精品解析：浙江省嘉兴市2026-2027学年第一学期高三教学质量检测数学试卷

2026学年第一学期高三教学质量检测 数学试题卷 （2026.11） 本试题卷共6页，满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸上规定的位置． 2．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸上的相应位置规范作答，在本试题卷上的作答一律无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知随机变量，若，则（ ） A. 0.1 B. 0.2 C. 0.3 D. 0.4 3. 已知，则“”是“集合中只有一个元素”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知公差不为0的等差数列的前项和为，若，，成等比数列，则（ ） A. 3 B. C. D. 5. 已知，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 6. 环保部门要求排放的废水pH值不低于6，其中，表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升．某工厂产生的废水pH值为3.7，若处理过程中废水体积不变，加入碱性物质后，废水中的变为原来的，则实数的最小值约为（ ） 参考数据： A. 200 B. 400 C. 500 D. 1000 7. 已知正四面体的棱长为2，点为棱的中点，点为棱上靠近点的四等分点，点为棱上靠近点的三等分点．若平面与直线交于点，则三棱锥的体积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在上，则（ ） A. 双曲线的离心率 B. 双曲线的渐近线方程为 C. 若，则或 D. 当时，直线与有两个交点 10. 一个箱子内装有大小形状完全相同的10个球，其中红色、黄色、蓝色球各3个，白色球1个．小明从中有放回地随机取2次，每次取1个球．记事件为“这2个球中恰有1个白球”，事件为“这2个球中至少有1个白球”，事件为“这2个球为不同颜色的球”，则（ ） A. B. C. D. 11. 在中，内角、、所对的边分别为、、，其中、均为锐角，且满足，的外接圆半径为．记内切圆的半径为，则（ ） A. 为钝角 B. C. 若，则 D. 的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在展开式中，的系数为12，则实数a等于______． 13. 已知，，点在圆上运动，则的最大值为______． 14. 已知平面向量，，满足，，，且，则的最大值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知． （1）求函数的单调递增区间； （2）记的内角，，的对边分别为，，，若，且满足，，求的面积． 16. 已知为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线与交于点（异于点），与轴交于点． （1）若直线的斜率为2，求； （2）若点满足，且的面积为1，求直线的方程． 17. 如图1，在平面四边形中，，，，，，点在边上，且，现将沿翻折至（如图2）． （1）当平面平面时，求证：； （2）若四棱锥的外接球球心在平面内，求与平面所成角的正弦值． 18. 已知数列的前n项和满足，数列满足，，． （1）求数列，的通项公式； （2）记． （i）求的最大值； （ii）若s，t，m均为正整数，，，，使得，求实数p的取值范围． 19. 已知函数在其定义域上是增函数． （1）若满足，且时，求满足条件的的个数． （2）若满足（常数，且），求随机变量的数学期望； （3）若满足，，且，，，令，求证：在上不是增函数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026学年第一学期高三教学质量检测 数学试题卷 （2026.11） 本试题卷共6页，满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸上规定的位置． 2．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸上的相应位置规范作答，在本试题卷上的作答一律无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】. 2. 已知随机变量，若，则（ ） A. 0.1 B. 0.2 C. 0.3 D. 0.4 【答案】D 【解析】 【详解】因为随机变量，，所以 故由正态分布的性质可得. 3. 已知，则“”是“集合中只有一个元素”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】求出集合A，利用充分不必要条件的定义判断即可. 【详解】若集合A中只有一个元素，则或.所以或. 所以“”是“集合A中只有一个元素”的充分不必要条件 4. 已知公差不为0的等差数列的前项和为，若，，成等比数列，则（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】设等差数列的公差为， ，，成等比数列，可得， 则有，化简得． 因为，所以． 因， 则，， 故． 5. 已知，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题可得得，由基本不等式即可求出答案. 【详解】易得，所以， 当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为. 6. 环保部门要求排放的废水pH值不低于6，其中，表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升．某工厂产生的废水pH值为3.7，若处理过程中废水体积不变，加入碱性物质后，废水中的变为原来的，则实数的最小值约为（ ） 参考数据： A. 200 B. 400 C. 500 D. 1000 【答案】A 【解析】 【详解】设原废水中氢离子浓度为，处理后氢离子浓度为， 由，已知原废水，则，， 环保要求，取临界值，而，， 由题意得，得， 而，因为，所以， 可得，故的最小值约为. 7. 已知正四面体的棱长为2，点为棱的中点，点为棱上靠近点的四等分点，点为棱上靠近点的三等分点．若平面与直线交于点，则三棱锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】在面内过作构造相似三角形，得到，再用等体积法换顶点算三棱锥体积. 【详解】 因为、均在面内，平面与面的交线为直线，故，即在的延长线上. 过作，交于点.在中，在上且，故. 由得，相似比， 故，，从而. 又为中点，，且. 在中，，故，相似比. 于是. 设，则.由解得，即. 由，得，即. 与有公共顶点，底边与在同一直线上， 故. ， 故. 设为点到面的距离，即正四面体的高. 底面为边长的等边三角形，由正弦定理知其外接圆半径， 故. 在上，，故到面的距离， 8. 已知函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分析的对称性将转化为，再结合单调性与定义域得到，解得. 【详解】由真数大于零，可得，解得. 因为， 所以，所以 原不等式转化为 ， 所以在定义域单调减， 所以等价于 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在上，则（ ） A. 双曲线的离心率 B. 双曲线的渐近线方程为 C. 若，则或 D. 当时，直线与有两个交点 【答案】ACD 【解析】 【详解】由双曲线，可得，，则， 故，，． 对于A，，A正确； 对于B，双曲线的渐近线方程为， 故双曲线的渐近线方程为，B错误； 对于C，由双曲线的定义，可知当点在上，满足． 因为，所以或，C正确； 对于D，联立直线与双曲线， 可得，化简可得． 若直线与有两个交点，则上述方程有两个不同的实数解， 则需满足． 对于，化简可得，解得， 则不等式组的解为，故D正确． 10. 一个箱子内装有大小形状完全相同的10个球，其中红色、黄色、蓝色球各3个，白色球1个．小明从中有放回地随机取2次，每次取1个球．记事件为“这2个球中恰有1个白球”，事件为“这2个球中至少有1个白球”，事件为“这2个球为不同颜色的球”，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于AB：根据对立事件结合古典概型运算求解；对于CD：根据条件概率结合古典概型运算求解. 【详解】有放回地随机取2次，则总的取法有种. 对于A，设事件为“这两个球中没有白球” ，A正确. 对于B，两次取到相同颜色的情况有： 两次都是红球，共有种情况；两次都是黄球，共有种情况； 两次都是蓝球，共有种情况；两次都是白球，1种情况. 所以，B正确 对于C，由题可得 ，C错误. 对于D，事件表示“至少有 1 个白球且颜色不同”， 因为只有一个白球，所以取了白球后另一个球必然不是白球，自然满足颜色不同， 因此事件实际上就是事件. ，D正确. 11. 在中，内角、、所对的边分别为、、，其中、均为锐角，且满足，的外接圆半径为．记内切圆的半径为，则（ ） A. 为钝角 B. C. 若，则 D. 的最大值为 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，若为钝角，可得，与矛盾，即可判断；对于B，若为锐角，结合正弦定理边角互化推出，即可判断；对于C，求出角A，由二倍角公式求解，即可判断；对于D，由，可得，再结合基本不等式即可判断. 【详解】设的外接圆半径为，则， 若为钝角，则，即， 即得，则， 这与矛盾，故A错误； 若为锐角，由，得，即， 由于，、均为锐角，则、，所以， 由得，则， 故，矛盾，故C为直角， 则，则，B正确； 若，结合，得，， 得，C正确； 由，可得， 由，得，， 令，由基本不等式可得， 所以，当且仅当时，等号成立， 则，则，D错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在展开式中，的系数为12，则实数a等于______． 【答案】2 【解析】 【分析】求出二项展开式的通项，令的指数等于4，求得，再根据展开式中的系数为12，即可得出答案. 【详解】解：的展开式的通项为， 令，则， 则在展开式中，的系数为， 所以. 故答案为：2. 13. 已知，，点在圆上运动，则的最大值为______． 【答案】37 【解析】 【分析】将问题转化为求与距离的平方的最大值即可. 【详解】设， 则 ， 若求，即求与距离的平方的最大值， ， ∴. 14. 已知平面向量，，满足，，，且，则的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】令，结合数量积的运算律求出相关线段的长，判断出点C在以D为圆心，以为半径的圆上运动，结合和，再计算，即可求得答案. 【详解】令， 由于，故，则， 设的中点为D，由题意，在中，， 由，得，即，可得， 而，所以， 故， 又 ， 故，则点C在以D为圆心，以为半径的圆上运动， 所以 在中，， 故， 而，（设为的夹角）， 故，当且仅当共线且方向相同时取等号， 即的最大值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知． （1）求函数的单调递增区间； （2）记的内角，，的对边分别为，，，若，且满足，，求的面积． 【答案】（1），； （2）2 【解析】 【分析】（1）先利用二倍角公式、辅助角公式将函数化简为正弦型函数的标准形式，再结合正弦函数的单调递增区间列不等式，求解得到的单调递增区间. （2）先将代入化简后的解析式，结合及三角形内角的范围求解角的可能值；再利用正弦定理对已知的边的等式进行边角互化，求出角的大小，进而确定角的准确值，最后结合已知边长计算三角形的面积. 【小问1详解】 ， 令，，解得：，， 即函数的单调递增区间为，； 【小问2详解】 ，解得：或， 因为，即，又由正弦定理可得：， 故，得：，所以， 所以为等腰直角三角形，故， 所以． 16. 已知为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线与交于点（异于点），与轴交于点． （1）若直线的斜率为2，求； （2）若点满足，且的面积为1，求直线的方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】将点代入抛物线方程可得，可得抛物线方程，求出直线的方程，联立直线与抛物线方程解得，进而求解； 设直线的方程为：，可得，联立直线与抛物线方程可求得，再结合，得到，再根据的面积为1建立方程求解即可. 【小问1详解】 由点在抛物线上，则，解得， 所以抛物线方程， 又因为直线的斜率为2，所以的方程为， 联立方程，解得或，则， 所以. 【小问2详解】 显然直线的斜率不为0，设直线的方程为：，所以， 联立，可得， 则，即， 且，而，则， 因为，所以， 即，所以， 则， 即；或此方程无解； 解得（舍去）或， 所以直线的方程为． 17. 如图1，在平面四边形中，，，，，，点在边上，且，现将沿翻折至（如图2）． （1）当平面平面时，求证：； （2）若四棱锥的外接球球心在平面内，求与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证：在平面四边形中，，，， 解得，，故， 【方法一】由于，，所以，故， 所以在等腰中，可得：， 当平面平面时，由于，平面平面，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 又因为，平面， 所以平面， 又因为平面，所以； 【方法二】当平面平面时， 由于，平面平面，平面， 所以平面， 如图建系，由题意可知：，，，，， 所以，，由， 所以． （2）． 【解析】 【分析】（1）方法一（几何法）：利用折叠前后线段长度、垂直关系不变的性质，提取题干中垂直条件，结合线面垂直、面面垂直的判定定理推导待证结论. 方法二（空间向量法）：建立空间直角坐标系，将待证垂直关系转化为对应向量点积为的运算，通过坐标计算完成证明. （2）方法一（空间向量法）：先根据四棱锥外接球球心在底面内的性质，确定底面外接圆圆心即为四棱锥外接球球心，求解得到动点的坐标，再利用线面角的向量计算公式即可. 方法二（几何法）：先通过外接球性质推导得到平面，确定的位置特征，再根据线面角的定义找到与底面所成角为，最后结合直角三角形性质、余弦定理解三角形计算得到该角的正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 方法一：过点作于，则平面， 如图建系，由题意可知： ，，，，， 在平面四边形中，由于，所以的中点为四边形的外接圆圆心， 且半径，由于四棱锥的外接球球心在平面内， 所以点即为四棱锥的外接球球心， 故，解得，故，所以，， 平面的法向量，所以． 方法二：在平面四边形中，由于， 所以的中点为四边形的外接圆圆心，且半径， 由于四棱锥的外接球球心在平面内， 所以点即为四棱锥的外接球球心，因为点在球上，所以． 因为，，，所以平面，， 又，所以平面，故． 过点作于，则平面，所以即为所求线面角， 在直角中，，，， 在中，，，，由余弦定理可得， ， 所以． 18. 已知数列的前n项和满足，数列满足，，． （1）求数列，的通项公式； （2）记． （i）求的最大值； （ii）若s，t，m均为正整数，，，，使得，求实数p的取值范围． 【答案】（1），；，； （2）（i）（ii） 【解析】 【分析】（1）使用与的关系求解； （2）（i）使用数列的单调性求解； （ii），故，，，，使得，令，使用导数分析的单调性求解. 【小问1详解】 数列其前项和满足， 当时，； 当时，； 综上所述：，； 而数列满足， 所以，是一个首项为，公差为的等差数列， 所以，故，； 【小问2详解】 （i），， ， 当时，，当时，， 所以， 故； （ii）由（i）可知， 故，，，，使得， 令，， 当时，，单调递增；当时，，单调递减； 由于，，，， ①当时，，即，且， 则； ②当时，，即，且， 则； 综上所述：． 19. 已知函数在其定义域上是增函数． （1）若满足，且时，求满足条件的的个数． （2）若满足（常数，且），求随机变量的数学期望； （3）若满足，，且，，，令，求证：在上不是增函数． 【答案】（1）10 （2） （3）证明：假设在上是增函数， 因为，且为单调递增函数，设，故， 由假设， 由，，，…，， 累乘可得：， 又 ， 因此对于且恒成立， 对两边取对数，得，化简可得：（*） 下证：，令， 则， 所以当时，单调递减， 所以，所以，结合（*）得， 解得：，即且时（*）式不成立，产生矛盾， 所以假设不成立，故在上不是增函数． 【解析】 【分析】（1）由题设结合组合公式求解即可； （2）由题意可得，，进而结合组合公式可得，再根据数学期望公式、组合数性质求解即可； （3）利用反证法先假设在上是增函数，结合累乘法分析可得，再利用导数证明，可得，进而得到，得出矛盾即可求证. 【小问1详解】 因为函数是增函数，所以满足条件的函数的个数为. 【小问2详解】 由题意，其中， 则， 所以 ． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $