数学一模模拟·必刷卷04（广东专用）学易金卷：2027年高考第一次模拟考试

2027年高考第一次模拟考试 数学·全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．数据16，22，13，14，25，17，18，19，21，10的第70百分位数是（    ） A．18 B．19 C．20 D．21 1．【答案】C 【解析】将给定数据由小到大排列为：10，13，14，16，17，18，19，21，22，25， 由，得第70百分位数是. 故选：C. 2．（热点）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．【答案】A 【解析】由不等式，可得，即， 又由，可得，解得，即， 所以. 故选：A. 3．已知，则（   ） A． B． C． D． 3．【答案】D 【解析】由题意，即，两边平方得， 所以. 故选：D. 4．（新情景）《周髀算经》记载了“盖天说”宇宙模型，认为天地呈平行平面状．后世数学家将其抽象为：设底面为平面，天顶为平面．一束光从天顶的点射向地面的点，经地面反射后又回到天顶，其入射光线记为向量．由于地面不平整，反射光线与入射光线向量满足：反射光线的单位水平投影向量与入射光线的单位水平投影向量关于点处的南北方向（即轴方向）对称．若反射光线的模长，则（    ） A． B． C． D．0 4．【答案】C 【解析】由题意得，，则， 设，因为，所以，得， 则， 因为，关于点处的南北方向（即轴方向）对称， 所以， ，得，则， 则， 故选：C. 5．已知双曲线的左､右焦点分别为，若的焦距为3，上点满足，，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 5．【答案】D 【解析】设双曲线的方程为，由题意， ， 则， ∴，∴，∴， 双曲线的渐近线方程为， 故选：D. 6．将甲、乙等6名志愿者分配到3个社区协助开展活动，每个社区至少1人，每个人只去1个社区，且甲、乙两人不在同1个社区，则不同的分配方法数是（    ） A．540 B．504 C．408 D．390 6．【答案】D 【解析】总的分配方法有种. 若按照分堆，甲、乙在一起的情况有种； 若按照分堆，甲、乙在一起的情况有种； 若按照分堆，甲、乙在一起的情况有种，故不同的分配方法数为. 故选D. 7．数列是公差为的等差数列，是公比为的等比数列，，，.若存在常数a，b，使得对任意的都有，则（   ） A． B． C． D． 7．【答案】C 【解析】由题意得，解得，， 所以，， 由，即对任意的正整数n都成立， 所以，解得，， 所以. 故选：C. 8．（改编题）已知函数，函数有三个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．【答案】D 【解析】当时，，为开口向下，对称轴为的抛物线， 因为有三个零点，不妨令， 所以有三个不相等的根， 即与图象有三个不同的交点， 作出图象，如图所示 所以， 因为为方程，即的两个不相等实根， 所以， 因为为方程的根，所以， 所以， 令， 则， 所以在上单调递增， 所以，即， 所以. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．甲罐中有5个红球，5个白球，乙罐中有2个红球，8个白球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，再从乙罐中随机取出一球．表示事件“从甲罐取出的球是红球”，表示事件“从甲罐取出的球是白球”，表示事件“从乙罐取出的球是红球”．则下列结论正确的是（    ） A．为对立事件 B． C． D． 9．【答案】ABD 【解析】对于A，因为甲罐中只有红球和白球，即， 所以为对立事件，故A正确； 对于B，当发生时，乙罐中有3个红球，8个白球，此时，故B正确； 对于C，当发生时，乙罐中有2个红球，9个白球，此时， 所以，故C不正确； 对于D，，故D正确， 故选：ABD． 10．已知圆，直线与圆交于，两点，点为圆上异于，的任意一点，若，，则（   ） A． B．面积的最大值为 C．直线的方程为 D．满足到直线的距离为的点有且仅有3个 10．【答案】BD 【解析】对于A，依题意，， 则，而，解得，A错误； 对于B，，圆心到直线距离， 因此点到直线距离的最大值为，面积的最大值为，B正确； 对于C，由，得，直线的斜率， 设直线的方程为，则，解得，由， 得，即，因此，直线的方程为，C错误； 对于D，由圆半径为，圆心到直线距离为， 得圆上到直线距离为的点有且仅有3个，因此符合条件的点有且仅有3个，D正确. 故选：BD. 11．在如图所示的几何体中，底面是边长为4的正方形，均与底面垂直，且，点、分别为线段BC，的中点，记该几何体的体积为，下列说法正确的是（    ） A．该几何体的体积为 B．平面截该几何体所得截面周长为 C．平面将该几何体分为两部分，则体积较小的一部分的体积为 D．平面与平面的二面角的余弦值为 11．【答案】AC 【解析】A选项，该几何体可看作是一个长方体与一个四棱锥的组合体的差． 以底面正方形为底，高为的长方体体积． 四棱锥的底面积，高，根据四棱锥体积公式， 可得． 所以则该几何体体积，所以选项A正确； B选项，连接，连接，由题可得，则四边形为截面，且四边形为梯形． 在中，已知，由勾股定理可得：， 所以，又因为， 所以周长，所以B错误； 对于C选项，由题意可知，平面即为平面截几何体的截面． 因为该几何体体积， 被截棱台的体积， 另一部分体积为，所以较小部分的体积为．所以C正确； 对于D选项，以D为原点，分别以所在直线为轴建立空间-直角坐标系． 则． 设平面的法向量为， 则， 令，则，所以． 平面的法向量为． 设平面与平面的二面角为，由题可知为钝角，则，所以选项D错误． 故选：AC. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知直线经过椭圆的一个顶点，则的离心率为__________. 12．【答案】 【解析】令，得，显然点不可能是的一个顶点， 令，得，所以点是的一个顶点， 所以，故椭圆的离心率. 故答案为：. 13．已知函数，．若经过点存在一条直线l与曲线和都相切，则__________． 13．【答案】1 【解析】，设直线与相切于点 所以切线方程为，切线过点， 则，整理为， 设，，， 当时，，单调递增，当时，，单调递减， 所以当时，取得最大值，， 所以方程的根为， 所以切线方程为， 联立，得，，得. 故答案为：1. 14．某中学为了更好地弘扬优秀传统文化，举办了一个诗词擂台赛活动:活动形式为两人进行擂台比拼，采用三局两胜制，每局通过抽签决定答题者，若答对则获得1分并继续答题，若答错则对方获得1分并由对方回答下一道题，每局3题，且得分多者获胜，现有甲乙两人参加擂台对抗赛，根据以往比赛经验，甲答对每道题的概率为，乙答对每道题的概率为，则甲在这场比赛中获胜的概率为__________. 14．【答案】 【解析】由题意，每局第一个答题是甲或乙，概率均为，且每局不可能出现平局， 设事件表示某一局甲获胜，则甲得分有两种情况：3分或2分， 若甲第一个答题， 甲得3分：3题甲都答对，故其概率为， 甲得2分：3题对错依次为甲对甲对甲错、甲对甲错乙错、甲错乙错甲对，故其概率为， 若乙第一个答题， 甲得3分：3题对错依次为乙错甲对甲对，故其概率为， 甲得2分：3题对错依次为乙对乙错甲对、乙错甲对甲错、乙错甲错乙错，故其概率为， 综上，一局比拼，甲获胜的概率为， 所以甲在这场比赛中获胜的概率为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知的面积为． (1)求； (2)若，，求的面积． 15．（13分） 【解析】（1）根据正弦定理，可得：， 又， 解得：； （2）由（1）可知，又因为， 所以可得：. 从而， 即有， 又因为，所以． 又因为，所以． 16．（15分） 在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，，为的中点，二面角为直二面角. (1)求证：； (2)求平面与平面所成角的余弦值； 16．（15分） 【解析】（1）证明：因为二面角为直二面角，所以平面平面. 正方形中，. 又平面平面，平面，所以平面. 因为平面，所以. 又，，平面，所以平面. 因为平面，所以. （2）在中，，为的中点，， 所以，. 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面. 取中点，连接，因为平面，所以. 正方形中，为中点，所以. 所以两两垂直. 以为原点，以为轴建立空间直角坐标系， 则，，，. 所以，，，. 设平面的法向量为， 则，即，令，则，所以. 设平面的法向量为， 则，即，则，令，则， 所以. 设平面与平面所成角为， 则， 故平面与平面所成角的余弦值为. 17．（15分） 年被业界公认为“具身智能元年”，得益于硬件成本的雪崩式下降和视觉-语言-动作大模型的成熟，人工智能已经不再是概念和愿景，而是开始真实地走进企业和家庭，重新定义人类的工作和生活．新华中学为激发学生进一步对人工智能的了解，举办知识竞赛活动，活动分两轮进行．第一轮通过后方可进入第二轮，两轮通过后即可获得代表学校参加比赛的资格．已知小明、小华、小方3位同学通过第一轮的概率均为，在通过第一轮的条件下，他们通过第二轮的概率依次为，假设他们之间通过与否相互独立． (1)求这3人中至多有2人通过第一轮的概率； (2)从3人中随机选出一人，求他通过第二轮的概率； (3)设这3人中通过第二轮的人数为，求的分布列及期望． 17．（15分） 【解析】（1）“3人中最多2人通过第一轮”的对立事件为“3人全部通过第一轮”， 每人通过第一轮的概率为，且相互独立，故全部通过的概率为：， “3人中最多2人通过第一轮”的概率为：． （2）小明通过第二轮的概率为：， 小华通过第二轮的概率为：， 小方通过第二轮的概率为：， 从3人中任选1人，每人被选中概率为，由全概率公式： ． （3）的可能取值为，三人通过第二轮的事件相互独立， ， ， ， ， 分布列为： 0 1 2 3 期望为：． 18．（17分） 已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，且椭圆C过点，直线的倾斜角为75°． (1)求椭圆C的方程； (2)过点P作两条不重合直线，，与椭圆C交于另一点A，与y轴交于点M；与椭圆C交于另一点B，与y轴交于点N． （ⅰ）若直线的斜率为2，求的面积； （ⅱ）若M，N关于坐标原点O对称，过点P作AB的垂线，垂足为Q，探究：是否存在定点R使得是定值？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 18．（17分） 【解析】（1）由， 则，解得，即， 将点代入得，解得，， 故椭圆C的方程为. （2）（ⅰ）依题意，直线：，即， 联立， 得，解得（对应点P）或； 将代入直线方程得，故， 而直线与轴交点为， 故的面积. （ⅱ）依题意，直线AB存在斜率，设直线AB方程是， 联立，消去得， 则 ， 设，，则，， 直线PA：，令，得 ，同理 ， 依题意知，即 ， 则 ， 即 ， 则 ， 即 ， 整理得 ，即， 若，则直线AB过点，不合题意，舍去； 若，则直线AB过点， 令，则点Q在以PD为直径的圆上， 所以当R为PD的中点，即以PD为直径的圆的圆心时，等于圆的半径， 故存在定点，使得为定值． 19．（17分） 已知函数 . (1)若，求函数在点处的切线方程； (2)若存在，使得成立，求实数的取值范围； (3)若函数有两个不同的零点，，且，求的取值范围. 19．（17分） 【解析】（1）当时，，于是. ，于是， 所以函数在处的切线方程为， 即. （2）存在，使得成立，即存在，使得， 也即存在，使得成立. 令，则. 令，则， 令，即，解得. 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 故. 所以当时，，单调递减；当时，，单调递增， 所以. 故实数的取值范围为. （3）由，得， 而. 令，则， 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 于是 令，则. 当时，，单调递增，而， 故，则. 令，则，于是，，且. 故. 令，则. 令，则，故单调递增， 于是，故，在单调递增. 又，于是. 综上，. / 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027年高考第一次模拟考试 数学·参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 C A D C D D C D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 ABD BD AC 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 13．1 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 【解析】（1）根据正弦定理，可得：， 又， 解得：；（5分） （2）由（1）可知，又因为， 所以可得：. 从而， 即有， 又因为，所以． 又因为，所以．（13分） 16．（15分） 【解析】（1）证明：因为二面角为直二面角，所以平面平面. 正方形中，. 又平面平面，平面，所以平面. 因为平面，所以.（2分） 又，，平面，所以平面. 因为平面，所以.（5分） （2）在中，，为的中点，， 所以，. 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面. 取中点，连接，因为平面，所以. 正方形中，为中点，所以. 所以两两垂直. 以为原点，以为轴建立空间直角坐标系，（8分） 则，，，. 所以，，，. 设平面的法向量为， 则，即，令，则，所以. 设平面的法向量为， 则，即，则，令，则， 所以. 设平面与平面所成角为， 则， 故平面与平面所成角的余弦值为.（15分） 17．（15分） 【解析】（1）“3人中最多2人通过第一轮”的对立事件为“3人全部通过第一轮”， 每人通过第一轮的概率为，且相互独立，故全部通过的概率为：， “3人中最多2人通过第一轮”的概率为：．（4分） （2）小明通过第二轮的概率为：， 小华通过第二轮的概率为：， 小方通过第二轮的概率为：，（7分） 从3人中任选1人，每人被选中概率为，由全概率公式： ．（9分） （3）的可能取值为，三人通过第二轮的事件相互独立， ， ， ， ，（13分） 分布列为： 0 1 2 3 期望为：．（15分） 18．（17分） 【解析】（1）由， 则，解得，即， 将点代入得，解得，， 故椭圆C的方程为.（3分） （2）（ⅰ）依题意，直线：，即， 联立， 得，解得（对应点P）或；（5分） 将代入直线方程得，故， 而直线与轴交点为， 故的面积.（8分） （ⅱ）依题意，直线AB存在斜率，设直线AB方程是， 联立，消去得， 则 ， 设，，则，， 直线PA：，令，得 ，同理 ， 依题意知，即 ， 则 ， 即 ， 则 ， 即 ， 整理得 ，即，（13分） 若，则直线AB过点，不合题意，舍去； 若，则直线AB过点， 令，则点Q在以PD为直径的圆上， 所以当R为PD的中点，即以PD为直径的圆的圆心时，等于圆的半径， 故存在定点，使得为定值．（17分） 19．（17分） 【解析】（1）当时，，于是. ，于是， 所以函数在处的切线方程为， 即.（3分） （2）存在，使得成立，即存在，使得， 也即存在，使得成立. 令，则. 令，则， 令，即，解得.（5分） 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 故. 所以当时，，单调递减；当时，，单调递增， 所以. 故实数的取值范围为.（8分） （3）由，得， 而. 令，则， 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 于是 令，则. 当时，，单调递增，而， 故，则.（13分） 令，则，于是，，且. 故. 令，则. 令，则，故单调递增， 于是，故，在单调递增. 又，于是. 综上，.（17分） 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2027年高考第一次模拟考试 高三数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．数据16，22，13，14，25，17，18，19，21，10的第70百分位数是（    ） A．18 B．19 C．20 D．21 2．（热点）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 3．已知，则（   ） A． B． C． D． 4．（新情景）《周髀算经》记载了“盖天说”宇宙模型，认为天地呈平行平面状．后世数学家将其抽象为：设底面为平面，天顶为平面．一束光从天顶的点射向地面的点，经地面反射后又回到天顶，其入射光线记为向量．由于地面不平整，反射光线与入射光线向量满足：反射光线的单位水平投影向量与入射光线的单位水平投影向量关于点处的南北方向（即轴方向）对称．若反射光线的模长，则（    ） A． B． C． D．0 5．已知双曲线的左､右焦点分别为，若的焦距为3，上点满足，，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 6．将甲、乙等6名志愿者分配到3个社区协助开展活动，每个社区至少1人，每个人只去1个社区，且甲、乙两人不在同1个社区，则不同的分配方法数是（    ） A．540 B．504 C．408 D．390 7．数列是公差为的等差数列，是公比为的等比数列，，，.若存在常数a，b，使得对任意的都有，则（   ） A． B． C． D． 8．（改编题）已知函数，函数有三个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．甲罐中有5个红球，5个白球，乙罐中有2个红球，8个白球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，再从乙罐中随机取出一球．表示事件“从甲罐取出的球是红球”，表示事件“从甲罐取出的球是白球”，表示事件“从乙罐取出的球是红球”．则下列结论正确的是（    ） A．为对立事件 B． C． D． 10．已知圆，直线与圆交于，两点，点为圆上异于，的任意一点，若，，则（   ） A． B．面积的最大值为 C．直线的方程为 D．满足到直线的距离为的点有且仅有3个 11．在如图所示的几何体中，底面是边长为4的正方形，均与底面垂直，且，点、分别为线段BC，的中点，记该几何体的体积为，下列说法正确的是（    ） A．该几何体的体积为 B．平面截该几何体所得截面周长为 C．平面将该几何体分为两部分，则体积较小的一部分的体积为 D．平面与平面的二面角的余弦值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知直线经过椭圆的一个顶点，则的离心率为__________. 13．已知函数，．若经过点存在一条直线l与曲线和都相切，则__________． 14．某中学为了更好地弘扬优秀传统文化，举办了一个诗词擂台赛活动:活动形式为两人进行擂台比拼，采用三局两胜制，每局通过抽签决定答题者，若答对则获得1分并继续答题，若答错则对方获得1分并由对方回答下一道题，每局3题，且得分多者获胜，现有甲乙两人参加擂台对抗赛，根据以往比赛经验，甲答对每道题的概率为，乙答对每道题的概率为，则甲在这场比赛中获胜的概率为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知的面积为． (1)求； (2)若，，求的面积． 16．（15分） 在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，，为的中点，二面角为直二面角. (1)求证：； (2)求平面与平面所成角的余弦值； 17．（15分） 年被业界公认为“具身智能元年”，得益于硬件成本的雪崩式下降和视觉-语言-动作大模型的成熟，人工智能已经不再是概念和愿景，而是开始真实地走进企业和家庭，重新定义人类的工作和生活．新华中学为激发学生进一步对人工智能的了解，举办知识竞赛活动，活动分两轮进行．第一轮通过后方可进入第二轮，两轮通过后即可获得代表学校参加比赛的资格．已知小明、小华、小方3位同学通过第一轮的概率均为，在通过第一轮的条件下，他们通过第二轮的概率依次为，假设他们之间通过与否相互独立． (1)求这3人中至多有2人通过第一轮的概率； (2)从3人中随机选出一人，求他通过第二轮的概率； (3)设这3人中通过第二轮的人数为，求的分布列及期望． 18．（17分） 已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，且椭圆C过点，直线的倾斜角为75°． (1)求椭圆C的方程； (2)过点P作两条不重合直线，，与椭圆C交于另一点A，与y轴交于点M；与椭圆C交于另一点B，与y轴交于点N． （ⅰ）若直线的斜率为2，求的面积； （ⅱ）若M，N关于坐标原点O对称，过点P作AB的垂线，垂足为Q，探究：是否存在定点R使得是定值？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 19．（17分） 已知函数 . (1)若，求函数在点处的切线方程； (2)若存在，使得成立，求实数的取值范围； (3)若函数有两个不同的零点，，且，求的取值范围. 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2027年高考第一次模拟考试 数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $■■■■ ■■■■ 2027年高考第一次模拟考试 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 n 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 好 题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 巢 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 一、 选择题（每小题5分，共40分） 1[A][B][C][D] 5[A][B][C][D] 2[A]B][C][D] 6[A[B][C][D] 3[A][B][C][D] 7[A][B][C][D] 双阙 4[A][B][C][D] 8[A][B][C][D] 二、选择题（全部选对的得6分， 部分选对的得部分分，有选错的得0 分，共18分) 9[A][B][C][D] 10[A]B][C][D] 11[A][B][C][D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12 妇 13 14 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效： 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(15分) D C δ D 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页） 2027年高考第一次模拟考试 高三数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．数据16，22，13，14，25，17，18，19，21，10的第70百分位数是（    ） A．18 B．19 C．20 D．21 2．（热点）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 3．已知，则（   ） A． B． C． D． 4．（新情景）《周髀算经》记载了“盖天说”宇宙模型，认为天地呈平行平面状．后世数学家将其抽象为：设底面为平面，天顶为平面．一束光从天顶的点射向地面的点，经地面反射后又回到天顶，其入射光线记为向量．由于地面不平整，反射光线与入射光线向量满足：反射光线的单位水平投影向量与入射光线的单位水平投影向量关于点处的南北方向（即轴方向）对称．若反射光线的模长，则（    ） A． B． C． D．0 5．已知双曲线的左､右焦点分别为，若的焦距为3，上点满足，，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 6．将甲、乙等6名志愿者分配到3个社区协助开展活动，每个社区至少1人，每个人只去1个社区，且甲、乙两人不在同1个社区，则不同的分配方法数是（    ） A．540 B．504 C．408 D．390 7．数列是公差为的等差数列，是公比为的等比数列，，，.若存在常数a，b，使得对任意的都有，则（   ） A． B． C． D． 8．（改编题）已知函数，函数有三个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．甲罐中有5个红球，5个白球，乙罐中有2个红球，8个白球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，再从乙罐中随机取出一球．表示事件“从甲罐取出的球是红球”，表示事件“从甲罐取出的球是白球”，表示事件“从乙罐取出的球是红球”．则下列结论正确的是（    ） A．为对立事件 B． C． D． 10．已知圆，直线与圆交于，两点，点为圆上异于，的任意一点，若，，则（   ） A． B．面积的最大值为 C．直线的方程为 D．满足到直线的距离为的点有且仅有3个 11．在如图所示的几何体中，底面是边长为4的正方形，均与底面垂直，且，点、分别为线段BC，的中点，记该几何体的体积为，下列说法正确的是（    ） A．该几何体的体积为 B．平面截该几何体所得截面周长为 C．平面将该几何体分为两部分，则体积较小的一部分的体积为 D．平面与平面的二面角的余弦值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知直线经过椭圆的一个顶点，则的离心率为__________. 13．已知函数，．若经过点存在一条直线l与曲线和都相切，则__________． 14．某中学为了更好地弘扬优秀传统文化，举办了一个诗词擂台赛活动:活动形式为两人进行擂台比拼，采用三局两胜制，每局通过抽签决定答题者，若答对则获得1分并继续答题，若答错则对方获得1分并由对方回答下一道题，每局3题，且得分多者获胜，现有甲乙两人参加擂台对抗赛，根据以往比赛经验，甲答对每道题的概率为，乙答对每道题的概率为，则甲在这场比赛中获胜的概率为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知的面积为． (1)求； (2)若，，求的面积． 16．（15分） 在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，，为的中点，二面角为直二面角. (1)求证：； (2)求平面与平面所成角的余弦值； 17．（15分） 年被业界公认为“具身智能元年”，得益于硬件成本的雪崩式下降和视觉-语言-动作大模型的成熟，人工智能已经不再是概念和愿景，而是开始真实地走进企业和家庭，重新定义人类的工作和生活．新华中学为激发学生进一步对人工智能的了解，举办知识竞赛活动，活动分两轮进行．第一轮通过后方可进入第二轮，两轮通过后即可获得代表学校参加比赛的资格．已知小明、小华、小方3位同学通过第一轮的概率均为，在通过第一轮的条件下，他们通过第二轮的概率依次为，假设他们之间通过与否相互独立． (1)求这3人中至多有2人通过第一轮的概率； (2)从3人中随机选出一人，求他通过第二轮的概率； (3)设这3人中通过第二轮的人数为，求的分布列及期望． 18．（17分） 已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，且椭圆C过点，直线的倾斜角为75°． (1)求椭圆C的方程； (2)过点P作两条不重合直线，，与椭圆C交于另一点A，与y轴交于点M；与椭圆C交于另一点B，与y轴交于点N． （ⅰ）若直线的斜率为2，求的面积； （ⅱ）若M，N关于坐标原点O对称，过点P作AB的垂线，垂足为Q，探究：是否存在定点R使得是定值？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 19．（17分） 已知函数 . (1)若，求函数在点处的切线方程； (2)若存在，使得成立，求实数的取值范围； (3)若函数有两个不同的零点，，且，求的取值范围. / 学科网（北京）股份有限公司 $