精品解析：广东汕头市金山中学2027届高三上学期摸底考试数学试题

2024级高三第一学期摸底考试数学试卷 一、单选题．本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】集合是点集，元素是点；集合是数集，元素是实数，故. 2. 已知，，均为非零向量，其中，不共线且满足，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】由题知，再结合数量积的运算律分别讨论充分性与必要性即可判断. 【详解】因为 均为非零向量， 不共线，且 ， 所以， 充分性：若 ，则，即， 整理得，即，所以 必要性：若 ，则，即， 所以，即，所以 又 ，所以 ， 所以，“”是“”的充分必要条件. 3. 的展开式中二项式系数和为，则含项的系数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二项式系数和及通项公式求解即可. 【详解】因为的展开式的二项式系数和为32，所以，得， 所以展开式的通项公式为，， 令，解得：， 所以展开式中含项的系数为：. 4. 已知等差数列的公差为，其前项和为，，，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. 中最大 D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用等差数列性质结合给定条件可得，再逐项分析判断作答. 【详解】等差数列的公差为d，其前n项和为， 由，得，由，得， 则有，即，B正确；，A正确； 因，且，，则是递减等差数列，其前6项均为正，从第7项起为负数，因此，中最大，C正确； ，，，即，D不正确. 5. “阿基米德多面体”也称半正多面体，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，它体现了数学的对称美．如图是以一正方体的各条棱的中点为顶点的多面体，这是一个有八个面为正三角形，六个面为正方形的“阿基米德多面体”，若该多面体的棱长为1，则经过该多面体的各个顶点的球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将该多面体补形为正方体，得到经过该多面体的各个顶点的球为正方体 的棱切球，求出该正方体的边长，求出棱切球的半径，得到表面积. 【详解】将该多面体补形为正方体，则有，， 所以由勾股定理得：，所以正方体的边长为， 所以经过该多面体的各个顶点的球为正方体的棱切球， 所以棱切球的直径为该正方体的面对角线，长度为， 故过该多面体的各个顶点的球的半径为1，球的表面积为 6. 已知函数，则下列函数中为奇函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过代入化简各选项的函数表达式，结合奇函数定义域关于原点对称、满足的性质逐一验证即可. 【详解】首先确定的定义域：由且，得或， 对于A选项，令，其定义域满足或，即，不关于原点对称，故A选项错误； 对于B选项，令，其定义域满足或，即，关于原点对称， 将代入的表达式：， 故， 验证奇函数定义：， 不满足，故不满足奇函数性质，故B选项错误； 对选项C，令，其定义域满足或，即，关于原点对称， 将代入的表达式：， 故， 验证奇函数定义：满足奇函数性质，故C选项正确； 对于D选项，令，其定义域满足或，即，不关于原点对称，故D选项错误； 7. 在1，2，3，4，5，6这6个数中选4个数随机填入如图所示的方格表中，每个小方格只填一个数，且所填数各不相同，则每行、每列所填数之积都是偶数的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】计算出6个数中选4个数放入方格表的种数，再分两种情况，得到每行、每列所填数之积都是偶数的个数，从而求出概率 【详解】1，2，3，4，5，6这6个数中选4个数随机填入方格表中，共有个， 每行、每列所填数之积都是偶数， ①当4个方格有3个偶数时满足要求， 从3个奇数中选一个，和3个偶数进行全排列，共有个， ②当4个方格表有2个偶数且分布在对角线上时，满足要求， 从3个偶数中选2个，且放在某一条对角线上，有种选择， 再从3个奇数中选两个，放在剩余的对角线上，有种选择，故此时有个， 综上，共有个， 所以每行、每列所填数之积都是偶数的概率是. 8. 如图，双曲线的右顶点为，左右焦点分别为，点是双曲线右支上一点，交左支于点，交渐近线于点是的中点，若，且，则双曲线的离心率是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】设，则，解得，即，由题意，所以，所以．又设，则，两式相减得，即，所以，又，化简得，． 故选B． 考点：双曲线的几何性质． 【名师点睛】本题考查双曲线的几何性质，求离心率，要建立的一个方程．考虑到，且在渐近线上，因此可得，是弦的中点，考虑用点差法得，而点坐标可由求得，从而关系式为，由此可得结论．本题把双曲线的性质与方法有机地结合在一起，才能简化运算过程，如果想不到这些性质与方法，难度较大． 二、多选题．本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 在复平面内对应的点位于第二象限 【答案】BD 【解析】 【详解】因为，， 所以，，则，， 在复平面内对应的点位于第二象限，A错误，B，D均正确. ，C错误. 10. 已知的内角、、所对的边分别为、、，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若面积为，，则 C. 若，则为钝角三角形 D. 若，则为直角三角形 【答案】ABC 【解析】 【分析】A可根据正弦定理将角的正弦值转化为边的关系，再根据大边对大角判断即可；B可根据三角形面积公式和余弦定理求出角；C可根据三角函数的诱导公式和两角和的正切公式判断角的正负；D可根据正弦定理和同角三角函数的基本关系判断角的关系. 【详解】A，根据正弦定理（为外接圆半径），可得，， 由已知，即，又，所以， 根据三角形大边对大角的性质，可得，故A正确； B，已知，根据三角形面积公式及余弦定理， 即，所以， 化简得，即，又，所以，故B正确； C，因为，所以，则， 根据两角和的正切公式， 所以，移项可得， 即， 又，即， 因为、、为的内角，所以、、中必有一个小于0， 即、、中必有一个为钝角，所以为钝角三角形，故C正确； D，因为，根据正弦定理可得，即， 因为，所以，所以，即， 又，所以，所以或， 当时，可得，所以，所以为直角三角形， 当时，可得，所以，所以为钝角三角形，故D错误. 11. 已知函数，，则（ ） A. B. 关于的方程有两个不相等的实根 C. 函数有两个极值点、 D. 若关于的方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是 【答案】ACD 【解析】 【分析】A，通过两式相减化简求解；B，通过化简方程并构造新函数，利用单调性求解实根个数；C，通过函数的极值点与导数的关判断；D，通过函数单调性结合图形可判断. 【详解】选项A，，所以，A正确. 选项B，，化简可得，， 由可得，由可得， 所以在单调递减，单调递增， 所以，所以只有一个实根，B错误； 选项C，令，因为，， 对于函数，，可得， 即函数的定义域为，且，， ， 由可得或或， 因为， 由可得，由可得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以函数在处取得极大值，亦即最大值，即， 令，则函数与函数的单调性一致， 即函数在上单调递增，在上单调递减， 因为，，当时，， 所以存在，使得，即， 且当时，；当时，，列表如下： 增 极大值 减 减 极小值 增 所以函数有两个极值点、，C正确； 选项D，当时，，此时， 由C选项可知，函数在上递增，在上递减， 则函数的极大值为， 函数在上递减，在上递减， 则函数的极小值为，如下图所示： 由图可知，当时，直线与函数的图象有两个交点， 所以，若关于的方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则_____ 【答案】 【解析】 【分析】利用诱导公式和同角三角函数基本关系式化简求值即可. 【详解】由，代入原式得： 因为，且，将分子分母同除以， 得：，即 解得. 13. 已知数列满足，设，，若数列是严格增数列，则t的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】先利用递推式作差求出数列的通项（注意验证），再写出的表达式，根据严格递增数列的定义，通过对所有恒成立，转化为关于的不等式，分别验证和的情况，取交集得到的取值范围． 【详解】当时，， 当时， ①， ②， ①②得 化简得， 因为不满足， 所以， 所以， 由数列是严格增数列，得且， 由，得，解得， 由，得，整理得， 所以对所有恒成立， 因为的最小值为， 所以，即， 综上，t的取值范围是． 14. 已知实数，，满足，，则的最小值为______ 【答案】 【解析】 【分析】根据已知条件，利用换元方法整理化简为二次函数问题，结合基本不等式和二次函数的性质以即指数对数函数得性质和运算求解. 【详解】设，则， 由得 ， 其中. ，，当时取等号. ，，， 设， 其图象为开口向下的抛物线，对称轴为，在上单调递增， 当时， 因为,所以，所以， 当且仅当，即取到最小值. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知在中，角，，的对边分别为，，，，． （1）求的值； （2）若线段上的一点满足，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先通过正弦定理将边的比例参数化，结合余弦定理求出边后再计算； （2）第二问由向量垂直的性质将所求角的余弦转化为计算即可． 【小问1详解】 根据正弦定理，可得， 设， 由余弦定理， 化简得，解得（边长为正，舍去负根）， 由余弦定理得． 【小问2详解】 由得，即，为直角三角形， 所以， 因此， 由余弦定理得， 因为，所以， 所以． 16. 某市举办“数字科技商品”展销会，现场进行抽奖活动．已知奖箱中共有3个标记一等奖、6个标记二等奖的标签．二等奖的标签中有个标记“国产”，其余标记“合资”、所有标签除了内容不同，其余完全相同．若从箱中一次性随机抽取2个标签，恰好抽到一个标有“国产”一个标有“合资”的概率是抽到2个均标有“国产”的概率的3倍． （1）求的值； （2）若甲有连续三次抽奖的机会，每次从箱中一次性随机抽取2个标签，抽完后放回箱中．表示甲三次抽奖中每次恰好获得一个一等奖和一个二等奖的次数，求的分布列及数学期望； （3）若乙从箱中一次性随机抽取3个标签，已知其中至少有一个是二等奖“合资”，求抽到的3个标签中恰有两个一等奖的概率． 【答案】（1） （2）分布列为： 0 1 2 3 （3） 【解析】 【详解】（1）设从箱中一次性随机抽取2个标签， 恰好抽到一个标有“国产”一个标有“合资”的概率为，抽到2个均为“国产”的概率为， 因为，，其中， 因为，所以， 所以， 解得； （2）甲每次抽取2个签，恰好抽到一个一等奖和一个二等奖的概率为， 因为随机变量可以取， 其中， ， ， ， 所以的分布列用表可以表示如下： 0 1 2 3 所以． 另解：因为，所以． （3）设事件：乙从箱中一次性随机抽取3个签，其中至少有一个是二等奖“合资”， 设事件：乙从箱中一次性随机抽取3个签，抽到的3个签中恰有两个一等奖． 则所求问题即为：事件发生条件下发生的概率， 由（1）知，6个标记二等奖的标签中，有3个标记“国产”，有3个标记“合资”， 则，， 所以 所以已知其中至少有一个是二等奖“合资”，抽到的3个签中恰有两个一等奖的概率为. 17. 已知抛物线的焦点为F，准线为l． （1）写出以坐标轴为对称轴、F为焦点、离心率为的椭圆的标准方程； （2）设l与x轴的交点为E，点P在第一象限，且在上，若，求直线的方程； （3）经过点F且斜率为的直线与相交于两点，O为坐标原点，直线分别与l相交于点．试探究：以线段为直径的圆C是否过定点，若是，求出定点的坐标；若不是，说明理由． 【答案】（1） （2） （3）是，和 【解析】 【分析】（1）先求抛物线的焦点坐标，再根据题意求椭圆的，即可得解； （2）解法一：设点，根据题意可得点P的轨迹方程为，从而求出点P的坐标，可得直线方程；解法二：根据抛物线的定义进行转化分析可得，进而可得直线EP的倾斜角与斜率，利用点斜式求直线方程； （3）设直线的方程及两点的坐标，进而可求两点的坐标，结合韦达定理求圆C的圆心及半径，根据圆C方程分析判断定点． 【小问1详解】 由题意得，的焦点为， 设椭圆的长半轴长为a，短半轴长为b， 因为离心率为，所以，得，． 所以椭圆的标准方程为． 【小问2详解】 解法一：的准线方程为，． 设点，因为， 所以，得， 因为，所以，所以， 因为P在第一象限，所以点P的坐标为． 则直线的斜率为，直线的方程为． 解法二：的准线方程为，． 过点P作的准线的垂线，垂足为M，， 因为，所以， 因为P在第一象限，所以直线的倾斜角为． 则直线的斜率为，直线的方程为． 【小问3详解】 设点． 由已知直线的方程为， 将代入抛物线方程得， 所以． 因为直线的方程为，直线的方程为， 令，得的纵坐标分别为． 得到圆C方程为． 因为，所以整理得， 令，得或， 所以圆C过定点和． 18. 如图：等边三角形和直角三角形，，，，绕翻折，使点到达点． （1）求三棱锥的体积最大值； （2）当时，求直线与平面所成角的正弦值； （3）在点运动过程中，当三棱锥表面积最大时，求的余弦值. 【答案】（1）4 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）当平面平面时，棱锥体积最大，求出棱锥高即可得解； （2）过作于，连接，证明平面，得出即为直线与平面所成角，解直角三角形得解； （3）设，利用余弦定理求出，令，联立，求出三棱锥的表面积最大时，，进而求出. 【小问1详解】 要使三棱锥的体积最大，即点到平面的距离最大． 所以平面平面，取中点，连接， 则，又为交线，平面， 所以平面，即三棱锥的高为 ； 【小问2详解】 ，，，平面， 平面，由平面， ， 过作于，连接， 平面，，又，平面， 平面，即为直线与平面所成角， 在等腰三角形中， 所以 则， 所以 设直线与平面所成角为，故. 【小问3详解】 设， 则由余弦定理得， 由题可知， 所以①. 令②. （①4）②得， 整理得 取最大值时，即三棱锥的表面积最大时，，代入①式得， 即的余弦值为. 19. 已知函数在处取得极大值． （1）求的值． （2）如果且，证明：． （3），求证：． 【答案】（1） （2）法一：不妨设，要证，只要证， 因为、，函数在单调递减， 只要证，只要证． 令，， 则 所以在单调递减，即， 所以成立，即成立． 法二：由题意知，则， 不妨设，要证，只要证，只要证， 只要证， 只要证，只要证，令， 只要证，令，，， 所以在单调递增，所以， 即，所以． （3）先证明左边：由（1）知，等号成立当且仅当， 令为，可得，等号成立当且仅当． 令，则， 从而有，，…，． 根据不等式同向可加性得，左边得证． 下面证明右边：由（2）的方法二知：，，令，可得 ． 从而，，…，． 根据不等式同向可加性得，右边得证； 法二：以证明右边为例：因为数列的前项和为， 所以要证， 只要证 只要证，只要证 只要证，令，只要，，证毕． 【解析】 【分析】（1）利用极值点的必要条件进行求解； （2）极值点偏移问题，利用函数的单调性构造对称函数即可求解； （3）根据对数恒等式，利用裂项相消与放缩。 【小问1详解】 因为为函数的最大值点， 即为函数的极大值点， 求导得，，解得． 当时，， 所以函数在单调递增，在单调递减，所以． 即符合题意． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024级高三第一学期摸底考试数学试卷 一、单选题．本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，，均为非零向量，其中，不共线且满足，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 的展开式中二项式系数和为，则含项的系数为（ ） A. B. C. D. 4. 已知等差数列的公差为，其前项和为，，，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. 中最大 D. 5. “阿基米德多面体”也称半正多面体，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，它体现了数学的对称美．如图是以一正方体的各条棱的中点为顶点的多面体，这是一个有八个面为正三角形，六个面为正方形的“阿基米德多面体”，若该多面体的棱长为1，则经过该多面体的各个顶点的球的表面积为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，则下列函数中为奇函数的是（ ） A. B. C. D. 7. 在1，2，3，4，5，6这6个数中选4个数随机填入如图所示的方格表中，每个小方格只填一个数，且所填数各不相同，则每行、每列所填数之积都是偶数的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，双曲线的右顶点为，左右焦点分别为，点是双曲线右支上一点，交左支于点，交渐近线于点是的中点，若，且，则双曲线的离心率是 A. B. C. D. 二、多选题．本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 在复平面内对应的点位于第二象限 10. 已知的内角、、所对的边分别为、、，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若面积为，，则 C. 若，则为钝角三角形 D. 若，则为直角三角形 11. 已知函数，，则（ ） A. B. 关于的方程有两个不相等的实根 C. 函数有两个极值点、 D. 若关于的方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则_____ 13. 已知数列满足，设，，若数列是严格增数列，则t的取值范围是_____． 14. 已知实数，，满足，，则的最小值为______ 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知在中，角，，的对边分别为，，，，． （1）求的值； （2）若线段上的一点满足，求的值． 16. 某市举办“数字科技商品”展销会，现场进行抽奖活动．已知奖箱中共有3个标记一等奖、6个标记二等奖的标签．二等奖的标签中有个标记“国产”，其余标记“合资”、所有标签除了内容不同，其余完全相同．若从箱中一次性随机抽取2个标签，恰好抽到一个标有“国产”一个标有“合资”的概率是抽到2个均标有“国产”的概率的3倍． （1）求的值； （2）若甲有连续三次抽奖的机会，每次从箱中一次性随机抽取2个标签，抽完后放回箱中．表示甲三次抽奖中每次恰好获得一个一等奖和一个二等奖的次数，求的分布列及数学期望； （3）若乙从箱中一次性随机抽取3个标签，已知其中至少有一个是二等奖“合资”，求抽到的3个标签中恰有两个一等奖的概率． 17. 已知抛物线的焦点为F，准线为l． （1）写出以坐标轴为对称轴、F为焦点、离心率为的椭圆的标准方程； （2）设l与x轴的交点为E，点P在第一象限，且在上，若，求直线的方程； （3）经过点F且斜率为的直线与相交于两点，O为坐标原点，直线分别与l相交于点．试探究：以线段为直径的圆C是否过定点，若是，求出定点的坐标；若不是，说明理由． 18. 如图：等边三角形和直角三角形，，，，绕翻折，使点到达点． （1）求三棱锥的体积最大值； （2）当时，求直线与平面所成角的正弦值； （3）在点运动过程中，当三棱锥表面积最大时，求的余弦值. 19. 已知函数在处取得极大值． （1）求的值． （2）如果且，证明：． （3），求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $