数学一模模拟·必刷卷01（江苏专用）学易金卷：2027年高考第一次模拟考试

2027年高考第一次模拟考试 数学·全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．某同学8次考试的数学成绩分别为94，89，90，92，87，93，96，85，则这组成绩的分位数为（   ） A．88 B．93 C．94 D．93.5 1．【答案】D 【解析】将成绩从小到大重新排列为85，87，89，90，92，93，94，96， 又，故这组成绩的分位数为. 故选：D. 2．已知向量，，若，则实数（    ） A． B． C． D． 2．【答案】C 【解析】因为，，则， 由，得，即， 所以，解得． 故选：C． 3．（热点）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 3．【答案】D 【解析】， 因为，， 所以， 所以. 故选：D. 4．曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 4．【答案】B 【解析】由得， 所以，即所求切线的斜率为4， 由点斜式可得所求切线方程为，即. 故选：B. 5．已知椭圆C：的焦点分别为，，过的直线与C交于P，Q两点，若，，则椭圆C的离心率为（   ） A． B． C． D． 5．【答案】B 【解析】设，则，， 由，可得， ，所以点为椭圆的上顶点或下顶点， 在中，由余弦定理可得， 在中，由余弦定理可得，即，. 故选：B. 6．（新情景）《孙子算经》是我国南北朝时著名的数学著作，其中有物不知数问题：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二.问物几何？意思是：有一些物品，不知道有多少个，只知道将它们三个三个地数，会剩下2个；五个五个地数，会剩下3个；七个七个地数，也会剩下2个，这些物品的数量是多少个？若一个正整数除以三余二，除以五余三，将这样的正整数由小到大排列，则前10个数的和为（    ） A．754 B．755 C．756 D．757 6．【答案】B 【解析】设除以三余二的正整数为数列，则， 除以五余三的正整数为数列，则， 除以三余二且除以五余三的正整数为数列， 而和的最小公倍数为， 则数列是由数列和的公共项构成的一个数列， 数列是以为首项，为公差的等差数列， 则， 所以前10个数的和为. 故选：B. 7．（改编题）若存在使得不等式成立，则正实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．【答案】C 【解析】由 ， 设，，则， 因为，，所以，所以在上单调递增， 由 ， 问题转化为存在，使得成立， 设，， 则 ， 由 ；由 ， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以， 所以. 故选：C. 8．某大型超市为了解顾客的购物习惯，对近期进入超市的1000名顾客进行了随机调查．调查发现，有600名顾客在进入超市前已经决定好了要购买的商品（称为“计划型顾客”），其余400名顾客则没有特定的购买计划（称为“随机型顾客”）．根据以往的销售数据，“计划型顾客”在超市的平均消费金额为200元，而“随机型顾客”中，有的人平均消费金额为100元，另外的人平均消费金额为300元．若从该超市近期进入的顾客中随机抽取1名，则这名顾客的平均消费金额不低于200元的概率，以及该顾客的平均消费金额的估计值分别为（    ） A．概率为0.72，平均消费金额为210元 B．概率为0.88，平均消费金额为216元 C．概率为0.88，平均消费金额为240元 D．概率为0.82，平均消费金额为230元 8．【答案】B 【解析】设事件表示“抽取的顾客为计划型顾客”， 事件表示“抽取的顾客的平均消费金额不低于200元”， 事件表示“抽取的顾客为随机型顾客”； ，由于计划型顾客的平均消费金额已经为200元，所以； 随机抽取1名顾客，消费不低于200元的概率是： ， 设顾客的平均消费金额为，则的可能取值为， 则；； ， 期望为：. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知复数的实部与虚部相同且不为0，若，则（　　） A．的虚部为1 B．在复平面内，所对应的点位于第一象限 C． D． 9．【答案】ABD 【解析】设，则，解得或舍，故，故A正确； 在复平面内，复数所对应的点为，位于第一象限，故B正确； ，故C错误； ，故D正确． 故选：ABD. 10．如图，四边形为正方形，平面，，，则下列说法正确的是（    ） A．平面 B．点到平面的距离为 C．平面平面 D．三棱锥的体积为3 10．【答案】AC 【解析】对于A，∵四边形为正方形，∴ 又，且，，在平面内，在平面内， ∴平面平面，又平面， 平面，A正确 对于B，三棱锥的体积， 易知为正三角形，且边长为，故， ，到平面的距离满足：， 解得：，B错误； 对于C， 连接交于点，连接，，取中点，则为直角三角形， 易知， ，，， ， 为等边三角形，且为中点， ，又，且都在平面内， 平面，又在平面内， ∴平面平面，C正确； 对于D，易知，又，与全等， ，为等腰三角形， ，， ∴棱锥的体积，D错误； 故选：AC. 11．在2024年巴黎奥运会艺术体操项目集体全能决赛中，中国队以69.800分的成绩夺得金牌，这是中国艺术体操队在奥运会上获得的第一枚金牌.艺术体操的绳操和带操可以舞出类似四角花瓣的图案，它可看作由抛物线绕其顶点分别逆时针旋转后所得三条曲线与围成的（如图阴影区域），为与其中两条曲线的交点，若，则（    ） A．开口向上的抛物线的方程为 B．阴影区域的面积大于64 C． D．直线截第一象限花瓣的弦长最大值为 11．【答案】CD 【解析】对于A，由题意，开口向右的抛物线方程为， 顶点在原点，焦点为， 将其逆时针旋转后得到的抛物线开口向上，焦点为，则其方程为， 即，故A错误； 对于BC，由，解得或，则，由对称性可得， 所以，利用对称性可知另外交点分别为， 因为连接起来的正方形面积为，所以阴影部分面积小于64.所以B错误，C正确； 对于D，设直线与抛物线相切， 联立可得， 由可得，且方程即为， 解得，此时，切点坐标为， 设直线与抛物线相切，联立可得， 由可得，此时方程即为， 解得，此时，切点坐标为， 两切点连线的斜率为，即切点的连线与直线平行或重合， 故当时，取最大值， 且其最大值为，D对. 故选：CD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．设，则___________. 12．【答案】 【解析】由，则展开式通项为且， 当，则，故. 故答案为：. 13．设定义在上的函数恰好有3个最值点和3个零点，则的取值范围为___________． 13．【答案】 【解析】设，则， 因此函数的三个最值点对应、、， 则， 解得， 同样的，函数的三个零点对应、、， 因此，，解得, 故的取值范围为. 故答案为：. 14．数列满足，且，的前项和为，则满足不等式的的最大值是___________. 14．【答案】4 【解析】由，则， 又，所以数列为首项为2，公比为2的等比数列， 则，即， 所以 ， 由，则， 则，又，， 所以，即， 则满足不等式的的最大值是4. 故答案为：4. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 记的内角、、的对边分别为、、，已知的面积为，且. (1)求角； (2)若，，求的周长． 15．（13分） 【解析】（1）由三角形面积公式可得；由余弦定理，， 代入，可得， 因为，所以，因为，所以. （2）由结合正弦定理， 因为，所以， 又因为，所以，，所以. 因为，由正弦定理， 所以， . 所以周长为. 16．（15分） 如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，平面分别是BC和PA的中点． (1)求证：平面PCD． (2)求直线PB与平面EFD所成角的正弦值． 16．（15分） 【解析】（1）证明：如图，取PD的中点，连接， 分别是BC和PA的中点，，且， 为平行四边形，． 平面平面平面PCD． （2）如图所示，以为坐标原点，分别以为轴，建立空间直角坐标系， 则，， 所以． 设平面EFD的法向量为， 则，令，则． 设直线PB与平面EFD所成的角为， ， ∴直线PB与平面EFD所成角的正弦值为． 17．（15分） 某生物种群，经过年后一个自然种群分解为个自然种群的概率为，继续保持个自然种群的概率为，假设每个自然种群经过年后均按此规律分解，并且自然种群分解互相独立．某地区最初该生物只有一个自然种群，设经过个年后该地区这种生物自然种群总数为． (1)求； (2)求； (3)求． 17．（15分） 【解析】（1）根据题意可知的分布为，， 所以期望. （2）根据题意，要使需使中的个种群有个种群分解，个种群继续保持， 由二项分布公式可得. （3）事件“”为：个年中，只有个年生物种群分解为个种群， 记事件为在第个年种群分解为个， 则， 事件“”为：前个年有个种群，第年开始有个种群， 则， 因此. 18．（17分） 已知椭圆：（）的离心率，点是椭圆上一点，过原点的直线与抛物线：相交于B，C两点，点A是椭圆的下顶点，直线，分别与相交于P，Q两点． (1)求椭圆的方程； (2)证明：； (3)记和的面积分别是、，求的最小值． 18．（17分） 【解析】（1）因为，所以， ，又点在上， 所以， 解得，，椭圆的方程为． （2）证明：直线的斜率显然存在，设直线的方程为． 由整理得． 设，，则，，． 由（1）知， 所以，的斜率分别为，， 故，所以． （3）设直线的方程为，显然，由得，解得或， 所以，则． 由（2）知，则直线的方程为，解得， 同理，． 由得，解得或， 所以，则， 同理，． 由（2）知，则， 则， ， 当且仅当时等号成立，即的最小值为． 19．（17分） 已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求证：当时，； (3)设，若对恒成立，求的取值范围． 19．（17分） 【解析】（1）因为，则， 所以，， 所以曲线在点处的切线方程为， 即； （2）证明：要证，即证． 又，即证． 设，， 所以在上单调递增． 所以．所以； （3）因为，所以当时，且，即，所以在上是增函数， 因为，， 若对恒成立，则， 设，， ①时，显然，所以在单调递增， 当时，，所以对任意有，即，所以符合题意． ②当时，显然，． ↘ 极小值 ↗ 由上表知，． 依题意，所以． 综上可知的取值范围为． / 学科网（北京）股份有限公司 $■■■■ ■■■■ 2027年高考第一次模拟考试 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 n 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 好 题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 巢 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 一、 选择题（每小题5分，共40分） 1[A][B][C][D] 5[A][B][C][D] 2[A]B][C][D] 6[A[B][C][D] 3[A][B][C][D] 7[A][B][C][D] 双阙 4[A][B][C][D] 8[A][B][C][D] 二、选择题（全部选对的得6分， 部分选对的得部分分，有选错的得0 分，共18分) 9[A][B][C][D] 10[A]B][C][D] 11[A][B][C][D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12 妇 13 14 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效： 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(15分) D B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页） 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2027年高考第一次模拟考试 数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027年高考第一次模拟考试 数学·参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 D C D B B B C B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 ABD AC CD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 13． 14．4 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 【解析】（1）由三角形面积公式可得；由余弦定理，， 代入，可得， 因为，所以，因为，所以.（5分） （2）由结合正弦定理， 因为，所以， 又因为，所以，，所以. 因为，由正弦定理， 所以， . 所以周长为.（13分） 16．（15分） 【解析】（1）证明：如图，取PD的中点，连接， 分别是BC和PA的中点，，且，（2分） 为平行四边形，． 平面平面平面PCD．（5分） （2）如图所示，以为坐标原点，分别以为轴，建立空间直角坐标系， 则，， 所以．（8分） 设平面EFD的法向量为， 则，令，则． 设直线PB与平面EFD所成的角为， ， ∴直线PB与平面EFD所成角的正弦值为．（15分） 17．（15分） 【解析】（1）根据题意可知的分布为，， 所以期望.（4分） （2）根据题意，要使需使中的个种群有个种群分解，个种群继续保持，（7分） 由二项分布公式可得.（9分） （3）事件“”为：个年中，只有个年生物种群分解为个种群， 记事件为在第个年种群分解为个，则 ， 事件“”为：前个年有个种群，第年开始有个种群， 则，（13分） 因此.（15分） 18．（17分） 【解析】（1）因为，所以， ，又点在上， 所以， 解得，，椭圆的方程为．（3分） （2）证明：直线的斜率显然存在，设直线的方程为． 由整理得． 设，，则，，．（5分） 由（1）知， 所以，的斜率分别为，， 故，所以．（8分） （3）设直线的方程为，显然，由得，解得或， 所以，则． 由（2）知，则直线的方程为，解得， 同理，． 由得，解得或， 所以，则， 同理，．（13分） 由（2）知，则， 则， ， 当且仅当时等号成立，即的最小值为．（17分） 19．（17分） 【解析】（1）因为，则， 所以，， 所以曲线在点处的切线方程为， 即；（3分） （2）证明：要证，即证． 又，即证．（5分） 设，， 所以在上单调递增． 所以．所以；（8分） （3）因为，所以当时，且，即，所以在上是增函数， 因为，， 若对恒成立，则， 设，， ①时，显然，所以在单调递增， 当时，，所以对任意有，即，所以符合题意．（13分） ②当时，显然，． ↘ 极小值 ↗ 由上表知，． 依题意，所以． 综上可知的取值范围为．（17分） 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2027年高考第一次模拟考试 高三数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．某同学8次考试的数学成绩分别为94，89，90，92，87，93，96，85，则这组成绩的分位数为（   ） A．88 B．93 C．94 D．93.5 2．已知向量，，若，则实数（    ） A． B． C． D． 3．（热点）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 4．曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 5．已知椭圆C：的焦点分别为，，过的直线与C交于P，Q两点，若，，则椭圆C的离心率为（   ） A． B． C． D． 6．（新情景）《孙子算经》是我国南北朝时著名的数学著作，其中有物不知数问题：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二.问物几何？意思是：有一些物品，不知道有多少个，只知道将它们三个三个地数，会剩下2个；五个五个地数，会剩下3个；七个七个地数，也会剩下2个，这些物品的数量是多少个？若一个正整数除以三余二，除以五余三，将这样的正整数由小到大排列，则前10个数的和为（    ） A．754 B．755 C．756 D．757 7．（改编题）若存在使得不等式成立，则正实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．某大型超市为了解顾客的购物习惯，对近期进入超市的1000名顾客进行了随机调查．调查发现，有600名顾客在进入超市前已经决定好了要购买的商品（称为“计划型顾客”），其余400名顾客则没有特定的购买计划（称为“随机型顾客”）．根据以往的销售数据，“计划型顾客”在超市的平均消费金额为200元，而“随机型顾客”中，有的人平均消费金额为100元，另外的人平均消费金额为300元．若从该超市近期进入的顾客中随机抽取1名，则这名顾客的平均消费金额不低于200元的概率，以及该顾客的平均消费金额的估计值分别为（    ） A．概率为0.72，平均消费金额为210元 B．概率为0.88，平均消费金额为216元 C．概率为0.88，平均消费金额为240元 D．概率为0.82，平均消费金额为230元 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知复数的实部与虚部相同且不为0，若，则（　　） A．的虚部为1 B．在复平面内，所对应的点位于第一象限 C． D． 10．如图，四边形为正方形，平面，，，则下列说法正确的是（    ） A．平面 B．点到平面的距离为 C．平面平面 D．三棱锥的体积为3 11．在2024年巴黎奥运会艺术体操项目集体全能决赛中，中国队以69.800分的成绩夺得金牌，这是中国艺术体操队在奥运会上获得的第一枚金牌.艺术体操的绳操和带操可以舞出类似四角花瓣的图案，它可看作由抛物线绕其顶点分别逆时针旋转后所得三条曲线与围成的（如图阴影区域），为与其中两条曲线的交点，若，则（    ） A．开口向上的抛物线的方程为 B．阴影区域的面积大于64 C． D．直线截第一象限花瓣的弦长最大值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．设，则___________. 13．设定义在上的函数恰好有3个最值点和3个零点，则的取值范围为___________． 14．数列满足，且，的前项和为，则满足不等式的的最大值是___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 记的内角、、的对边分别为、、，已知的面积为，且. (1)求角； (2)若，，求的周长． 16．（15分） 如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，平面分别是BC和PA的中点． (1)求证：平面PCD． (2)求直线PB与平面EFD所成角的正弦值． 17．（15分） 某生物种群，经过年后一个自然种群分解为个自然种群的概率为，继续保持个自然种群的概率为，假设每个自然种群经过年后均按此规律分解，并且自然种群分解互相独立．某地区最初该生物只有一个自然种群，设经过个年后该地区这种生物自然种群总数为． (1)求； (2)求； (3)求． 18．（17分） 已知椭圆：（）的离心率，点是椭圆上一点，过原点的直线与抛物线：相交于B，C两点，点A是椭圆的下顶点，直线，分别与相交于P，Q两点． (1)求椭圆的方程； (2)证明：； (3)记和的面积分别是、，求的最小值． 19．（17分） 已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求证：当时，； (3)设，若对恒成立，求的取值范围． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027年高考第一次模拟考试 高三数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．某同学8次考试的数学成绩分别为94，89，90，92，87，93，96，85，则这组成绩的分位数为（   ） A．88 B．93 C．94 D．93.5 2．已知向量，，若，则实数（    ） A． B． C． D． 3．（热点）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 4．曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 5．已知椭圆C：的焦点分别为，，过的直线与C交于P，Q两点，若，，则椭圆C的离心率为（   ） A． B． C． D． 6．（新情景）《孙子算经》是我国南北朝时著名的数学著作，其中有物不知数问题：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二.问物几何？意思是：有一些物品，不知道有多少个，只知道将它们三个三个地数，会剩下2个；五个五个地数，会剩下3个；七个七个地数，也会剩下2个，这些物品的数量是多少个？若一个正整数除以三余二，除以五余三，将这样的正整数由小到大排列，则前10个数的和为（    ） A．754 B．755 C．756 D．757 7．（改编题）若存在使得不等式成立，则正实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．某大型超市为了解顾客的购物习惯，对近期进入超市的1000名顾客进行了随机调查．调查发现，有600名顾客在进入超市前已经决定好了要购买的商品（称为“计划型顾客”），其余400名顾客则没有特定的购买计划（称为“随机型顾客”）．根据以往的销售数据，“计划型顾客”在超市的平均消费金额为200元，而“随机型顾客”中，有的人平均消费金额为100元，另外的人平均消费金额为300元．若从该超市近期进入的顾客中随机抽取1名，则这名顾客的平均消费金额不低于200元的概率，以及该顾客的平均消费金额的估计值分别为（    ） A．概率为0.72，平均消费金额为210元 B．概率为0.88，平均消费金额为216元 C．概率为0.88，平均消费金额为240元 D．概率为0.82，平均消费金额为230元 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知复数的实部与虚部相同且不为0，若，则（　　） A．的虚部为1 B．在复平面内，所对应的点位于第一象限 C． D． 10．如图，四边形为正方形，平面，，，则下列说法正确的是（    ） A．平面 B．点到平面的距离为 C．平面平面 D．三棱锥的体积为3 11．在2024年巴黎奥运会艺术体操项目集体全能决赛中，中国队以69.800分的成绩夺得金牌，这是中国艺术体操队在奥运会上获得的第一枚金牌.艺术体操的绳操和带操可以舞出类似四角花瓣的图案，它可看作由抛物线绕其顶点分别逆时针旋转后所得三条曲线与围成的（如图阴影区域），为与其中两条曲线的交点，若，则（    ） A．开口向上的抛物线的方程为 B．阴影区域的面积大于64 C． D．直线截第一象限花瓣的弦长最大值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．设，则___________. 13．设定义在上的函数恰好有3个最值点和3个零点，则的取值范围为___________． 14．数列满足，且，的前项和为，则满足不等式的的最大值是___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 记的内角、、的对边分别为、、，已知的面积为，且. (1)求角； (2)若，，求的周长． 16．（15分） 如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，平面分别是BC和PA的中点． (1)求证：平面PCD． (2)求直线PB与平面EFD所成角的正弦值． 17．（15分） 某生物种群，经过年后一个自然种群分解为个自然种群的概率为，继续保持个自然种群的概率为，假设每个自然种群经过年后均按此规律分解，并且自然种群分解互相独立．某地区最初该生物只有一个自然种群，设经过个年后该地区这种生物自然种群总数为． (1)求； (2)求； (3)求． 18．（17分） 已知椭圆：（）的离心率，点是椭圆上一点，过原点的直线与抛物线：相交于B，C两点，点A是椭圆的下顶点，直线，分别与相交于P，Q两点． (1)求椭圆的方程； (2)证明：； (3)记和的面积分别是、，求的最小值． 19．（17分） 已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求证：当时，； (3)设，若对恒成立，求的取值范围． / 学科网（北京）股份有限公司 $