数学一模模拟·必刷卷04（全国一卷通用）学易金卷：2027年高考第一次模拟考试

学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2027年高考第一次模拟考试 数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027年高考第一次模拟考试 数学·参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 D C D B A B D D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 AB AD ACD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 13．， 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15. （13分） 【解析】（1）证明：因为四边形是菱形，所以，因为，，平面，所以平面，因为平面， 所以，又，是的中点，所以 . 又 ，平面，平面， 所以平面.（5分） （2）因为，所以直线与平面所成的角等于直线与平面所成的角， 因为平面，所以直线与平面所成的角即为，即， 因为菱形的边长为2，，则在等边三角形中，，， 在中，， 以为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示， 则， 所以， 设平面的法向量为， 则，即，令，则，（8分） 由平面的一个法向量为， ， 设平面与平面所成角为，， 所以，即平面与平面所成角的正弦值为．（13分） 16. （15分） 【解析】（1）记“甲最终以获胜”为事件，记“甲最终以获胜”为事件，“甲最终获胜”为事件， 于是，与为互斥事件， 由于，， 则， 即甲最终获胜的概率为．（5分） （2）由（1）可知，， 若选用方案一，记甲最终获得积分为分，则可取， ， 则的分布列为： 3 则，（8分） 若选用方案二，记甲最终获得积分为分，则可取1，0， ， 则的分布列为： 1 0 则， 所以，（10分） 由于，则， 于是时，两种方案都可以选， 当时，，应该选第二种方案， 当时，，应该选第一种方案．（13分） 17. （15分） 【解析】（1）设．因为四边形 为圆内接四边形，所以， 从而. 在中，由余弦定理，. 在中，由余弦定理，. 所以，解得，故． 此时，所以为圆的直径，．（4分） （2）延长，交于点． 由共线，共线，且圆内接四边形的对角互补，可得， 所以，因此. 又，解得. 在中，由余弦定理，.（8分） （ⅰ）因为为的中点，所以. 又共线，且，所以. 设. 由于 与 不共线，比较系数得故. 于是. 在中，由余弦定理，. 代入数据，得. 所以. 在中，，由余弦定理，.（10分） （ⅱ）设. 由于依次共线，依次共线，所以，， 由 ，得. 这些三角形在点 处的夹角相同，因此. 在中，. 由基本不等式，，所以. 当且仅当 时等号成立．此时， 又，所以相应的点 均在线段 上，等号可以取得． 故线段 的最小值为.（15分） 18. （17分） 【解析】（1）由离心率为，可得，所以. 将代入椭圆方程，可得， 将其与联立，解得， 故椭圆的方程为.（4分） （2）（i）易知右顶点，设， 设直线的方程为. 联立方程组，消去得， 所以， 由韦达定理，（*）. 设直线与的斜率分别为， 则， 整理可得. 将（*）代入上式可得， 即， 化简可得，解得， 即当时，直线的方程为，所以直线过定点.（10分） （ii）由于点和点关于原点对称，则， 所以直线的方程为， 直线的方程为. 设，则，得， 整理可得， 所以， 即直线的方程为. 设点的横坐标为， 联立直线和的方程，可解得， 即点在定直线上， 则使得的面积为定值的点一定为过点且与直线平行的直线与椭圆的交点， 此时，.（17分） 19．（17分） 【解析】（1）证明：由题意，有，即． 记，则， 求导得，于是在上单调递增． 而，， 由零点存在定理，得，即．（4分） （2）证明：已知，先证明，即证明， 记，则，于是在上单调递增． 当时，，即；当时，，即. 易知在单调递减． 因为，所以， 即，于是， 因，，则． 依次反复操作，易推得，，且，①． 于是当为偶数时，．（10分） （3）先证明，，②． 由已知可得，假设，， 易知在单调递减，于是，即， 于是，即，于是结论②成立． 由（1）可知，在上单调递增， 又，于是，结合（1）可知． 由（2）知，在上单调递增， 因为，，所以，即，即． 因为，所以，即，即．（14分） 当且为偶数时， ， ； 当且n为奇数时， ， ． 综上，当时，．（17分） 6 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $■■■■ 2027年高考第一次模拟考试 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 n 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 翼 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 一、 选择题（每小题5分，共40分） 1[A][B][C][D] 5[A][B][C][D] 2[A][B][C][D] 6[A[B][C][D] 3[A][B][C][D] 7[A][B][C][D] 說 4[A][B][C][D] 8[A][B][C][D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分， 有选错的得0 分，共18分) 9[A][B][C][D] 10[A][B][C][D] 11[A][B][C][D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12 1 器 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分) A B B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效： 16.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) 0 A A M N M 6 图1 图2 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） ■ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页） 2027年高考第一次模拟考试 数学·全解全析 （考试时间：120分钟，试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 数据2，3，3，5，6，7，8，10的第70百分位数为（ ） A. 3 B. 5 C. 6 D. 7 1.【答案】D 【解析】将数据从小到大排列：2，3，3，5，6，7，8，10，因为，不是整数， 所以该组数据的第70百分位数为第6个数字，即7. 故选：D. 2. 若复数z满足，则z的虚部为（ ） A. B. C. D. 2.【答案】C 【解析】已知，则 ， 故z的虚部为． 故选：C. 3. 已知平面向量，，且，则（ ） A. 2 B. C. D. 3.【答案】D 【解析】由，得，所以， 所以，所以，又，，所以， 解得. 故选：D. 4. （热点）已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 4.【答案】B 【解析】； ；； 因此，又，故. 故选：B. 5. 曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 5.【答案】A 【解析】，解得，则，，所以， 所以曲线在点处的切线方程为，即. 故选：A. 6. 已知抛物线的焦点为，是上一点，若，则（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 6.【答案】B 【解析】选B.根据抛物线的几何性质，因为点为抛物线上的一点，抛物线的准线为，所以，因此解得. 故选B. 7. （改编题）已知函数的最大值为2，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 7.【答案】D 【解析】设，x＞0，则， 当时，，单调递减；当时，，单调递增，故， 显然当时，没有最大值， 当时，，故． 故选：D 8. （新情景）北京天坛圜丘坛分为上、中、下三层.上层中心为天心石，环绕天心石的第一环有9块扇面形石板，以后每环依次增加9块.下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，且每层内部各环也依次增加9块.每层环数相同，且下层石板总数比中层多729块.则每层的环数是（ ） A. B. C. D. 8.【答案】D 【解析】设每层共有环，各环石板数构成等差数列， 其中首项为，公差， 所以每环石板数为：， 由题意可得：上、中、下三层的石板总数分别为：， 又下层石板总数比中层多729块，所以， 即， 化简得：，解得：. 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 某地区组织了一次高二全体学生的期中考试，经统计发现，数学成绩X近似服从正态分布，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 9.【答案】AB 【解析】因为数学成绩X近似服从正态分布，所以，， 所以正态密度曲线关于对称，故， ，故AB正确； ，，故CD错误. 故选：AB. 10. （新考法）如图，在矩形中，分别为边上的点，且，，，为线段上一点，为线段的中点，将四边形沿着直线折起，使得平面，则（ ）． A. 存在点，使得 B. 存在点，使得 C. 对任意点，直线与直线异面 D. 存在点，使得 10.【答案】AD 【解析】对于选项A，在矩形中，，，，所以四边形为正方形.所以. 又因为平面，平面，所以. 当为点时，，从而可证得平面. 又平面，所以，故A正确； 对于选项B，当点位于点时，与相交；当点在线段上除点的其他位置时， 因为平面，平面，，平面， 所以，与为异面直线，故B错误； 对于选项C，当点为点时，与相交，故C错误； 对于选项D，当为的中点时，取的中点，连接， 在中，分别为中点，所以. 又，所以.同理可得. 因为，平面，所以平面. 因为平面，所以，故D正确． 故选：AD 11. 已知圆，，．圆过坐标原点，，，成等比数列，直线与圆相切，与圆交于，两点，过作圆的切线，为切点，若，则（ ） A. B. C. D. 当面积最大时，的方程为 11.【答案】ACD 【解析】对于A：过坐标原点，所以，则，故A正确； 对于B：，，成等比数列，所以 ①， 设直线到的距离为，因为直线与圆相切，所以， 又因为直线与圆相交，弦长，所以 ②， 将②代入①得：，解得，所以，故B错误； 对于C：是的切线，为切点，故，又因为， ，则，在中，， 根据等面积法：，即， 所以，故C正确； 对于D：，其中为到的距离，因为为定值，故最大时，面积最大. 当时，达到最大值为， 因为，所以， 所以设的方程为，即， 因为与相切，所以，解得或， 如图可得，所以的方程为，故D正确. 故选：ACD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12. 已知双曲线的一条渐近线过点，则的离心率为_________. 12.【答案】 【解析】由双曲线方程可知一条渐近线方程为， 代入点可得，即， 所以双曲线的离心率为. 故答案为：. 13. （热点）已知函数，（）满足恒成立，则________，若锐角满足，则_________． 13.【答案】 ， 【解析】由得，函数的对称轴为. 对于余弦函数在对称轴处取得最值，将代入， ，解得. 因为，所以取得，此时. 若锐角满足，那么， 即，解得. 所以，而， 所以，解得. 因为为锐角，即，所以，所以. 所以. 故答案为： ， 14. （新定义）在一次数学活动课上，老师设计了有序实数组，，，，，，，表示把中每个1替换为两个连续元素0，0，每个0替换为一个元素1，按原顺序拼接得到新的有序实数组，例如，则.定义，若，则，，，，中1的总个数为__________. 14.【答案】 【解析】因为，所以，，，，，显然，，，中分别有2，4，8项，其中的项为1，，，中分别有3，6，12项，其中的项为1. 设中总共有项，其中有项1. 则,. 所以，，，，，中1的总个数为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15. （13分） 如图，三棱柱中，侧面是边长为2的菱形，其对角线的交点为，且，． （1）求证：平面； （2）设，若直线与平面所成的角为，求平面与平面所成角的正弦值． 15. （13分） 【解析】（1）证明：因为四边形是菱形，所以，因为，，平面，所以平面，因为平面， 所以，又，是的中点， 所以 . 又 ，平面，平面， 所以平面. （2）因为，所以直线与平面所成的角等于直线与平面所成的角， 因为平面，所以直线与平面所成的角即为，即， 因为菱形的边长为2，，则在等边三角形中，，， 在中，， 以为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示， 则， 所以， 设平面的法向量为， 则，即，令，则， 由平面的一个法向量为， ， 设平面与平面所成角为，， 所以，即平面与平面所成角的正弦值为． 16. （15分） 甲参加围棋比赛，采用三局两胜制，若每局比赛甲获胜的概率为，输的概率为，每局比赛的结果是独立的． （1）当时，求甲最终获胜的概率； （2）为了增加比赛的趣味性，设置两种积分奖励方案．方案一：最终获胜者得3分，失败者得分；方案二：最终获胜者得1分，失败者得0分，请讨论选择哪种方案，使得甲获得积分的数学期望更大． 16. （15分） 【解析】（1）记“甲最终以获胜”为事件，记“甲最终以获胜”为事件，“甲最终获胜”为事件， 于是，与为互斥事件， 由于，， 则， 即甲最终获胜的概率为． （2）由（1）可知，， 若选用方案一，记甲最终获得积分为分，则可取， ， 则的分布列为： 3 则， 若选用方案二，记甲最终获得积分为分，则可取1，0， ， 则的分布列为： 1 0 则， 所以， 由于，则， 于是时，两种方案都可以选， 当时，，应该选第二种方案， 当时，，应该选第一种方案． 17. （15分） （新考法）在圆的内接四边形中，，，，. （1）求； （2）若，分别为边，上的动点： （ⅰ）如图1，若过圆心，，记，求； （ⅱ）如图2，记四边形的面积为，四边形的面积为，若，求线段的最小值. 17. （15分） 【解析】（1）设．因为四边形 为圆内接四边形，所以， 从而. 在中，由余弦定理，. 在中，由余弦定理，. 所以，解得，故． 此时，所以为圆的直径，． （2）延长，交于点． 由共线，共线，且圆内接四边形的对角互补，可得， 所以，因此. 又，解得. 在中，由余弦定理，. （ⅰ）因为为的中点，所以. 又共线，且，所以. 设. 由于 与 不共线，比较系数得故. 于是. 在中，由余弦定理，. 代入数据，得. 所以. 在中，，由余弦定理，. （ⅱ）设. 由于依次共线，依次共线，所以，， 由 ，得. 这些三角形在点 处的夹角相同，因此. 在中，. 由基本不等式，，所以. 当且仅当 时等号成立．此时， 又，所以相应的点 均在线段 上，等号可以取得． 故线段 的最小值为. 18. （17分） 已知椭圆的离心率为，且经过点． （1）求的方程． （2）记的左、右顶点分别为，，，是上异于，的两点，且直线与坐标轴不平行，设点关于原点对称的点为，直线与交于点，直线与交于点． （i）若直线与的斜率之积为，证明：直线过定点． （ii）在上是否存在点，使得的面积为定值？若存在，求出该值；若不存在，请说明理由． 18. （17分） 【解析】（1）由离心率为，可得，所以. 将代入椭圆方程，可得， 将其与联立，解得， 故椭圆的方程为. （2）（i）易知右顶点，设， 设直线的方程为. 联立方程组，消去得， 所以， 由韦达定理，（*）. 设直线与的斜率分别为， 则， 整理可得. 将（*）代入上式可得， 即， 化简可得，解得， 即当时，直线的方程为，所以直线过定点； （ii）由于点和点关于原点对称，则， 所以直线的方程为， 直线的方程为. 设， 则，得， 整理可得， 所以， 即直线的方程为. 设点的横坐标为， 联立直线和的方程，可解得， 即点在定直线上， 则使得的面积为定值的点一定为过点且与直线平行的直线与椭圆的交点， 此时，. 19．（17分） （新定义）对于函数，若存在，使成立，则称为函数的不动点．已知函数的不动点为，数列满足，，它的前项和为． （1）证明：； （2）若，证明：当为偶数时，； （3）若，证明：当时，． 19．（17分） 【解析】（1）证明：由题意，有，即． 记，则， 求导得，于是在上单调递增． 而，， 由零点存在定理，得，即． （2）证明：已知，先证明，即证明， 记，则，于是在上单调递增． 当时，，即；当时，，即. 易知在单调递减． 因为，所以， 即，于是， 因，，则． 依次反复操作，易推得，，且，①． 于是当为偶数时，． （3）先证明，，②． 由已知可得，假设，， 易知在单调递减，于是，即， 于是，即，于是结论②成立． 由（1）可知，在上单调递增， 又，于是，结合（1）可知． 由（2）知，在上单调递增， 因为，，所以，即，即． 因为，所以，即，即． 当且为偶数时， ， ； 当且n为奇数时， ， ． 综上，当时，． 10 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2027年高考第一次模拟考试 高三数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 数据2，3，3，5，6，7，8，10的第70百分位数为（ ） A. 3 B. 5 C. 6 D. 7 2. 若复数z满足，则z的虚部为（ ） A. B. C. D. 3. 已知平面向量，，且，则（ ） A. 2 B. C. D. 4. （热点）已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 5. 曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 6. 已知抛物线的焦点为，是上一点，若，则（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 7. （改编题）已知函数的最大值为2，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 8. （新情景）北京天坛圜丘坛分为上、中、下三层.上层中心为天心石，环绕天心石的第一环有9块扇面形石板，以后每环依次增加9块.下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，且每层内部各环也依次增加9块.每层环数相同，且下层石板总数比中层多729块.则每层的环数是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 某地区组织了一次高二全体学生的期中考试，经统计发现，数学成绩X近似服从正态分布，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 10. （新考法）如图，在矩形中，分别为边上的点，且，，，为线段上一点，为线段的中点，将四边形沿着直线折起，使得平面，则（ ）． A. 存在点，使得 B. 存在点，使得 C. 对任意点，直线与直线异面 D. 存在点，使得 11. 已知圆，，．圆过坐标原点，，，成等比数列，直线与圆相切，与圆交于，两点，过作圆的切线，为切点，若，则（ ） A. B. C. D. 当面积最大时，的方程为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12. 已知双曲线的一条渐近线过点，则的离心率为_________. 13. （热点）已知函数，（）满足恒成立，则________，若锐角满足，则_________． 14. （新定义）在一次数学活动课上，老师设计了有序实数组，，，，，，，表示把中每个1替换为两个连续元素0，0，每个0替换为一个元素1，按原顺序拼接得到新的有序实数组，例如，则.定义，若，则，，，，中1的总个数为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15. （13分） 如图，三棱柱中，侧面是边长为2的菱形，其对角线的交点为，且，． （1）求证：平面； （2）设，若直线与平面所成的角为，求平面与平面所成角的正弦值． 16. （15分） 甲参加围棋比赛，采用三局两胜制，若每局比赛甲获胜的概率为，输的概率为，每局比赛的结果是独立的． （1）当时，求甲最终获胜的概率； （2）为了增加比赛的趣味性，设置两种积分奖励方案．方案一：最终获胜者得3分，失败者得分；方案二：最终获胜者得1分，失败者得0分，请讨论选择哪种方案，使得甲获得积分的数学期望更大． 17. （15分） （新考法）在圆的内接四边形中，，，，. （1）求； （2）若，分别为边，上的动点： （ⅰ）如图1，若过圆心，，记，求； （ⅱ）如图2，记四边形的面积为，四边形的面积为，若，求线段的最小值. 18. （17分） 已知椭圆的离心率为，且经过点． （1）求的方程． （2）记的左、右顶点分别为，，，是上异于，的两点，且直线与坐标轴不平行，设点关于原点对称的点为，直线与交于点，直线与交于点． （i）若直线与的斜率之积为，证明：直线过定点． （ii）在上是否存在点，使得的面积为定值？若存在，求出该值；若不存在，请说明理由． 19．（17分） （新定义）对于函数，若存在，使成立，则称为函数的不动点．已知函数的不动点为，数列满足，，它的前项和为． （1）证明：； （2）若，证明：当为偶数时，； （3）若，证明：当时，． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027年高考第一次模拟考试 高三数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 数据2，3，3，5，6，7，8，10的第70百分位数为（ ） A. 3 B. 5 C. 6 D. 7 2. 若复数z满足，则z的虚部为（ ） A. B. C. D. 3. 已知平面向量，，且，则（ ） A. 2 B. C. D. 4. （热点）已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 5. 曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 6. 已知抛物线的焦点为，是上一点，若，则（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 7. （改编题）已知函数的最大值为2，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 8. （新情景）北京天坛圜丘坛分为上、中、下三层.上层中心为天心石，环绕天心石的第一环有9块扇面形石板，以后每环依次增加9块.下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，且每层内部各环也依次增加9块.每层环数相同，且下层石板总数比中层多729块.则每层的环数是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 某地区组织了一次高二全体学生的期中考试，经统计发现，数学成绩X近似服从正态分布，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 10. （新考法）如图，在矩形中，分别为边上的点，且，，，为线段上一点，为线段的中点，将四边形沿着直线折起，使得平面，则（ ）． A. 存在点，使得 B. 存在点，使得 C. 对任意点，直线与直线异面 D. 存在点，使得 11. 已知圆，，．圆过坐标原点，，，成等比数列，直线与圆相切，与圆交于，两点，过作圆的切线，为切点，若，则（ ） A. B. C. D. 当面积最大时，的方程为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12. 已知双曲线的一条渐近线过点，则的离心率为_________. 13. （热点）已知函数，（）满足恒成立，则________，若锐角满足，则_________． 14. （新定义）在一次数学活动课上，老师设计了有序实数组，，，，，，，表示把中每个1替换为两个连续元素0，0，每个0替换为一个元素1，按原顺序拼接得到新的有序实数组，例如，则.定义，若，则，，，，中1的总个数为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15. （13分） 如图，三棱柱中，侧面是边长为2的菱形，其对角线的交点为，且，． （1）求证：平面； （2）设，若直线与平面所成的角为， 求平面与平面所成角的正弦值． 16. （15分） 甲参加围棋比赛，采用三局两胜制，若每局比赛甲获胜的概率为，输的概率为，每局比赛的结果是独立的． （1）当时，求甲最终获胜的概率； （2）为了增加比赛的趣味性，设置两种积分奖励方案．方案一：最终获胜者得3分，失败者得分；方案二：最终获胜者得1分，失败者得0分，请讨论选择哪种方案，使得甲获得积分的数学期望更大． 17. （15分） （新考法）在圆的内接四边形中，，，，. （1）求； （2）若，分别为边，上的动点： （ⅰ）如图1，若过圆心，，记，求； （ⅱ）如图2，记四边形的面积为，四边形的面积为，若，求线段的最小值. 18. （17分） 已知椭圆的离心率为，且经过点． （1）求的方程． （2）记的左、右顶点分别为，，，是上异于，的两点，且直线与坐标轴不平行，设点关于原点对称的点为，直线与交于点，直线与交于点． （i）若直线与的斜率之积为，证明：直线过定点． （ii）在上是否存在点，使得的面积为定值？若存在，求出该值；若不存在，请说明理由． 19．（17分） （新定义）对于函数，若存在，使成立，则称为函数的不动点．已知函数的不动点为，数列满足，，它的前项和为． （1）证明：； （2）若，证明：当为偶数时，； （3）若，证明：当时，． 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $