精品解析：浙江省湖州市长兴县2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题

2025学年第一学期期中素养测试 九年级数学试题卷 考生须知： 1．本试卷分试题卷和答题卷两部分，满分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，必须在答题卷的左边填写班级、姓名、座位号等信息． 3．所有答案都必须写在答题卷标定的位置上，注意试题序号和答题序号相对应， 一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列关于的函数中，是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】一般地，我们把形如（其中是 、、为常数）的函数叫做二次函数，其中 称为二次项系数，为一次项系数，为常数项，根据二次函数的定义逐项判断即可． 本题考查了二次函数的定义，理解并掌握二次函数的定义是解题的关键． 【详解】A．，是一次函数，故该选项不符合题意； B．，是一次函数，故该选项不符合题意； C．，不符合二次函数的定义，不是二次函数，故该选项不符合题意； D．，是二次函数，故该选项符合题意． 故选：D． 2. 下列事件为必然事件的是（ ） A. 买一张电影票，座位号是偶数 B. 抛掷一枚均匀的硬币，正面朝下 C. 打开电视机，正在播放“快乐大本营” D. 任意画一个三角形，其内角和是 【答案】D 【解析】 【分析】根据事件发生的可能性大小判断． 【详解】解：A、买一张电影票，座位号是偶数，是随机事件； B、抛掷一枚均匀的硬币，正面朝下，是随机事件； C、打开电视机，正在播放“快乐大本营”，是随机事件； D、任意画一个三角形，其内角和是，是必然事件； 故选D． 【点睛】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 3. 已知 与点P在同一平面内，如果 的半径为5，线段的长为3，则下列说法正确的是（　　） A. 点P在 上 B. 点P在 内 C. 点P在 外 D. 无法判断点P与 的位置关系 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是点与圆的位置关系：当点到圆心距离小于半径时，点在圆内；当点到圆心距离等于半径时，点在圆上；当点到圆心距离大于半径时，点在圆外． 根据点到圆心的距离即可得出答案． 【详解】解：∵ 与点P在同一平面内， 的半径为5，线段的长为3，， ∴点P在 内． 故选：B． 4. 如图，点在⊙O上，，弧 的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据圆周角定理可求解∠AOB=2∠ACB，进而可求解弧AB的度数． 【详解】解：∵∠ACB=40°， ∴∠AOB=2∠ACB=80°， ∴弧AB的度数为80°， 故选：A． 【点睛】本题主要考查圆周角定理，圆心角，弦，弧的关系，求解∠AOB的度数是解题的关键． 5. 已知二次函数，下列关于这个函数图象性质的说法，正确的是（ ） A. 图象的开口向上 B. 图象的顶点坐标是 C. 图象与轴有唯一交点 D. 当时，随的增大而增大 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数（a，b，c是常数，）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程根的判断．也考查了二次函数的性质．先利用配方法得到，可根据二次函数的性质可对A、B、D进行判断；通过解方程可对C进行判断． 【详解】解：∵， ∴ 抛物线开口向下，顶点坐标为， A、开口向上，错误； B、顶点坐标应为，不是，错误； C、令，得 ，即 ，判别式，有两个交点，不是唯一交点，错误； D、∵ 开口向下，对称轴 ， ∴ 当 时，y 随x的增大而增大，正确． 故选：D． 6. 在一个不透明的盒子中装有m个除颜色外完全相同的乒乓球，这m个球中只有12个黄色乒乓球，其余均为白色．若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子．通过大量重复试验后，发现摸到黄球的频率稳定在左右，则m的值大约为（ ） A. 20 B. 40 C. 60 D. 100 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了利用大量试验得到的频率可以估计事件的概率，在同样条件下，大量重复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从摸到黄球的频率稳定在左右得到比例关系，列出方程求解即可，解题的关键是根据黄球的频率得到相应的等量关系． 【详解】解：由题意得： ， 解得：， 故选：C． 7. 如图，在正五边形中，连接 ，以点 为圆心， 为半径画圆弧交 于点 ，连接 ．则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查正多边形与圆，平行四边形的判定和性质等知识．证明四边形是菱形，推出可得结论． 【详解】解： 五边形是正五边形， ， ， ， ， ， ∴， ， ∴四边形是平行四边形， 平行四边形是菱形， ， ， ， 故选：C． 8. 如图是二次函数图象的一部分，与x轴一交点为，下列结论正确的个数有（　　） ①； ②； ③； ④； ⑤当时，不等式． A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数与不等式（组）之间的关系，二次函数的系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y轴的交点确定． ①观察图象发现对称轴在y轴的右侧可判断a、b符号，同理根据抛物线与y轴的位置关系可判断c的符号，即可得出结论； ②根据抛物线的对称性找出兑成点即可得出结论． ③根据抛物线与x轴交点的个数判断时根的情况，再根据判别式即可得出结论． ④由图象可知当时开口向上有最小值，结合图象不难发现当 有最小值，再将代入函数解析式得出从而进行比较即可得出结论． ⑤观察图象发现时，抛物线在负半轴可判断，即． 【详解】解：①∵对称轴在y轴右侧，开口向上， ∴，， ∴． 又∵抛物线交y轴于负半轴． ∴，即，故①错误； ②由图象可知：对称轴 且与x轴的一个交点是， 另一个交点坐标为． 当时，． 即，即，故②正确． ③由图象可知：抛物线与x轴有两个交点， ∴有两个不相等的实数根． ∴． 即，故③错误． ④由图象知：当 有最小值，当时． ∴当时有， 即：，故④错误． ⑤由图象可知：时，． 即，故⑤正确． 故选A． 9. 二次函数，对称轴为直线 ，若关于的一元二次方程（为实数）在的范围内有解，则的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与x轴的交点问题，二次函数的性质，先根据对称轴计算公式得到，进而得到二次函数解析式为，再由二次函数的性质得到当时，；根据关于的一元二次方程（为实数）在的范围内有解，得到二次函数与直线在的范围内有交点，据此可得答案． 【详解】解：∵二次函数的对称轴是直线 ， ∴， ∴， ∴二次函数解析式为， ∴当 时，二次函数有最大值9，在对称轴右侧，y随x增大而减小，在对称轴左侧，y随x增大而增大， 当时，，当时，， ∴当时，， ∵关于的一元二次方程（为实数）在的范围内有解， ∴二次函数与直线在的范围内有交点， ∴． 故选：D． 10. 如图，在 中，，， 是 的中点，经过 、 两点的圆交 、 于点E、F，且．当圆变化时，点 到线段 的最大距离为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接、、 ，如图，根据等腰直角三角形的性质得，，，，易证得，则，，再判断为等腰直角三角形，得到，由于，所以当 越小，越小，加上，则当 越小，越小，而越大，此时点C到 的距离越大，即 最小时，点C到 的距离最大，设点C到 的最大距离为h，根据圆周角定理，由得 为 的直径，所以当 的直径等于时， 的直径最小，即 最小，此时可判断四边形为正方形，根据正方形和等腰直角三角形的性质易得． 【详解】解：连接、、 ，如图， ∵，， 是 的中点， ∴， ∵D是 的中点， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 当 越小，越小， ∵， ∴当 越小，越小，而越大，此时点C到 的距离越大， 即 最小时，点C到 的距离最大， 设点C到 的最大距离为h， ∵， ∴ 为 的直径， ∴当 的直径等于时， 的直径最小，即 最小，此时，则四边形为正方形， ， 即点C到线段 的最大距离为． 故选：A． 【点睛】本题考查了圆的综合题：熟练掌握圆周角定理、等腰直角三角形的性质；会运用三角形全等解决线段相等的问题；记住三角形的面积公式． 二、填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 已知一条抛物线的形状、开口方向与抛物线相同，它的顶点坐标为，则此抛物线的解析式______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据题目给定的条件，直接利用顶点式可得函数解析式． 【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为，抛物线的形状、开口方向与抛物线相同， ∴所求抛物线的解析式为． 故答案为：． 12. 若直角三角形的两直角边长为3、4，则该直角三角形的外接圆半径为_____． 【答案】 【解析】 【分析】先用勾股定理求出斜边的长，然后再根据直角三角形的斜边为直角三角形的外接圆的直径求解即可． 【详解】解：∵直角三角形的两直角边长为3、4， ∴斜边长==5， ∴直角三角形的外接圆半径=． 故填：． 【点睛】本题主要考查了三角形的外接圆与外心，掌握直角三角形的斜边为直角三角形的外接圆的直径成为解答本题的关键． 13. 如图，四边形 是 的内接四边形，是 的直径，连接 ，若，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查圆内接四边形以及圆周角定理，根据圆内接四边形的对角互补，以及直径所对的圆周角为直角，进行求解即可． 【详解】解：∵四边形 是 的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∵是 的直径， ∴， ∴， 故答案为：35． 14. 从，0，1三个数中随机抽取一个数记为 ，不放回，再抽取一个数记为，则抽出的数是二次函数图像上的点的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了列举法求概率、二次函数图像上点的坐标特征等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．首先根据列表法可得共有9种等可能的结果，分别验证是否在二次函数图像上，即可获得答案． 【详解】解：根据题意，从，0，1三个数中随机抽取一个数记为 ，不放回，再抽取一个数记为，可列表如下， 0 1 0 1 由列表可知，共有9种等可能的结果， 将代入二次函数，可得， 故点，，均不在该二次函数图像上， 将 代入二次函数，可得， 故点在函数图像上，而点，均不在该二次函数图像上， 将代入二次函数，可得， 故点，，均不在该二次函数图像上， 所以，抽出的数是二次函数图像上的点的结果有1种， 所以抽出的数是二次函数图像上的点的概率为． 故答案为：． 15. 已知二次函数． （1）若点在该函数图象上，则的值为_____________． （2）若点都在该函数图象上，且，则的取值范围为_____________． 【答案】 ①. ）2或 ②. 或 【解析】 【分析】（1）将代入，即可求解， （2）确定抛物线的开口方向及对称轴，根据抛物线的性质，得到，解不等式组，即可求解， 本题考查了求二次函数解析式，二次函数的性质，解不等式组，解题的关键是：熟练掌握二次函数的性质． 【详解】解：（1）将代入， 得：， 解得：或， 故答案为：2或； （2）∵二次函数的对称轴为：，， ∴抛物线开口向上，对称轴为：， ∵， ∴，即：， 解①得：或，解②得：， ∴或， 故答案为：或． 16. 如图，在 中， 为直径，点C为圆上一点，将劣弧沿弦 翻折交 于点D，连接．如果，，则 的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质与判定，圆的基本性质，如图，过 作于 ，连接、 ，设折叠前后点D的对应点为 ，先证明，进而证明，得到，由三线合一求出 ，再求出的长，进而求出，进一步求出 的长，即可利用勾股定理求出答案． 【详解】解：如图，过 作于 ，连接、 ，设折叠前后点D的对应点为 ， 由折叠的性质可得， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，且 为直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本大题有8小题，共72分，解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程） 17. 已知函数（b、c为常数）的图象经过点，． （1）求二次函数表达式； （2）当时，求函数的最大值和最小值． 【答案】（1） （2）最大值为 ，最小值为 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的表达式求解以及二次函数在区间内的最值问题，熟练掌握二次函数的交点式、抛物线的开口方向与对称轴的性质是解题的关键． （1）利用二次函数的交点式，结合已知的两个交点坐标求出函数表达式． （2）先确定抛物线的开口方向和对称轴，再根据给定的的取值范围，分析函数的单调性，从而求出最大值和最小值． 【小问1详解】 解：∵函数图象经过点，，且， ∴函数解析式为； 【小问2详解】 解：由（1）得， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线 ， ∵在对称轴左侧，此时随的增大而增大， 当时，最大值， 当时，最小值， 18. 为响应国家“双减”政策，大力推行课后服务，丰富学生课后生活，某校开设 班剪纸、 班戏曲、 班武术、 班围棋四门特色课程，甲、乙两位同学各需选择一门课程学习． （1）求甲同学选择 班剪纸课的概率． （2）利用树状图或列表法，求甲、乙两人选择同一门课程的概率． 【答案】（1）甲同学选 班的概率为； （2）甲乙两人选择同一门课程的概率为． 【解析】 【分析】本题考查的知识点是列举法求概率和列表法或树状图法求概率，解题关键是熟练掌握列表法或树状图法求概率． 直接根据概率公式求解即可； 完整列出表格，列清所有可能的情况及甲、乙两人选择同一门课程的情况，再根据概率公式即可求解． 【小问1详解】 解： 该校开设 班剪纸、 班戏曲、 班武术、 班围棋共门特色课程， 甲同学选择 班剪纸的概率为． 【小问2详解】 解：如下表所示： 　　乙 甲 共有种可能的情况，其中甲、乙两人选择同一门课程的情况有种， 甲、乙两人选择同一门课程的概率为． 19. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别是A（-3，2），B（-1，4），C（0，2）． （1）将△ABC以点C为旋转中心旋转180，画出旋转后对应的△A1B1C； （2）平移△ABC，若A的对应点A2的坐标为（-5，-2），画出平移后的△A2B2C2； （3）若将△A2B2C2绕某一点旋转可以得到△A1B1C，请直接写出旋转中心的坐标． 【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析；（3）（-1，0）． 【解析】 【分析】（1）根据图中的网格结构分别找出点A、B绕点C旋转180°后的对应点A1、B1的位置，然后顺次连接即可； （2）根据网格结构找出点A、B、C平移后的位置，然后顺次连接即可； （3）根据旋转的性质，确定出旋转中心即可． 【详解】解：（1）△A1B1C如图所示； （2）△A2B2C2如图所示； （3）如图所示，旋转中心为（﹣1，0）． 【点睛】本题考查作图﹣旋转变换，作图﹣平移变换． 20. 已知一块破损圆形塑胶板，弧上有三点A，B，C． （1）用尺规作图作出该破损的圆板的圆心，记为点 ； （2）若 为等腰三角形，且， ，求该圆板的半径． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据圆的性质，圆心到圆上任意两点的距离相等，所以通过作两条弦的垂直平分线，其交点即为圆心． （2）先利用等腰三角形的性质得出垂直平分 ，再在直角三角形中用勾股定理求出 的长度，然后设圆的半径为，表示出 的长度，最后在另一个直角三角形中利用勾股定理列方程求解半径． 【小问1详解】 解：如图，点 为所作； 【小问2详解】 解：连接 、， 交 于 点，如图， ， ， 垂直平分 ， ，， 在中，，， ， 设 的半径为，则，， 在中，， 解得， 即该圆板的半径为． 【点睛】本题主要考查了圆的基本性质、等腰三角形的性质、勾股定理以及尺规作图，熟练掌握圆的对称性、勾股定理的应用是解题的关键． 21. 如图1，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似的看成抛物线．图 是喷灌架为一坡地草坪喷水的平面示意图，喷水头的高度（喷水头距喷灌架底部的距离）是 米，当喷射出的水流与喷灌架的水平距离为米时，达到最大高度 米，现将喷灌架置于坡地底部点 处，草坡上距离 的水平距离为米处有一棵高度为米的小树 ， 垂直水平地面且 点到水平地面的距离为 米． （1）计算说明水流能否浇灌到小树后面的草地． （2）记水流的高度为，斜坡的高度为，求的最大值． 【答案】（1）能浇灌到小树后面的草坪 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，熟练掌握二次函数的顶点式、解析式的求解以及二次函数最值的求法是解题的关键． （1）先根据抛物线顶点式设出表达式，代入已知点求出解析式，再代入求出水流高度，与小树高度比较判断能否浇灌． （2）先求出斜坡高度的表达式，再求出的表达式，根据二次函数性质求最大值． 【小问1详解】 解：由题可知：抛物线的顶点为，设水流形成的抛物线为， 将点代入可得 解得， ∴抛物线为， 当时， ， 答：能浇灌到小树后面的草坪； 【小问2详解】 解：由题可知 点坐标为，则直线为， ， ， 当时，的最大值为； 答：的最大值为； 22. 如图，四边形ABCD内接于⊙O， BD为直径，AC平分∠BCD， （1）若BC=5cm，CD=12cm，求AB的长； （2）求证：BC+CD=AC． 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据圆周角定理得到∠BAD=∠BCD=90°，利用勾股定理求解即可； （2）将△ACD绕点A顺时针旋转90°后可得△ABC′，证明△C′AC是等腰直角三角形，进一步求解即可证明BC+CD=． 【小问1详解】 解：∵BD为直径， ∴∠BAD=∠BCD=90°， ∵CD=12cm，BC=5cm， ∴BD=13（cm）， ∵AC平分∠BCD， ∴∠ABD=∠ADB=45°， ∴AB=AD， ∴AB=AD=BD=，故AB的长为． 【小问2详解】 证明：将△ACD绕点A顺时针旋转90°后可得△ABC′， 由旋转性质可得：△ACD△ABC′，∠CAC′=90°，CA=C′A， ∴AC′=AC，CD=BC′，∠ADC=ABC′， ∵四边形ABCD是圆内接四边形， ∴∠ABC+∠ADC=180°， ∴∠ABC+∠AD′B=180°， 又∵∠CAC′=90°，CA=C′A， ∴△C′AC是等腰直角三角形， ∴CC′=, ∴BC+C′B=， ∴BC+CD=． 【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 23. 已知二次函数（是常数，且）． （1）若拋物线经过，求二次函数解析式． （2）在（1）的条件下，抛物线上有一点，向右平移3个单位后仍在该拋物线上，求点的坐标． （3）若抛物线上有且仅有一个点的纵坐标是横坐标的三倍，令，是否存在一个常数，使得当时，的最小值恰好等于．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）或3 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的图象和性质、新定义，分类求解是解题的关键． （1）把代入解析式计算即可求解； （2）设点，则平移后点的坐标为：，将该点的坐标代入即可求解； （3）由抛物线上有且仅有一个点的纵坐标是横坐标的三倍得到方程且，即可得到，再根据与的位置关系分情况讨论分别求最小值即可． 【小问1详解】 解：∵拋物线经过， ∴， 解得， ∴抛物线的表达式为：； 【小问2详解】 解：设点，则平移后点的坐标为：， 将该点的坐标代入得：， 解得：， 则点的坐标为：； 【小问3详解】 解：存在， 理由： 一个点的纵坐标是横坐标的三倍的点所在图形解析式为：， 得方程组，，整理得：， ∵抛物线上有且仅有一个点的纵坐标是横坐标的三倍， ∴，即 ∴， 当时，，当时，，当时，， 当，即时，在范围内随的增大而减小，则函数在时取得最小值，即，解得或（舍去）； 当，即时，则函数在顶点时取得最小值，即（舍去）； 当，即时，则函数在时取得最小值，即则或（舍去）； 综上，或3． 24. 已知点 ， ， ， 是 上的四个点，且弦，于点． （1）如图1，点 是的中点，在探究，，之间的数量关系时，圆圆同学提出解决的思路：在上截取，连结 ，可以通过证明三角形全等，从而得到有关线段的等量关系．请你帮圆圆同学写出完整的探究过程． （2）如图2，是等边三角形，若，，利用（1）的结论，求的周长． （3）如图3，若，，， ，连结，求的度数． 【答案】（1） ∵A是的中点， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据弧，弦，角之间的关系，得到，圆周角定理，得到，证明，得到，三线合一，得到，得到，即可； （2）勾股定理求出的长，进而得到的长，等边三角形得到，进一步求出的周长即可； （3）在延长线上截取，连接，设，易得垂直平分，得到，推出，等边对等角，求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵， ∴ ， 由（1）知：， ∵是等边三角形， ∴， ∴周长． 【小问3详解】 在延长线上截取， 连接， 不妨设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， 又∵， ∴，且， ∴． 【点睛】本题考查圆与三角形的综合应用，涉及弧，弦，角之间的关系，圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理．掌握相关性质，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第一学期期中素养测试 九年级数学试题卷 考生须知： 1．本试卷分试题卷和答题卷两部分，满分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，必须在答题卷的左边填写班级、姓名、座位号等信息． 3．所有答案都必须写在答题卷标定的位置上，注意试题序号和答题序号相对应， 一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列关于的函数中，是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列事件为必然事件的是（ ） A. 买一张电影票，座位号是偶数 B. 抛掷一枚均匀的硬币，正面朝下 C. 打开电视机，正在播放“快乐大本营” D. 任意画一个三角形，其内角和是 3. 已知与点P在同一平面内，如果的半径为5，线段的长为3，则下列说法正确的是（　　） A. 点P在上 B. 点P在内 C. 点P在外 D. 无法判断点P与的位置关系 4. 如图，点在⊙O上，，弧 的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 已知二次函数，下列关于这个函数图象性质的说法，正确的是（ ） A. 图象的开口向上 B. 图象的顶点坐标是 C. 图象与轴有唯一交点 D. 当时，随的增大而增大 6. 在一个不透明的盒子中装有m个除颜色外完全相同的乒乓球，这m个球中只有12个黄色乒乓球，其余均为白色．若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子．通过大量重复试验后，发现摸到黄球的频率稳定在左右，则m的值大约为（ ） A. 20 B. 40 C. 60 D. 100 7. 如图，在正五边形中，连接 ，以点 为圆心， 为半径画圆弧交 于点 ，连接 ．则的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 如图是二次函数图象的一部分，与x轴一交点为，下列结论正确的个数有（　　） ①； ②； ③； ④； ⑤当时，不等式． A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 9. 二次函数，对称轴为直线，若关于的一元二次方程（为实数）在的范围内有解，则的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 10. 如图，在 中，，， 是 的中点，经过、 两点的圆交 、 于点E、F，且．当圆变化时，点到线段 的最大距离为（ ） A. B. 2 C. D. 二、填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 已知一条抛物线的形状、开口方向与抛物线相同，它的顶点坐标为，则此抛物线的解析式______． 12. 若直角三角形的两直角边长为3、4，则该直角三角形的外接圆半径为_____． 13. 如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接 ，若，则_______． 14. 从，0，1三个数中随机抽取一个数记为，不放回，再抽取一个数记为，则抽出的数是二次函数图像上的点的概率为______． 15. 已知二次函数． （1）若点在该函数图象上，则的值为_____________． （2）若点都在该函数图象上，且，则的取值范围为_____________． 16. 如图，在中， 为直径，点C为圆上一点，将劣弧沿弦 翻折交 于点D，连接．如果，，则 的长为______． 三、解答题（本大题有8小题，共72分，解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程） 17. 已知函数（b、c为常数）的图象经过点，． （1）求二次函数表达式； （2）当时，求函数的最大值和最小值． 18. 为响应国家“双减”政策，大力推行课后服务，丰富学生课后生活，某校开设 班剪纸、 班戏曲、班武术、 班围棋四门特色课程，甲、乙两位同学各需选择一门课程学习． （1）求甲同学选择 班剪纸课的概率． （2）利用树状图或列表法，求甲、乙两人选择同一门课程的概率． 19. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别是A（-3，2），B（-1，4），C（0，2）． （1）将△ABC以点C为旋转中心旋转180，画出旋转后对应的△A1B1C； （2）平移△ABC，若A的对应点A2的坐标为（-5，-2），画出平移后的△A2B2C2； （3）若将△A2B2C2绕某一点旋转可以得到△A1B1C，请直接写出旋转中心的坐标． 20. 已知一块破损圆形塑胶板，弧上有三点A，B，C． （1）用尺规作图作出该破损的圆板的圆心，记为点 ； （2）若 为等腰三角形，且， ，求该圆板的半径． 21. 如图1，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似的看成抛物线．图是喷灌架为一坡地草坪喷水的平面示意图，喷水头的高度（喷水头距喷灌架底部的距离）是米，当喷射出的水流与喷灌架的水平距离为米时，达到最大高度米，现将喷灌架置于坡地底部点 处，草坡上距离 的水平距离为米处有一棵高度为米的小树 ， 垂直水平地面且 点到水平地面的距离为米． （1）计算说明水流能否浇灌到小树后面的草地． （2）记水流的高度为，斜坡的高度为，求的最大值． 22. 如图，四边形ABCD内接于⊙O， BD为直径，AC平分∠BCD， （1）若BC=5cm，CD=12cm，求AB的长； （2）求证：BC+CD=AC． 23. 已知二次函数（是常数，且）． （1）若拋物线经过，求二次函数解析式． （2）在（1）的条件下，抛物线上有一点 ，向右平移3个单位后仍在该拋物线上，求点 的坐标． （3）若抛物线上有且仅有一个点的纵坐标是横坐标的三倍，令，是否存在一个常数，使得当时，的最小值恰好等于．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 24. 已知点 ， ， ， 是上的四个点，且弦，于点 ． （1）如图1，点 是的中点，在探究，， 之间的数量关系时，圆圆同学提出解决的思路：在上截取，连结 ，可以通过证明三角形全等，从而得到有关线段的等量关系．请你帮圆圆同学写出完整的探究过程． （2）如图2，是等边三角形，若，，利用（1）的结论，求的周长． （3）如图3，若，，， ，连结，求的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $