数学一模模拟·一轮巩固卷02（广东专用）学易金卷：2027年高考第一次模拟考试

2027年高考第一次模拟考试 数学·参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 B D C D B A A C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 AC BCD AB 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 13． 14．5 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 【解析】（1）零假设为：满意情况与游客的来源无关， 因为， 根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立， 可以认为成立，所以满意情况与游客的来源无关.（5分） （2）由分层抽样的性质，得选出5人中，满意人数为，不满意人数为， 依题意，的可能值为， ，，， 所以这3人中满意人数X的概率分布列为： 数学期望.（13分） 16．（15分） 【解析】（1）证明：由题意得：，又， 所以数列是以首项为，公比为3的等比数列，（2分） 所以，即， 当时，， 当时，， 所以；（5分） （2）由题意得：， 所以①， ②，（8分） 由①②有： ， 所以.（15分） 17．（15分） 【解析】（1）证明：设菱形的对角线交于点， 因为菱形的对角线互相平分，所以是的中点，又因为是的中点， 在中，是中位线，因此.（2分） 又因为平面，平面，且， 根据线面平行的判定定理，可得平面.（5分） （2）设的中点为，因为分别为中点，所以， 又因为平面，所以平面. 因为平面，所以. 又因为底面是菱形，所以. 以为原点，分别以所在直线为轴建立坐标系： 因为，则. 因此各点坐标为：，，，，设.（8分） ，，， . 因为平面在坐标平面上，取其法向量为. 平面的法向量为，， 则，，，令，则，. 设两个平面的夹角为，，， 则 ， 因为，所以. 因此平面与平面夹角的正弦值为.（15分） 18．（17分） 【解析】（1）因为，所以， ，又点在上， 所以， 解得，，椭圆的方程为．（3分） （2）证明：直线的斜率显然存在，设直线的方程为． 由整理得．（5分） 设，，则，，． 由（1）知， 所以，的斜率分别为，， 故，所以．（8分） （3）设直线的方程为，显然，由得，解得或， 所以，则． 由（2）知，则直线的方程为，解得， 同理，． 由得，解得或， 所以，则， 同理，．（13分） 由（2）知，则， 则， ， 当且仅当时等号成立，即的最小值为．（17分） 19．（17分） 【解析】（1）因为，又函数在处的切线与直线平行， 所以，即；（3分） （2）由题可得（）， 因为，则，（5分） 所以，若，则，在内单调递增， 若，当时，，所以在内单调递减， 当时，，所以在内单调递增；（8分） （3）证明：当时，， 设，则（）， 设（），， 则在内单调递增，因为，， 所以存在，使得，即， 当时，，在内单调递减， 当时，，在内单调递增，（13分） 所以，而在单调递减， 所以， 所以．（17分） 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $■■■■ ■■■■ 2027年高考第一次模拟考试 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 n 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 好 题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 巢 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 一、 选择题（每小题5分，共40分） 1[A][B][C][D] 5[A][B][C][D] 2[A]B][C][D] 6[A[B][C][D] 3[A][B][C][D] 7[A][B][C][D] 双阙 4[A][B][C][D] 8[A][B][C][D] 二、选择题（全部选对的得6分， 部分选对的得部分分，有选错的得0 分，共18分) 9[A][B][C][D] 10[A]B][C][D] 11[A][B][C][D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12 妇 13 14 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效： 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) E D B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页） 2027年高考第一次模拟考试 高三数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（热点）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．若复数满足 ( 为虚数单位)，则（     ） A．1 B． C． D． 3．已知向量，，，若，则（   ） A． B． C．1 D．5 4．点到抛物线的准线的距离为6，那么该抛物线的标准方程是（    ） A． B．或 C． D．或 5．已知数列是首项为1的等差数列，且，则（    ） A． B．或 C． D．或 6．已知函数，则函数的最大值为（    ） A． B． C． D． 7．中内角，，所对的边分别为，，，若，且，则（   ） A． B． C． D．2 8．（改编题）小王到某公司面试，一共要回答道题，每道题答对得分，答错倒扣分，设他每道题答对的概率均为，且每道题答对与否相互独立，记小王答完道题的总得分为，则当取得最大值时，（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．2025年9月20日，四川省城市足球联赛（简称“川超”）开幕式暨揭幕战观众达21448人．为了解各年龄层对“川超”的关注程度，随机选取了200名年龄在的观众进行调查，并绘制如下的频率分布直方图，则（   ） A． B．该场观众年龄众数的估计值为40 C．该场观众年龄50%分位数的估计值为35 D．该场观众年龄平均数的估计值为35 10．在直三棱柱中，，，为的中点，则（    ） A． B．平面 C． D．平面平面 11．已知双曲线的左、右焦点分别为，，为上一动点，过点作直线交于，两点，则下列说法正确的是（   ） A．的离心率为 B．的最小值为2 C．若，则的面积为6 D．若，则的倾斜角为或 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知，则__________． 13．已知函数，则函数在上恰有1个零点，则实数的取值范围为__________. 14．数列满足，且，的前项和为，则满足不等式的的最大值是__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 鄂尔多斯某地一景区为了吸引游客，进行了马术实景剧的展演.景区为了解游客对其开展的“马术实景剧”活动的满意度，随机抽取400人进行调查，得到如下2×2列联表： 调查结果组别 不满意 满意 合计 本地游客 80 120 200 外地游客 60 140 200 合计 140 260 400 (1)根据小概率值的独立性检验，分析满意情况是否与游客的来源有关； (2)在本地游客的样本中用分层抽样的方法选出5人，再从这5人中随机抽取3人做进一步的访谈，求这3人中满意人数X的概率分布列和数学期望. 附： 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 16．（15分） 已知数列的前项和为，，且． (1)证明：数列是等比数列，并求的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 17．（15分） 如图，在四棱锥中，底面是菱形，平面，，点是线段上的一个动点． (1)若为线段中点，求证：平面； (2)若，求平面与平面夹角的正弦值． 18．（17分） 已知椭圆：（）的离心率，点是椭圆上一点，过原点的直线与抛物线：相交于B，C两点，点A是椭圆的下顶点，直线，分别与相交于P，Q两点． (1)求椭圆的方程； (2)证明：； (3)记和的面积分别是、，求的最小值． 19．（17分） 已知函数（）． (1)若函数在处的切线与直线平行，求的值； (2)讨论函数的单调性； (3)当时，证明：． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027年高考第一次模拟考试 数学·全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（热点）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 1．【答案】B 【解析】由题意知. 又， 所以. 故选：B. 2．若复数满足 ( 为虚数单位)，则（     ） A．1 B． C． D． 2．【答案】D 【解析】由复数满足为虚数单位)， 可得， 所以. 故选：D. 3．已知向量，，，若，则（   ） A． B． C．1 D．5 3．【答案】C 【解析】因为，，， 所以， 因为，所以，解得. 故选：C. 4．点到抛物线的准线的距离为6，那么该抛物线的标准方程是（    ） A． B．或 C． D．或 4．【答案】D 【解析】将转化为, 当时，抛物线开口向上，准线方程， 点到准线的距离为，解得， 所以抛物线方程为，即； 当时，抛物线开口向下，准线方程， 点到准线的距离为，解得或（舍去）， 所以抛物线方程为，即. 所以抛物线的方程为或 故选：D. 5．已知数列是首项为1的等差数列，且，则（    ） A． B．或 C． D．或 5．【答案】B 【解析】设数列的公差为，又，即， 整理得，解得或， 当时，；当时， 又， 因此或. 故选：B. 6．已知函数，则函数的最大值为（    ） A． B． C． D． 6．【答案】A 【解析】由题意知：的定义域为. . 设，则. 当时，，在上单调递减， 所以，，即， 故当时，，在单调递增； 当时，，在上单调递减. 所以，. 故选：A. 7．中内角，，所对的边分别为，，，若，且，则（   ） A． B． C． D．2 7．【答案】A 【解析】因为，所以， 则，由余弦定理得， 因为，所以， 由同角三角函数的基本关系得，解得， 由正弦定理得，故A正确. 故选：A. 8．（改编题）小王到某公司面试，一共要回答道题，每道题答对得分，答错倒扣分，设他每道题答对的概率均为，且每道题答对与否相互独立，记小王答完道题的总得分为，则当取得最大值时，（    ） A． B． C． D． 8．【答案】C 【解析】设答对题的个数为，由已知可得， 所以，， 因为每道题答对得分，答错倒扣分，为小王答完道题的总得分， 所以， 所以， ， 所以，又， 所以当时，取最大值，最大值为. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．2025年9月20日，四川省城市足球联赛（简称“川超”）开幕式暨揭幕战观众达21448人．为了解各年龄层对“川超”的关注程度，随机选取了200名年龄在的观众进行调查，并绘制如下的频率分布直方图，则（   ） A． B．该场观众年龄众数的估计值为40 C．该场观众年龄50%分位数的估计值为35 D．该场观众年龄平均数的估计值为35 9．【答案】AC 【解析】A选项，由题意得，解得，A正确； B选项，由频率分布直方图可知，年龄处于区间的观众频率最大， 故该场观众年龄众数的估计值为，B错误； C选项，由于，， 故该场观众年龄50%分位数处于中，设为， 则，解得， 所以该场观众年龄50%分位数的估计值为35，C正确； D选项，该场观众年龄平均数的估计值为 ，D错误. 故选：AC. 10．在直三棱柱中，，，为的中点，则（    ） A． B．平面 C． D．平面平面 10．【答案】BCD 【解析】如图，设中点分别为，连接， 对于A，因为平面，平面， 平面平面，， 所以为异面直线，故A错误； 对于B，在直三棱柱中，， 又平面，平面，所以平面，故B正确； 对于C，在直三棱柱中，平面，则， 又，所以，即， 又平面，所以平面， 又平面，所以，故C正确； 对于D，因为，不妨设， ，， 在直三棱柱中，易知，则， 同理可得，又， 所以，即， 又，为中点， 所以，又，所以， 又平面， 所以平面，又平面，所以平面平面，故D正确． 故选：BCD． 11．已知双曲线的左、右焦点分别为，，为上一动点，过点作直线交于，两点，则下列说法正确的是（   ） A．的离心率为 B．的最小值为2 C．若，则的面积为6 D．若，则的倾斜角为或 11．【答案】AB 【解析】由题可知，，，所以， 所以双曲线的离心率为，所以A选项正确； 由双曲线定义可知，不妨设，则， 所以因为，所以B选项正确； 对于C，由余弦定理得，故， 所以，所以C选项不正确； 对于D,设，，显然直线的斜率不为0，设直线的方程为， 联立的方程得， 则，， 所以， 解得或， 若的倾斜角为或，则,所以D选项不正确． 故选：AB. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知，则__________． 12．【答案】 【解析】二项式展开式的通项公式为：， 由于， 则当时，； 故答案为：. 13．已知函数，则函数在上恰有1个零点，则实数的取值范围为__________. 13．【答案】 【解析】因，则， 若函数在上恰有1个零点， 则 故答案为：. 14．数列满足，且，的前项和为，则满足不等式的的最大值是__________. 14．【答案】5 【解析】， ，且， 是以为首项, 为公比的等比数列.   ,  . , ，即， , , 的最大值是. 故答案为：5. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 鄂尔多斯某地一景区为了吸引游客，进行了马术实景剧的展演.景区为了解游客对其开展的“马术实景剧”活动的满意度，随机抽取400人进行调查，得到如下2×2列联表： 调查结果组别 不满意 满意 合计 本地游客 80 120 200 外地游客 60 140 200 合计 140 260 400 (1)根据小概率值的独立性检验，分析满意情况是否与游客的来源有关； (2)在本地游客的样本中用分层抽样的方法选出5人，再从这5人中随机抽取3人做进一步的访谈，求这3人中满意人数X的概率分布列和数学期望. 附： 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 15．（13分） 【解析】（1）零假设为：满意情况与游客的来源无关， 因为， 根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立， 可以认为成立，所以满意情况与游客的来源无关. （2）由分层抽样的性质，得选出5人中，满意人数为，不满意人数为， 依题意，的可能值为， ，，， 所以这3人中满意人数X的概率分布列为： 数学期望. 16．（15分） 已知数列的前项和为，，且． (1)证明：数列是等比数列，并求的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 16．（15分） 【解析】（1）证明：由题意得：，又， 所以数列是以首项为，公比为3的等比数列， 所以，即， 当时，， 当时，， 所以； （2）由题意得：， 所以①， ②， 由①②有： ， 所以. 17．（15分） 如图，在四棱锥中，底面是菱形，平面，，点是线段上的一个动点． (1)若为线段中点，求证：平面； (2)若，求平面与平面夹角的正弦值． 17．（15分） 【解析】（1）证明：设菱形的对角线交于点， 因为菱形的对角线互相平分，所以是的中点，又因为是的中点， 在中，是中位线，因此. 又因为平面，平面，且， 根据线面平行的判定定理，可得平面. （2）设的中点为，因为分别为中点，所以， 又因为平面，所以平面. 因为平面，所以. 又因为底面是菱形，所以. 以为原点，分别以所在直线为轴建立坐标系： 因为，则. 因此各点坐标为：，，，，设. ，，， . 因为平面在坐标平面上，取其法向量为. 平面的法向量为，， 则，，，令，则，. 设两个平面的夹角为，，， 则 ， 因为，所以. 因此平面与平面夹角的正弦值为. 18．（17分） 已知椭圆：（）的离心率，点是椭圆上一点，过原点的直线与抛物线：相交于B，C两点，点A是椭圆的下顶点，直线，分别与相交于P，Q两点． (1)求椭圆的方程； (2)证明：； (3)记和的面积分别是、，求的最小值． 18．（17分） 【解析】（1）因为，所以， ，又点在上， 所以， 解得，，椭圆的方程为． （2）证明：直线的斜率显然存在，设直线的方程为． 由整理得． 设，，则，，． 由（1）知， 所以，的斜率分别为，， 故，所以． （3）设直线的方程为，显然，由得，解得或， 所以，则． 由（2）知，则直线的方程为，解得， 同理，． 由得，解得或， 所以，则， 同理，． 由（2）知，则， 则， ， 当且仅当时等号成立，即的最小值为． 19．（17分） 已知函数（）． (1)若函数在处的切线与直线平行，求的值； (2)讨论函数的单调性； (3)当时，证明：． 19．（17分） 【解析】（1）因为，又函数在处的切线与直线平行， 所以，即； （2）由题可得（）， 因为，则， 所以，若，则，在内单调递增， 若，当时，，所以在内单调递减， 当时，，所以在内单调递增； （3）证明：当时，， 设，则（）， 设（），， 则在内单调递增，因为，， 所以存在，使得，即， 当时，，在内单调递减， 当时，，在内单调递增， 所以，而在单调递减， 所以， 所以． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2027年高考第一次模拟考试 数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2027年高考第一次模拟考试 高三数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（热点）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．若复数满足 ( 为虚数单位)，则（     ） A．1 B． C． D． 3．已知向量，，，若，则（   ） A． B． C．1 D．5 4．点到抛物线的准线的距离为6，那么该抛物线的标准方程是（    ） A． B．或 C． D．或 5．已知数列是首项为1的等差数列，且，则（    ） A． B．或 C． D．或 6．已知函数，则函数的最大值为（    ） A． B． C． D． 7．中内角，，所对的边分别为，，，若，且，则（   ） A． B． C． D．2 8．（改编题）小王到某公司面试，一共要回答道题，每道题答对得分，答错倒扣分，设他每道题答对的概率均为，且每道题答对与否相互独立，记小王答完道题的总得分为，则当取得最大值时，（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．2025年9月20日，四川省城市足球联赛（简称“川超”）开幕式暨揭幕战观众达21448人．为了解各年龄层对“川超”的关注程度，随机选取了200名年龄在的观众进行调查，并绘制如下的频率分布直方图，则（   ） A． B．该场观众年龄众数的估计值为40 C．该场观众年龄50%分位数的估计值为35 D．该场观众年龄平均数的估计值为35 10．在直三棱柱中，，，为的中点，则（    ） A． B．平面 C． D．平面平面 11．已知双曲线的左、右焦点分别为，，为上一动点，过点作直线交于，两点，则下列说法正确的是（   ） A．的离心率为 B．的最小值为2 C．若，则的面积为6 D．若，则的倾斜角为或 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知，则__________． 13．已知函数，则函数在上恰有1个零点，则实数的取值范围为__________. 14．数列满足，且，的前项和为，则满足不等式的的最大值是__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 鄂尔多斯某地一景区为了吸引游客，进行了马术实景剧的展演.景区为了解游客对其开展的“马术实景剧”活动的满意度，随机抽取400人进行调查，得到如下2×2列联表： 调查结果组别 不满意 满意 合计 本地游客 80 120 200 外地游客 60 140 200 合计 140 260 400 (1)根据小概率值的独立性检验，分析满意情况是否与游客的来源有关； (2)在本地游客的样本中用分层抽样的方法选出5人，再从这5人中随机抽取3人做进一步的访谈，求这3人中满意人数X的概率分布列和数学期望. 附： 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 16．（15分） 已知数列的前项和为，，且． (1)证明：数列是等比数列，并求的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 17．（15分） 如图，在四棱锥中，底面是菱形，平面，，点是线段上的一个动点． (1)若为线段中点，求证：平面； (2)若，求平面与平面夹角的正弦值． 18．（17分） 已知椭圆：（）的离心率，点是椭圆上一点，过原点的直线与抛物线：相交于B，C两点，点A是椭圆的下顶点，直线，分别与相交于P，Q两点． (1)求椭圆的方程； (2)证明：； (3)记和的面积分别是、，求的最小值． 19．（17分） 已知函数（）． (1)若函数在处的切线与直线平行，求的值； (2)讨论函数的单调性； (3)当时，证明：． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 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