数学一模模拟·一轮巩固卷01（全国一卷通用）学易金卷：2027年高考第一次模拟考试

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2027年高考第一次模拟考试 高三数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 2．在中，“”是“”成立的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充分必要条件 3．已知向量，，若向量在方向上的投影向量为，则（     ） A． B． C． D． 4．设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．设为双曲线：的右支上一点，的左、右焦点分别为，，且，若为坐标原点，为线段的中点，则（   ） A． B． C． D．1 6．（新情景）春天来了，万物复苏，校园楼下的花坛里种了不同颜色的花.如图，花坛内有五个花池，有五种不同颜色的花卉可供栽种，每个花池内只能种同种颜色的花卉，相邻两池的花色不同，则不同的栽种方案数有（    ）. A．240种 B．360种 C．420种 D．720种 7．已知函数对于任意实数，恒有，若函数的最小值为，则的最大值为（　　） A．12 B．8 C．6 D．4 8．（新考法）如图，在平面四边形中，，，，为的中点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．设i为虚数单位，，为复数，则（   ） A． B．若，则 C．若，则 D． 10．函数的部分图象如图所示，其中轴，则下列说法正确的是（    ） A．的最小正周期为 B． C．当时，的值域为 D．将的图象向左平移个单位长度后得到的图象，则为偶函数 11．（新文化）成语“五脊六兽”源于中国古建筑结构的一种形式，“五脊”指屋顶一根水平放置的正脊加上四 条倾斜放置的垂脊，如左图所示的五脊殿是中国传统建筑中的一种屋顶形式，该屋顶的结构示意图如右图所示.在结构示意图中，已知四边形为矩形，，，与都是边长为2的等边三角形，则下列说法正确的有（    ）    A．几何体的表面积为 B．几何体的体积为 C．一只蚂蚁经几何体的表面（不含底面），从到的最短距离为 D．直线与面所成角的正弦值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（新情景）某县采用分层抽样的方法，对下辖甲、乙、丙三个乡镇的乡村电商直播商户进行营收调研．已知三个乡镇的直播商户数量之比为(4：5：6)，若从乙乡镇抽取了 15 户商户，则本次调研抽取的样本总容量为 13．已知存在实数，满足对任意实数，直线都不是曲线的切线，则实数的取值范围是________． 14．已知抛物线的焦点为，过点且斜率为正数的直线与抛物线相交于两点，与抛物线的准线相交于点，若，，则实数_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知等差数列的前四项和为10，且成等比数列 （1）求数列通项公式 （2）设，求数列的前项和. 16．（15分） 如图，在多面体中，平面平面，四边形为直角梯形，四边形为平行四边形，． (1)证明：； (2)若点是中点，求点到平面的距离． 17．（15分） （新情景）为测试A，B两款人工智能软件解答数学问题的能力，将100道难度相当的数学试题从1到100编号后随机分配给这两款软件测试.每道试题只被一款软件解答一次，并记录结果如下： 试题类别 A软件 B软件 测试试题数量 正确解答的数量 测试试题数量 正确解答的数量 几何试题 20 16 30 20 函数试题 30 24 20 18 (1)分别估计A软件、B软件能正确解答数学问题的概率. (2)小明准备用这两款软件来解决某次数学测试中的第12题（假设其难度和测试的100道题基本相同），但该题内容还未知，从以往情况来看，该题是几何试题的概率为，是函数试题的概率为.将频率视为概率，试通过计算来说明小明应该用哪款软件解决这道试题？ (3)现有6道类似试题，其中几何、函数试题各3道.小明比较了这两款软件在解答几何和函数试题上的正确率，决定用表现较好的那款软件解决其擅长的题型，每道试题只用其中一款软件解答一次.将频率视为概率，用X表示这6道试题被正确解答的个数，求随机变量X的数学期望. 18．（17分） （热点）已知椭圆的左、右顶点分别为，上顶点为，右焦点为，满足，短轴长为． (1)求椭圆的标准方程； (2)过椭圆右焦点的直线交椭圆于两点， （ⅰ）求面积的最大值； （ⅱ）证明：直线与直线的交点在定直线上，并求出定直线的方程． 19．（17分） （新定义）曲线的曲率是指曲线上某点处的切线方向角对弧长的转动率，常用来刻画曲线的弯曲程度．曲率越大，表示曲线在该点处的弯曲程度越大．光滑连续的曲线在点处的曲率的计算公式为，其中为的导函数，为的导函数． (1)求曲线在点处的曲率； (2)设函数，若在点、处的曲率均为． （ⅰ）求实数的取值范围； （ⅱ）求证：. 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第1页（共6页） 试题 第2页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027年高考第一次模拟考试 数学·全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】等价于，解得，所以集合， 又，所以． 2．在中，“”是“”成立的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充分必要条件 【答案】D 【解析】在中，当时，，若，则，所以充分性成立； 在中，当时，，所以，所以必要性成立， 所以“”是“”成立的充分必要条件. 3．已知向量，，若向量在方向上的投影向量为，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意可得， 故，解得. 4．设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意知函数在上单调递减，且， 所以，所以. 5．设为双曲线：的右支上一点，的左、右焦点分别为，，且，若为坐标原点，为线段的中点，则（   ） A． B． C． D．1 【答案】C 【解析】本题考查双曲线的定义与几何性质，考查直观想象与数学运算的核心素养. 依题意得. 因为， 所以，故. 故选：C    6．（新情景）春天来了，万物复苏，校园楼下的花坛里种了不同颜色的花.如图，花坛内有五个花池，有五种不同颜色的花卉可供栽种，每个花池内只能种同种颜色的花卉，相邻两池的花色不同，则不同的栽种方案数有（    ）. A．240种 B．360种 C．420种 D．720种 【答案】C 【解析】把图中的区域分别标上A，B，C，D，E， 用三种颜色：区域和相同，（种）， 用四种颜色：区域或相同，共有2种，再选取四种颜色， 及（种）， 用五种颜色：（种）.一共有（种）. 7．已知函数对于任意实数，恒有，若函数的最小值为，则的最大值为（　　） A．12 B．8 C．6 D．4 【答案】A 【解析】因为对任意实数，恒有， 令，所以，所以， 令，所以，所以，且定义域为关于原点对称，所以为奇函数，令，则，且定义域为关于原点对称，所以为奇函数，令，其中为奇函数，所以为奇函数，由奇函数的图象特点可知， 所以，所以， 故选：A. 8．（新考法）如图，在平面四边形中，，，，为的中点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设的外心为，连接、、，则，取线段的中点，连接、， 设的外接圆半径为，由正弦定理可得，所以， 所以，由勾股定理可得，所以， 故为等腰直角三角形，则， 因为，为的中点，所以， 又因为，所以， 由勾股定理可得， 所以， 当且仅当、同向时，等号成立，故长的最大值为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．设i为虚数单位，，为复数，则（   ） A． B．若，则 C．若，则 D． 【答案】AD 【解析】，则，则A选项正确； 不全为实数的复数无法比较大小，则B选项错误； 若，，满足，但，则C选项错误； 设，， ， ， ，， ， ，所以，则D选项正确. 10．函数的部分图象如图所示，其中轴，则下列说法正确的是（    ） A．的最小正周期为 B． C．当时，的值域为 D．将的图象向左平移个单位长度后得到的图象，则为偶函数 【答案】ABD 【解析】对于A：因为轴，所以的一条对称轴为， 所以，所以，故A正确； 对于B：因为，所以， 是的零点，且在单调递减区间内，所以，所以， 因为，所以取，得，所以， 则，故B错误； 对于C：因为，当时，， 所以，所以，故C错误； 对于D：将的图象向左平移个单位长度后得到， 因为，所以是偶函数，故D正确. 11．（新文化）成语“五脊六兽”源于中国古建筑结构的一种形式，“五脊”指屋顶一根水平放置的正脊加上四 条倾斜放置的垂脊，如左图所示的五脊殿是中国传统建筑中的一种屋顶形式，该屋顶的结构示意图如右图所示.在结构示意图中，已知四边形为矩形，，，与都是边长为2的等边三角形，则下列说法正确的有（    ）    A．几何体的表面积为 B．几何体的体积为 C．一只蚂蚁经几何体的表面（不含底面），从到的最短距离为 D．直线与面所成角的正弦值为 【答案】AC 【解析】如图1，过点分别作，，垂足分别为， 过点分别作，，垂足分别为，连接. 对于A，由，，四边形为矩形，与都是边长为2的等边三角形， 所以四边形和为全等的等腰梯形， 所以，则，同理， 所以几何体的表面积，故A正确； 对于B，如图1，过点作，垂足为， 因为，，平面，， 所以平面，又平面，所以， 平面，，所以平面， ， 由题几何体被分割成两个全等的四棱锥，和直三棱柱， 所以几何体的体积，故B错误；    对于C，如图2，由，，，得， 所以，又， 将侧面与沿展开铺平，则构成平行四边形， 此时线段长即从点到的最短距离，，故C正确；    对于D，如图1，由平面，连接，则即是直线与平面所成角， 所以，则，故D错误. 故选：AC. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（新情景）某县采用分层抽样的方法，对下辖甲、乙、丙三个乡镇的乡村电商直播商户进行营收调研．已知三个乡镇的直播商户数量之比为(4：5：6)，若从乙乡镇抽取了 15 户商户，则本次调研抽取的样本总容量为 【答案】45 【解析】三个乡镇商户数量比为，乙乡镇占比为.设样本总量为，则乙乡镇抽取商户数为.已知乙乡镇抽取了15户，即，解得. 13．已知存在实数，满足对任意实数，直线都不是曲线的切线，则实数的取值范围是________． 【答案】 【解析】函数的定义域为，对其求导得： ， 直线的斜率为，若该直线是曲线的切线，则存在实数，使得曲线在处的切线斜率等于，即： 整理得； 题目要求对任意实数，直线都不是曲线的切线，即上述关于的方程无实根， 由于对任意实数，均有，故，因此要使方程无实根，需满足： 解得，即实数的取值范围为. 14．已知抛物线的焦点为，过点且斜率为正数的直线与抛物线相交于两点，与抛物线的准线相交于点，若，，则实数_____． 【答案】2 【解析】如图，分别过作准线的垂线交准线于点，则有， 由，所以有，即，即，即 又，即，所以，即，所以． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知等差数列的前四项和为10，且成等比数列 （1）求数列通项公式 （2）设，求数列的前项和 【解析】（1）设等差数列的公差为， 由题意，得，（3分） 解得或，（3分） 所以或.(6分) （2）当时，， 此时；（9分） 当时，， 此时.（12分） 综上：当时，；当时，.（13分） 16．（15分） 如图，在多面体中，平面平面，四边形为直角梯形，四边形为平行四边形，． (1)证明：； (2)若点是中点，求点到平面的距离． 【解析】(1)因为，，故，故. 因为平面平面，平面平面， 平面，故平面，（4分） 而平面， 故.（5分） (2)由（1）可得平面，而，（6分） 故可建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 因为， 故，所以，故， 而，设平面的法向量为， 则即，取，（12分） 故到平面的距离为.(15分) 17．（15分） （新情景）为测试A，B两款人工智能软件解答数学问题的能力，将100道难度相当的数学试题从1到100编号后随机分配给这两款软件测试.每道试题只被一款软件解答一次，并记录结果如下： 试题类别 A软件 B软件 测试试题数量 正确解答的数量 测试试题数量 正确解答的数量 几何试题 20 16 30 20 函数试题 30 24 20 18 (1)分别估计A软件、B软件能正确解答数学问题的概率. (2)小明准备用这两款软件来解决某次数学测试中的第12题（假设其难度和测试的100道题基本相同），但该题内容还未知，从以往情况来看，该题是几何试题的概率为，是函数试题的概率为.将频率视为概率，试通过计算来说明小明应该用哪款软件解决这道试题？ (3)现有6道类似试题，其中几何、函数试题各3道.小明比较了这两款软件在解答几何和函数试题上的正确率，决定用表现较好的那款软件解决其擅长的题型，每道试题只用其中一款软件解答一次.将频率视为概率，用X表示这6道试题被正确解答的个数，求随机变量X的数学期望. 【解析】（1）记A，B软件能正确解答数学问题的概率分别为和， 由题中数据可得，.（3分） （2）记事件E为“A软件能正确解答这道试题”，事件F为“B软件能正确解答这道试题”，事件G为“该题为几何试题”. 则，，，，，. 由全概率公式可得， . 因为，所以B软件能够正确解决这道试题的概率更大， 故小明应该用B软件来解决这道试题.（8分） （3）因为，， 故选择用A软件解答几何试题，用B软件解答函数试题.（10分） 用，分别表示这3道几何试题与3道函数试题被正确解答的个数， 则，且，，（12分） 所以，， 所以.（15分） 18．（17分） （热点）已知椭圆的左、右顶点分别为，上顶点为，右焦点为，满足，短轴长为． (1)求椭圆的标准方程； (2)过椭圆右焦点的直线交椭圆于两点， （ⅰ）求面积的最大值； （ⅱ）证明：直线与直线的交点在定直线上，并求出定直线的方程． 【解析】（1）由短轴长，得，． 由题意：，，，则，， 由，即， 由，得， 联立方程组，解得，，（4分） 所以椭圆的标准方程为.（5分） （2）（i）由题意知直线斜率不为0，设直线， 联立，代入化简：， 所以， ，，（7分） 所以 则， 令，则，所以， 则， 设，，则，故在上单调递增， 当时，，对应直线，， 此时的面积取到最大值为.（11分） （ii）由（i）得，，所以，（12分） 则，， 由和方程联立得：， 即 ，即，（15分） 解得， 所以直线与直线的交点落在定直线上.（17分） 19．（17分） （新定义）曲线的曲率是指曲线上某点处的切线方向角对弧长的转动率，常用来刻画曲线的弯曲程度．曲率越大，表示曲线在该点处的弯曲程度越大．光滑连续的曲线在点处的曲率的计算公式为，其中为的导函数，为的导函数． (1)求曲线在点处的曲率； (2)设函数，若在点、处的曲率均为． （ⅰ）求实数的取值范围； （ⅱ）求证：. 【解析】（1）因为，则，， 所以，所以当时，． 另解：，， 所以.（4分） （2）（ⅰ）因为， 所以， 所以， 因为在两个不同的点处曲率为， 所以在内有两个不同的实数解， 即有两个不同的正零点．（7分） 令，因为， 所以在上单调递增，且值域为， 所以有两个大于的实数解， 等价于有两个不同的实数解． 令，则，令得， 当时，，即函数在上单调递增； 当时，，即函数在上单调递减. 所以， 又因为当时，；当时，，如下图所示， 由图可知当时，直线与函数的图象有两个交点， 所以的取值范围为．（10分） （ii）构造函数，其中，则， 由可得，即函数在上单调递减， 由可得，即函数在上单调递增， 所以，故，即， 令，其中，则， 由可得，即函数在上单调递增， 由可得，即函数在上单调递减， 所以，即，即，（14分） 由（ⅰ）知，所以，所以， 又，，不妨设，则， 所以， 即， 又由知，所以， 所以，所以.（17分） 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027年高考第一次模拟考试 数学·参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 B D D A C C A D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 AD ABD AC 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．45 13． 14．2 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 【解析】（1）设等差数列的公差为， 由题意，得，（3分） 解得或，（3分） 所以或.(6分) （2）当时，， 此时；（9分） 当时，， 此时.（12分） 综上：当时，；当时，.（13分） 16．（15分） 【解析】(1)因为，，故，故. 因为平面平面，平面平面， 平面，故平面，（4分） 而平面， 故.（5分） (2)由（1）可得平面，而，（6分） 故可建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 因为， 故，所以，故， 而，设平面的法向量为， 则即，取，（12分） 故到平面的距离为.(15分) 17．（15分） 【解析】（1）记A，B软件能正确解答数学问题的概率分别为和， 由题中数据可得，.（3分） （2）记事件E为“A软件能正确解答这道试题”，事件F为“B软件能正确解答这道试题”，事件G为“该题为几何试题”. 则，，，，，. 由全概率公式可得， . 因为，所以B软件能够正确解决这道试题的概率更大， 故小明应该用B软件来解决这道试题.（8分） （3）因为，， 故选择用A软件解答几何试题，用B软件解答函数试题.（10分） 用，分别表示这3道几何试题与3道函数试题被正确解答的个数， 则，且，，（12分） 所以，， 所以.（15分） 18．（17分） 【解析】（1）由短轴长，得，． 由题意：，，，则，， 由，即， 由，得， 联立方程组，解得，，（4分） 所以椭圆的标准方程为.（5分） （2）（i）由题意知直线斜率不为0，设直线， 联立，代入化简：， 所以， ，，（7分） 所以 则， 令，则，所以， 则， 设，，则，故在上单调递增， 当时，，对应直线，， 此时的面积取到最大值为.（11分） （ii）由（i）得，，所以，（12分） 则，， 由和方程联立得：， 即 ，即，（15分） 解得， 所以直线与直线的交点落在定直线上.（17分） 19．（17分） 【解析】（1）因为，则，， 所以，所以当时，． 另解：，， 所以.（4分） （2）（ⅰ）因为， 所以， 所以， 因为在两个不同的点处曲率为， 所以在内有两个不同的实数解， 即有两个不同的正零点．（7分） 令，因为， 所以在上单调递增，且值域为， 所以有两个大于的实数解， 等价于有两个不同的实数解． 令，则，令得， 当时，，即函数在上单调递增； 当时，，即函数在上单调递减. 所以， 又因为当时，；当时，，如下图所示， 由图可知当时，直线与函数的图象有两个交点， 所以的取值范围为．（10分） （ii）构造函数，其中，则， 由可得，即函数在上单调递减， 由可得，即函数在上单调递增， 所以，故，即， 令，其中，则， 由可得，即函数在上单调递增， 由可得，即函数在上单调递减， 所以，即，即，（14分） 由（ⅰ）知，所以，所以， 又，，不妨设，则， 所以， 即， 又由知，所以， 所以，所以.（17分） 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2027年高考第一次模拟考试 数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $■■■■ ■■■■ 2027年高考第一次模拟考试 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 n 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 典 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 一、 选择题（每小题5分，共40分） 1[A][B][C][D] 5[A][B][C][D] 2[A][B][C][D] 6[A][B][C][D] 口 3[AJ[B][C][D] 7[A][B][C][D] 4[A][B][C][D] 8[A][B][CI[D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分， 有选错的得0 分，共18分) 9[A][B][C][D] 10[A][B][C][D] 11[A][B][C][D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12 射 14 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(15分) M B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页） 2027年高考第一次模拟考试 高三数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 2．在中，“”是“”成立的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充分必要条件 3．已知向量，，若向量在方向上的投影向量为，则（     ） A． B． C． D． 4．设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．设为双曲线：的右支上一点，的左、右焦点分别为，，且，若为坐标原点，为线段的中点，则（   ） A． B． C． D．1 6．（新情景）春天来了，万物复苏，校园楼下的花坛里种了不同颜色的花.如图，花坛内有五个花池，有五种不同颜色的花卉可供栽种，每个花池内只能种同种颜色的花卉，相邻两池的花色不同，则不同的栽种方案数有（    ）. A．240种 B．360种 C．420种 D．720种 7．已知函数对于任意实数，恒有，若函数的最小值为，则的最大值为（　　） A．12 B．8 C．6 D．4 8．（新考法）如图，在平面四边形中，，，，为的中点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．设i为虚数单位，，为复数，则（   ） A． B．若，则 C．若，则 D． 10．函数的部分图象如图所示，其中轴，则下列说法正确的是（    ） A．的最小正周期为 B． C．当时，的值域为 D．将的图象向左平移个单位长度后得到的图象，则为偶函数 11．（新文化）成语“五脊六兽”源于中国古建筑结构的一种形式，“五脊”指屋顶一根水平放置的正脊加上四 条倾斜放置的垂脊，如左图所示的五脊殿是中国传统建筑中的一种屋顶形式，该屋顶的结构示意图如右图所示.在结构示意图中，已知四边形为矩形，，，与都是边长为2的等边三角形，则下列说法正确的有（    ）    A．几何体的表面积为 B．几何体的体积为 C．一只蚂蚁经几何体的表面（不含底面），从到的最短距离为 D．直线与面所成角的正弦值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（新情景）某县采用分层抽样的方法，对下辖甲、乙、丙三个乡镇的乡村电商直播商户进行营收调研．已知三个乡镇的直播商户数量之比为(4：5：6)，若从乙乡镇抽取了 15 户商户，则本次调研抽取的样本总容量为 13．已知存在实数，满足对任意实数，直线都不是曲线的切线，则实数的取值范围是________． 14．已知抛物线的焦点为，过点且斜率为正数的直线与抛物线相交于两点，与抛物线的准线相交于点，若，，则实数_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知等差数列的前四项和为10，且成等比数列 （1）求数列通项公式 （2）设，求数列的前项和. 16．（15分） 如图，在多面体中，平面平面，四边形为直角梯形，四边形为平行四边形，． (1)证明：； (2)若点是中点，求点到平面的距离． 17．（15分） （新情景）为测试A，B两款人工智能软件解答数学问题的能力，将100道难度相当的数学试题从1到100编号后随机分配给这两款软件测试.每道试题只被一款软件解答一次，并记录结果如下： 试题类别 A软件 B软件 测试试题数量 正确解答的数量 测试试题数量 正确解答的数量 几何试题 20 16 30 20 函数试题 30 24 20 18 (1)分别估计A软件、B软件能正确解答数学问题的概率. (2)小明准备用这两款软件来解决某次数学测试中的第12题（假设其难度和测试的100道题基本相同），但该题内容还未知，从以往情况来看，该题是几何试题的概率为，是函数试题的概率为.将频率视为概率，试通过计算来说明小明应该用哪款软件解决这道试题？ (3)现有6道类似试题，其中几何、函数试题各3道.小明比较了这两款软件在解答几何和函数试题上的正确率，决定用表现较好的那款软件解决其擅长的题型，每道试题只用其中一款软件解答一次.将频率视为概率，用X表示这6道试题被正确解答的个数，求随机变量X的数学期望. 18．（17分） （热点）已知椭圆的左、右顶点分别为，上顶点为，右焦点为，满足，短轴长为． (1)求椭圆的标准方程； (2)过椭圆右焦点的直线交椭圆于两点， （ⅰ）求面积的最大值； （ⅱ）证明：直线与直线的交点在定直线上，并求出定直线的方程． 19．（17分） （新定义）曲线的曲率是指曲线上某点处的切线方向角对弧长的转动率，常用来刻画曲线的弯曲程度．曲率越大，表示曲线在该点处的弯曲程度越大．光滑连续的曲线在点处的曲率的计算公式为，其中为的导函数，为的导函数． (1)求曲线在点处的曲率； (2)设函数，若在点、处的曲率均为． （ⅰ）求实数的取值范围； （ⅱ）求证：. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $