浙江省湖州市长兴县华盛达实验学校2026-2027学年九年级上学期期中数学试卷

2026-2027学年浙江省长兴华盛达 九年级（上）期中数学试卷 考生须知 1．本卷满分120分． 2．解答题请写出必要的计算过程或推理过程． 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题列出的四个备选项中只有一个符合题目要求） 1. 小明在半径为6 cm的圆中测量弦的长度，测量结果不可能是（　　） A. 1 cm B. 6 cm C. 12 cm D. 13 cm 2. 盒子里有10个球，它们只有颜色不同，其中红球有6个，黄球有3个，黑球有1个．小军从中任意摸一个球，下面说法正确的是（　　） A. 一定是红球 B. 摸出红球的可能性最小 C. 不可能是黑球 D. 摸出红球的可能性最大 3. 对于抛物线，下列说法正确的是（　　） A. 开口向下，顶点坐标 B. 开口向上，有最大值3 C. 开口向下，对称轴是直线 D. 开口向上，有最小值3 4. 已知，则的值是（　　） A. B. C. D. 3 5. 投壶是我国古代的一种投掷游戏．某调查小组统计了游戏参与者小颖在同一条件下投中的次数，并绘制了如图所示的折线统计图，由此可以估计小颖在投壶游戏中一次投中的概率为（　　） A. 0.1 B. 0.2 C. 0.4 D. 0.6 6. 已知点，和都在二次函数的图象上，那么，，之间的大小关系是（　　） A. B. C. D. 7. 如图，两灯塔，之间的距离恰好为暗礁区所在的圆的半径的倍，要使船不驶入暗礁区，则航行中应保持（　　） A. 大于45° B. 大于30° C. 小于45° D. 小于30° 8. 如图是第四套人民币中的菊花一角硬币，该硬币边缘铸刻一个正九边形，若直线，与正九边形的两条边重合，则的度数为（　　） A. 40° B. 80° C. 100° D. 110° 　 （第7题图） （第8题图） 9. 二次函数图象上部分的对应值如下表．当时，的取值范围是（　　） 0 1 2 3 0 2 2 0 A. 或 B. C. 或 D. 10. 如图1，一架无人机从点出发，沿水平直线向点匀速飞行，在地面控制站点处可以检测无人机的飞行状态．设无人机飞行的路程为（单位为百米），为．图2是无人机飞行时随变化的关系图象，图象与轴交于点，最低点为，且经过和两点．根据以上信息，下列说法错误的是（　　） 　 图1 图2 A. B. C. 点在图象上 D. 点的坐标为 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. “抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上”是______事件．（填“不可能”、“随机”或“必然”） 12. 已知线段是线段，的比例中项，若，，则线段的长为______． 13. 如图，，，那么与的相似比为______． 14. 《九章算术》是我国古代著名数学经典，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深1寸，锯道长1尺．如图，已知弦尺，弓形高寸（注：1尺=10寸），则这块圆柱形木材的直径是______寸． 15. 已知是关于的函数，若该函数的图象经过点，则称点为函数图象上的“相反点”，例如：直线上存在“相反点”．若二次函数的图象上存在唯一“相反点”，则______． 16. 在中，，与交于点、，与交于点、，与交于点、， 若，则的度数为______． 　　 （第13题图） （第14题图） （第16题图） 三、解答题（本大题共8小题，共72分） 17. （本题8分）已知某二次函数的图象经过点，顶点坐标为． （1）求这个二次函数的解析式； （2）若点在抛物线上，求的值． 18. （本题8分）如图，在平面直角坐标系中，点，，． （1）利用网格线确定经过，，三点的圆弧所在圆的圆心（保留痕迹），并写出点的坐标______； （2）的半径为______，的度数为______． 19. （本题8分）如图，已知直线、、分别交直线于点、、，交直线于点、、， 且． （1）若，，，求的长； （2）若，，求的长． 20. （本题8分）初三学生小陈平时学业忙碌，这个周末他打算和好朋友来一场说走就走的“杭州Citywalk”，顺便去各个景点打卡集章．为增加一点惊喜感，他们决定用抽签的方式，从杭州四个著名的打卡点中随机选择部分地点去游玩．这四个打卡点分别是：A．西湖，B．西溪国家湿地公园，C．良渚古城遗址公园，D．湘湖． （1）若小陈同学只选择一个打卡点去游玩，则他选择A．西湖的概率是______； （2）若小陈同学从A，B，C，D四个打卡点中，选一个作为上午游玩地点，再选剩下的一个作为下午游玩地点，共有多少种不同的游玩方案？请用画树状图或列表的方法说明理由． 21. （本题8分）如图，在中，，半径，，垂足为、． （1）求证：； （2）若的半径，，求的长． 22. （本题10分）综合与实践：某景区计划建设如图1所示的三孔桥，其横截面中三个孔都是抛物线形，两小孔形状、大小都相同．正常水位时，大孔水面宽度为30 m，顶点距水面10 m，小孔顶点距水面7 m． 　 图1 图2 （1）如图2，以大孔抛物线的顶点为原点，对称轴为轴，建立平面直角坐标系，求大孔抛物线所对应的函数表达式； （2）当水位上涨到距小孔顶点1 m时（水面在小孔顶点下方），达到警戒水位，求此时大孔的水面宽度．（结果保留根号） 23. （本题10分）在二次函数（）中． （1）若它的图象过点，则的值为多少？ （2）当时，的最小值为，求的值； （3）若，，均在此二次函数的图象上，且，求的取值范围． 24. （本题12分）问题背景：如图1，是的直径，点、在圆上（在直径的异侧），且点为的中点，连结，，，，． 探究思路：如图2，将绕点顺时针旋转90°得到，证明，，三点共线， 从而得到为等腰直角三角形，，从而得出． 　　　 图1 图2 图3 图4 （1）请你根据探究思路，写出完整的推理过程； 问题解决： （2）当点、在直径的同侧时，如图3所示，且点为的中点，连结． 若，，求线段的长； 拓展探究： （3）将沿翻折得到，如图4所示，直接写出线段，，之间的数量关系． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年浙江省长兴华盛达 九年级（上）期中数学试卷 考生须知 1．本卷满分120分． 2．解答题请写出必要的计算过程或推理过程． 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题列出的四个备选项中只有一个符合题目要求） 1. 小明在半径为6 cm的圆中测量弦的长度，测量结果不可能是（　　） A. 1 cm B. 6 cm C. 12 cm D. 13 cm 【答案】D 【解析】 【分析】圆中的弦长最大为直径长． 【详解】设圆心为，则 cm．由 cm，知13 cm不可能是弦长．故选D． 2. 盒子里有10个球，它们只有颜色不同，其中红球有6个，黄球有3个，黑球有1个．小军从中任意摸一个球，下面说法正确的是（　　） A. 一定是红球 B. 摸出红球的可能性最小 C. 不可能是黑球 D. 摸出红球的可能性最大 【答案】D 【解析】 【分析】任意摸一球时，每个球被摸到的可能性相同，可比较各色球的数量． 【详解】摸到红球、黄球、黑球的概率分别为，，．摸到红球的可能性最大，但摸到红球是随机事件．故选D． 3. 对于抛物线，下列说法正确的是（　　） A. 开口向下，顶点坐标 B. 开口向上，有最大值3 C. 开口向下，对称轴是直线 D. 开口向上，有最小值3 【答案】A 【解析】 【分析】由顶点式判断抛物线的开口方向、顶点和对称轴． 【详解】二次项系数，所以开口向下．顶点为，对称轴是直线，当时，取得最大值3．故选A． 4. 已知，则的值是（　　） A. B. C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】先由比例式求，再将所求式子拆成． 【详解】由得，所以．因此．故选B． 5. 投壶是我国古代的一种投掷游戏．某调查小组统计了游戏参与者小颖在同一条件下投中的次数，并绘制了如图所示的折线统计图，由此可以估计小颖在投壶游戏中一次投中的概率为（　　） A. 0.1 B. 0.2 C. 0.4 D. 0.6 【答案】C 【解析】 【分析】用大量重复试验中趋于稳定的频率估计概率． 【详解】从折线图可见，随着投壶次数增加，投中频率逐渐稳定在0.40附近，因此一次投中的概率可估计为0.4．故选C． 6. 已知点，和都在二次函数的图象上，那么，，之间的大小关系是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】可将三个点的横坐标分别代入函数解析式，比较对应的函数值． 【详解】当时，．当时，．当时，．所以．故选A． 7. 如图，两灯塔，之间的距离恰好为暗礁区所在的圆的半径的倍，要使船不驶入暗礁区，则航行中应保持（　　） A. 大于45° B. 大于30° C. 小于45° D. 小于30° （第7题图） 【答案】C 【解析】 【分析】先求船在图示一侧圆周上所对应的临界角，再利用三角形的外角比较大小． 【详解】设圆心为、半径为．因为，，所以，由勾股定理的逆定理得． 如图示位置，设与大弧交于点，则．当船在圆外时，是的外角，所以．故选C． 8. 如图是第四套人民币中的菊花一角硬币，该硬币边缘铸刻一个正九边形，若直线，与正九边形的两条边重合，则的度数为（　　） A. 40° B. 80° C. 100° D. 110° （第8题图） 【答案】C 【解析】 【分析】利用正九边形的外角与的内角和求解． 【详解】正九边形的每个外角为．按图，与均为正九边形的外角．因此．故选C． 9. 二次函数图象上部分的对应值如下表．当时，的取值范围是（　　） 0 1 2 3 0 2 2 0 A. 或 B. C. 或 D. 【答案】B 【解析】 【分析】先确定图象与轴的两个交点，再找图象在轴上方的范围． 【详解】表中或时，，且时，所以抛物线开口向下．两交点之间的图象在轴上方，因此时，．故选B． 10. 如图1，一架无人机从点出发，沿水平直线向点匀速飞行，在地面控制站点处可以检测无人机的飞行状态．设无人机飞行的路程为（单位为百米），为．图2是无人机飞行时随变化的关系图象，图象与轴交于点，最低点为，且经过和两点．根据以上信息，下列说法错误的是（　　） 　 图1 图2 A. B. C. 点在图象上 D. 点的坐标为 【答案】C 【解析】 【分析】从向作垂线，用勾股定理把表示为的二次函数． 【详解】过作于．由图可知，飞到时最小，所以，．于是． 把代入，得．因在对称轴左侧，，解得．由、关于对称，得． 当时，．当时，，所以为．故选C． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. “抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上”是______事件．（填“不可能”、“随机”或“必然”） 【答案】随机 【解析】 【分析】根据事件是否可能发生、是否一定发生判断． 【详解】抛掷一次硬币，可能正面朝上，也可能反面朝上．因此正面朝上是随机事件． 12. 已知线段是线段，的比例中项，若，，则线段的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】用比例中项的定义列式，取正根． 【详解】因为，所以．线段长度为正，故． 13. 如图，，，那么与的相似比为______． （第13题图） 【答案】 【解析】 【分析】用两角对应相等判定三角形相似，再求对应边的比． 【详解】因为且，所以．由得，即所求相似比为． 14. 《九章算术》是我国古代著名数学经典，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深1寸，锯道长1尺．如图，已知弦尺，弓形高寸（注：1尺=10寸），则这块圆柱形木材的直径是______寸． （第14题图） 【答案】26 【解析】 【分析】借助垂径定理和勾股定理，由半弦长和弓形高求半径． 【详解】以寸为单位，设半径为，连接．由垂径定理，，又，所以． 在直角三角形中，，整理得，故木材的直径为26寸． 15. 已知是关于的函数，若该函数的图象经过点，则称点为函数图象上的“相反点”，例如：直线上存在“相反点”．若二次函数的图象上存在唯一“相反点”，则______． 【答案】 【解析】 【分析】把代入函数解析式，将唯一相反点转化为一元二次方程有两个相等的实数根． 【详解】由得．有唯一实数解时，，解得． 16. 在中，，与交于点、，与交于点、，与交于点、， 若，则的度数为______． （第16题图） 【答案】123° 【解析】 【分析】由等弧推出等弦，再由等弦求出圆心到三边距离之间的关系． 【详解】由得，所以到这三条弦所在直线的距离相等．如图，在内部，故、分别平分和． 于是，从而． 三、解答题（本大题共8小题，共72分） 17. （本题8分）已知某二次函数的图象经过点，顶点坐标为． （1）求这个二次函数的解析式； （2）若点在抛物线上，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据顶点坐标设顶点式，用已知点求系数．（2）代入横坐标求函数值． 【小问1详解】 设（）．将代入，得，解得．所以． 【小问2详解】 将代入解析式，得． 18. （本题8分）如图，在平面直角坐标系中，点，，． （1）利用网格线确定经过，，三点的圆弧所在圆的圆心（保留痕迹），并写出点的坐标______； （2）的半径为______，的度数为______． 【答案】（1），作图见详解 （2），90° 【解析】 【分析】（1）圆心是两条弦的垂直平分线的交点．（2）用勾股定理求半径，再用逆定理判断圆心角． 【小问1详解】 连接、．的中点为，其垂直平分线为．从到向右、向下各走两格，从其中点向右、向上各走一格，可确定的垂直平分线．两条垂直平分线交于． 【小问2详解】 由网格及勾股定理，，即的半径为． 又，，故． 19. （本题8分）如图，已知直线、、分别交直线于点、、，交直线于点、、， 且． （1）若，，，求的长； （2）若，，求的长． 【答案】（1）18 （2）16 【解析】 【分析】用平行线分线段成比例得到． 【小问1详解】 因为，所以，解得． 【小问2详解】 由及，得． 20. （本题8分）初三学生小陈平时学业忙碌，这个周末他打算和好朋友来一场说走就走的“杭州Citywalk”，顺便去各个景点打卡集章．为增加一点惊喜感，他们决定用抽签的方式，从杭州四个著名的打卡点中随机选择部分地点去游玩．这四个打卡点分别是：A．西湖，B．西溪国家湿地公园，C．良渚古城遗址公园，D．湘湖． （1）若小陈同学只选择一个打卡点去游玩，则他选择A．西湖的概率是______； （2）若小陈同学从A，B，C，D四个打卡点中，选一个作为上午游玩地点，再选剩下的一个作为下午游玩地点，共有多少种不同的游玩方案？请用画树状图或列表的方法说明理由． 【答案】（1） （2）12种，列表见详解 【解析】 【分析】（1）一次抽签有四种等可能的结果．（2）按上午、下午的顺序列表，排除同一地点重复入选的情形． 【小问1详解】 四个地点被抽中的可能性相同，其中选中西湖的结果只有一种，故概率为． 【小问2详解】 把上午的地点放在表的行首，下午的地点放在列首．例如表示上午去A，下午去B． 上午＼下午 A B C D A — B — C — D — 表中每行有3种可行方案，所以共有种不同的游玩方案． 21. （本题8分）如图，在中，，半径，，垂足为、． （1）求证：； （2）若的半径，，求的长． 【答案】（1）证明见详解 （2） 【解析】 【分析】（1）由等弦对应等弧和垂径定理证弧相等．（2）先求半弦长，再用勾股定理求． 【小问1详解】 因为，所以．由、及垂径定理，得，．两条等弧的一半相等，故． 【小问2详解】 连接．因为，所以．在直角三角形中，．故． 22. （本题10分）综合与实践：某景区计划建设如图1所示的三孔桥，其横截面中三个孔都是抛物线形，两小孔形状、大小都相同．正常水位时，大孔水面宽度为30 m，顶点距水面10 m，小孔顶点距水面7 m． 　 图1 图2 （1）如图2，以大孔抛物线的顶点为原点，对称轴为轴，建立平面直角坐标系，求大孔抛物线所对应的函数表达式； （2）当水位上涨到距小孔顶点1 m时（水面在小孔顶点下方），达到警戒水位，求此时大孔的水面宽度．（结果保留根号） 【答案】（1）（大孔在图示范围内） （2） m 【解析】 【分析】（1）根据顶点及正常水位的一个端点列式．（2）确定警戒水位的纵坐标，再求大孔两侧交点之间的距离． 【小问1详解】 大孔抛物线的顶点为原点，设．正常水位对应，水面宽30 m．由对称性，抛物线经过． 代入得，解得，所以所求函数表达式为． 【小问2详解】 小孔顶点高于正常水位7 m，纵坐标为．警戒水位比小孔顶点低1 m，故其纵坐标为． 令，得，解得．此时大孔的水面宽度为 m． 23. （本题10分）在二次函数（）中． （1）若它的图象过点，则的值为多少？ （2）当时，的最小值为，求的值； （3）若，，均在此二次函数的图象上，且，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）将点的坐标代入．（2）配方后按对称轴的位置分类．（3）先由等高的两点确定对称轴，再比较函数值． 【小问1详解】 将代入，得，解得． 【小问2详解】 配方得，抛物线开口向上，对称轴为． 当时，处取得最小值，故，得，符合条件． 当时，在内，随的增大而减小．在处取得最小值．由得，与矛盾．综上，． 【小问3详解】 、的纵坐标相等，横坐标为和，所以对称轴为，即．两点到对称轴的距离均为1，故． ．由得，即或．由得． 合并得或，代入，得到或． 24. （本题12分）问题背景：如图1，是的直径，点、在圆上（在直径的异侧），且点为的中点，连结，，，，． 探究思路：如图2，将绕点顺时针旋转90°得到，证明，，三点共线， 从而得到为等腰直角三角形，，从而得出． 　　　 图1 图2 图3 图4 （1）请你根据探究思路，写出完整的推理过程； 问题解决： （2）当点、在直径的同侧时，如图3所示，且点为的中点，连结． 若，，求线段的长； 拓展探究： （3）将沿翻折得到，如图4所示，直接写出线段，，之间的数量关系． 【答案】（1）证明见详解 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）用圆周角和旋转证明三点共线．（2）在上截取等长线段，构造等腰直角三角形．（3）用轴对称和勾股定理求平方关系． 【小问1详解】 因为是直径，且为半圆弧的中点，所以，．将绕顺时针旋转90°，点落到，点落到，故，，，． 、所对的两段弧合成整个圆，所以，即．射线在内部，随顺时针旋转90°后得到的射线与分居直线两侧．因此、、共线且在、之间． 由勾股定理，等腰直角中．于是． 【小问2详解】 如图3，在弧上．在上取点，使．因为，所以在线段内部．连接． 和是同弧所对的圆周角，所以．又，，故（SAS）．因此，．按图中各射线的位置，． 所以．又，故． 【小问3详解】 以为原点，以过且平行于的直线为轴，以直线为轴，向右、向上为正方向．设圆的半径为，，则，，． 与两坐标轴的夹角均为45°．把沿翻折得到时，横、纵方向互换，故．由勾股定理得． 又，整理得．由翻折知．因此． 学科网（北京）股份有限公司 $