天津市滨海新区塘沽第十三中学2026-2027学年高二年级上学期10月月考数学试卷

塘沽十三中2026一2027学年度第一学期高 一、单选题（每小题5分，共60分） 1.若直线的一个方向向量为(-L,3),则它的倾斜角为() A.30° B.60° C.120° D.150° 奶 2.在空间直角坐标系中，点P1,-2,4)关于xOz平面的对称点是() 阁 A.(1,2,4) B.（-1,2,4) C.(1,-2,4) D.（-1,-2,4) 3.已知三棱锥O-ABC中，点MN分别为AB、OC的中点，且OA=a,OB=b, OC=c,则MN=() 火 类 A6+c- B.e-i-） C.(b+e) D.a-6+d) B 4.己知直线：(a-2)x+y+1=0,直线l:x+(a-2)y-1=0,若l/1l,则实数a的值为() A.1或-1 B.1或3 C.1 D.3 0 5.己知直线1的一个方向向量为m=(-1,6,-2),平面α的一个法向量为n=(x,-3,),若直线1⊥平面α， 则x=() A. B.20 D.-20 到 6.设x,y∈R,向量ā=(xl,1),向量6=(L,y,1),c=(3,6,3),且ā1c,b11e,则2a+b=() 器 A.10 B.3 C.4 D.32 7.圆(x-1)2+(y+2)2=4关于直线1：x+y-2=0对称的圆的方程为() A.(x-4)2+(y-1)2=4 B.(x+4)2+(y+1)2=4 C.(x-42+(y+1}=4 D.(x+4)}+(y-12=4 8.已知点A1,0,-1),B(2,2,1),C(-1,2,2),则点C到直线AB的距离为() A. 817 B.V89 c.27 17 3 17 D.3 9.已知圆x2+y2=5上的点P到直线x-y+√2=0的距离为1，则点P个数为() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 高二年级数学学科 二年级数学学科第一次学情调研 10.过点P(-1,1)的直线1与连接A(3,3),B(-2,6)的线段总有公共点，则直线1的斜率的取值范围是() B D 11.如图，平行六面体ABCD-ABCD中，以A为顶点的三条棱长均为2，且 C B 两两之间的夹角都是60°，则BD=() A.4 B.2W2 D C.2√6 D.2W5 B 12.如图，在棱长为2的正方体ABCD-AB,CD中，E为棱AA的中点，P为四边形ABCD内（包括边界）一 个动点，若直线PE与平面ABB4所成的角为元，则PB的最小值为() D 6 B A. 22 c.32 D. 2v5 3 B.6 3 4 3 二、填空题（每个题5分，共25分） B 13.过点P(1,3)且垂直于1：x+y+1=0的直线方程是 14.两条平行直线3x-4y+11=0与am-8y-28=0间的距离是 15.已知圆A:(x-m)2+(y-1)2=9和圆B:(x-2)2+(y-m)2=4有3条公共切线，则实数m的值是 16.直线1过点(-2,1)，且其横截距为纵截距的3倍，则1的方程为 17.若直线1：y=x+4(k>0),则直线恒过定点：若直线1与曲线y=√4-x2有两个交点，则实数k的 取值范围为 第1页共7页 塘沽十三中2026一2027学年度第一学期高 三、解答题（共35分） 18.(18分)已知圆心为C的圆经过点A(3,-1)和B(2,6),且圆心C在直线x+y-1=0上. (1)求圆C的标准方程； (2)过点M(4,1)作圆的切线，求切线方程： (3)求直线上y=2x-1被圆C所截得的弦长MW. 高二年级数学学科 二年级数学学科第一次学情调研 19.(17分)如图，AE⊥平面ABCD,CF∥AE,ADIIBC,AD⊥AB,AB=AD=2,AE=BC=2CF=4. (I)求证：BF∥平面ADE; (2)求平面ADE与平面BDF夹角的正弦值： (3)求四面体B-DEF的体积. E D B 第2页共7页 塘沽十三中2026一2027学年度第一学期高 参考答案 题号 1 2 3 4 5 o 7 8 9 10 答案 C B B D A 0 A B D C 题号 11 12 答案 B D 1.c 【分析】由题意，求出直线的斜率，从而得出结果 【详解】依题意，（-山，3)是直线1的一个方向向量， 所以直线的斜率k=-√3， 所以直线1的倾斜角为120°. 故选：C 2.A 【分析】利用空间直角坐标系的概念求解 【详解】点P(1,-2,4)关于xOz平面的对称点是(1,2,4). 故选：A 3.C 【分析】根据题意，结合空间向量的线性运算法则，准确化简，即可求解 【详解1如图所示，达接0m,可符m=0丽-0丽=号0C-0i+0丽=-+-c-a 故选：C M 4.D 【分析】利用直线与直线平行的性质直接求解。 【详解】解：直线l:(a-2)x+y+1=0,直线l2:x+(a-2)y-1=0平行 高二年级数学学科 二年级数学学科第一次学情调研 ∴.(a-2)2=1x1且-1×(a-2)≠1×1， 解得a=3. .实数a的值为3. 故选：D 【点睛】本题考查直线与直线平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题. 5.A 【分析】利用线面垂直可知直线方向向量与平面的法向量平行即可求解。 【详解】直线1的一个方向向量为m=(-1,6,-2),平面α的一个法向量为i=(x,-3,), 因为直线I1平面α，所以m1/历台七=3-1， 1 62解得x=2 故选：A 6.D 【分析】根据空间向量垂直和共线的坐标表示即可得到方程，解出即可. 【详解】由题意得3x-6+3=0,解得x=1, }-上，解得y=-2,则ā=(1,1，)，6=(-2，)， 36 2à+b=(2,2,2)+(1,-2,1)=(3,0,3), 则2a+6=V32+02+32-32 故选：D 7.A 【分析】先求(1，-2)关于直线的对称点的坐标，可得对称圆的方程 【详解】因为圆(x-1)+(y+2)=4的圆心为(1，-2)， 设点(1，-2)关于直线1：x+y-2=0的对称点为(a,b),则 (-0- a=4 → a+1+b-2-2=0b=1 22 所以圆(x-1)2+(y+2)2=4关于直线1：x+y-2=0对称的圆的方程为(x-4)2+(y-1)2=4. 第3页共7页 塘沽十三中2026一2027学年度第一学期高 故选：A 8.B 【分析】根据点的坐标，求出空间向量，根据空间向量求点到直线的距离 【详解】由题意得，AC=(-2,2,3),AB=(1,2,2), 可知4C=V(-2)}+22+32=17,AB=VP+22+22=3, AC.AB=-2+4+6=8, C.AB 所以点C到直线AB的距离为 17 89 AB 3 故选：B 9.D 【详解】圆x2+y2=5,圆心为(0,0)，半径为√5， 圆心到直线x-y+√2=0的距离为d, d-0-0+2=1<5, √2 所以直线x-y+V2=0与圆x2+y2=5相交， 又因为r-d=V5-1>1, 所以圆x2+y2=5上到直线x-y+V2=0的距离为1的点有4个. 如图所示： 10.B 【分析】先求出点P与端点的斜率值，再结合图象，根据正切函数单调性，得到斜率范围即可. 高二年级数学学科 二年级数学学科第一次学情调研 【详解】由点P(-1,1),A(3,3),B(-2,6)可求得： 6-1=-5, 3+121 -2+1 B(-2,6八 A(3,3) P(-1,1) o 一衣 结合图象，根据正切函数在锐角范围和钝角范围内都是单调递增可得： 直线/的斜率的斜率范围是(-。-小[+口 故选：B. 11.B 【详解】由题知AB=AD=A4=2,∠BAD=∠BAA=∠DA4=60°， 又BD=BA+AD=AD+AA-AB, BD=(AD+AA-4B=AD'+A4+AB'+24D.A4-2AD.4B-244AB, =4+4+4+2×2×2c0s60°-2×2×2c0s60°-2×2×2c0s60°=12-4=8， 所以BD=2V2. 12.D 【分析】建立适当空间直角坐标系，设P(x,y,O)(x,y∈[0,2]，求EP和面ABB,A的一个法向量，由 EP.n sin 得到x,y关系，再结合二次函数性质计算PB即可求解， 6 EP列 【详解】由题意可以以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则E(0,0,1),B(2,0,0), 第4页共7页 塘沽十三中2026一2027学年度第一学期高 B 设P(x,y,0(x,y∈[0,2])，则EP=(x,y,-1),而平面ABB4的一个法向量i=(0,1,0) 由直线PE与平面ABB4所成的角为及得sn”= EP.n y 1 6 6EPm2+2+12 整理得y2 32+ 因此m=-2+-得2-+号 -+25，当且仅当=时取等号 +3=3x-2+3 3 3 所以PB的最小值为23 故选：D 13.x-y+2=0 【分析】根据直线的斜截式方程即可求解斜率，根据垂直的斜率关系，结合点斜式即可求解直线方程 【详解】由1：x+y+1=0,得y=-x-1,所以直线l的斜率为-1. 所以与直线l垂直的直线的斜率为1， 所以过点P1,3)且垂直于：x+y+1=0的直线方程为y-3=x-1,即x-y+2=0, 故答案为：x-y+2=0 14.5 【分析】根据平行满足的系数关系可得α=6，即可利用平行线间距离公式求解. [-8×3=-4×a 【详解】由于3x-4y+11=0与ax-8y-28=0平行，故 解得a=6, -28×3≠11a 22+28 故两直线为6x-8y+22=0与6x-8y-28=0,故其距离为 =5 V62+(-82 高二年级数学学科 二年级数学学科第一次学情调研 故答案为：5 15.-2或5 【分析】根据两圆方程求出圆心和半径，结合题意可得两圆外切，进而列式计算即可. 【详解】由圆A:(x-m)2+(y-1)2=9,则圆心为A(m,),半径为r=3, 圆B:(x-2)2+(y-m)2=4,圆心为B(2,m),半径为2=2， 由于两圆有3条公共切线，则两圆外切， 所以AB=片+5，则V(m-2)}+(1-m)2=5,解得m=-2或5. 故答案为：-2或5. 16.x+2y=0或x+3y-1=0 【分析】讨论截距是否为0，设相应的直线方程，代入点坐标求参数值，即可得直线方程 【详解】当截距为0时，设直线为y=c,则-2k=1,即大=分此时1：x+2y=0, 当距不为0时，设直线为名片1，则子+1→a了此时1：x+3y1-0. 3a a 综上，直线1为x+2y=0或x+3y-1=0. 故答案为：x+2y=0或x+3y-1=0 17. (0,4) (5,2] 【分析】利用点斜式可得第一空，根据直线与圆的位置关系数形结合计算可得第二空 【详解】易知x=0时，y=4,即该直线恒过A(0,4) 对于y=V4-x2→x2+y2=4(y20),即该曲线为以原点为圆心，2为半径的半圆， 如下图所示，不妨设B(-2,0),设直线1与圆相切， 则圆心到1的距离为d=4=2→k=±5，负值舍去，即k=5, Vk2+1 04=2,要满足题意需实数k的取值范围为(V5,2] 又kB=-2-0 故答案为：(0,4)(5,2] 第5页共7页 塘沽十三中2026一2027学年度第一学期高 Ay C B 18.(1)(x+1)2+(y-2)2=25 (2)x=4或12x-5y-43=0 (3)4v5 【分析】(1)设圆心C(a,-a+),通过半径求得a=-1,进而可求解： (2)通过讨论斜率存在与不存在，由圆心到直线距离等于半径，列出等式求解即可； (3)由弦长公式即可求解 【详解】(1)由题意设圆心C(a,-a+l), 因为AC=|BC, 即V(a-3)}+(-a+1+1}=(a-22+(-a+1-6}, 解得a=-1,即C(-1,2) 半径r=CA=V(-1-32+1+1+12=5, 所以圆C的标准方程为(x+1)+(y-22=25, (2)当切线的斜率不存在时，则切线方程为x=4, 此时圆心C(-1,2)到直线x=4的距离为5=r,符合条件： 高二年级数学学科 二年级数学学科第一次学情调研 当切线的斜率存在时，设过M(4,)的切线的方程为y-1=k(x-4), 即-y-4k+1=0, 则圆心C(←12到物线的距离d-k-2-4+-5, Vk2+(-1)2 解得k=2 , -y-4 此时切线的方程为：2 2+1=0, 即12x-5y-43=0, 综上所述：过M的切线方程为x=4或12x-5y-43=0. 3)圆心C(-2)到直线y=2x-1的距离为d=2-2--5, V22+(-1)2 所以弦长|MW=2Wr2-d2=2√25-5=45 19.(1) 因为AE⊥平面ABCD,且AB,ADC平面ABCD, 所以AE⊥AB,AE⊥AD,又AD⊥AB, 则以A为原点，分别以AB,AD,A正的方向为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系A-2(如图)， E 则A0,0,0),B(2,0,0),C(2,4,0),D(0,2,0),E(0,0,4),F(2,4,2). 因为AE⊥AB,AD⊥AB,又ADAE=A,AD,AEC平面ADE, 所以AB⊥平面ADE,故AB=(2,O,O)是平面ADE的一个法向量， 又BF=(0,4,2),所以BF.AB=0,又因为BFC平面ADE 所以BF∥平面ADE. 第6页共7页 塘沽十三中2026一2027学年度第一学期高 (230 6 【分析】(1)直接用向量法证明线面的平行可得： (2)先用向量法计算面面角的余弦值，再由同角三角函数关系算正弦可得： (3)先将几何体的体积转化为E-BDF的体积，进而再用向量的方法计算高及体积， 【详解】(1)略 (2)设m=（x,y,z)为平面BDF的一个法向量，BD=（-2,2,0),BF=(0,4,2) m-BD=0 -2x+2y=0 则 所以 mBF=0 4y+22=0，令y=1,可得m=(,1-2) 又因为AB=(2,0,0)是平面ADE的一个法向量， 设平面ADE与平面BDF夹角为B, AB.m 1×2+1x0-2×0_1-V6 则cos0=cosAB,m AB×m 2xP+P+(-2yV66, 所以平面ADE与平面BDF夹角的正弦值为，l-(6y-V5 6 6 (3)因为EB=(2,0,-4),平面BDF的一个法向量m=(L,1,-2) EB·m 所以点E到平面BDF的距离d= 1×2+0+(-4)×(-2)_10_5V6 m V1+1+(-2)2 63 因为AD⊥AB,AB=AD=2,又AE⊥平面ABCD,CF∥AE, 则CF⊥平面ABCD,又BC、CDc平面ABCD,所以CF⊥BC,CF⊥CD, 又AD1/BC,AE=BC=2CF=4,则DC2=22+(4-2)2=8, 在△BDF中：BD=VAD2+AB2=2,BF=VBC2+CF2=2N5,DF=VDC2+CF2=2N3, 所以BD2+DF2=BF2,所以∠BDF=90,所以Sm=)BD.DF=26, 所以四面体B-DEF体积彩g=r-md-写X2655-9 3 33