元线性回归模型，得到经验回归直线方程)=1.1x+a,则样本点在(6,5.8)处的残差为 A.-0.4 B.-0.3 C.-0.2 D.-0.1 数学试题第1页（共4页) 6.给定平面向量a,i,甲、乙、丙、丁四人分别做出以下判断 甲：a+b=0,乙：a6=0,丙：a+ab=0,丁：2a+ab-62=0」 若四个人中三个人的判断是正确的，一个人的判断是错误的，则判断错误的人是 A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 7.函数f(冈=i如x-5cosx+ax在区间0智) 上有两个不同的极值点，为(：<x2)满足 5π <2x+x2<元，则实数a的取值范围为 6 A.（-2,-V3) B.(-3,0 C.(0,1) D.(1,2) 8.在无穷正整数数列{an}中，a=4,a4=6,a6=8,若an+2+a,≤2a1(n∈N)，则 a。,+as+a。,+a。,的取值不可能为 A.31 B.33 C.34 D.36 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.下列不等式成立的是 A.1.010<1.012 C.logo.s 6 <logos 6 D.sinπ<l “103 10.在正四棱台ABCD-AB,CD,中，AB=6,AB=2,A=2V5，则 A.正四棱台ABCD-A,B,C,D,表面积为100 B.正四棱台ABCD-4BCD,体积为104固 3 C.点A到平面CDD,C的距离为3√3 D.正四棱台ABCD-AB,CD,外接球的表面积为220m 3 11.将1,2,3，…，9这9个数填入图中的九个圈中，每个圈只填一个数，每个数只用一 次，且同一列下方的数均小于上方的数（例如：第一列需满足c<b<α）.现从满足条件 的填法中随机选取一种，则 A.a<r的概率为 1 B.a<z的概率为亏 C.a<s的概率为 D.a>S>z的概率大于3 数学试题第2页（共4页） 非选择题部分（共92分) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.计算√5×1.5×12=▲ I3.关于x的不等式e≥ac+e在R上恒成立，则实数a的值为▲ 14.设点A(-1,1),M,N是抛物线C:x2=y上的两个动点，且满足直线MA,NA的斜率之差 为1.当线段MN的长度最小时，点A到直线MN的距离为▲_ 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.（13分)在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c. 已知bsin C+ctan Ccos B=3 csin A. (1)求cosC的值； (2)若A=元，c=22,求△ABC的周长 16.(15分)如图，正方形ABCD与正方形ABEF的边长都是6，二面角D-AB-F的大 小为60°，点M,N分别在对角线AC和BF上（不含端点），且CM=BN, (1)求证：AB⊥MN; (2)当CM的长度为42时，求平面CMN与平面ABEF夹角的余弦值. 745分)已知左焦点为20的双曲线r。-a>0,6>0)经过点3v2) (1)求双曲线T的方程； (2)经过点F的直线1交T于A,B两点，过F作1的垂线交厂于D,E两点且与y轴交 于点N.记线段AB的中点为M,若△ABN面积是△DEM面积的2倍，求直线 1的方程 数学试题第3页（共4页） 18.(17分)将表面染成红色的正方体分割成大小、形状完全相同的27个小正方体（如图). (1)从这27个小正方体中任取1个，记X为所取出小正方体被染成红色的面数，求 X的分布列及数学期望； (2)若将27个小正方体视作27个房间，现从某个三面染红的小正方体房间出发，每 一次移动离开所在房间，并等可能地进入到某个有公共面的邻近房间（若该房间 有个有公共面的邻近房间，则进入其中某个邻近房间的概率均为】)，求在 m n(n∈N)次移动后位于没有染红面的小正方体房间内的概率. 19.(17分)已知函数f(x)的定义域为(0，+∞)，满足： ①f(x)>0; ®rx+D=1十/2 ③对任意0<x<1,有f(x)f1-x)=f(x)+f(1-x); ④对任意x,y>0,有f(x+y)[f(x)+f(y)]≥f(x)fOy). 求0： ②证明：当>1时，中<水 (3)求f(x)的解析式. 宁波市2026学年第一学期高考模拟考试 高三数学参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 题号 2 3 4 5 6 7 8 答案 C D C A B y B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 题号 9 10 11 答案 ABD BCD ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.3 13.e 14.4 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 l5.解析：(1)由正弦定理，得sin Bsin C+sin Ctan Ccos B=3 sin Csin A 因为sinC≠0，故sinB+sinC .cos B=3sin A cosC 所以sin BcosC+sin Ccos B=3 sin AcosC 从而sin(B+C)=3 sin Acos C,即sinA=3 sin Acos C 因为sinA≠0，所以cosC 31 数学答案第1页共8页 (2》因为cosC=写：所以如C=22 3 又4=号，所以sinB=sin(A+C）)=sim4eosC+eos4sinC=5+2,5 6 由正弦定理，得Q=6= sin A sin B=sinC=3 所以a+b+c=3sinA+3sinB+22=2V5+3√2 即△ABC周长为2√5+3√2， 16.解析：(1)如图，过M作MG⊥AB,垂足为G,连接GN. 段AM=t,则AG三5，BG=6-A 2,且BW=CM=6V2-t 在△BNG中，由余弦定理得NG2=BN2+BG2-2BN-BG-c0S45°-号-6N+36 2 因为NG2+BG2=t2-122t+72=BW2,所以NG⊥BG,即AB⊥NG 又BG∩NG=G,所以AB⊥平面MGN 因为MNc平面MGN,所以AB⊥MN. (2)（解法1)·CB⊥AB,BE⊥AB① ∴.∠CBE为二面角D-AB-F的平面角，即∠CBE=60° 在正△BCE中，设H为BE的中点，则CH⊥BE 又由①知，AB⊥平面BCE,所以CH⊥AB 故CH⊥平面ABEF 数学答案第2页共8页 易知CMN∩平面ABEF=AW,作HI⊥AN,连接CI,则CI⊥AN 所以∠CIH为平面CMN与平面ABEF的夹角 在正方形ABEF中，经计算可得m=9 5 在直角△CH中，CH=35,CI=CH+Hm_6N50 5 所C智-装，印平面Oa与平百er夹的余G CI 4 (解法2)以A为原点建立空间直角坐标系，则A(0,0,0),B(0,6,0),E(6,6,0),F(6,0,0) .AD⊥AB,AF⊥AB ∴.∠DAF为二面角D-AB-F的平面角，即∠DAF=60° ∴.D(3,0,3V5,C3,6,35) 因为CM和BN长度保持相等，且AC=6√2，CM=4V2 所以可设CW-号0-(2-4-25)，丽=子F=4-40), 从而可得M1,2,V3),N(4,2,0) 设平面CMN的法向量元=(x,y,z),因为MC=(24,25),M=3,0,-5), MC=2x+4y+23=0 n·MN=3x-V3z=0 令x=1,则z=V5,y=-2,即=(1，-2，V3 数学答案第3页共8页 可取平面ABEF的法向量为乃=(O,O,1),设平面CMN与平面ABEF夹角为0，则 5√6 cos0= %n2 2W24 即平面CMN与平面ABEF夹角的余弦值为Y 4 a2+b2=4 a=5 17.解析：（1)由题设，有 6=，所以C:3-少21 (2)设直线1：x=my-2,A(x,),B(x,y2), 直线DE=y-2,06h小，共中m=-l,0引 x=my-2 联立方程 -少-可(-3产1=0 4m 所以%+%=m-3Wh=m-3 4m 故y-=V0+)-4%=m-3 22_423(m2+1 m2-3 m2-3 且yw=当+2=2m 2m2-3 同理可得y-y4 2V3(2+1) n2-3 2V3(m2+1) 2 受收别长 m2-3引 n 2m 2V3(n2+1） 腰--m Vn2+1 m2-3 n2-3 数学答案第4页共8页 由题32， 所以3m-1=2,即3m2±2m-1=0 由3m2+2m-1=0,解得m=-1或；由3m2-2m-1=0,解得m=1或-} 所以m=士1或士，从而直线1的方程为：x=y-2,或x=±学-2， 3 即：x±y+2=0,或3x±y+6=0. 18.解析：（1)显然X可取值为0,1,2,3. 故X分布列为： X 0 1 2 3 P 1 2 4 8 27 9 27 得E(X)=1x2+2x4+3× 4 8 =2. 9 27 (2)（解法1)我们注意到，当n为偶数时，n次移动后必位于一面染红或三面染红的小 正方体房间内，当n为奇数时，n次移动后必位于没有染红面或两面染红的小正方体房间 内. 记事件A:n次移动后位于没有染红面的小正方体房间内，事件B。：n次移动后位于两面 染红的小正方体房间内， 故当n为偶数时，P(An)=0, 当n为奇数时，P(A)=P(An-2AnUA,-2A,)=P(An-2A)+P(4n-2A,)=P(A-2A,)+P(Bn-2A,) 数学答案第5页共8页 =P0P41A+P2P48=34+2PBP4+P8.) P4+O-P41=10P4+i0 得)P4,从而r)-合司0-， 0,n为偶数， 综上，P(A,)=111 二.()2，n为奇数. 9910 (解法2)记事件An：n次移动后位于没有染红面的小正方体房间内，事件Bn：n次移动 后位于1面染红的小正方体房间内，事件Cn:n次移动后位于2面染红的小正方体房间内， 事件Dn:n次移动后位于3面染红的小正方体房间内， 有P4,)=PB4,)=P(B-P(A,1B）=P(B-） ① P(B,)=P(-B,)+P(C-B,)=P(A)P(BIA-)+P(C)P(BIC)=P(A)(C ② P(C.)-P(B.C)+P(D.C)-P(B)P(CB)+PDP(C.D-(B+P(D.) ③ PD)-P(C.D)-P(C.P(D.IC.)-P(C. (④ @入@得mC)-Pa+PC》 ⑤ ①代入⑤得PC,)=4P(4)+P(C） ⑥ 数学答案第6页共8页 ①代入②得5P(4)=P(A)+P(C-) ⑦ ⑦代入⑥得10P(A+2)-2P(A,)=4P(A)+5P(A)-P(An-2), 即PL)-)A4,得P-)-P4)-4a≥. 又4)=0P4-写04=0P)=0, 故当n为偶数时，P(An+2)-P(A,)=0,进而得P(A,)=P(An-2)=…=P(A)=0, 当0为商数，》-4=分宁-】=白兰， 累加得，P4)=P40+P4)-P4J++[P4)-P4训=（合++（分号 位--白-哈 1- 10 0,n为偶数， 标上4-日与哈，的数 19.解折：(40在®中，取2，得r分-2/分 又0，所以付2. 令8闭=f内，则当x>0时，8x+)=8四+1同 当0<x<1时，g(x)+g(1-x)=1⑥ 当x,y>0时，g(x+y)≤g(x)+g(y) ⑦ 令t∈(0，)，由⑥，⑦式知g)≤g)+g(1-)=1 数学答案第7页共8页 又由⑦式知g(t+1)≤g(t)+g(1), 由⑤式知g(t+1)=g(t)+1,所以g(1)≥1 从而g(1)=1,f1)=1. (2)由⑥式和g(x)>0,得0<g(x)<1,0<x<1 对于任意x>1,设x=n+t,t∈[0，)，neN° 由⑤式和g(1)=1,得 当0<t<1时，8(x)=n+g(t),因此n<g(x)<n+1, 由于x=n+t,可得x-1<g(x)<x+1 当t=0时，由⑤式和g(I)=1可知，g(n)=n,也满足 故x-1g闭x+1,即中 x+1 (3)由⑦可知g)≤mg(),所以g(≥8 当n足够大时，由第二问，x-1<g(nx)<nx+1 因此8(>x-1=x1 一=X一一 n n 当n→+0时，可得g(x)≥x 对于0<x<1,有g(x)≥x,故g(1-x)≥1-x,又因为g(x)+g(1-x)=1 所以8(x)=1-g(1-x)≤x 所以g(x)=x,又因为g(I)=1,故x∈(0,1]，g(x)=x 令当x=n+t,t∈(0,1]，由g(x+1)=g(x)+1,知g(x)=g(n+t)=g()+n=n+t=x 故创=x,即)=是 数学答案第8页共8页