数学一模模拟·一轮巩固卷03（全国一卷通用）学易金卷：2027年高考第一次模拟考试

2027年高考第一次模拟考试 高三数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 2．样本数据5，8，9，4，12，14，18的上四分位数为（    ） A．12 B．13 C．14 D．16 3．已知平面向量，满足，，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 4．设函数在上可导，且，则等于（    ） A． B． C． D． 5．已知，分别为椭圆的左、右焦点，点P在椭圆C上．若，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 6．已知函数在处取得极值，则（     ） A．或 B．或 C． D． 7．已知从1开始的连续奇数蛇形排列形成宝塔形数表，第一行为1，第二行为3，5，第三行为7，9，11，第四行为13，15，17，19，如图所示，在宝塔形数表中位于第行，第列的数记为，例如，，，若，则（    ） A．64 B．65 C．68 D．72 8．已知集合，若函数满足对任意的均有且．在所有函数构成的集合中随机取出一个元素，定义随机变量，则的数学期望为（    ） A． B． C．0 D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．设复数，则（    ） A． B． C． D． 10．已知圆：，：，两圆相交于，两点，，，为圆上的动点，则（     ） A． B．直线与圆相切 C．直线与圆相切 D．为定值 11．如图，在棱长为1的正方体中，点满足，，，则下列说法正确的是（    ） A．当时，平面 B．当时，长度的最小值为 C．当时，存在点，使得与平面所成的角为 D．当，时，平面与平面夹角的余弦值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．抛物线的焦点到准线的距离为______． 13．若函数在上严格增，在上严格减，则正实数的值是__________ 14．设数列同时满足以下条件：①中的任意一项；②；③的所有项的和为m．记所有这样的不同数列的个数为．例如：当时，所有的不同数列为：10，1与1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，从而．若，则的通项公式为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）在中，角所对的边分别为，且． (1)若，的面积为，为边的中点，求的长度； (2)若为边上一点，且，，求的最小值． 16．（15分）如图，在三棱锥中，是边长为2的等边三角形，E为BD的中点，，，． (1)证明：； (2)若点F在棱CD上，二面角的正切值为，求线段CF的长度． 17．（15分）、两队进行围棋比赛，队有甲、乙、丙三位棋手，队只有丁一位棋手．比赛规则如下：队的三位棋手分别与丁对弈一盘，若一队棋手连胜两盘或连胜三盘，则该队获胜，若三盘比赛中没有一队获得至少两盘连胜，则两队打平．已知甲、乙、丙分别与丁比赛且获胜的概率为、、，且各盘比赛相互独立． (1)若队按甲、乙、丙的出场顺序与队进行比赛，求、两队打平的概率； (2)通过计算判断队怎样安排出场顺序对丁最有利． 18．（17分）古希腊数学家阿波罗尼奥斯的著作《圆锥曲线论》中给出圆的另一种定义：平面内，到两个定点距离之比值为常数的点的轨迹是圆，我们称之为阿波罗尼奥斯圆．已知点P到的距离是点P到的距离的2倍． (1)求点P的轨迹方程； (2)若点P与点Q关于点B对称，过点作Q的轨迹的切线，求切线方程． (3)若过B的直线与第二问中Q的轨迹交于E，F两点，试问在x轴上是否存在点，使恒为定值？若存在，求出点M的坐标和定值；若不存在，请说明理由． 19．（17分）已知函数，． (1)求的单调区间； (2)当时，证明：； (3)若恒成立，求的取值范围． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027年高考第一次模拟考试 数学·全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 对于A，集合的唯一元素为实数，是不含任何元素的集合，故A错误； 对于B，表示有理数集，是无限不循环小数，属于无理数，因此，B错误； 对于C，集合是元素为实数的数集，集合是元素为平面点的点集， 二者元素类型不同，不存在包含关系，C错误； 对于D，与元素完全相同，是相等集合，根据集合的性质，任意集合都是其自身的子集，故成立，D正确. 2．样本数据5，8，9，4，12，14，18的上四分位数为（    ） A．12 B．13 C．14 D．16 【答案】C 【详解】将样本数据按从小到大顺序排列得到：4，5，8，9，12，14，18，可知样本容量， 上四分位数对应第分位数， ，因此上四分位数为排序后第6个数据，即14. 3．已知平面向量，满足，，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为平面向量，满足，， 所以，. 则向量在向量上的投影向量为. 4．设函数在上可导，且，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为函数在上可导，所以 . 5．已知，分别为椭圆的左、右焦点，点P在椭圆C上．若，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】A 【详解】因为，所以． 由椭圆的定义及题意，得在中， ，， 所以． 6．已知函数在处取得极值，则（     ） A．或 B．或 C． D． 【答案】D 【详解】因为，则， 由题意可得，解得或， 若，则， 可知函数在定义域内单调递增，不存在极值，不符合题意； 若，则，， 令，解得或；令，解得； 可知函数在，内单调递增，在内单调递减， 则函数在处取得极值，符合题意； 综上所述：，. 7．已知从1开始的连续奇数蛇形排列形成宝塔形数表，第一行为1，第二行为3，5，第三行为7，9，11，第四行为13，15，17，19，如图所示，在宝塔形数表中位于第行，第列的数记为，例如，，，若，则（    ） A．64 B．65 C．68 D．72 【答案】C 【详解】由正奇数的通项为 ，令 ，可得， 即2025是第1013个正奇数. 由规律可知：第行有个数，前行的总个数为 . 可得，，即 ， 因此2025在第45行，. 观察排列规律可得：偶数行：从左到右从小到大排列；奇数行：从左到右从大到小排列，最大数（序号最大）在最左侧. 则第45行是奇数行，共45个数，可得该行最大的数（最左第1列）是总第1035个奇数， 最小的数（最右第45列）是总第991个奇数. 设是总第个奇数，则对奇数行有：对奇数行，有，其中是前i行奇数的总个数， 对于第45行，，所以. 代入，得：， 所以. 8．已知集合，若函数满足对任意的均有且．在所有函数构成的集合中随机取出一个元素，定义随机变量，则的数学期望为（    ） A． B． C．0 D． 【答案】A 【详解】令，有，又因为， 所以或. 令，有又因为， 所以或. 令，有又因为， 所以或. 令，有. 所以时，带入得，所以的可取值为， 的可取值为， 此时的所有可取值为： 且每个结果被取到的可能性相等. 时，带入得，所以的可取值为， 的可取值为， 此时的所有可取值为：， 且每个结果被取到的可能性相等. 综上所述：的所有可取值： 分布列： 期望. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．设复数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】对于A，因为，故周期为4. 故. 所以. 对于B，. 对于C，因为，所以. 对于D，，是虚数，不是实数，故. 10．已知圆：，：，两圆相交于，两点，，，为圆上的动点，则（     ） A． B．直线与圆相切 C．直线与圆相切 D．为定值 【答案】BCD 【详解】 A选项，圆的圆心的坐标为，半径， 圆的圆心的坐标为，半径， 因为，故两圆相交， 弦的直线方程为：，解得：， 所以，所以A选项错误； B选项，由A选项解析不妨设，所以直线方程为：， 所以到直线距离为：，所以， 所以直线与圆相切，所以B选项正确； C选项，由A选项不妨设，所以直线方程为：， 所以到直线距离为：，所以， 所以直线与圆相切，所以C选项正确； D选项，设，则，即：，则为定值，所以D选项正确. 11．如图，在棱长为1的正方体中，点满足，，，则下列说法正确的是（    ） A．当时，平面 B．当时，长度的最小值为 C．当时，存在点，使得与平面所成的角为 D．当，时，平面与平面夹角的余弦值为 【答案】ABD 【详解】对于A选项，连接，由题可得， 因为且，所以与成比例并共线，而， 故，平面，平面，因此，平面，故A选项正确； 以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系， 则， 故，因此. 对于B选项，因为，所以， 故， 当时，的值最小为，故长度的最小值为，B选项正确； 对于C选项，由B选项可得，且平面的法向量， 设与平面所成的角为，则， C选项要求，故，即，该方程的无解， 故不存在点，使得与平面所成的角为，则C选项错误； 对于D选项，可得， 设平面的法向量，平面的法向量， 故，， 令，则， ， 故平面与平面夹角的余弦值为，故D选项正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．抛物线的焦点到准线的距离为______． 【答案】 【详解】由抛物线标准方程，得，解得， 所以焦点到准线的距离为. 13．若函数在上严格增，在上严格减，则正实数的值是__________ 【答案】或 【详解】 ，其中。 因为在严格增，在严格减，故为极大值点， 故 ，所以，， 整理得，. 又在上严格增，在上严格减， 故，， 解得，结合，. 可知或. 14．设数列同时满足以下条件：①中的任意一项；②；③的所有项的和为m．记所有这样的不同数列的个数为．例如：当时，所有的不同数列为：10，1与1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，从而．若，则的通项公式为__________． 【答案】 【详解】当，即时， 所有的不同数列为：，， ， … ，，共12个； 故， 同理可得，，…， 由题意可知，， 所以， 即， 则当时，，，…， 累加得， 又因为， 所以， 也满足上式， 所以. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）在中，角所对的边分别为，且． (1)若，的面积为，为边的中点，求的长度； (2)若为边上一点，且，，求的最小值． 【答案】(1)(2)最小值为 【详解】（1）由，解得. 由余弦定理得，即，故. 因为为的中点，由中线向量性质得， 则， 故； （2）因为，且，所以，则. 注意到，即. 代入得，整理得，即. 由于，则. 根据基本不等式，当且仅当时等号成立. 此时，由可得时成立. 综上，的最小值为. 16．（15分）如图，在三棱锥中，是边长为2的等边三角形，E为BD的中点，，，． (1)证明：； (2)若点F在棱CD上，二面角的正切值为，求线段CF的长度． 【答案】(1)略(2) 【详解】（1）是边长为2的等边三角形，E为BD的中点， ， 在中，， ， 在中，, 由余弦定理有，， ， ， ，面BCD，面BCD， 面BCD， 面BCD， . （2） 在中，， ，故， 以E为原点，EC，ED，EA为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标系， ， ，， 设，， 平面DAB的一个法向量为， 设平面ABF的一个法向量为， ，令，解得，故， 设二面角的平面角为，，为锐角， ， ， 解得，满足， ，即. 17．（15分）、两队进行围棋比赛，队有甲、乙、丙三位棋手，队只有丁一位棋手．比赛规则如下：队的三位棋手分别与丁对弈一盘，若一队棋手连胜两盘或连胜三盘，则该队获胜，若三盘比赛中没有一队获得至少两盘连胜，则两队打平．已知甲、乙、丙分别与丁比赛且获胜的概率为、、，且各盘比赛相互独立． (1)若队按甲、乙、丙的出场顺序与队进行比赛，求、两队打平的概率； (2)通过计算判断队怎样安排出场顺序对丁最有利． 【答案】(1) (2)队按乙、丙、甲或甲、丙、乙的出场顺序与队进行比赛时对丁最有利． 【详解】（1）设、两队打平的概率为． 记事件第二盘为丁胜，第一、三盘分别为甲、丙胜． 记事件第二盘为乙胜，第一、三盘都是丁胜，则与为互斥事件， 则 （2）队按乙、丙、甲或甲、丙、乙的出场顺序与队进行比赛时对丁最有利， 设丁获胜的概率为， 若队按甲、乙、丙的出场顺序与队进行比赛， 则 同理，若队按丙、乙、甲的出场顺序与队进行比赛，则， 若队按乙、甲、丙或丙、甲、乙的出场顺序与队进行比赛， 则． 若队按乙、丙、甲或甲、丙、乙的出场顺序与队进行比赛， 则． 因为，所以队按乙、丙、甲或甲、丙、乙的出场顺序与队进行比赛时对丁最有利． 18．（17分）古希腊数学家阿波罗尼奥斯的著作《圆锥曲线论》中给出圆的另一种定义：平面内，到两个定点距离之比值为常数的点的轨迹是圆，我们称之为阿波罗尼奥斯圆．已知点P到的距离是点P到的距离的2倍． (1)求点P的轨迹方程； (2)若点P与点Q关于点B对称，过点作Q的轨迹的切线，求切线方程． (3)若过B的直线与第二问中Q的轨迹交于E，F两点，试问在x轴上是否存在点，使恒为定值？若存在，求出点M的坐标和定值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)和 (3)，定值为 【详解】（1）设点，由题意得，，， 解得，即. （2）设点，因为与关于点对称，所以满足，可知， 代入可得，即. 设切线方程为，即， 通过距离公式可知，解得，即和两条直线. （3） 设直线，，，联立得， 由韦达定理可知，，，. ，， ，要使其为定值，即满足，解得，定值为，坐标为. 若斜率不存在，即直线，解得交点为，，，， 所以，与斜率存在时一致. 19．（17分）已知函数，． (1)求的单调区间； (2)当时，证明：； (3)若恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)单调减区间为，单调增区间为 (2)略 (3) 【详解】（1）因为，所以， 当时，，的单调减区间为， 当时，，的单调增区间为. （2）当时， 要证明：，化简即：，， 令，， 当时，，单调递减；当时，，单调递 增； 则，即，. （3）， ，即， 可以知道函数的定义域为， 由（1）知：当时，单调递减，，，， 此时显然成立． 因为当时，，所以等价于： 当时，恒成立， ①当时，，不符合题意； ②当时，，不符合题意； ③当时，恒成立等价于 恒成立， 注意到，，（）， 当时，，在增，成立， 当时，当时，减，矛盾． 综上所述，满足条件的的取值范围是. / 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027年高考第一次模拟考试 数学·参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 D C B A A D C A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 AC BCD ABD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 13． 或 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 【答案】(1)(2)最小值为 【详解】（1）由，解得............1分 由余弦定理得，即，故.............3分 因为为的中点，由中线向量性质得，............4分 则，............5分 故；............6分 （2）因为，且，所以，则.............7分 注意到，即.............8分 代入得，整理得，即.............9分 由于，则.............10分 根据基本不等式，当且仅当时等号成立.............11分 此时，由可得时成立.............12分 综上，的最小值为.............13分 16．（15分） 【答案】(1)略(2) 【详解】（1）是边长为2的等边三角形，E为BD的中点， ，............1分 在中，， ，............2分 在中，,............3分 由余弦定理有，，............4分 ， ，............5分 ，面BCD，面BCD， 面BCD，............6分 面BCD， .............7分 （2） 在中，， ，故，...........8分 以E为原点，EC，ED，EA为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标系， ， ，， 设，，............9分 平面DAB的一个法向量为，............10分 设平面ABF的一个法向量为， ，令，解得，故，............12分 设二面角的平面角为，，为锐角， ，............13分 ，............14分 解得，满足， ，即.............15分 17．（15分） 【答案】(1) (2)队按乙、丙、甲或甲、丙、乙的出场顺序与队进行比赛时对丁最有利． 【详解】（1）设、两队打平的概率为． 记事件第二盘为丁胜，第一、三盘分别为甲、丙胜． 记事件第二盘为乙胜，第一、三盘都是丁胜，则与为互斥事件，............2分 则............6分 （2）队按乙、丙、甲或甲、丙、乙的出场顺序与队进行比赛时对丁最有利， 设丁获胜的概率为，............7分 若队按甲、乙、丙的出场顺序与队进行比赛， 则............9分 同理，若队按丙、乙、甲的出场顺序与队进行比赛，则，............10分 若队按乙、甲、丙或丙、甲、乙的出场顺序与队进行比赛， 则．............12分 若队按乙、丙、甲或甲、丙、乙的出场顺序与队进行比赛， 则．............14分 因为，所以队按乙、丙、甲或甲、丙、乙的出场顺序与队进行比赛时对丁最有利．............15分 18．（17分） 【答案】(1) (2)和 (3)，定值为 【详解】（1）设点，由题意得，，............1分，............2分 解得，即.............4分 （2）设点，因为与关于点对称，所以满足，可知，............6分 代入可得，即.............7分 设切线方程为，即，............8分 通过距离公式可知，解得，即和两条直线.............9分 （3） 设直线，，，联立得，............10分 由韦达定理可知，，，............11分.............12分 ，， ............14分 ，............15分 要使其为定值，即满足，解得，定值为，坐标为. 若斜率不存在，即直线，解得交点为，，，，............16分 所以，与斜率存在时一致.............17分 19．（17分） 【答案】(1)单调减区间为，单调增区间为 (2)略 (3) 【详解】（1）因为，所以，............1分 当时，，的单调减区间为，............2分 当时，，的单调增区间为.............3分 （2）当时， 要证明：，化简即：，，............5分 令，，............6分 当时，，单调递减；............7分 当时，，单调递增；............8分 则，即，.............9分 （3）， ，即，............10分 可以知道函数的定义域为， 由（1）知：当时，单调递减，，，， 此时显然成立．............11分 因为当时，，所以等价于： 当时，恒成立， ①当时，，不符合题意；............12分 ②当时，，不符合题意；............13分 ③当时，恒成立等价于 恒成立，............14分 注意到，，（）， 当时，，在增，成立，............15分 当时，当时，减，矛盾．............16分 综上所述，满足条件的的取值范围是.............17分 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2027年高考第一次模拟考试 数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $■■■■ ■■■■ 2027年高考第一次模拟考试 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 n 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 好 题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 巢 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 一、 选择题（每小题5分，共40分） 1[A][B][C][D] 5[A][B][C][D] 2[A]B][C][D] 6[A[B][C][D] 3[A][B][C][D] 7[A][B][C][D] 双阙 4[A][B][C][D] 8[A][B][C][D] 二、选择题（全部选对的得6分， 部分选对的得部分分，有选错的得0 分，共18分) 9[A][B][C][D] 10[A]B][C][D] 11[A][B][C][D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12 妇 13 14 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效： 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(15分) A 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页）………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2027年高考第一次模拟考试 高三数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 2．样本数据5，8，9，4，12，14，18的上四分位数为（    ） A．12 B．13 C．14 D．16 3．已知平面向量，满足，，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 4．设函数在上可导，且，则等于（    ） A． B． C． D． 5．已知，分别为椭圆的左、右焦点，点P在椭圆C上．若，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 6．已知函数在处取得极值，则（     ） A．或 B．或 C． D． 7．已知从1开始的连续奇数蛇形排列形成宝塔形数表，第一行为1，第二行为3，5，第三行为7，9，11，第四行为13，15，17，19，如图所示，在宝塔形数表中位于第行，第列的数记为，例如，，，若，则（    ） A．64 B．65 C．68 D．72 8．已知集合，若函数满足对任意的均有且．在所有函数构成的集合中随机取出一个元素，定义随机变量，则的数学期望为（    ） A． B． C．0 D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．设复数，则（    ） A． B． C． D． 10．已知圆：，：，两圆相交于，两点，，，为圆上的动点，则（     ） A． B．直线与圆相切 C．直线与圆相切 D．为定值 11．如图，在棱长为1的正方体中，点满足，，，则下列说法正确的是（    ） A．当时，平面 B．当时，长度的最小值为 C．当时，存在点，使得与平面所成的角为 D．当，时，平面与平面夹角的余弦值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．抛物线的焦点到准线的距离为______． 13．若函数在上严格增，在上严格减，则正实数的值是__________ 14．设数列同时满足以下条件：①中的任意一项；②；③的所有项的和为m．记所有这样的不同数列的个数为．例如：当时，所有的不同数列为：10，1与1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，从而．若，则的通项公式为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）在中，角所对的边分别为，且． (1)若，的面积为，为边的中点，求的长度； (2)若为边上一点，且，，求的最小值． 16．（15分）如图，在三棱锥中，是边长为2的等边三角形，E为BD的中点，，，． (1)证明：； (2)若点F在棱CD上，二面角的正切值为，求线段CF的长度． 17．（15分）、两队进行围棋比赛，队有甲、乙、丙三位棋手，队只有丁一位棋手．比赛规则如下：队的三位棋手分别与丁对弈一盘，若一队棋手连胜两盘或连胜三盘，则该队获胜，若三盘比赛中没有一队获得至少两盘连胜，则两队打平．已知甲、乙、丙分别与丁比赛且获胜的概率为、、，且各盘比赛相互独立． (1)若队按甲、乙、丙的出场顺序与队进行比赛，求、两队打平的概率； (2)通过计算判断队怎样安排出场顺序对丁最有利． 18．（17分）古希腊数学家阿波罗尼奥斯的著作《圆锥曲线论》中给出圆的另一种定义：平面内，到两个定点距离之比值为常数的点的轨迹是圆，我们称之为阿波罗尼奥斯圆．已知点P到的距离是点P到的距离的2倍． (1)求点P的轨迹方程； (2)若点P与点Q关于点B对称，过点作Q的轨迹的切线，求切线方程． (3)若过B的直线与第二问中Q的轨迹交于E，F两点，试问在x轴上是否存在点，使恒为定值？若存在，求出点M的坐标和定值；若不存在，请说明理由． 19．（17分）已知函数，． (1)求的单调区间； (2)当时，证明：； (3)若恒成立，求的取值范围． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $